数学（四）-【真题密卷】2026年高考数学考前冲顶实战演练

2025一2026学年度考前冲顶实战演练 数学（四） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.在复平面内，复数(2-i)(11一i)对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设集合A={-1,m},B={-1,1,m2},若A二B,则m= A.-1 B.0 C.1 D.±1 3.如图，某施工队将从A到B修建一条隧道，为确定A,B之间的距离，测得以下数据： AD=CD=22,AD⊥CD,BC=3,∠BCD=105°，则A,B之间的距离为 A.3 B.23 C.√13 D.3√2 4.某校食堂新供应了四种不同的午餐套餐，小王同学计划周一到周五每天都从新供应的 四种套餐中选择一种就餐，且在这五天里将四种套餐都尝一遍，则不同的方案共有 A.120种 B.144种 C.240种 D.288种 an+1,n为奇数， 5.已知数列{am}中，a1=1,am+1= 则{am}的前2025项和为 一am十2，n为偶数， A.0 B.2024 C.2025 D.4048 6.已知函数(x)是定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的正数x1,x2,都有 f(xi)x?-fx)x1>0,记a=100f0.01),b=f1),c=-1og23f(1og2),则 x1-x2 A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.6<a<o 数学试题（四）第1页（共4页） 考前冲顶 ⑦，已知椭圆C:大y 6=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,第二象限内 班级 的点P在C上，且PF1⊥x轴，若点Q(3c,2a)满足PF2⊥QF1,则C的离心率为 号 B号 c 5 姓名 D.6 ------------- 8.在锐角三角形ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=a一2 ccos B,则2的取 得分 值范围为 A.(1,2) B.(2,3) C.(1,3) D.(2,4) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某车间为了解加工的零件数x(单位：个)与加工时间y(单位：min)的关系，收集到5组 观测数据（如表所示）： 零件数x/个 10 20 30 40 50 加工时间y/min 67 74 80 86 93 假设加工时间y与加工的零件数x满足的经验回归方程为y=x十60.8，则 A.b=0.64 B.当x=60时，y的预测值为102 C.加工时间y的5个观测数据的60%分位数为80 D.当加工的零件数x=50时，加工时间y的残差为0.2 10.《算经十书》是中国古代数学典籍的合集.书中记载（用现代文表达）：今有绿豆、红豆、 黄豆各数粒（各有至少1粒），已知绿豆的数量多于红豆，少于黄豆，红豆数量的2倍多 于黄豆数量，则 A.红豆数量的2倍多于绿豆数量 B.绿豆的数量多于3 C.黄豆的数量多于4 D.绿豆、红豆、黄豆数量之和的最小值为10 1.已知抛物线C:y2=2pz(p>0)的焦点为上，准线为，点A,m)是C上第一象限内 一点，且AP一；，AF的延长线与C交于另一点B,AP的反向延长线与L交于点E, 与y轴交于点M,设P是C上一动点，则 A.p=2 AE1 B.BF2 C.以BF为直径的圆与y轴相切 D.满足PM=PF的点P有且仅有2个 实战演练 数学试题（四）第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a,b满足a=(1,2),a·b=5,且a⊥(a十mb),则m= π tana+。 6 13.已知 tan a =-2,则sim2+若）- 14.在正四棱锥P-ABCD中，AB=6,E,F,G,H分别为PA,PB,PC,PD的中点，平面 EFGH恰好与正四棱锥P-ABCD的内切球O相切，则球O的表面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2an 15.(13分)已知数列{a.}满足a+1-a,千2a1=2, 正明：数列 是等差数列，并求{am}的通项公式. 若数列b满足-。，十+。，十。，十十求6，的前n项和T 16.(15分)某工厂采购了一台新型机器，现对这台机器生产的第一批零件的直径进行测 量，质检部门随机抽查了100个零件的直径（单位：厘米），并进行了统计，结果如表 所示： 零件直径/厘米 [1.0,1.2) 「1.2,1.4) 1.4,1.6) 「1.6,1.8) [1.8,2.0] 零件个数/个 10 25 30 25 10 (1)将此样本的分布视为总体的分布，现按零件的尺寸用分层随机抽样的方法从直径 分别在[1.2,1.4)，[1.4,1.6)，[1.6,1.8)的零件中随机抽取16个进行研究，求直 径分别在[1.2,1.4)，[1.4,1.6)，[1.6,1.8)的零件个数； (2)以频率估计概率，若在这批零件中随机抽取4个，记直径在1.2,1.4)的零件个数 为？，求？的分布列和数学期望； (3)经统计，零件的直径￡服从正态分布N(1.5,0.2282),为监控该机器生产的零件的 质量，每天抽取10个零件进行检测，若出现了质量指标值在（μ一3。，μ+3σ）之外的 产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行 检查，请通过计算说明上述监控生产过程方法的合理性， 参考数据：若随机变量~N(μ，02)，则P(u一o≤≤μ十o)≈0.6827，P(μ一2o≤≤μ十2o) ≈0.9545，P(μ-3o≤5≤μ+3o)≈0.9973；0.997310≈0.9733. 数学试题（四）第3页（共4页） 考前冲顶实 17.(15分)如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，平面PCD⊥平面ABCD,AB=2,PC =PD=√5，M为AD的中点，Q为棱PB(不包含两端点)上一动点. (1)若PB=2PQ,证明：MQ∥平面PCD. 2)是否存在点Q,使平面CMQ与平面PCD夹角的余弦值为42？若存在，求出 MQ的长度；若不存在，请说明理由. 18.(17分)已知函数f(x)=lnx-x2. (1)若直线y=kx(k∈R)是曲线y=f(x)的切线，求k的值. (2)令函数g(x)=f(x)-ax(a∈R). ①当a=1时，若x1,x2是g(x)的两个极值点，求x十x号的值； ②设曲线y=g(x)在点(xo,g(xo))处的切线为1，若直线1上的点都不在g(x)图 象的下方，求xo的取值范围. 9.(17分)已知双曲线C:0。-3=1(a>0,b>0)的离心率为Y,虚半轴长为2,2 (1)求C的方程. (2)过C上一点R作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B,证明：RA·RB为 定值 (3)已知坐标原点为O,定点P(3,一2)，M,N为C上两个不重合的动点，直线PM, PN分别与y轴交于点E,F,点Q在直线MN上，OE+OF=0且PQ⊥MN.试问 是否存在定点T,使得QT为定值？若存在，求出该定点T和QT;若不存在，请 说明理由 战演练 数学试题（四）第4页（共4页）2026 考前冲顶实战演练（四） 参考答案及解析 2025一2026学年度考前冲顶实战演练 数学（四） 一、选择题 函数，易知g(x)为偶函数.不妨设x2>x1>0,则 1.D【解析】因为(2-i)(11-i)=22-2i-11i-1 ge,)gc)=-f):-fu,图为 =21一13i,所以其对应的点为(21，一13)，位于第 x1x2 四象限. >x1>0,f)-fx)4>0,所以g 2.B【解析】因为A二B,-1∈A,m∈A,B= x1-x2 {-1,1,m2},所以m=m2或m=1,且m≠-1， x1>0,x1x2>0,f(x1)x2-f(x2)x1<0,所以 解得m=1或m=0, g(x2)-g(x1)>0,即g(x2)>g(x1),因此 g(x)在(0，十∞)上单调递增.又a=100f(0.01)= 当m=1时，m2=1,不符合集合中元素的互异性； 当m=0时，A={-1,0},B={-1,1,0},A二B, 0.01 --log3Rlog:2)-f(log 2) f0o16-f0,c 1og32, 满足题意. 3.C【解析】连接AC,因为AD=CD=2√2，AD⊥ 且1>lg2>>0.01,ka<cb CD,所以△ADC为等腰直角三角形， 7.D【解析】由题意得F1(-c,0),F2(c,0),因为 所以∠ACD=45°，AC=√AD2+CD2=4, P那，，因把=-，代入号十若=1降 因为∠BCD=105°，所以∠ACB=60°， 又BC=3,在△ABC中由余弦定理得AB2=AC2 Q,又点P位于第二象限，则yp>0,则ye- b +BC2-2AC·BCcos∠ACB, 1 故AB=,/42+32-2×4X3X P(c,),又周为Q(,2a),P丽= 2 =√13. (2,),Q=(-4c,-2o),南于PF1QF 所p丽0F=一82+(-2a)·(-2的）-- 十2b2=0,即b2=4c2,所以a2=b2+c2=5c2,因此e D C 4.C【解析】由题意得，小王同学有两天吃同一种 8.A【解析】由正弦定理及题意得sinC=sinA 套餐，先从五天中选出两天吃同一种套餐，然后将 2 sin Ccos B,因为A十B+C=π，所以sinA= 四种不同的套餐安排在这两天（作为一个整体）和 sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,所以sinC 另外三天中，则不同的方案共有C%A4=240种. sin Bcos C+cos Bsin C-2sin Ccos B=sin Bcos C- 5.C【解析】由题意得，a2=a1十1=2，a3=-a2十 cos Bsin C=sin(B-C). 2=0,a4=a3+1=1,a5=-a4十2=1，a6=a5+1 =2,…, 又因为B,C∈(o,）,所以B-Ce(,》, 所以{am}为1,2,0,1,1,2,0,1，…，1,2,0,1，…，是 所以C=B一C,故B=2C,则A=π一3C. 周期为4的周期数列， 且a1十a2十ag十a4=1+2+0+1=4, 0<-3C<, 所以{am》}的前2025项和S225=a1十a2+…十 a2o25=506X(a1+a2十a3+a4)十a1=2025. 因为△ABC是锐角三角形，所以0<2C<受，解 6.B【解析】构造函数g(c)=f(x 2,由f(x)为奇 数学答案（四）第1页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 得吾<C<至，所以coCE 巨3），由正孩定 2’2 AF=+名-解得力=2，故A正痛： 理，得a=sinA=sin(x-3C)_ sin(C+2C) c sin C sin C sin C 对于B,将A(经m)代入y=红，得m=4X sin Ccos 2C+cos Csin 2C 又点A位于第一象限，则A(经1)，由A(任，1) sin C 4 sin Ccos 2C+2sin C cos?C F(1,0),可知直线AF的方程为y=-3z-1), sin C =cos 2C+2cos2C=4cos2C-1, 则E(-1,）将y=一专红10与y=4红联 因为cosC∈ 停9）所以21,2 立，得43-17x十4=0，解得x1= 4,x2=4,所 二、选择题 1 1 9.AD【解析】对于A,x=5×(10十20十30十40 以B4,-4),则AE-A-xE=4-（一1D BFxB一xF 4-1 -1 +50)=30,y=5×(67+74+80+86+93)=80, 12,故B错误； 因为经验回归方程y=ix十60.8必过点(x,y), 对于C,BF的中点g标为(？，-2小，到y轴的距 即点(30,80)，所以80=303+60.8，解得= 0.64,所以y=0.64x+60.8,故A正确； 离为号，且BF=4-+(一4=5，故以 对于B,当x=60时，y=0.64×60+60.8=99.2,故 BF为直径的圆与y轴相切，故C正确； B错误； 对于C,将加工时间y的5个观测数据从小到大 对子D,由B可知M0,言)，则MF的中点坐标 排列为67,74,80,86,93，由于5×60%=3，则 为（侵，号》，则M的中垂线方程为y一号 60%分位教为80十86=83，故C错误； 2 径(-2》即18x-2+7=0,与y=红联 对于D,当x=50时，y=0.64×50十60.8=92.8， 则残差为93一92.8=0.2，故D正确. 立，得9y2-48y十14=0，则△=482-4×9×14 10.ABC【解析】设绿豆、红豆、黄豆的数量分别为 >0,即存在两个满足|PM|=|PF|的点P,故 a,b,c(a,b,c均为正整数).由题意知，b<a<c, D正确. 2b>c,所以b<a<c<2b. 对于A,由b<a<c<2b,得a<2b,即红豆数量 的2倍多于绿豆数量，故A正确； 对于B,取最小正整数进行验证. 当b=1时，1<a<c<2,找不到满足条件的a, c值； 当b=2时，2<a<c<4,找不到满足条件的a, 三、填空题 c值； 12.一1【解析】因为a⊥(a十mb),所以a·(a+ 当b=3时，3<a<c<6,此时a=4,c=5,满足 mb)=0,即a2+ma·b=0,即5+5m=0,解得 条件，即绿豆的数量最少为4（多于3），故B m=-1. 正确； an(e+） 对于C,由B知，黄豆的数量最少为5（多于4），故 18.日【解折们四为 =-2, C正确； tan a 对于D,由B知，绿豆、红豆、黄豆数量之和的最 o+》ams 小值为3+4+5=12，故D错误. 所以 =一2， 11.ACD【解析】对于A,由抛物线的定义可知， ase+）sna 数学答案（四）第2页（共6页） 2026 考前冲顶实战演练（四） 即sin(a+5）cosa=-2cos(e+8）sina, 所以1-1+1 又sing=siml(e+）-a =1+1+1++1 (2)解：6，-a1a2as an -sina+g）cosa-cosa+君）sina a+2+8++m)-aa+D 4 =-2cos(a+）sina-cosa+）sina 则 4 (10分) =-3cos(e+g）sina=2 1 故Tm=b1十b2十…十bn =4[-2)+(合-）++（风n)】 所以e+）sna= -4- (13分) 所以mea》=s[e）+。】 16.解：(1)直径在[1.2,1.4)的零件个数为16× =sina+答）c(e+g）sina 25 25+30+25=5;直径在几.4,1.6)的零件个数为 =-cose+）sm= 30 16×25+30+25=6:直径在1.6,1.8)的零件个 14.18π【解析】设AC与BD相交于点Q,取AB 25 数为16×25+30+25=5. (3分) 的中点为M,连接PM,PQ,MQ,设PQ与平面 EFGH交于，点N,连接NG,作OS⊥PM于S, (2)由题意，随机抽取一个零件，直径在[1.2,1.4)的 设内切球O的半径为r,则OS=OQ=ON=r, 251 概率为100一4' NQ=2r, 因为平面EFGH∥平面ABCD,平面EFGH∩ 放？满足二项分布，即7~B(4,）: (5分) 平面PQC=NG,平面ABCD∩平面PQC=QC, 所以NG∥QC,所以△PQC∽△PNG,又G为 则Pg-o)-C(}‘-6 PC中点，所以，点N是PQ中点，所以PQ=2NQ =4,又△P0SO△PM0.98-0马知 Pg-D-c××()-98 256641 MQ-}Bc-3,则号-V+ 3r Pg-2-×x(》°-克-高 ,解得r= 3√2 256641 ,故球0的表面积为4πr2=18π. 2 故？的分布列为 之 0 2 4 P 81 27 27 3 1 256 64 128 64 256 1 E(n)=4X4=1, (11分) 四、解答题 (3)一天内抽取10件产品，发现产品质量指标值 15.(1)证明：由题意知，an≠0， 有在（μ-3a,4+3o)之外的概率只有1一 则1=0.+211 0.997310≈0.0267，发生的概率很小， 2+12ana十2，即-1、1 am+1a2 因此一旦发生这种情况，就有理由认为该机器在 所以数列是公差为的等差数列，《阳分) 这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天 的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的 又a1=2, 方法合理. (15分) 数学答案（四）第3页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 17.(1)证明：取CD的中点O,连接PO, 因为PC=PD=√5，所以PO⊥CD, 以-(3 因为CD=2,所以PO=2. 故-》+(》+(- 因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面 3 ABCD=CD,POC平面PCD, (15分) 所以PO⊥平面ABCD. (3分) 18.解：(1)f(x)=lnx-x2的定义域为(0，+∞)， 故以O为原点，过点O且平行于BC的直线为x 1 求导得f'(x)=王-2x, 轴，OC,OP所在直线分别为y轴，x轴，建立如 图所示的空间直角坐标系， 设切点为，n1一P),则切线斜率了)=} 2,故切线方程为y-0m-)=(任-2· (x一t),又因为切线y=x过点(0,0)， 所以-lnt+t2=-1+2t2,即lnt+t2-1=0, 令函数s(x)=lnx十x2-1,x>0, 则M(1,-1,0),P(0,0,2),B(2,1,0),C(0,1,0), 求导得)-是+2x>0, 因为PB=2PQ,所以Q为PB的中点， 故s(x)在(0，十∞)上单调递增， 所以Q1,g小，所以M流=(，号，小 又s(1)=0,所以t=1, (6分) 故切线斜率=f'(1)=1-2=-1.(4分) 易知平面PCD的一个法向量为m=(1,0,0),则 (2)①由于f(x|)=lnx-|x|2=lnx| MQ·m=0,即MQ⊥m, x2,则g(x)=lnx|-x2-ax,x∈(-∞，0) 因为MQ中平面PCD, U(0,+∞)， 所以MQ∥平面PCD. (7分) 当a=1时，g(x)=lnx|-x2-x, (2)解：由(1)得CB=(2,0,0),CM=(1,-2,0), 当x>0时，g(x)=lnx-x2-x, B=(-2,-1,2), 设BQ=λBP(0<A<1), 则g)}-2x-11-24 则BQ=(-2入，-入，2入)， (2x-1)(x+1) 所以C及=CB+BQ=(2-2x,-λ，2λ)， 设平面CMQ的法向量为p=(x,y,z), 1 令gx)=0,解得x=2或x=-1(舍去)， Ci·p=0'即-2y=0, 则 cQ·p=0,(2-2λ)x-Ay+2X=0, 故极值点为： 取y=入，则平面CMQ的一个法向量为p= 当x<0时，g(x)=ln(-x)-x2-x, ②a8a-2 (11分) 则g'(x)=-1.(-1）-2z-1 又平面PCD的一个法向量为m=(1,0,0), =1-2x2-x=_(2x-1)(x+1) 所以cosp,m)川=pm p·m 2入 x x 45. √星2-10以+4 1 令g(x)=0,解得x=2(舍去)或x=-1, -42T 故极值点为-1， 21, 故x十x经=（ 整理得3λ2-5λ十2=0， 4 (8分) 解得X-号或入=1（会去）， 1 1 (13分) ②由题可得g'(x)= x -2x-a,则g'(x)=x 所以d-(子，号)则Q(层，号》所 -2x0一a, 又g(xo)=lnxo-xf-axo, 数学答案（四）第4页（共6页） 2026 考前冲顶实战演练（四） 则切线l的方程为y-(Inxo|一x-axo)= 则)=2x-(-2， 。-2z。-a）u-x,即y=(-2x,-ar 2xx0十1 =一(x一x0)· -1+z3+Inzol, xxo 令h(x)=gx)- [-2-a-++l] 1 2(x-x)(x+2x】 (11分) -lolzI-z+-f(1-2z.)z-1+z:+hlz.l x 当x0>0时， 1 00,2 1 1 2x0 .0 (0,xo) (x0,+∞) h'(x) × 0 × 0 h(x) 单调递增 极大值 单调递减 单调递增 极大值 单调递减 当x。<0时， 1 (-∞，x0) (xo,0) 0, 2x 2zo h'(x) + 0 0 h(x) 单调递增 极大值 单调递减 单调递增 极大值 单调递减 由于g(x)的图象恒在直线l的下方或直线l上， 故h(x)≤0对x≠0恒成立. 所以C的方程为写 81 =1, (3分) 所以只需h(x)≤0和h( 1 (2)证明：由于C的渐近线方程为bx士ay=0, 2x0 =ln2x8+4 则C上一点R(xo,yo)到两渐近线的距离之积为 一x名≤0同时成立， Ibzotayol bxo-ayol16'xi-a'yi √a2+b √a2+b2 a2+b2 又，)=0，则只需A(-左 ）=1n2x+4x a2b224 -x≤0. (15分) a2+b2=7: x 下面研究函数n(x)=lnx+22z(x>0), 即KA·RB为定值头 (6分) +1)>0, 则n'(x)=左+2+2元-2 111 (3)解：由题易知直线MN的斜率存在，故设直线 MN的方程为y=kx+m,M(x1y), 故n(x)在(0，十∞)上单调递增， N(x2y2), 注意到n(1)=0, 联立 ly=kz+m, 4x2-3y2=24, 得(4-3k2)x2-6km.x 则当0<x≤1时，n(x)≤0， 1 3m2-24=0, ≤0， 则4-32≠0，△=48(m2+8-6k2)>0, √2 6km -3m2-24 由0<。1，解得x≥2或xo≤-2骨 x1+xa=436z1x:=43h (9分) 故x。的取值范围是 (-,+ 2 义直线PM的方程为-” x-3x-3)-2, (17分) 2x+3y1,则E0,3-x1 令x=0,得y=3-x1 。2x1十3y1 19.(1)解：因为虚半轴长为2√2，所以b=2√2. 因为离心率为所以- 2x+3y2 同理得F(0,3-x (11分) 3 又因为c2=a2+b2,所以a=√6，c=14, 由0陀10-0可相” 数学答案（四）第5页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 2x1+3(kx1十m)2x2+3(kx2十m) 3一x1 3一x2 二0， 设PG的中点为T,则T(?,-, 所以[(3k+2)x1+3m](3-x2)+[(3k+2)x2 +3m](3-x1) 因为PQ⊥MN,所以QT1-PG= 2 =(9k+6-3m)(x1十x2)-(6k+4)x1x2+18m 即QT为定值， 4-362-(6k+4).-3m2-24 6km =(9k+6-3m)· 4一3k2 故存在T(?,-3),使QT为定值 2 +18m=0, (17分) 整理得m2+(3k+6)m+12k+8=(m+4)(m+ 3k十2)=0， 当m十3k+2=0,即m=一3k-2时，直线MN 的方程为y=k(x-3)一2， 直线MN过点P(3,-2),与PQ⊥MN矛盾，故 舍去； (14分) 当m=一4时，直线MN的方程为y=kx一4， 直线MN恒过定点G(0,-4), 数学答案（四）第6页（共6页）