数学（五）-【真题密卷】2026年高考数学考前冲顶实战演练

2026 考前冲顶实战演练（五） 参考答案及解析 2025一2026学年度考前冲顶实战演练 数学（五） 一、选择题 1 1 1+i ×4+-xr 1.D【解析】因为之=1一币=1-i=(1-i)(1+iD CA 741cx 2 7,当且仅当4C41= 分+分，所以+=号+多故十 1 - C即C=2时，等号成立， 6.C【解析】S=C825512025-C325512o24+C325X 2.B【解折】ymGo,十eom+号-(n+）· n 512023-C302551202+…+C3851 (债小-o+m+）≥o+m高） =C9025512625-C525512624+C号25512023-C22g ×51202+…+C8251-C号851°+1 =4,当且仅当mn=9, =(51-1)2025+1=502025+1=(49+1)2025+1 ’且1十n=4,即m=1 m =C9025492025+C2025492024十C号025492023+C3025X 以=3时，等号成立，所以加十号的最小值为4 49222+…十C38349+C号849°+1 =(C8o25492025+C2025492024+C325492023+C3025X 3.A【解析】设等比数列{an〉的首项为a1,公比为 492022+…+C号849)十2， q.由于S10=S5+a6十a?+ag+ag+a10=S5+ 所以S除以7的余数为2. a1q5+a2q5+a3q5+a4q5+a5q5=S,+g5S6=(1 十8，片以-1十-说所以g=品解释 7.C【解析】由于D2,1),则ao= 2,又0D1 S5 AB,所以飞AB=-2,则直线AB的方程：y-1= g-日*名-g-哈- -2(x-2),即y=-2x十5，设A(x1y1), 4.D【解析】f(x)=(x3-2x)x的定义域为R, B,联立=2，消得+y y=-2x+5, 且f(-x)=[(-x)3-2(-x)]|-x|=-(x3 5p=0,故y1y2=-5p.又因为OA⊥OB,则OA -2x)x|=一∫(x),所以f(x)为奇函数，故排 除C; 0-,路行5动 当x>0时，f(x)=(x3-2x)x=x4-2x2,则f'(x) 5 =4x3-4x=4x(x+1)(x-1),故当x∈(0,1) 乓0，解得力=，.故抛物线y2二)x的准线方程 时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x∈(1，+∞) 时，∫'(x)>0,f(x)单调递增，故排除A; 由∫(2)=8>0，故排除B. 5.C【解折】设C京-C+G元-卧C正+台C成 8.B【解折】f)=sin:受+ 2 sin、v3 2 √3 1 (入∈R),因为A,F,D三点共线，B,F,E三，点 22sina、 >(1-cos w七2sinx-3l 2 cos w 4 a+μ=1， =sin(ox-）w>0),当xe(,2x)时，az-3 类线所以管+背-1 解得 所以C京= 3 = 7 ∈(x-3,2wx- ），因为f)在区间(，2) +防-+成，则： 1 7 内没有零点，所以2π一π≤ 2π、.1 0X2即0<w≤1，且 -X 数学答案（五） 第1页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 6ar-背<2ax-百≤+1Dxo>0k∈D, =12-4a=0,解得a=3,此时f'(x)=3x2+6x =3x(x十2)，令f'(x)=0,解得x=0或x=-2. 解得及+写<名+号o>0,eZD, k,2 当x<-2时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当一2 <x<0时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当x>0 +日+ 时，f'(x)>0,f(x)单调递增，所以x=一2是f(x) k+20, 2 的极大值点，而不是极小值点，故A错误； 令2+3 解得-3<≤3k乙 对于B,f(-1)=(-1)3+a·(-1)2+1=a,则 点，fP)中1，)若点(1，号)为自线y 所以k=一1或k=0. =f(x)的对称中心，则有f(1十x)十f(1-x) 1 1 -2 当k=-1时，0<w≤6；当k=0时，3≤w≤3 3,即(1+x)3+a(1+x)2+1+(1-x)3+ 2 涂上。的取值花同，U[侣引 a1-x)+1-号整理得4+2a)+(6+2a)x 二、选择题 6+2a=0, 9.BD【解析】对于A,CRB={x|x≠5且x≠2)， 2a ,则 3 2a解得a=一3，所以存在a 故A错误； 4+2a= 3” 对于B,当t=4时，A={4},B={2,5},AUB= (2,4,5},故B正确； =-8使得a,)为南战y=f)的对 对于C,当t≠4时，t可以为2或5，此时A∩B≠ 称中心，故B正确； ⑦，故C错误； 对于C,设切点坐标为(xo,x8十ax十1)，则切线 对于D,当t≠4时，A={4,t},B={2,5},又t≠ 斜率k=f'(xo)=3x十2ax0,可得切线方程为 2,t≠5，所以AUB={2,4,5,t},故D正确. y-(x8十ax6+1)=(3x6+2axo)(x-xo),因为 10.ACD【解析】对于A,因为AC⊥BD,AC⊥ 切线过点(0,0)，将其代入切线方程得一(x8十 DD1,DD1∩BD=D,DD1,BDC平面BDD1B1, ax6十1)=(3x8十2axo)(-xo),整理得2x8+ 所以AC⊥平面BDD1B1,又B1DC平面BDD1B1, ax6-1=0,令函数g(x)=2x3+a.x2-1,得g'(x) 所以AC⊥B1D,故A正确； =6.x2十2ax=2x(3x十a),令g'(x)=0,解得x 对于B,因为BC∥B1C1∥A1D1,且BC=B1C1 =A1D1,所以四边形BCD1A1为平行四边形， =0成=一日当a>2时，号<-号所以当 故CD1∥BA1,又CD1寸平面A1BD,BA,C平 <-号时，g)>0,g)单调递增：当-号 面A1BD,所以CD1∥平面A1BD,故B错误； 对于C,由B知，CD1∥BA1,所以CD1与BD所 <x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减；当x>0 成的角即为∠DBA1或其补角，易得△DBA1为 时，g'(x)>0,g(x)单调递增.当2<a<3时， 等边三角形，所以∠DBA1=60°，故CD1与BD g(）=2(g)°+a(g）-1- 所成的角为60°，故C正确； 1<0,g(0)=-1<0,且当x→十∞时，g(x)→ 对于D,因为ABCD-A1B1C1D1为正方体，所以 十∞；当x→-∞时，g(x)→-∞，故g(x)有一 B1D1⊥A1C1,因为AA1⊥平面A1B1CD1, 个零点，即过点(0,0)只能作曲线y=f(x)的一 B1D1C平面A1B1C1D1,所以AA1⊥B1D1,又 条切线，故C错误； AA1∩A1C1=A1,AA1,A1C1C平面ACC1A1, 所以B:D1⊥平面ACC1A1,又因为B1D1C平面 对于D,若a≤3，则Vx∈0，十∞)，有f)≤ AB1D1,所以平面ACC1A1⊥平面AB1D1,故D 正确 (x+1),等价于Vx∈0，+oo),x+a+1≤ 11.BD【解析】对于A,由题意得，f'(x)=3x2+ (x+1)2,即(x十1)2e-x3-ax2-1≥0.令函数 2ax,若x=一2是f(x)的极小值点，则f'(-2) p(x)=(x+1)2e-x3-ax2-1,x∈[0，+∞)， 数学答案（五）第2页（共6页） 2026 考前冲顶实战演练（五） 则只需p(x)≥0在[0，十∞)上恒成立.p'(x)= √3e1,即a=√3m时等号成立，故两条曲线的离 (x2+4x十3)e-3x2-2ax,令函数p(x)=(x2 +4x+3)e-3x2-2ax,则p(x)=(x2+6x+ 心率之积的最小值为： 7)e-6x-2a,令函数q(x)=(x2+6x+7)e 由a=√3m,得3m2十3m2=4(m2十n2),整理得 6x-2a,则q'(x)=(x2+8.x+13)e-6. 因为x∈[0，+∞)，ex≥1，x2+8x十13≥13，所 m=2m,长册-号，所以双南线的新近线方症 以g'(x)=(x2+8x+13)e-6≥13-6=7>0， 故q(x)在[0，十∞)上单调递增，即p'(x)在[0， 为x土√2y=0. 十∞)上单调递增，因为a≤3，所以p'(x)≥ 四、解答题 p'(0)=7-2a>0,所以p(x)在[0，+∞)上单调 15.解：(1)由等差数列性质可知a4十a10=a6十a8, 递增，即p'(x)在[0，十∞)上单调递增，则p'(x) 又a4+a10=ag十14，所以a6=14, ≥p(0)=3>0,所以p(x)在[0，十∞)上单调 所以公差d=。二82=14一2-3， 递增， 6-24 所以9(x)≥p(0)=0在[0，十∞)上恒成立，即 故am=a2+(n-2)d=2+3(n-2)=3n-4. f(x）≤(z十1)2在[0，十∞)上恒成立，故D正确. (4分) 3n一4，n为奇数， 三、填空题 (2)由题意得bn= 1-3n,n为偶数， 12.1【解析】in(e+)-号(sna十oso)=厄· 注意到b2m-1+b2a=3(2n-1)-4+1-6n=-6, sina,故sina=cosa,解得tana=l. 放当n为偶数时，S,=2·(一6)=-3m;(8分) 13.12【解析】由题意知，先将2名英语教师分到两 当n为奇数时，Sn=Sm+1一bm+1 个校区，有2种方法；第二步将3名数学老师分 =-3(n+1)-[1-3(n+1)]=-1. (12分) 成2组，一组1人，另一组2人，有C号C=3种方 -3n,n为偶数， 法，然后再分到两个校区，共有3A虽=6种方法； 综上，Sn= (13分) -1,n为奇数. 第三步只需将另外1名教师分到人数少的校区. 16.(1)证明：如图1所示，连接A1B交B1E于点G, 根据分步乘法计数原理知不同的分配方案共有2 连接FG, ×6=12种. 14.3,x士2y=0【解析)设椭圆与双曲线的交 点P位于第一象限(PF>|PF2),椭圆和 双曲线的离心率分别为e1和e2,椭圆焦距为2c, 又椭圆长轴为2a,双曲线实轴长为2m,虚轴长 图1 为2n, 因为A1B1∥AB,所以△A1B1G∽△BEG,又 |PF1|-|PF2|=2m, 由椭圆和双曲线定义可知 A1B1=BE,故△A1B1G≌△BEG, PF+PF2|=2a, 解得PF1=a十m,PF2=a-m.因为 故A1G=BG,又BF=FC,故A1C∥GF, 又GFC平面B1EF,A,C中平面B1EF, ∠P,PF:=行，所以在△F,PF,中，由余弦定理 故A1C∥平面B1EF. (5分) 可得|PF12+|PF22-|PF1|PF2|=4c2, (2)解：延长AA1,BB1,CC1,DD1交于点P,则 即(a+m)2+(a-m)2-(a+m)(a-m)=4c2, P-ABCD为正四棱锥，连接AC,BD交于点O, 整理得a2十3m2=4c2, 则AC⊥BD,且PO⊥底面ABCD,则PD与底 .1,3 c2+ 面ABCD所成的角为∠PD0,即∠PD0=牙， 理释位日·故≥号当温收室： 以O为坐标原点，OB,OA,OP所在直线分别为 x,y,之轴，建立如图2所示的空间直角坐标系， 数学答案（五）第3页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 p(=0)=(1-10)×0-2)×(-）-128 P=1)=18×(1-2)×1-)+(-1)× 2×-)+0)×-)×-38 P=2)1号x名×1-》+8x1-》× 图2 设点H为点D,在底面ABCD内的投影，结合 已知以及正四棱台的几何性质知，DH=D1H= 2,故B1(2,0,2),E(2,2,0),F(2,-2,0),C1(0, P(传=3)= (13分) -2,2), 故5的分布列为 则EF=(0,-4,0),EC=(-2,-4,2),FB1= 0 1 2 3 (0,2,2). (8分) 5 31 59 33 设平面EFC1的法向量为n=(x,y,之)， 128 128 128 128 则n时=0即 -4y=0, 令x=1, 数学期望为E()=0×128 59 +1× 31 128 +2× n·EC=0,-2x-4y+2z=0, 128 则y=0,之=1，故平面EFC1的一个法向量为n 3324831 =(1,0,1). (10分) 3×128-12816 (15分) 2a=4, 记0为直线FB1与平面EFC1所成的角， 解得 a=2, 则sing=1n·PB1 18.解：(1)由题意得3,1 2 1 后+4=1， 6=1, |n|IFB1l√1+1X√4+42 则C的方程为+y2=1 (2分) 故直线FB1与平面EFC,所成角的正弦值为2： (2)设A(x1,y1),B(x2y2), (15分) ①当直线OA的斜率存在，且不为0时，设直线 17.解：(1)老张通过两个环节的概率为P(a)= OA的方程为y=k1x, a(g-a-+3-(a-+器 联立 y=kix, 得x号=4k+1' 4 x2+4y2=4, (2分) 4k2 因为一-<0,所以当a= 6时，P(a)取 5 则yi=4k+1' 因为OA·OB=0,所以OA⊥OB, 得最大值6 5 则直线0地的力程为y=子 5 即当a一6时，老张通过两个环节的概率最大. 4k2 4 (6分) 同理可得x一十4则)好好十4 3 1 1 1 1 (2)当α一4时，老张进人流片与测试环节的概率 故OA+OB一十+ 4k+1,k+45k7+55 4经+44k?十44k+44 5、31 小李进入的概率为后×亏一2， 当直线OA,OB中一条直线的斜率不存在时，另 1 11 ,76_3 一条直线的斜率为0，此时OA十1OB-。 小军进人的概率为8X74 (9分) 11 5 的可能取值为0,1,2,3， +6=4+1=4: 数学答案（五） 第4页（共6页） 2026 考前冲顶实战演练（五） 15 19.(1)解：由题意得f'(x)=1+lnx, 综上1OA+1OB=4 (7分) 所以f(1)=1,又f(1)=0, ②联立 y=bx十t, 则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 x2+4y2=4, y=x-1,即x-y-1=0. (2分) 得(4k2+1)x2+8ktx+4t2-4=0, (2)解：f(x+1)+asin x>0, 则△=(8kt)2-4(4k2+1)(4t2-4) (x+1)In(x+1)+asin x>0, =16(4k2-t2+1)>0,即4k2+1>t2, 设g(x)=(x+1)ln(x+1)十asin x,x∈(0，π)， 8kt 4t2-4 则x1十x2= 4k2+1x1x2=462+i 则g'(x)=1十ln(x+1)+acos x, 令h(x)=g'(x)=1+ln(x+l)+acos z,x∈ 所以xn=十4= 2 4k241'yD=kxD+t (0,π)， 1 t =4k2+1' 则h'(x)=z十1 asin, Akt 且g(0)=0,g'(0)=1+a. (4分) 即点D的坐标为4+'十》， t (i)当a≥0，x∈(0，x)时，显然在g(x)中 所以|OD 4kt 2 t (x+1)ln(x+1)>0,sinx>0,故g(x)>0恒 4k2+1∥ 4k2+1 成立； (5分) -1V/1632+1 )当-1≤a<0,x∈0，)时，k)=行 4k2+1 (11分) 1 一asin x>0恒成立，则g'(x)单调递增， 且直线OD的方程为y=一42. 故g'(x)>g'(0)=1+a≥0， 1 则g(x)在(0，π)上单调递增，g(x)>g(0)=0, y=- 联立 2,得x=16 4k2+1’ 所以g(x)>0恒成立； (7分) x2+4y2=4, 1 (m)当a<-1,x∈(0，x)时，h'(x)=x+1 1 则y2= 4k2+1' asin x>0恒成立，则g'(x)单调递增，此时 16k2 116k2+1 则0E三++6+7 g'o)=1+a<0,又g(会）=1+l(+1小>0， 1 x=8, 联立 y=一4得 2 则必然存在一个x∈(0，)，使得g'x)=0, x=8, =一k 当x∈(0，xo)时，g'(x)<0,g(x)单调递减， 即点H的坐标为⑧，一》， 此时g(x)<g(0)=0,不满足条件， 综上所述，实数a的取值范围为[一1，十o∞). 则1oH-V®+( 2√16k2+1 (10分) k (3)证明：由(2)得(x+1)ln(x+1)>sinx(0< (14分) 1 因为|OE|2=|OD|IOH|, x≤1)，即lnx+1)>x+sinx(0<c≤1)， 防以+平 2√16k2+1 取= 2t(16k2+1) (42+1), 当=1时h(+小>子，即h> 1 1 1 +1 故=一2，满足42+1>， 所以直线1的方程为y=(一)， 1+1sin1 故直线1过定点（分，0小 当：=2时n(+小士，即n> (17分) 2+1 数学答案（五） 第5页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 2 1 21sin 2 n nFsin 1 1 (15分) n 当=3时，h传+)s即> 1 1 12.13 1 所以1中7sim1+2十sin2+3十isin3 +…十 3 +1 3.1 3+1sin 3 … n 数千7m16-)得E (17分) +1 n n 数学答案（五）第6页（共6页）2025一2026学年度考前冲顶实战演练 数学（五） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1 1.已知=1-5则x+= 5 B.2 3 C.2 10 A.1 D.2 2.若m,n∈(0，+∞)， 十=4，则m十9的最小值为 1 72 A.3 B.4 C.5 D.6 3.已知等比数列a:}的前n项和为S,若"-3 7S。32则2 a3 A b.2 C.2 D.4 4.函数f(x)=(x3-2x)x的大致图象是 D 5.如图，在△ABC中，CA·CB=1,AC=3AE,BC=3DC,F为AD与BE的交点，则向 量CF在CA上的投影向量的模的最小值为 数学试题（五）第1页（共4页） 考前冲顶实 。。 A B号 c号 6 D.7 班级 6.S=C825512025-C225512024十C号025512023-C302551202+…十C38器51除以7的余数为 A.0 B.1 C.2 D.3 姓名 7.已知直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB,OD⊥ AB于点D,点D的坐标为(2,1)，则抛物线的准线方程为 得分 5 B.y=- 5 A.y=- 8 4 C.x=一8 8.已知函数f)-5sin竖+2nr-6 41 2(w>0).若f(x)在区间（π，2π）内没有零点， 则ω的取值范围是 /。1 A.0,6 层引 /。1 C.08 u2副 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设t∈R,集合A={x(x-4)(x-t)=0},B={x|(x一5)(x一2)=0}，则 A.CRB={xx≠5，或x≠2} B.当t=4时，AUB={2,4,5} C.当t≠4时，A∩B=⑦ D.当t≠2且t≠4且t≠5时，AUB={2,4,5,t) 10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列结论正确的是 C B A.AC⊥B1D B.CD1⊥平面A1BD C.CD1与BD所成的角为60 D.平面ACC1A1⊥平面AB1D1 11.已知函数f(x)=x3+ax2+1,a∈R,则下列说法正确的是 A.若x=一2是f(x)的极小值点，则a=3 且布在a,使得点1，f写）为尚线y=f)的对称中心 C.若a>2,则过点(0,0)可作曲线y=f(x)的三条不同切线 n若a3,则VzEo,+o),有≤x+1 战演练 数学试题（五）第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知smle+）-巨sina,则tam&= 13.某校招聘了6名教师，现平均分配给学校的两个校区，其中2名英语教师不能分配在同 一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配方案共有 种 14.设E,E2是椭圆2十2三1(a>b>0)与双曲线y m2一n2=1(m>0,n>0)的公共焦 点，P为它们的一个公共点，且∠F,PF,=,则这两条曲线的离心率之积的最小值为 ,此时双曲线的渐近线的方程是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知等差数列{am}满足a2=2,a4十a1o=ag十14. (1)求{an}的通项公式； am,n为奇数， (2)设bn={ 求数列{bn}的前n项和Sm· 一an+1,n为偶数， 16.(15分)如图，在正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，AB=4√2，A1B1=2√2，侧棱与底面 ABCD所成的角为元，E,F分别为棱AB,BC的中点. ◇ (1)证明：A1C∥平面B1EF. (2)求直线FB1与平面EFC1所成角的正弦值 数学试题（五）第3页（共4页） 考前冲顶实 17.(15分)人工智能是当前全球科技竞争的焦点，而高性能智能芯片是AI发展的核心基 石.为加速突破关键核心技术，某人工智能创新中心举办了一场智能芯片设计攻关赛， 比赛按逻辑设计、物理实现、流片与测试三个环节依次进行，参赛者只有通过当前环 节，才能进入下一环节.已知老张、小李、小军三位工程师通过逻辑设计环节的概率分 57 5 36 别为a(a≠1)，，8，通过物理实现环节的概率分别为3a,后，分.已知三人之间以 及每人的不同环节之间互不影响， (1)当α为何值时，老张通过逻辑设计环节和物理实现环节的概率最大？ 3 (2)当a=4时，设老张，小李、小军三位工程师中能进人流片与测试环节的人数为，求 ￡的分布列与数学期望. 181分)已知箱周C,+若-1a≥b>0)的长轴长为，且点P(e,在C上 (1)求C的方程， (2)直线1：y=kx+t(k<0,t>0)与C交于A,B两点，AB的中点为D,连接OD(O 为坐标原点)并延长，交C于点E,交直线x=8于点H. 1 ①若0i.0丽=0，求OA+OB的值. ②若OE2=ODOH,则直线1是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若 不过定点，请说明理由 19.(17分)已知函数f(x)=xlnx. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程. (2)若Hx∈(0，π)，f(x+1)十asin x>0,求实数a的取值范围. 3》证明：2千7sim<ha+1)】 战演练 数学试题（五）第4页（共4页）