精品解析：吉林长春市实验中学2026届高考仿真模拟数学试题

长春市实验中学 高三年级高考仿真模拟数学试题 分值：150分 时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. -1 D. 3. 已知抛物线经过点，则其焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 已知各项均为正数的等比数列，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆C：，D是圆C上的动点，点，若动点M满足，则点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 8. 函数的定义域为，对任意，，则的解集为 A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为 10. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，的面积是1，则（ ） A. B. C. D. 是等腰三角形 11. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（ ）. A. B. 主持人打开3号箱的概率 C. 若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D. 若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________. 13. 设，若，则_____. 14. 已知双曲线，、分别为左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点，若，则该双曲线的离心率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； （3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 18. 已知和为椭圆：上两点. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 19. 已知函数，且曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值. （2）当时，证明：当时，. （3）当时，若存在，使得成立，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市实验中学 高三年级高考仿真模拟数学试题 分值：150分 时间：120分钟 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，若，则（ ）． A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2. 复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. -1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简复数即得解. 【详解】解：， 所以复数的虚部为. 故选：C 3. 已知抛物线经过点，则其焦点到准线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】因为抛物线过点，所以，即. 所以其焦点到准线的距离为. 4. 已知各项均为正数的等比数列，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质和对数的运算性质得到所求的值． 【详解】， ， 故选：C. 5. 已知向量，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先求得，然后求得. 【详解】因为，所以. 故选：D 6. 设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：B. 7. 已知圆C：，D是圆C上的动点，点，若动点M满足，则点M的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，，根据得到，将其代入圆C方程，即得点的轨迹方程. 【详解】设，， 因，则， 由，可得， 即，故（*）， 因D是圆C上的动点，故， 将（*）代入上式，可得， 整理得，即为点M的轨迹方程. 故选：B 8. 函数的定义域为，对任意，，则的解集为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 构建新函数，利用导数讨论其单调性，从而可解不等式，该不等式的解集就是原不等式的解集. 【详解】令，则， 所以为上的增函数，又， 故的解是的解，所以的解为. 故等价于即，所求解集为，故选B. 【点睛】解函数不等式，通常需要构建新函数并利用新函数的单调性来求不等式的解，而新函数的单调性可用复合函数的单调性的判断法则或导数的正负来判断. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正方体，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面ABCD所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可. 【详解】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角， 因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确； 连接，因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 又平面，所以，故B正确； 连接，设，连接， 因为平面，平面，则， 因为，，所以平面， 所以为直线与平面所成的角， 设正方体棱长为，则，，， 所以，直线与平面所成的角为，故C错误； 因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确. 故选：ABD 10. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，的面积是1，则（ ） A. B. C. D. 是等腰三角形 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦定理求得，可判定A错误，B正确；再由三角形的面积公式，求得，结合余弦定理求得，可判定C正确，D正确. 【详解】因为，由正弦定理得，所以， 又因为，可得， 因为，所以，故A错误，B正确； 又因为的面积是，可得，可得， 因为，即，可得， 由余弦定理得， 所以，且，故C正确，D正确. 11. 在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用表示号箱有奖品，用表示主持人打开号箱子，下列结论正确的是（ ）. A. B. 主持人打开3号箱的概率 C. 若，且甲更改选择，则他获奖的概率为 D. 若，甲改选2号箱比改选4号箱的中奖概率更大 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故，故A错误； 对于B，奖品在号箱里，主持人可打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 奖品在号箱里，主持人打开号箱的概率为，故， 奖品在号箱里，主持人只能打开号箱，故， 由全概率公式可得：，故B正确； 对于C、D， （1）若甲不更改选择时，由贝叶斯公式计算 . 从而. （2）当甲更改选择时 ①若甲改选号箱，甲中奖的概率为， ②若甲改选号箱，甲中奖的概率为， 因此甲更改选择，获奖的概率为，故C正确； 而，即甲改选号箱与改选号箱的中奖概率一样，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为________. 【答案】 【解析】 【详解】的展开式的通项公式为， 令，故的系数为. 13. 设，若，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由得到，由，利用二倍角的正弦公式得到，求出，即可得到的值. 【详解】，，， ，， ， ，， 故答案为：. 14. 已知双曲线，、分别为左、右焦点，过且倾斜角为的直线与在第一象限的交点为，的平分线与线段交于点，若，则该双曲线的离心率为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用角平分线定理得出，结合双曲线的定义得出，然后在中利用余弦定理可得出关于、的等式，即可求出该双曲线离心率的值. 【详解】因为直线的倾斜角为，由角平分线性质定理可知， 所以， 由双曲线的定义可知，所以， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得， 两边同除以可得，解得或（舍去）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件列方程求出等差数列的首项与公差，根据等差数列定义写出通项公式； （2）通过裂项相消的方法化简的表达式，并证明不等式. 【小问1详解】 在等差数列中，，则. 又，所以该等差数列公差.故. 所以， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为，所以， 则 化简得. 因为，所以，故. 16. 如图，在直三棱柱中，，，，，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证得，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 证明：如图所示，连接， 因为，且四边形为矩形，所以， 又因为，所以， 因为平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 解：因为两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示空间直角坐标系， 可得，，，，，， 则，，． 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 某市为增强高中学生的数学建模能力，组织了一次“数学建模竞赛”活动.本次竞赛活动满分为分，得分不低于分为优秀.为了解本次活动学生的得分情况，现从参加活动的所有同学中随机抽取了名学生的分数组成样本，并按分数分成以下6组：，统计结果如图所示. （1）求该样本中学生分数为优秀的人数； （2）从该样本分数不低于分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取人进行座谈，若从座谈名单中随机抽取3人进行个案研究，记分数在的人数为，求的分布列和均值； （3）根据频率分布直方图，以频率估计概率，现从该市所有参加活动的学生中随机抽取人，这名学生的分数相互独立.记分数为优秀的人数为，当最大时，求的值. 【答案】（1） （2）分布列 0 1 2 ， （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据频率和样本容量计算可得； （2）由随机变量服从超几何分布，根据超几分布计算可得； （3）随机变量服从二项分布，再根据概率的增减性判断可得. 【小问1详解】 该样本中学生分数为优秀的频率 故优秀的人数为人; 【小问2详解】 从样本中得分不低于70分的学生中，用比例分配的分层随机抽样的方法选取11人进行座谈， 其中分数在的人数为. 若从座谈名单中随机抽取3人，则的所有可能取值为. 则的分布列为： 0 1 2 所以. 【小问3详解】 由题意知，，则，. 令， 当，解得. 因为，所以时，， 当时，，所以当时，最大. 18. 已知和为椭圆：上两点. （1）求椭圆的离心率； （2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）. （i）若的面积为，求直线的方程； （ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定的点A和B在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率； （2）（i）借助韦达定理和面积公式计算即可；（ii）可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即可. 【小问1详解】 由可知，求出， 代入，得，， 则，， 可知椭圆的离心率为. 【小问2详解】 （i）由（1）可知椭圆的方程为， 设，，过点的直线为， 与联立得：.恒成立. 所以， 得，所以，直线的方程为：. （ii）由（i）可知， 直线的方程为，令，得 直线的方程为，令，得， 记以为直径的圆与轴交于，两点， 由圆的弦长公式可知， 所以，为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 19. 已知函数，且曲线在点处的切线方程为. （1）求实数的值. （2）当时，证明：当时，. （3）当时，若存在，使得成立，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求导函数，由切线斜率可得的值，从而得实数的值； （2）求导函数，从而得函数的单调性与最值，即可证得结论； （3）结合函数在时的单调性将等式转换为不等式，则，设，求导确定单调性即可证得结论. 【小问1详解】 . 曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 当时，， 在上恒成立， 在上单调递增， 当时，. 【小问3详解】 当时，， 当时，存在成立， ， 得. 由（2）可知，当时，单调递增， ，即， ， 设， 则， 当时，，则， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $