精品解析：吉林长春市第四十五中学2025-2026学年九年级下学期5月中考模拟数学试题

长春市第四十五中学2025-2026年度下学期 九年级数学学科大练习 一．选择题 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可． 【详解】解：在3.14，，，中，3.14，，是有理数，是无理数， 故选B 【点睛】本题考查了无理数，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环有规律的数，③含有的数． 2. 下列几何体中，属于棱柱的有（　　） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是立体图形的认识； 根据棱柱的概念、结合图形解得即可． 认识常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥是解题的关键． 【详解】解：第一、第三、第六个几何体是棱柱，共有3个． 故选：． 3. 如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和性质，根据在中，，得出，再把数值代入计算，即可作答． 【详解】解：∵在中，， ∴， 则， 故选：B． 4. 下列用四舍五入法得到的近似数，描述错误的是（ ） A. （精确到） B. （精确到千分位） C. 万（精确到十分位） D. （精确到万位） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了近似数的精确度：经过四舍五入得到的数称为近似数，末位数字在哪个数位上，就是精确到什么位．根据近似数的精确度的定义，逐一判断选项，即可． 【详解】A. 精确到，故该选项原说法正确，不符合题意； B. 精确到千分位，故该选项原说法正确，不符合题意； C. 万精确到千位，故该选项原说法错误，符合题意； D. 精确到万位，故该选项原说法正确，不符合题意; 故选C． 5. ，、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断抛物线的开口方向和对称轴，根据开口向下的抛物线，点离对称轴越远对应函数值越小，通过计算三点到对称轴的距离即可比较函数值大小. 【详解】解：抛物线 中，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，开口向下时，点离对称轴越远，对应函数值越小，且， ∴. 6. 如图，某旗杆高为10米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长（ ）米． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图，由题意可得米，解直角三角形求出米，米，由即可得出结果． 【详解】解：如图， 由题意可得米， 在中，， ∴米， 在中，， ∴米， ∴米，即第二次观察到的影子比第一次的长米． 7. 如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点、；第二步，过、两点作直线分别交、于点、；第三步，连接、．若，，，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得出是线段的垂直平分线，推出，，求出，得出四边形是菱形，根据菱形的性质得出，根据平行线分线段成比例定理得出，代入求出即可． 【详解】解：∵根据作法可知：是线段的垂直平分线， ， ， 平分， ， ， ，， ∴四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，菱形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质的应用，判定四边形是菱形是解此题的关键，注意：一组平行线截两条直线，所截得的对应线段成比例． 8. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点．当m的值由4逐渐减小到时，关于线段的长度，下列判断正确的是（ ） A. 由大变小 B. 由小变大 C. 保持不变 D. 有最小值 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数一次函数的交点关于原点对称是解题关键．根据一次函数过原点，的长度最小可得答案． 【详解】解：一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，当m的值由4逐渐减小到时，线段的长度先变小，再变大，当一次函数过原点时，的长度最小， 线段的长度有最小值． 故选：D． 二．填空题 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，将带分数和小数转换为分数形式，然后根据有理数的加法运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点位于第三象限， ∴ ∴ 故答案为： 11. 如图，已知，，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】过作，过作，过作，过作，则，然后根据平行线的性质得出，，，，，即可求解． 【详解】解：过作，过作，过作，过作， ∴，，，， 又， ∴， ∴， 又， ∴ ． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，根据正切值求边长是关键．过点作轴，根据正切值的定义，列式求解即可． 【详解】解：过点作轴， ， ， ， ； 故答案为：． 13. 已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是________． 【答案】， 【解析】 【分析】先确定抛物线的解析式为直线x=2,则利用抛物线的对称性可确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为,然后根据抛物线与x轴的交点问题可判断一元二次方程的两个实数根. 【详解】抛物线（为常数)的对称轴为直线,x=-=2， 而抛物线与x轴的一个交点坐标为, 所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 所以关于x的一元二次方程的两个实数根是,=3. 故答案为,=3 【点睛】根据抛物线与x轴交点的性质和根与系数的关系进行解答． 14. 如图，已知为半圆O的直径，点C为半圆O上一点，延长至点D，使，连接，过点C作半圆O的切线，交于点E，连接交半圆O于点F，连接并延长交于点G．下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确结论的序号是______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】先根据直径所对的圆周角是直角，得出，再结合，得出垂直平分，从而可得，由此可判断①； 先根据直径的意义得出为的中点，再得出为的中点，从而可得为的中位线，于是就有，再根据切线的性质得出，从而可得，由此可判断②； 利用举反例可说明③错误； 先根据切线的性质得出，从而可得，再得出，然后根据等边对等角得出，从而可得，于是有，根据等边对等角得出，从而可得，进而得出，从而根据，可证明，由此可判断④； 先根据相似三角形的性质得出，再根据，，求得，从而可求得，由此可判断⑤． 【详解】解：如图， ∵为半圆O的直径， ∴， ∴， ∵延长至点D，使， ∴垂直平分， ∴， 故①正确； ∵为半圆O的直径， ∴为的中点， ∵， ∴为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵过点C作半圆O的切线，为半径， ∴， ∴， 故②正确； 点C为半圆O上一点， 当点C靠近B，则很小， 接近半圆，显然不满足2倍关系， 故③错误； ∵是切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， 故④正确． ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故⑤错误， 综上所述，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，半圆（直径）所对的圆周角是直角，切线的性质定理，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的性质和判定等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 三、解答题 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式 . 16. 将分别标有数字1，2，4的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上． （1）随机地抽取一张，则抽到卡片上所标数字为奇数的概率是 ； （2）随机地抽取一张，卡片上所标数字作为十位上的数字（不放回），再抽取一张，卡片上所标数字作为个位上的数字，请用列表或画树状图的方法，求这个两位数能被3整除的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，熟记概率公式是解题的关键． （1）先求出这组数中的奇数的个数，再利用概率公式解答即可； （2）首先根据题意直接列出所有可能出现的结果，再算出这个两位数能被3整除的概率． 【小问1详解】 解：数字1，2，4中只有一个奇数， 抽到卡片上所标数字为奇数的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 1 2 4 1 12 14 2 21 24 4 41 42 出现的等可能性结果有6种，两位数能被3整除的有12，21，24，42共4种， 能被3整除的概率是． 17. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （2）在图中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （3）在图中画出，点在上，连结，使． 【答案】（1）画图见解析； （2）画图见解析； （3）画图见解析． 【解析】 【分析】（）取格点，，连接交于点，取与网格线的交点，连接，即可求解； （）取格点，，连接交于点，取与网格线的交点，连接，即可求解； （）取格点，，连接交于点，连接，即可求解； 本题考查了格点图中画相似三角形，熟练掌握知识相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图， ∴即为所求； 【小问2详解】 解：如图， ∴即为所求； 【小问3详解】 解：如图，, 则，又因为 所以. ∴即为所求． 18. 当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． （1）求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 【答案】（1）每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； （2）该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语句，找准数量关系，正确列出二元一次方程组，一元一次不等式是解题的关键． （1）设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意，列出不等式，即可求解． 【小问1详解】 解：设每台A种型号机器人每小时完成a米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成b米焊缝，根据题意： ， 解得：， 答：每台A种型号机器人每小时完成22米焊缝， 每台B种型号机器人每小时完成18米焊缝； 【小问2详解】 解：设该工厂同一时间内需要部署x台A型机器人，根据题意： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x的最小值取13， 答：该工厂同一时间内至少需要部署13台A型机器人． 19. 如图，在矩形中，连接，延长至，使，过点作交延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质和菱形的判定，掌握相关图形的基本性质，并能结合勾股定理计算线段长度是解题的关键． （1）根据矩形性质先判定四边形是平行四边形，然后有即可证明菱形； （2）先根据矩形性质得到和的长度，然后用勾股定理算出即为，然后算出的长度，在利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 证明：由矩形可得：， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； 【小问2详解】 解：在矩形中，， 在中，， 由（1）得：， ∴， 在中，． 20. 为了解某市中学生绿色出行（步行、骑行、公共交通）的每周次数，随机调查了名中学生的出行情况，并绘制如下的统计图①和图②．结合图形回答下列问题： （1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，中学生绿色出行次数的众数是 ，中位数是 ； （2）补全图②； （3）求这组中学生每周绿色出行次数的平均数． 【答案】（1）60，20，4，3 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，平均数，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）用1次的人数除以所占的百分比即可求出n的值，用1减去其他次数所占的百分比即可求出r的值，然后根据众数和中位数的概念求解即可； （2）由（1）求出的数据补全统计图即可； （3）根据平均数的概念求解即可． 【小问1详解】 解：； ∴； 次数为2的人数为，次数为3的人数为， ∴中学生绿色出行次数为4的人数最多 ∴众数为4； ∵将60个数据从小到大排列后，第30个数据为3，第31个数据为3， ∴中位数为； 【小问2详解】 解：由（1）得，次数为2的人数为12，次数为3的人数为12， 补全统计图如下： 【小问3详解】 解： ∴这组中学生每周绿色出行次数的平均数为． 21. 某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准．居民每月应缴水费（元）是用水量（吨）的函数，其图象如图所示． （1）分别求出当和时，关于的函数表达式； （2）若某用户某月用水9吨，则应缴水费多少元？若某月缴水费102元，则这个月用水多少吨？ 【答案】（1）； （2）居民该月用水吨，应交水费元；若该月交水费102元，则用水吨． 【解析】 【分析】（1）当时，设出正比例函数，把代入计算即可；当时，设出一次函数，把，代入计算即可； （2）分别代入相应的函数，计算即可． 【小问1详解】 解：当时，设函数解析式为， 由题意得 ， 解得， ∴； 当时，设函数解析式为， 由题意得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：当时， 元； 当时， ， 解得． 答：居民该月用水吨，应交水费元；若该月交水费102元，则用水吨． 22. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 【答案】【数学思考】见解析；【解决问题】；【拓展研究】或 【解析】 【分析】数学思考：证出，由可证明； 解决问题：求出，过点作，交的延长线于点，由勾股定理求出，则可得出答案； 拓展研究：分两种情况，当线段与交于点时，当的延长线交于点时，结合全等三角形的性质，勾股定理及三角形面积可得出答案． 【详解】数学思考：证明：将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ， ； 解决问题：解：过点作，交的延长线于点，连接 ， ， 矩形绕着点逆时针旋转得到矩形， ，， ， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， ， ； 拓展研究：解：当线段与交于点时，作于， 是的中点， ， ，， ， ，， ， ，， ， ， 当的延长线交于点时，由上知， ， ， 综上所述，的面积是或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，通过旋转构造全等三角形，再结合勾股定理计算是解题的关键． 23. 在矩形中，，．点是射线上的一点，以点为中心将顺时针旋转90°得到，连结． （1）如图①，当点在边上时，求证：； （2）在图②中只用无刻度的直尺和圆规，作出；（保留作图痕迹．不用写出作图过程） （3）如图③，设线段与射线交于点， ①若，此时线段的长度为______； ②若线段或与射线交于点，过点作交于点，若，直接写出的长度． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）①；②或． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质可得，根据矩形的性质可得，进而得出，即可证明，可得，进而可得； （2）过点作，截取，连接，即可求解； （3）①证明，即可求解； ②分类讨论，当与射线交于点，过点作于点，根据得出，证明，，根据相似三角形的性质，即可求解；当线段与射线交于点，同理可得，，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转可得 ∴， ∵在矩形中，， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 解：①如图， 由旋转可得 ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ②如图，当与射线交于点，过点作于点 由（1）可得 ∴， ∵， ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； ②如图，当线段与射线交于点， 同理可得，，， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得： ∴ 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，基本作图，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 24. 已知抛物线经过点，点为抛物线上一点，横坐标为，点为平面内一点（，不重合），横坐标为，轴．将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连结． （1）求的值及该抛物线与轴的交点坐标； （2）直线⊥轴于点，当时， ①的值为________； ②求的值； （3）当时，若点到直线的距离为点到直线的距离的，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）①3；② （3）或 【解析】 【分析】（1）把点A坐标代入抛物线解析式，求解b的值；令，计算对应y值，得到抛物线与y轴交点坐标． （2）因为平行x轴，所以点M和点N纵坐标相等，结合M横坐标为m，写出M的坐标表达式，再根据旋转性质得到P点坐标，结合与的长度关系得到Q点坐标．对于的条件，可知点A在的垂直平分线上，得到是中点；根据线段关系表示出、的长度，再计算比值即可．之后代入坐标关系求解m的值． （3）设所在直线交于，过点M作，过点N作，先求直线的解析式，并表示出K点坐标，再根据点到直线距离关系得到，即，结合的条件，求解m的值． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴抛物线解析式为， 令，得， ∴抛物线与轴交点为． 【小问2详解】 解：①如图， ∵轴， ∴线段绕点逆时针旋转后为竖直线，交轴于． ∵，都在上， ∴​，即是中点． 设， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． ②设点坐标为，代入抛物线得 ， ∵轴， ∴的纵坐标和的相等，横坐标为， ∴． 由题意知P和M的横坐标相同（均为m），． 若，在右侧，向右的线段逆时针转向上， ∴的纵坐标为； 若，在左侧，向左的线段逆时针转向下， ∴的纵坐标为． ∴的纵坐标恒为： ，即． 延长至，使，都在竖直线上，， ∴，且在远离的一侧， ∴的纵坐标为 ，​  即． ∵​， ∴ ，即， 解得或， 当时重合（舍去）， 故． 【小问3详解】 解：如图，设所在直线交于，过点M作，过点N作， ∵点到直线的距离为点到直线的距离的一半，即， 又∵， ， ∴，即， 设直线的解析式为， 将、即代入直线解析式，得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵的纵坐标为， ∴的横坐标为， ∴， 最终因式分解约分得 ，即， 解得或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春市第四十五中学2025-2026年度下学期 九年级数学学科大练习 一．选择题 1. 下列实数中，是无理数的是（ ） A. 3.14 B. C. D. 2. 下列几何体中，属于棱柱的有（　　） A. 6个 B. 5个 C. 4个 D. 3个 3. 如图，在中，，将沿虚线剪去，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列用四舍五入法得到的近似数，描述错误的是（ ） A. （精确到） B. （精确到千分位） C. 万（精确到十分位） D. （精确到万位） 5. ，、是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某旗杆高为10米，不同时间观察该旗杆在地面上的影子，第一次是当阳光与地面成时，第二次是当阳光与地面成时，第二次观察到的影子比第一次的长（ ）米． A. B. C. D. 7. 如图，在中，平分，按如下步骤作图：第一步，分别以点、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点、；第二步，过、两点作直线分别交、于点、；第三步，连接、．若，，，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 7 8. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点．当m的值由4逐渐减小到时，关于线段的长度，下列判断正确的是（ ） A. 由大变小 B. 由小变大 C. 保持不变 D. 有最小值 二．填空题 9. 计算：______． 10. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________． 11. 如图，已知，，则_____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限内．若与x轴负半轴的夹角的正切值为，则的值为______． 13. 已知二次函数（为常数）的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两个实数根是________． 14. 如图，已知为半圆O的直径，点C为半圆O上一点，延长至点D，使，连接，过点C作半圆O的切线，交于点E，连接交半圆O于点F，连接并延长交于点G．下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确结论的序号是______． 三、解答题 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 将分别标有数字1，2，4的三张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上． （1）随机地抽取一张，则抽到卡片上所标数字为奇数的概率是 ； （2）随机地抽取一张，卡片上所标数字作为十位上的数字（不放回），再抽取一张，卡片上所标数字作为个位上的数字，请用列表或画树状图的方法，求这个两位数能被3整除的概率． 17. 图、图、图均是的正方形网格，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （2）在图中，分别在边、上画点、，连结，使，且． （3）在图中画出，点在上，连结，使． 18. 当下，人工智能技术飞速发展，应用也越来越广泛，正推动生产方式向智能化、高效化转变．某汽车制造厂采用了A，B两种型号机器人进行车身焊缝．已知1台A型机器人和3台B型机器人同时工作1小时可完成76米焊缝，3台A型机器人和2台B型机器人同时工作1小时可完成102米焊缝． （1）求每台A，B两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝； （2）由于场地限制，该工厂同一时间内最多可部署20台机器人．若要确保每小时完成410米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台A型机器人？ 19. 如图，在矩形中，连接，延长至，使，过点作交延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接，若，求线段的长． 20. 为了解某市中学生绿色出行（步行、骑行、公共交通）的每周次数，随机调查了名中学生的出行情况，并绘制如下的统计图①和图②．结合图形回答下列问题： （1）填空：的值为 ，图①中的值为 ，中学生绿色出行次数的众数是 ，中位数是 ； （2）补全图②； （3）求这组中学生每周绿色出行次数的平均数． 21. 某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准．居民每月应缴水费（元）是用水量（吨）的函数，其图象如图所示． （1）分别求出当和时，关于的函数表达式； （2）若某用户某月用水9吨，则应缴水费多少元？若某月缴水费102元，则这个月用水多少吨？ 22. 综合与实践：开展“矩形的旋转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并探索发现．在矩形纸片中，，． ． 【数学思考】如图1，圆圆将矩形绕着点逆时针旋转得到矩形，使得点落在边上，点作．求证：； 【解决问题】如图2，连结，求线段的长． 【拓展研究】从图2开始，圆圆将矩形绕着点逆时针转动一周，若直线恰好经过线段中点时，连结，，直接写出的面积是 23. 在矩形中，，．点是射线上的一点，以点为中心将顺时针旋转90°得到，连结． （1）如图①，当点在边上时，求证：； （2）在图②中只用无刻度的直尺和圆规，作出；（保留作图痕迹．不用写出作图过程） （3）如图③，设线段与射线交于点， ①若，此时线段的长度为______； ②若线段或与射线交于点，过点作交于点，若，直接写出的长度． 24. 已知抛物线经过点，点为抛物线上一点，横坐标为，点为平面内一点（，不重合），横坐标为，轴．将线段绕点逆时针旋转得到线段，延长至点，使，连结． （1）求的值及该抛物线与轴的交点坐标； （2）直线⊥轴于点，当时， ①的值为________； ②求的值； （3）当时，若点到直线的距离为点到直线的距离的，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $