数学（二）-【真题密卷】2026年高考数学考前冲顶实战演练

2025一2026学年度考前冲顶实战演练 数学（二） 本试卷总分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知全集U=R,集合A,B满足(AUB)二B,则下列关系一定正确的是 A.A=B B.B二A C.A∩(CuB)=☑D.(CuA)∩B=☑ 2.已知复数之满足i·之十2=2i,之的共轭复数为之，则之·之 A.√2 B.2√2 C.4 D.8 3.高一某班有53人，老师对一次数学测试进行了统计分析.小亮因故没有参加本次集体 测试，计算得其他52人的平均分为121分，方差s2=36.后来小亮进行了补考，成绩为 121分.关于该班成绩，下列说法正确的是 A.平均分不变，方差变大 B.平均分不变，方差变小 C.平均分和方差都不变 D.平均分和方差都变大 4.在△ABC中，D为边AB的中点，CE-CD,A店=a,AC-b,则A应- B.ge-go D.-12 6a+ 36 5.已知公差不为0的等差数列a,}的前n项和为S.n∈N,且a2十a,=a,则S A.5 B.6 C.7 D.8 2-log2(-x+2),0≤x<2, 6.已知函数f(x)= 若f(1-a)<f(a),则实数a的取值范 2-f(-x),-2<x<0, 围是 A.) B.(g,+∞ c(←，2》 D.(22 数学试题（二）第1页（共4页） 考前冲顶 T.已知F,P是双曲线C:名-1(@>0，b>0)的左，有焦点，点P是其渐近线上第 班级 象限内的一点，直线PF1与y轴相交于点Q,△PQF2是正三角形，则C的渐近线方 程是 姓名 √3 A.y=士3x 2√3 B.y=±3x C.y=士√2x D.y=士3x 11 1 4 8.已知a=4cos4b=sin4,c=lh3,则 得分 A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.某校团委对“学生性别和是否喜欢运动的关联性”进行了一次调查，其中被调查的男、女 生人数相同，男生中喜欢运动的人数占男生人数的三，女生中喜欢运动的人数占女生人 数的；，若有95%的把握，但没有99%的把握认为“学生性别和是否喜欢运动有关”，则 被调查的男生人数可能为 n (ad-bc)2 附：x2=a十b)c+d)a+c)b+d) ,其中n=a+b+c十d. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A.25 B.45 C.60 D.75 10.如图，平面图形ABCD由等腰直角△BCD和直角△ABD组成，BC⊥CD,∠A=60°， AB⊥BD,AB=1,E,F分别是边AD和BD的中点，现将△BCD沿BD翻折，则下列 结论中正确的是 A.BC=√2 B.若平面BCDL平面ABD,则AC=√0 C.CE⊥BD D.已知点A,B,C,D均在球O的表面上，当三棱锥CABD的体积最大时，球O的半 径为√2 11.设x1,x2,xg(x1<x2<x3)是函数f(x)=e一ax2的三个零点，则下列说法正确的是 A.x1<0 e2 B.a<4 C.若x1,x2,x3成等差数列，则一x1,x2,x3成等比数列 D.若x1,x2,x3成等差数列，则x3-x1=4ln(1十√2) 实战演练 数学试题（二）第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知a∈（经x,且3cos(②+a=tana,则cos(2a-2x)= 13.已知随机变量X~N(2,o2),若2P(X>3)=P(X≤3)，则P(X<1)= x2,y2 14.已知F,F,分别是椭圆C:+=1a>6>0)的左、右焦点，P是C上异于左，右顶 原的动点，记△PP,P,内切圆的面积为S,△PF,E,外接圆的面积为S2,若、的最小 值为4，则C的离心率为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足osC-2a-C 「cosB-b (1)求B; (2)若b=3,求△ABC面积的最大值. 16.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，△PAB是边长2的等边三角形，PC=3,AC=BC =√7. (1)证明：平面PAB⊥平面ABC. (2)求点B到平面PAC的距离. (3)求平面PBC和平面PAC夹角的余弦值. 数学试题（二）第3页（共4页） 考前冲顶 17.(I5分已知函数fx)=是-x十aln∈R (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程 (2)若f(x)在区间(3，十∞)上单调递减，求a的取值范围. (3)若a>0,且f(x)存在两个极值点1，x,证明：f）-f)<4-2. x1一x2 18.(17分)已知抛物线T:y2=2px(p>0),过T上一点A(1,p)作两条直线11,12分别交 T于B,C两点，直线l1,12的斜率分别为k1,k2,且k1k2=一4. (1)求T的方程. (2)证明：直线BC过定点， BN 3)记直线BC经过的定点为M,直线BC上一点N(异于点MD满足CM=CN 证明：点N在某定直线上，并求出该定直线的方程 19.(17分)某研究机构开发了一款智能机器人，该机器人通过交替学习不同技能Y,S,W 来提升综合能力.初始时，机器人选择学习技能Y,且每次学习Y后会等可能地选择学 习S或W;每次学习S后，有的概率继续学习Y,的概率学习w;每次学习W后， 有的概率继续学习Y,的概率学习S.设a,6.6,分别表示第m次学习后接若学习 技能Y,S,W的概率. (1)若机器人仅进行三次学习，求学习技能Y的次数的分布列及其数学期望. (2)求am及其最大值. (3)已知xm=5am-1·2m-1,ym=2+4十…十2n, W2,n=1, 之n= 若数列{zn}的 Wyn(x1+x2+…+xm-1)+（Wy+y2+…+yn)xn,n≥2. 前n项和为Sm,证明：Sn<n(n十2). 实战演练 数学试题（二）第4页（共4页）·数学· 参考答案及解析 参芳答案及解析 2025一2026学年度考前冲顶实战演练数学（二） 一、选择题 7.B【解析】由题意得，F1(-c,0),F2(c,0)(其中 1.C【解析】对于A,B,由(AUB)二B,可知A二 c=√a2+b2),因为△PQF2是正三角形，所以 B,故A,B错误； PQ=|QF2|=|PF2,由双曲线的对称性可 对于C,A∩(CuB)=☑，故C正确； 得|QF|=QFz|,故|QF=QFz|=QP|, 对于D,(CuA)∩B=CBA,不一定为☑，故D 故∠PF2F1=90°， 错误 2.D【解析】由i·之+2=2i,可得之=2+21=2 十2i,所以之·之=之|2=8. 3,B【解析】因为小亮的成绩和其他52人的平均分 相同，都是121分，所以该班53人测试成绩的平 均分为3121×52+121)=121分，即平均分不 故xp=C,又，点P在第一象限的渐近线上，故 交：该班53人别试成坊的方差=忘×2+ P氏，经)，而∠E,PF=60,k2=5x空收名 (121-121)2]<s2,即方差变小. ,因此渐近线方程为y=士23 23 x. 4A【解折】因为D为边AB的中点，正-C市， 8.C【解析】令函数fz)=tanx-x(0<x<受）， 所以A正-AC+正-Ad+⑦-A+}ad 则f'(x)=1 -1=1-cos2 -A)-丽+号a达-i+号a-石a+ cos2x cos2x =tan'x>0 所以fx)在(0，)上单调递增，所以f()> b 5.C【解析】由a2十a3=a5,可得a3-d十a3=a3 1、1 sin 4 1 f0=0,即tan4>4,所以1 4为 +2d,即a3=3d. cOs- 4 则S6=a1十a2十a3十a4十a5十a6=3(a3十a4)= 1 32a,+d）=21d,所以-21d=7. 又cos4>0, as 3d 1、11 6.D【解析】根据复合函数的单调性可知函数 所以sin4>4cos4,即a<b; f(x)=2-log2(-x十2)在[0,2)上单调递增.当 令函数g(x)=sinx+ln(1-x)(0<x<1), x∈(-2,0)时，-x∈(0,2)，则f(x)=2-f(-x) 1 =2-[2-log2(x+2)]=log2(x十2)，易知f(x) 则g'(x)=cosx一1-x' 在(-2,0)上单调递增，又f(0)=2一f(0),故 1 f(x)在(-2,2)上单调递增，由f(1一a)<f(a), 令h(x)=g'(x),则h'(x)=-sinx-a-x) 得-2<1-a<a<2,解得<a<2,放实数a的 <0,所以g'(x)在(0,1)上单调递减， 所以g'(x)<g'(0)=0,所以g(x)在(0,1)上单 取值范围是（份，2 调递减，所以g()<g0)=0, 数学答案（二）第1页（共6页） 2026 考前冲顶实战演练（二） 3 11.ACD【解析】当a≤0时，f(x)=e-ax2>0, 显然不符合题意； 综上所述，a<b<c. 当a>0时，因为f(0)=1,所以0不是f(x)的 二、选择题 9.BC【解析】设男生人数为m,则女生人数也为 2，设函数 零点，当x≠0时，令f(x)=0,则a=e m,列出列联表如表所示： 8(x)=e。(x≠0)，则g（x）=二2) x3 是否喜欢运动 性别 合计 当x<0时，g'(x)>0,g(x)单调递增； 喜欢 不喜欢 当0<x<2时，g'(x)<0,g(x)单调递减； 男生 4 5m m 当x>2时，g'(x)>0,g(x)单调递增， 女生 3 2 又g(x)>0,且当x→-∞时，g(x)→0；当x→0 5加 m 时，g(x)→+∞；当x→+∞时，g(x)→+∞， 合计 5m 5红 2m 8(2)=e ,所以g()的大致图象如图所示： 4 2 1 312 2m(5m·亏m-5m·5m) 2m x2 7 21 由题老得3.841<<6.635，解得40,305≤m 0 <69.6675,故A,D错误，B,C正确. 10.BC【解析】对于A,由题可知BD=√3，在等腰 若y=a与y=g()有3个交点，则a> 4,又 食角△BCD中，BC-,改A柔 x1<x2<x3,所以x1<0,x2,x3>0,故A正确， B错误； 对于B,由题可知AB=1,AD=2,BD=√3，BC 所以= 由题意得e-e-e xfx好=xixg =D-CF-AF-号，若本而CD1 ,由于x1工22成等差数列，所以西1十， e2r2 平面ABD,又平面BCD∩平面ABD=BD,CF 2x2,所以x1x号=x,又x1<0,x2,x3>0,所以 C平面BCD,CF⊥BD,所以CF⊥平面ABD, 一x1x3=x,所以一x1,x2,x3成等比数列，故C 又AFC平面ABD,所以CF⊥AF,所以AC2= 正确； CP+AP-所以AC=四故BE通： 由-=（色）得x十61十 对于C,因为F为边BD的中点，BC=CD,所以 CF⊥BD,又E是边AD的中点，所以EF∥AB, =0,所以)+经+1=0. 由AB⊥BD,可得EF⊥BD.因为CF∩EF=F, CF,EFC平面CEF,所以BD⊥平面CEF,又 由于<0，解得=-3士22， CEC平面CEF,所以CE⊥BD,故C正确； 对于D,当三棱锥CABD的体积最大时，平面 -e,则-1=2）>0， BCD⊥平面ABD,由B可知，CF⊥平面ABD. 故-3>1，即9<-1， 又△ABD是以AD为斜边的直角三角形，所以 球心O在过点E且与平面ABD垂直的直线上， 由于-3十2√2>-3十2=-1，故舍去， 设球心O到，点E的距离为h,球O半径为R,则 所以x-=2n(-)-4h1+2),故D R2=AE2+h2=EF2+(CF-h)2,即1+h2二表 正确 十停-广，解得=0，所以球0的半径为1， 三、填空题 故D错误. 12. 号【解折】由3ca(受+e一ame,得一-3ana 数学答案（二） 第2页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 又a∈(，所以eosa= c(a+c) c(a+c) cos a 3 0 0 sin 2 262 sin? 2 cos(2a-27)-cos 2a-2cos'a-1-2X -1 9 b2·2sin2cos2 0 cos 2 7 由椭圆的对称性可知0<sin <后，当点P为 a 18.日【解析】由正者分布的性度，可得P(X≤3) +P(X>3)=1,又2P(X>3)=P(X≤3)， 短轴端点时，sin2取得最大值。， 所以P(X≤3)+P(X>3)=3P(X>3)=1, R_c(atc) 此时 取得最小值，最小值为 解得PX>3》-子，又随机变量X-V2g), 2b sin2 根据正态分布曲线的对称性，可得P(X<1)= c(a十c)_a2(a+c) 2b2c8 2b2c P(X>3)=3 a 1 14.2【解析】如图，设∠F1PF,=0,PF=m, 又 S2 πR2 (R S 的最小值为4，则尽的最小 |PF2|=n, 值为2，即aa+c) 262c =2 即a2(a十c)=4(a2-c2)c,化简可得4c3-3a2c +a3=0, 等式左右两边同时除以a3,可得4e3一3e十1=0， 即(e+1)(2e-1)2=0, 由椭圆定义可知m十n=2a, 由椭圆离心率e∈(0,1)，得e=2 在△PF1F2中，由余弦定理得cos0= 四、解答题 m2+n2-4c2(m+n)2-4c2-2mn2b2 -1, 2mn 2mn mn 15解：0出正孩定理可得，合-2“。 2b2 .1 则mn= cos0+1,所以Sar,=2mn·sin0 2sin A-sin C sin B b2sin e b2·2sin2cos2 整理得sin Bcos C+cos Bsin C=2 sin Acos B, cos 0+1 2c0g2 =62tan 2' (2分) sin(B+C)=2sin Acos B, 又△PFF2的周长为|PF1|+|PF2|+FF2 故sinA-2 sin Acos B. =2a+2c, 又因为在△ABC中，A∈(0，π)，所以sinA>0, 0 262tan 2 1 则△PF1F2内切圆的半径r= 所以casB-分又B∈0,0，所以B-子 2a+2c (6分) b2tan 2 (2)由余弦定理可得，b2=a2十c2-2 accos B, ，又在△PF1F2中，由正弦定理可知 a+c 即a2+c2-ac=9. FF2 =2R,R即为△PF1F2外接圆的半径， 又a2+c2-ac=9≥2ac-ac=ac,当且仅当a= sin 0 c=3时，等号成立，所以ac≤9， (9分) 故R= sin 所以S△ABC= 2 acsin B≤2×9XV3_93 1 2-4 c(a+c) r 0 b2·sin0·tan 2 即△ABC面积的最大值为9,3 4 (13分) 数学答案（二）第3页（共6页） 2026 考前冲顶实战演练（二） 16.(1)证明：如图，取AB中点O,连接PO,C0, m·BP=0, 所以 即 -x2十√3z2=0, m·BC=0,-x2+√6y2=0, 令x2=√6，则y2=1,z2=√2， 故平面PBC的一个法向量为m=(√6,1，√2)， (12分) 由(2)知平面PAC的一个法向量为n=(√6，一1， 因为△PAB是边长为2的等边三角形，O为AB 中点， -√2)， 所以|cos(m,n)|= m·n 6-1-21 所以PO⊥AB,且PO=√PA2-AOz=3. m n 3×33 又因为AC=BC=√7，O为AB中点， 1 所以CO⊥AB,且CO=√AC2-AO-√6！ 故平面PBC和平面PAC夹角的余弦值为 因为PC=3,所以PC2=PO2+C02, (15分) 所以PO⊥CO. (2分) 17.1)解：由题意得f(x)=】 -x十lnx,x>0, 又AB∩CO=O,AB,COC平面ABC, 所以PO⊥平面ABC, f(1)=0, 又因为POC平面PAB, 面了)=子-1+2则了0=-1， 所以平面PAB⊥平面ABC. (4分) 故曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 (2)解：由(1)得OB,OC,OP两两互相垂直，故以 y=-x+1. (3分) O为坐标原点，OB,OC,OP所在直线分别为x, y,之轴，建立如图所示的空间直角坐标系， (2)解：fx)=1+4=x-ax十1 x x2 >0,又f(x)在区间(3，十∞)上单调递减， 所以--ax+1≤0在3，十∞)上恒成立， x2 即x2-ax+1≥0在(3，十∞)上恒成立， 0a≤x士在3，十∞)上恒成 1 则B(1,0,0),C(0√6,0)，A(-1,0,0),P(0,0, 因为函数y=工十1在3，十∞)上单调递增，所 √3)， 1、1 10 以x十上> 3,所以a≤3， 所以AC=(1,√6,0)，AP=(1,0,N3),AB=(2, 0,0), (6分) 故a的取位范周是(-，胃 (7分) 设平面PAC的法向量为n=(x1,y1,之1)， (3)证明：f'(x)=一 x2-ax+ ,x>0,a>0, 则m·A正-0即 x1+6y1=0, n·AP=0,x1十3x1=0, 因为f(x)存在两个极值点x1,x2,所以x1,x2 满足x2-a.x十1=0，即x1x2=1, 令x1=√6，则y1=-1,z1=一√2， 不妨设0<x1<x2,则x2>1. 故平面PAC的一个法向量为n=(√6，一1， 又fx)-fx) -√2)， x1一x2 所以点B到平面PAC的距离d= AB·n_ 1 1 n -x1+aln x1- -x2+aln x2 2W62√6 x1一x2 3 (10分) √6+1+2 =-2+a lnx1-lnx=-2十a· -2In x2 x1-x2 (3)解：由(2)可知，BP=(-1,0,√3)，BC=(-1, √6,0)，设平面PBC的法向量为m=(x2,y2,之2)， (10分) 数学答案（二） 第4页（共6页） ·数学· 参考答案及解析 则要证a,）-f）<a-2, 易知直线BC的斜率不为0， x1一x2 设直线BC的方程为x=my十2m十2.(12分) 2lnx2∠a, 即证a·1 |x=my+2m+2, 联立 一x2 y2=4x, 得y2-4my-8m-8=0, 又a>0,4>1,则2-2：<0， 所以y1+y2=4m,y1y2=-8m-8. 1 BMBN 即证血x,心x即证 -x2+2lnx2<0. 因为CM=CN' (12分) 所以y+2_1y-y ly:+2 x2-0' 1 设函数g(x)=二-x十2lnx,x>1, x 即|(y1+2)(y2-yo)|=|(y1-y)(y2+2). 1+2 则g'(x)=-1 (x-1)2 当(y1+2)(y2-yo)=(y1-yo)(y2+2)时，y1 x2 <0 ≠y2,化简得y。=一2， 所以g(x)在(1，十∞)上单调递减，又g(1)=0, 与直线BC的斜率不为0矛盾，不符合题意； 则g(x)<0, (14分) 所以 当(y1+2)(y2-y0)=-(y1-y0)(y2+2)时， --x2+2lnx2<0, 化简得2y1y2十(2-yo)(y1+y2)-4yo=0, 即fx1)-f(z2) a-2得证. (15分) 将y1十y2=4m,y1y2=-8m-8代入得2(-8m x1一x2 -8)+4(2-yo)m-4yo=0, 18.(1)解：将点A的坐标(1，p)代入T的方程，可得 即myo+2m+yo+4=0, p2=2p,解得p=0(舍去)或p=2, 又xo=my0十2m+2,所以myo+2m=x0-2, 故T的方程为y2=4x. (3分) 所以x0-2+y。+4=0,即xo十y0+2=0,符合 (2)证明：由(1)可知A(1,2), 题意. 设a件-c得小 所以点N在定直线x十y十2=0上. (17分) 则，=”，一24 心1y1+2,2=22 -1+2 4 由1k2=一4，得4 4 y1+2`5y2+2=-4, 整理得y1y2十2(y1十y2)+8=0. (6分) 又kc=y:=4 ，所以直线BC的方程 yi yy+y2 44 19.(1)解：设三次学习中，学习技能Y的次数为X, 41y 则X的可能取值为1,2， 为y= yi+yz -4) +y1, 第一次学Y,第二次学S,第三次学W,则P=1 即y= 4x+y1y2 y1+y2 又y1y2=-8-2(y1+y2), 第一次学Y,第二次学W,第三次学S,则P=1 从而直线BC的方程为y=4红一21十y,)-8 y1+y2 x日×-是 33 化简得y 4(x一2）-2， y1+y2 故P(X=1)=2× 8=4 因此直线BC过定点(2，一2). (10分) 第一次学Y,第二次学S,第三次学Y,则P=1× (3)证明：由(2)知M(2,一2)， 设NwB(僧.c(得) 第一次学Y,第二次学W,第三次学Y,则P=1 数学答案（二）第5页（共6页） 2026 考前冲顶实战演练（二） xx-日 (3)证明：y.=2+4+…+2m=n(2+2m) 2 ,11 故P(X=2)=2×8=4, n(n+1), 故X的分布列为 x=5a,-1·21=-()·2 X 1 -(2=(), (11分) P 1 由于之1=√2=√y1x1, E0x)=1x+2x= .15 z2=Vy2x1+(y1+√y2)x2 (4分) =√y1x2+√y2(x1+x2), 1 1 1 (2)解：由题意得a1=0,61=2c1=2a2=4b, xa=√y(x1十x2)+(√y1+√y2+√y3)x3 +1c,=1×1+111 =√y1x3十√y2x3+√y(x1十x2+x3), 4c1=4 1 1 设a+1=4b.十4a, 之m=√ym(x1十x2+…十xm-1)+(y1十√y2十 …+√ym)xn 又6，十6.=1-a,所以81=子1-a,),所以 =√y1xm十√y2xm+…+√ym-1xm十√yn· (x1十x2十…十xm), (14分) 所以Sm=√y1(x1十x2十…十xn)+√y2(x1十 因此数列{0，}是首项为-号公比为-是的 x2十…十xn)十…十√ym(x1十x2十…十xn) 等比数列， =(y+√y2+…+√yn)(x1十x2十…+xn) =(w++叶)1+日+日++》 () (7分) =(++…+.)·201-20) 要使得。，最大，则0为偶数，此时a:=写十 <2(Wy1+√y2+…+√ym), 由于√.=n(m+)<n+n+1)_2m+1 2’ (), 所以s.<2X3+5+(2m+1D=mu十2， 此时{an}单调递减，故当n=2时，an取到最大 2 原命题得证 (17分) 值子 (9分) 数学答案（二）第6页（共6页）