专题04 排列组合、二项式定理及概率统计-山东省春季高考五年（2022-2026）数学真题分类汇编（原卷版+解析版）

**基本信息** 汇编2022-2026年山东省春季高考数学真题，聚焦排列组合、二项式定理及概率统计核心考点，以实际应用情境为载体，贴合中职高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|22题|排列组合（相邻不相邻/分组分配）、二项式定理（系数/常数项）、概率（古典概型/分布列）、统计（抽样/数字特征/直方图）|均为山东春考真题，情境贴近生活（座位安排/社团出场/快递投放），梯度从基础计算到综合应用|

专题04 排列组合、二项式定理及概率统计 排列组合与二项式定理 1.掌握分类计数原理及分步计数原理，会用这两个原理解决有关问题； 2.理解排列、组合的概念及性质，会用排列数和组合数公式计算简单的排列组合问题； 3.理解二项式定理、二项式系数的性质、二项式系数与项的系数的区别. 概率与统计 1.了解样本空间、随机事件、基本事件、古典概型、古典概率的概念及概率的简单性质，会求简单随机事件的古典概率，会求互斥事件的概率； 2理解总体、个体、样本、样本容量的概念，理解简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的概念，并会解决简单的抽样问题； 3.理解频率分布表与频率分布直方图，能根据频率分布直方图进行简单的数据分析； 4.理解样本平均数、方差、标准差的概念，会用方差、标准差判断数据的离散程度； 5.理解离散型随机变量的分布列，了解几次独立重复试验的特征和伯努利概型；了解正态分布的特点及正态曲线的形状，了解随机变量的二项分布及数字特征； 6.会用一元线性回归模型进行有关问题的预测； 7.能运用概率、统计初步知识解决简单的实际问题. 考点01 排列组合 1．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，现有两排四列8个座位，从中选取2个座位安排甲乙入座，要求在同一排时不相邻，不在同一排时不同列，则甲乙所有不同坐法的种数是（ ） A. 18 B. 24 C. 32 D. 36 2．（2025年山东省春季高考数学真题）某职业高中的六个社团排练“风采展演”节目．安排出场顺序时，要求朗诵社团的节目排第一位，武术社团的节目不排第二位，剪纸社团的节目不排最后一位．则所有不同的排法种数是 (　　) A．72 B．78 C．84 D．108 3．（2024年山东省春季高考数学真题）某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为 (　　) A．6 B．18 C．36 D．90 4．（2023年山东省春季高考数学真题）某职业学校在“职教宣传周”期间，把2件教师作品和编号为1~5的5件学生作品摆成一排进行展览，若将教师作品摆放在两端，1号学生作品摆放在正中间，则所有不同摆放方法的种数是 (　　) A．24 B．48 C．72 D．96 5．（2022年山东省春季高考数学真题）有三张卡片，第一张卡片的正反两面分别写有数字1，3，第二张卡片的正反两面分别写有数字2，4，第三张卡片的正反两面分别写有数字5，7，现从这三张卡片中任取两张并排放在桌面上，两张卡片朝上一面的数字组合成一个两位数，则所有不同两位数的个数是 (　　) A．8 B．12 C．18 D．24 考点02 二项式定理 1．（2026年山东省春季高考数学真题）在的展开式中，已知第二项的二项式系数是7，则第三项是（ ） A. B. C. D. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项是 (　　) A． B． C． D． 3．（2024年山东省春季高考数学真题） 的展开式中，常数项为 (　　) A． B． C．20 D．160 4．（2023年山东省春季高考数学真题）在的二项展开式中，第4项的系数与第4项的二项式系数的和等于 (　　) A． B． C．75 D．255 5．（2022年山东省春季高考数学真题）在的二项展开式中，二项式系数最大的项是 (　　) A． B． C． D． 考点03 概率的求解 1．（2026年山东省春季高考数学真题）现将甲乙丙三人随机分到AB两个车间进行技能训练，每个人只能去一个车间，且每个车间至少要分一个人，则甲被分到A车间的概率是（ ） A. B. C. D. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）甲乙各有三张只写一个数字的卡片，甲的卡片是2，4，6，乙的卡片是2，3，5，两人随机拿出一张比较大小，甲不小于乙的概率是 (　　) A． B． C． D． 3．（2025年山东省春季高考数学真题）已知随机变量的分布列 则实数的值是 (　　) A． B． C． D． 4．（2024年山东省春季高考数学真题）某学校甲、乙两名教师和3名学生站在一排照相，如果教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻），则至少有2名学生相邻的概率是 (　　) A． B． C． D． 5．（2023年山东省春季高考数学真题）某小区有三个快递投放点，小明在网上购买的甲、乙两种商品分别被快递员随机寄存到这三个投放点，则甲、乙两种商品都被寄存在投放点的概率是___________． 6．（2022年山东省春季高考数学真题）某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是 (　　) A． B． C． D． 考点04 数字特征及其应用 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知离散型随机变量X的分布列，则随机变量X的均值（ ） X 1 2 3 4 P 0.2 0.25 0.3 0.25 A. 1.8 B. 2.0 C. 2.6 D. 4.8 2．（2026年山东省春季高考数学真题）从某学校学生体能测试的数据中随机抽取一个容量为200的样本，样本数据的极差是36，数据被分成12个等宽组，且分组的总范围等于极差，已知其中一组的频数是60，则该组数据频率与组距的比值是（ ） A. 0.1 B. 0.18 C. 0.2 D. 0.3 3．（2024年山东省春季高考数学真题）一组数9，13，12，13，10平均数为，每个数都减，方差为_____ 考点05 频率分布直方图及其应用 1．（2023年山东省春季高考数学真题）某企业生产一批内径为25.40 mm的钢管，内径尺寸等级根据其样本在范围内的频率P划分，规定：为优，为良，为合格，为不合格．若样本频率分布直方图如图所示，则这批钢管的内径尺寸等级是 (　　) A．优 B．良 C．合格 D．不合格 考点06 抽样方法及其应用 1．（2025年山东省春季高考数学真题）工厂对自己的产品进行抽样检查，产品编号为，用系统抽样法抽个样品，若从第个号码段中随机抽取的样本编号是，则第个号码段中抽取的样本编号是___________． 2．（2022年山东省春季高考数学真题）某企业操作岗位、技术岗位和管理岗位的人数分别是，为了解该企业不同岗位员工的健康状况，采用分层抽样的方法，从这三个岗位的所有员工中随机抽取人进行体检，则抽取操作岗位的人数是___________. 考点07 新定义-除余问题 1．（2024年山东省春季高考数学真题）如果除以（）所得的余数相同，则称整数关于模同余，记作，若，则可能的取值是 (　　) A．2 B．11 C．22 D．31 ( 4 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 排列组合、二项式定理及概率统计 排列组合与二项式定理 1.掌握分类计数原理及分步计数原理，会用这两个原理解决有关问题； 2.理解排列、组合的概念及性质，会用排列数和组合数公式计算简单的排列组合问题； 3.理解二项式定理、二项式系数的性质、二项式系数与项的系数的区别. 概率与统计 1.了解样本空间、随机事件、基本事件、古典概型、古典概率的概念及概率的简单性质，会求简单随机事件的古典概率，会求互斥事件的概率； 2理解总体、个体、样本、样本容量的概念，理解简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的概念，并会解决简单的抽样问题； 3.理解频率分布表与频率分布直方图，能根据频率分布直方图进行简单的数据分析； 4.理解样本平均数、方差、标准差的概念，会用方差、标准差判断数据的离散程度； 5.理解离散型随机变量的分布列，了解几次独立重复试验的特征和伯努利概型；了解正态分布的特点及正态曲线的形状，了解随机变量的二项分布及数字特征； 6.会用一元线性回归模型进行有关问题的预测； 7.能运用概率、统计初步知识解决简单的实际问题. 考点01 排列组合 1．（2026年山东省春季高考数学真题）如图所示，现有两排四列8个座位，从中选取2个座位安排甲乙入座，要求在同一排时不相邻，不在同一排时不同列，则甲乙所有不同坐法的种数是（ ） A. 18 B. 24 C. 32 D. 36 【答案】D 【分析】用分类加法计数原理计算，分甲乙同排和甲乙不同排两类计算. 【详解】甲乙在同一排，要求不相邻：每排共4个座位，4个座位中相邻的座位共3组， 总选法种，相邻的排列种，所以一排满足条件的排列为种. 两排共种坐法. 甲乙不在同一排，要求不同列： 甲任选一排的一个座位，共种选法； 乙在另一排，不能和甲同列，因此有种选法. 总共有种坐法. 因此种. 故选：D. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）某职业高中的六个社团排练“风采展演”节目．安排出场顺序时，要求朗诵社团的节目排第一位，武术社团的节目不排第二位，剪纸社团的节目不排最后一位．则所有不同的排法种数是 (　　) A．72 B．78 C．84 D．108 【答案】B 【分析】先计算朗诵社团固定在第一位，剩余5个社团的排列总数，然后去除不符合条件的情形，即可得解． 【详解】朗诵社团固定在第一位，剩余5个社团的排列总数为种． 其中，武术社团在第二位的情况有种； 剪纸社团在最后一位的情况有种； 同时满足武术社团在第二位且剪纸社团在最后一位的情况有种． 所以不符合条件的总数为种， 因此符合条件的排列数为种． 故选：B． 3．（2024年山东省春季高考数学真题）某学校安排甲、乙等6名同学到三个社区开展服务活动，每个社区均安排2名同学，其中甲乙二人必须安排在同一社区，则不同的安排的方法的个数为 (　　) A．6 B．18 C．36 D．90 【答案】B 【分析】根据组合的优先考虑法和捆绑法易得答案. 【详解】先排甲乙二人，所以有种情况， 所以不同的安排的方法的个数为种. 故选：B. 4．（2023年山东省春季高考数学真题）某职业学校在“职教宣传周”期间，把2件教师作品和编号为1~5的5件学生作品摆成一排进行展览，若将教师作品摆放在两端，1号学生作品摆放在正中间，则所有不同摆放方法的种数是 (　　) A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】B 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】1号学生作品摆放在正中间，有1种摆法， 2件教师作品摆放在两端有种摆法， 剩下4件学生作品有种摆法， 由分步计数原理可知，共有种摆法. 故选：B. 5．（2022年山东省春季高考数学真题）有三张卡片，第一张卡片的正反两面分别写有数字1，3，第二张卡片的正反两面分别写有数字2，4，第三张卡片的正反两面分别写有数字5，7，现从这三张卡片中任取两张并排放在桌面上，两张卡片朝上一面的数字组合成一个两位数，则所有不同两位数的个数是 (　　) A．8 B．12 C．18 D．24 【答案】D 【分析】由排列数公式和分步计数原理计算即可. 【详解】从三张卡片中任取两张按顺序并排放在桌面上有种不同的放法， 排放在十位数上的卡片又有种不同的数字， 排放在个位数上的卡片也有种不同的数字， 由分步计数原理得所有不同两位数的个数为. 故选:D. 考点02 二项式定理 1．（2026年山东省春季高考数学真题）在的展开式中，已知第二项的二项式系数是7，则第三项是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据二项式定理求解即可. 【详解】展开式通项为. 已知第二项的二项式系数是，解得. 则第三项为. 故选：B. 2．（2025年山东省春季高考数学真题）已知的二项展开式中，二项式系数最大的项是 (　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项式系数的性质判断二项式系数最大的项并求解即可． 【详解】根据二项式系数的性质可知，的二项展开式中，二项式系数最大的项是第四项： ， 故选：A． 3．（2024年山东省春季高考数学真题）的展开式中，常数项为 (　　) A． B． C．20 D．160 【答案】B 【分析】写出二项式的展开式通项，即可求得常数项. 【详解】的展开式通项为， 取常数项时，，故. 故选：B. 4．（2023年山东省春季高考数学真题）在的二项展开式中，第4项的系数与第4项的二项式系数的和等于 (　　) A． B． C．75 D．255 【答案】A 【分析】根据二项式展开的通项公式即可求解. 【详解】由题意得，展开的第四项为 ， 则第4项的系数是， 第4项的二项式系数是， 则第4项的系数与第4项的二项式系数的和为． 故选：A. 5．（2022年山东省春季高考数学真题）在的二项展开式中，二项式系数最大的项是 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出的二项展开式的通项，再由二项式系数的性质判断二项式系数最大的项，再求解即可. 【详解】的二项展开式的通项为，共有项， 其中第项的二项式系数最大， 所以二项式系数最大的项是. 故选：B. 考点03 概率的求解 1．（2026年山东省春季高考数学真题）现将甲乙丙三人随机分到AB两个车间进行技能训练，每个人只能去一个车间，且每个车间至少要分一个人，则甲被分到A车间的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算． 【详解】所有可能的分配方式共有6种情形，如下表： A车间 甲乙 甲丙 乙丙 甲 乙 丙 B车间 丙 乙 甲 乙丙 甲丙 甲乙 其中，甲被分到A车间的情形有3种，如下表： A车间 甲乙 甲丙 甲 B车间 丙 乙 乙丙 所以甲被分到A车间的概率是， 故选：C． 2．（2025年山东省春季高考数学真题）甲乙各有三张只写一个数字的卡片，甲的卡片是2，4，6，乙的卡片是2，3，5，两人随机拿出一张比较大小，甲不小于乙的概率是 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】写出基本事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率. 【详解】甲乙两人随机拿出一张比较大小共有 种可能结果； 满足甲不小于乙的有种可能结果， 所以甲不小于乙的概率是. 故选：C. 3．（2025年山东省春季高考数学真题）已知随机变量的分布列 则实数的值是 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据随机变量分布列的概率和为求解即可. 【详解】由概率性质可得：，解得. 故选：B. 4．（2024年山东省春季高考数学真题）某学校甲、乙两名教师和3名学生站在一排照相，如果教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻），则至少有2名学生相邻的概率是 (　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据排列的间接法和插空法易得答案. 【详解】教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻）站在一排照相共有种， 教师甲位于教师乙的左边（可相邻，可不相邻）至少有2名学生相邻 站在一排照相共有种， 所以至少有2名学生相邻的概率. 故选：D. 5．（2023年山东省春季高考数学真题）某小区有三个快递投放点，小明在网上购买的甲、乙两种商品分别被快递员随机寄存到这三个投放点，则甲、乙两种商品都被寄存在投放点的概率是___________． 【答案】 【分析】根据古典概型的基本公式求概率即可. 【详解】甲乙两种商品被快递员随机寄存到三个快递投放点，共有个基本事件， 随机事件“甲、乙两种商品都被寄存在投放点”的基本事件个数为， 所以概率. 故答案为：. 6．（2022年山东省春季高考数学真题）某职业学校计划举行合唱、舞蹈、书画三项活动，若甲、乙两名同学每人从这三项活动中任选一项，则恰好都选择舞蹈的概率是 (　　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用古典概型的概率计算公式直接计算即可. 【详解】乙两名同学从这三项活动中任选一项,一共有种选法, 其中恰好都选择舞蹈的选法有种,所以恰好都选择舞蹈的概率是. 故选：B. 考点04 数字特征及其应用 1．（2026年山东省春季高考数学真题）已知离散型随机变量X的分布列，则随机变量X的均值（ ） X 1 2 3 4 P 0.2 0.25 0.3 0.25 A. 1.8 B. 2.0 C. 2.6 D. 4.8 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的均值公式计算. 【详解】由题意，. 故选：C. 2．（2026年山东省春季高考数学真题）从某学校学生体能测试的数据中随机抽取一个容量为200的样本，样本数据的极差是36，数据被分成12个等宽组，且分组的总范围等于极差，已知其中一组的频数是60，则该组数据频率与组距的比值是（ ） A. 0.1 B. 0.18 C. 0.2 D. 0.3 【答案】A 【分析】根据组距以及频率求解即可. 【详解】组距 = 极差÷组数 = ， 频率 = 频数÷样本容量 = . 所以该组数据频率与组距的比值. 故选：A. 3．（2024年山东省春季高考数学真题）一组数9，13，12，13，10平均数为，每个数都减，方差为_____ 【答案】人教版：，高教版：. 【分析】先求出这组数的，然后再减去，最后由这组新数求解平均数和方差即可. 【详解】， 所以每个数都减为， 所以这组数的平均数为， 解法一（针对人教版）： . 故答案为：2.64. 解法二（针对高教版）： . 故答案为：. 考点05 频率分布直方图及其应用 1．（2023年山东省春季高考数学真题）某企业生产一批内径为25.40 mm的钢管，内径尺寸等级根据其样本在范围内的频率P划分，规定：为优，为良，为合格，为不合格．若样本频率分布直方图如图所示，则这批钢管的内径尺寸等级是 (　　) A．优 B．良 C．合格 D．不合格 【答案】B 【分析】根据样本频率分布直方图，计算样本在范围内的频率即可判断. 【详解】由样本频率分布直方图可知，样本在范围内的频率为 ， 所以这批钢管的内径尺寸等级是良． 故选：B. 考点06 抽样方法及其应用 1．（2025年山东省春季高考数学真题）工厂对自己的产品进行抽样检查，产品编号为，用系统抽样法抽个样品，若从第个号码段中随机抽取的样本编号是，则第个号码段中抽取的样本编号是___________． 【答案】 【分析】先计算出系统抽样的分段间隔， 【详解】∵共个产品，抽取个样品， ∴分段间隔为， ∵第个号码段中随机抽取的样本编号是017， ∴第个号码段中抽取的样本编号是. 故答案为：. 2．（2022年山东省春季高考数学真题）某企业操作岗位、技术岗位和管理岗位的人数分别是，为了解该企业不同岗位员工的健康状况，采用分层抽样的方法，从这三个岗位的所有员工中随机抽取人进行体检，则抽取操作岗位的人数是___________. 【答案】 【分析】由分层抽样的方法进行计算即可. 【详解】某企业操作岗位、技术岗位和管理岗位的人数分别是， 现采用分层抽样的方法，从这三个岗位的所有员工中随机抽取300人进行体检， 则抽取操作岗位的人数是人. 故答案为：. 考点07 新定义-除余问题 1．（2024年山东省春季高考数学真题）如果除以（）所得的余数相同，则称整数关于模同余，记作，若，则可能的取值是 (　　) A．2 B．11 C．22 D．31 【答案】B 【分析】根据差的结果的约数特点易得答案. 【详解】因为，所以， 所以为的约数，又， 所以或. 故选：B. 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