湖北武汉市江夏区2026年中考一模考试数学试题

**基本信息** 以米兰冬奥会、春耕备耕、洒水车浇水等现实情境为载体，融合几何直观、数据意识与模型观念，全面检测九年级数学核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|图形性质、概率、科学记数法|结合冬奥会项目考查概率计算，光的折射情境融合平行线性质| |填空题|6/18|反比例函数、分式方程、解直角三角形|人脸扫描仪情境应用锐角三角函数，矩形动态问题考查等腰三角形性质| |解答题|8/72|二次函数应用、圆的切线证明、统计分析|洒水车抛物线问题综合函数建模与实际浇灌范围计算，正方形动点探究考查推理能力与几何变换|

九年级数学试题 （时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列图形既是轴对称又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．下列事件中，是必然事件的是（ ） A．任意画一个三角形，其内角和是 B．射击运动员射击一次，命中靶心 C．掷一枚骰子，向上一面的点数是 D．购买一张彩票，中奖 3．个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ） A． B． C． D． 4．年某市春耕备耕工作已全面展开．今年该市将完成粮食作物播种面积万亩以上、产量亿斤的目标任务，其中亿用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 5．下列计算错误的是（ ） A． B． C． D． 6．光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是光的折射现象．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，点为光线延长线上的一点．若，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 7．随着米兰冬奥会圣火缓缓熄灭，中国体育代表团创下冬奥会境外参赛历史最好成绩．明明和亮亮准备分别从短道速滑、花样滑冰、速度滑冰和单板滑雪四个项目中随机选择一个观看决赛回放，则他们选择同一个项目的概率为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在物理力学探究实验中，某同学将一个实心长方体金属块通过细线与力传感器相连，保持竖直方向将其缓慢浸入水中．传感器示数（单位：）反映金属块对细线的拉力，与金属块没入水中的深度（单位：）的变化关系如图所示，当金属块完全浸没后，传感器示数不再随没入深度的变化而变化（提示：当长方体金属块浸入水中时，）．当时，下列结论正确的是（ ） A．该长方体金属块的重力是 B．该长方体金属块的高度是 C．传感器示数随着长方体金属块浸入水中的深度的增大而减小 D．当长方体金属块浸入水中的深度时，传感器示数为 9．如图，已知内接于，，交弧于点，过点作，垂足为．若，．则的长度为（ ） A． B． C． D． 10．已知直线上横、纵坐标都是整数的点的个数是（ ） A．个 B．个 C．不少于个但有限个 D．无数个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．如果向北走米记作米，那么向南走米应记为________米． 12．反比例函数的图象分别位于第一、第三象限，写出一个满足条件的的值是________． 13．如果关于的分式方程无解，那么实数的值为________． 14．某公司需要员工上班时通过门禁，在门禁上方设置了人脸扫描仪，已知扫描仪（线段）的竖直高度米，某人（线段）身高为米，扫描仪测得，那么该人与扫描仪的水平距离为________米．（结果精确到，参考数据：，，） 15．如图，在矩形中，，点是的中点，点在上，，点、在线段上．若是等腰三角形且底角与相等，则________． 16．二次函数的图象如图所示，顶点为，下列结论：①；②；③关于的方程（为常数）有实数根；④若一元二次方程两根为，，则，．其中正确的是________． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．解不等式组： 18．如图，是的对角线，于点，于点． （1）求证：； （2）连接，，添加一个条件，使四边形为菱形．（不需要证明） 19．为了倡导“全民阅读”，某校为调查了解学生家庭藏书情况，随机抽取本校部分学生进行调查，并绘制成统计图表如下： 类别 家庭藏书（本） 学生人数 根据以上信息，解答下列问题： （1）共抽样调查了________名学生，________； （2）在扇形统计图中，“”对应扇形的圆心角为________°； （3）若该校有名学生，请估计全校学生中家庭藏书超过本的人数． 20．如图，内接于，是的直径，是的中点，连接与交于点， 延长至点，连接，使得． （1）求证：是的切线； （2）当，时，求的半径． 21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫作格点．已知点，，在格点上，仅用无刻度直尺在给定网格中完成如下两个问题，每个问题的画线不得超过四条． （1）如图，先画点，使得点绕点逆时针旋转得到点；连、，直线交于点，再在上找一点，使； （2）如图，为上一点，先将线段沿方向平移的线段（点与点对应，点与点对应），再画出线段的中点． 22．如图，一辆洒水车正在沿着公路行驶（平行于绿化带），为绿化带浇水．如图，选取合适的原点，建立直角坐标系，使得洒水车的喷水口点在轴上，喷水口离地竖直高度为，把绿化带横截面抽象为矩形，其中，点在轴上，测得其水平宽度，竖直高度．那么，洒水车与绿化带之间的距离就可以用线段的长来表示． 信息：把洒水车喷出的水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，分别为，，上边缘抛物线的最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口． 信息：下边缘抛物线可以看作由上边缘抛物线向左平移得到，其开口方向与大小不变． 问题解决 （1）求上边缘抛物线的函数解析式，并求洒水车喷出水的最大射程． （2）求出下边缘抛物线与轴的正半轴交点的坐标． （3）要使洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带（矩形），求出的取值范围． 23．（1）如图，在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接，过点作，，分别交直线于点、．求证：； （2）将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，若，， ①如图，求的值； ②如图，连接，若，直接写出的长． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于，两点， 与轴交于点． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）当时，直线与轴交于点，与直线交于点．若抛物线与线段有公共点，直接写出的取值范围； （3）当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026江夏、蔡甸、黄陂、新洲区九（下）五月月考数学试卷答案 题号1 2 4 5 6 9 10 答案 D A A D C B B D D A 二、填空题（每小题3分，共18分） 11.38 12.1 (答案不唯一，k>0即可)： 13.6 14.12: 15.12或9 (答对一个得两分： 16.②③④ (答案中出现①不得分，选项②③④出现一个得1分，出现两个得2分，出现三个得3分) 三、填空题（共有8小题，共72分） 17.(本题8分)解：解不等式①，得x>-2…3分 解不等式②，得x≤1……6分（不带等号扣1分） .不等式组的解集为-2x≤1.…8分（不带等号扣1分） 18.(本题8分)(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD=BC,AD∥BC,… …1分 ∴.∠ADE=∠CBF, …2分 AE⊥BD,CF⊥BD, .∴.∠AED=∠CFB=90°，… …3分 在△ADE和△CBF中， I∠AED=∠CFB ∠ADE=∠CBF △ADE2△CBF(AAS),…4分 AD=BC DE=BF,… …5分 (2)∠ABC=90°或AC=BD ·8分 19.(本题8分)(1)200,64：…4分（每个2分） (2)126: …6分 (3)(50+70)÷2000 200 1200(人)，… …7分 答：估计全校学生中家庭藏书超过60本的人数为1200人.… 20.(本题8分)(1)证明：：AB是⊙0的直径， ·∠BCA=90°， ∠B+∠CAB=90°，1分 ~E是BC的中点， ·∠EAB=∠CAE,即∠CAB=2∠EAB, :∠D=2∠EAB, ∠D=∠CAB,… …2分 ÷∠B+∠CAB=90°， ·∠B+∠D=90°， ∠BAD=90°，即BA⊥AD,…3分 ·AB是⊙O的直径， AD是⊙O的切线： …4分 (2)解：在RIAABD中，∠BAD=90,SinD=4B_4 BD 5' 设AB=4k,则BD=5k,AD=V5k)}-(4k=3k,DC=2款 ∠B+∠CAB=90°，∠DAC+∠CAB=90°， ÷∠B=∠DAC, '∠CFA=∠B+∠FAB,∠DAF=∠DAC+∠CAF,∠FAB=∠CAF, ·∠CFA=∠DAF, .DF=AD=3k,CF=DF-DC=k, …6分 CF=6, k=5, AB=4k=20,… ……7分 .⊙0的半径为10. ....0八 21.(本题8分)每个画图任务4分 G B (2)法2) 22.(本题10分)(1)解：由题意得：A(3,3),H(0,2.5), ,A(3,3)是上边缘抛物线的顶点， 设y1=a(x-3)2+3, 又抛物线过点H(0,2.5), .∴.2.5=9a+3 a=-前 上边缘抛物线的函数解析式为n=一品(-3)2+3： 3分 令片=0，则0=-8(x-3)243, 解得x=3+3V6或x=3-3V6(舍去)， .洒水车喷出水的最大射程OC为3+3√6m:…4分 (2)解：乃的对称轴为直线x=3, ∴点(0,2.5)的对称点为(6,2.5)， 平移后y2仍过点(0,2.5)， ∴.y2是由y向左平移6m得到的， :C(3+3V6,0),点B是由点C向左平移6m得到的， 点B的坐标为(3√6-3,0)；… 一八 (3)解：由题意可得，当点D与点B重合时，OD最小， 点B的坐标为(3V6-3,0), 0B=3V6-3, ÷OD的最小值为3V6-3, ....S. …8分 当点F在抛物线y上时，OE最大，OD也最大 .'EF=0.3m, .点F的纵坐标为0.3， 当-高6x-3)2+3=0.3时，解得x=3+号压或x=3号V压（舍去）， :0E的最大值为3+号V压， 0D的最大值为3+V15-4=?V5-1, …9分 0D的取值范围为：3V6-3≤0D≤V5-1…10分 23.(本题10分)(1)证明：：四边形ABCD是正方形， ·.∠ABC=90°，∠ABE=∠GBE=45°， :EF⊥AE,EG⊥BD, .∠AEF=∠BEG=90°， ∴.∠AEF-∠BEF=∠BEG-∠BEF,∠G=90°-∠EBG=45°， ∴∠AEB=∠FEG,∠ABE=∠EBG=∠G, ∴.BE=EG, 在△ABE和△FGE中， ∠AEB=∠FEG BE=GE ∠ABE=∠G △ABE2aFGE(ASA):…3分 (2)解：①，四边形ABCD是矩形， ∴.CD=AB,∠C=90°， 由(1)得，∠AEB=∠FEG, .∠ABC=∠AEF=90°， ∴.∠BAE+∠BFE=180°， .∠BFE+∠EFG=180°， ∴.∠EFG=∠BAE, ∴.△ABE∽AFGE, EF EG AE BE …4分 ∠BEG=∠BCD=90°，∠CBD=∠CBD, .∴.△BEG∽ABCD, EG BE CD BC 6== BE BC =5 EF=EG 2 ;…7分 AE BE 5 时 …10分 24.(本题12分)(1)解：y=x2-4x=(x-2)2-4 …抛物线y=x2-4x的顶点坐标为（2，一4)：…3分 (2)解：当=3时，则：y=3x-6, 令x=0,则y=-6,令烂4，则=6， D(0,-6),E(4,6), y=(x-h)2-4, 顶点在直线y=一4上移动， y=(x-h)2-4与线段DE有公共点， 联，。4，整强，得：子-2+++2=0 A=(2h+3)2-4(h2+2)=0,即：h=- …5分 此时抛物线为y=(x+)2-4与直线y=3x-6的交点横坐标为是 121 因此交点在线段 DE上，满足题意， 将y=(x-)2-4从h仁-立开始向右移动，直至抛物线与线段DE只有一个交点为E(2,) 时，y=(x-h)2-4与线段DE均有公共点， ∴当y=(x-h)2-4过点E(4,6)时，(4-h)2-4=6, 解得：h=4-10或h=4+√10，… 当-立≤h≤4+V0时，抛物线y=(x-h)2-4与线段DE有公共点： …7分 (3)结论：存在： y =kx-2k, …当y=0时，x=2, C(2,0) :抛物线的对称轴为直线x=2, ∴点C在抛物线的对称轴上， 设抛物线和直线AB交点A(xA,kxA-2k),B(xB,kxB一2k), 联立抛物线和直线AB解析式得=：一2 ly=x2-4x'" 整理，得：x2-(4+k)x+2k=0, :xA+xB=4+k,xAxB =2k, 假设存在点T,使得TC总是平分∠ATB,则T一定在AB下方，过点B作BH⊥CT,过点A 作AG⊥CT, ~TC平分∠ATB, ·∠ATG=∠BTH, .tan∠ATG=tan∠BTH, BH AG ………8分 TH TG 设T(2,t),则：BH2-xB,TH=kxB-2k-t, AG=xA-2,TG=kxA-2k-t, 2-XB =A-2 “Kxg-2k-t=kxA-2k-元 …………9分 整理得：-2 kXAXB+4k(xA+xB)-8k+t(xA+xB)-4t=0, -4k2+4k(4+k)-8k+t(4+k)-4t=0, (8+t)k=0, 当t=-8时，等式一定成立， 抛物线的对称轴上存在T(2,-8),使得TC总是平分∠ATB