专题1 集合（讲义）-2027年重庆市（高职对口招生）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年重庆市高职对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年重庆市高职对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合的概念、关系与运算 【复习目标】 1.理解集合及其表示； 2.掌握集合的运算. 考点1 集合的概念与表示方法 1.集合 （1）集合：由一些确定对象所组成的整体称为 ，简称为 ，每个确定的对象叫作这个集合的 。 （2）集合元素的特征： 、 、 。 （3）常见数集：自然数集 ，正整数集 ，整数集 ，有理数集 ，实数集 。 （4）空集：不含任何元素的集合叫作 ，记作 。 2.元素与集合的关系 如果 是集合 的元素，记作 ；如果 不是集合 的元素，记作 。 3. 集合的表示方法 （1）列举法：把集合中的元素 列举出来，写在大括号里。如： 。 （2）描述法：把集合中所有元素的 描述出来，写在大括号里。如： 。 （3）图示法：用数轴或韦恩图。 【即时训练】 1. 下列四组对象，能构成集合的是 ( ) A. 某班所有高个子的学生 B. 杰出的艺术家 C. 一切很厚的书 D. 倒数等于它自身的实数 2. 下列各组对象中，不能组成集合的是 ( ) A. 所有的正六边形 B. 《数学》第一册中的所有习题 C. 所有的数学容易题 D. 所有的有理数 3. 下列关系正确的是 ( ) A. B. C. D. 4. 集合用列举法可表示为 ( ) A. B. C. D. 5. 若集合，则下列关系正确的是 ( ) A. B. C. D. 6. 方程组的解组成的集合为 ( ) A. B. C. D. 7. 集合是指 ( ) A. 第一象限内所有点的集合 B. 第二象限内所有点的集合 C. 第三象限内所有点的集合 D. 第四象限内所有点的集合 8. 已知集合，，则集合B中元素个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考点2 集合与集合的关系 1. 子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫作集合B的 ，记作： ，注意： 。 2. 真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B 不属于集合A，那么集合A就叫作集合B的 ，记作： ，注意：空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集， 3. 相等：如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合 ，记作： 4. 结论：一个集合有个元素，则子集有 个，真子集有 个，非空真子集 有个。 【即时训练】 9. 满足条件的集合A有 ( ) 种 A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 10. 集合的真子集的个数为 ( ) A.3 B.4 C.7 D.8 11. 集合的子集个数是 ( ) A.4 B.8 C.12 D.16 12. 下列四个写法:(1);(2);(3);(4) . 其中正确写法的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 13. 下列四个命题:①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集。其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 考点3 集合的运算 1. 交集 （1）概念：设是两个集合，由 的所有元素组成的集合，叫作集合A与集合B的交集。记作： ，即： 。 （2）性质：① ； ② ，= ； ③ ， ； ④ ， 。 2. 并集 （1）概念：设是两个集合，由所有 的元素组成的集合，叫作集合A与集合B的 ，记作： ，即： （2）性质：①； ② ， ； ③ ， ； ④ ， 。 3. 补集 （1）概念： 如果集合A是全集U中的一个子集，则由 的元素组成的集合，叫作子集 A 在全集U中的 。记作，即： 。 （2）性质：① ； ② ； ③ 【即时训练】 14. 已知集合，, 则 ( ) A. B. C. D. 15. 已知集合，, 则( ) A.{0,1} B.{−1,2,4} C.{−1,0,1,2,4} D.{−1} 16. 设集合,,则( ) A.{5} B.{3,5} C.{1,3,5} D.{1,3,5,7} 17. 已知集合,,则 ( ) A. B. C. D. 18. 若集合, , 则 ( ) A. B. C. D. 19. 已知集合, , , 则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 20. 已知全集, 集合, 集合, 则 ( ) A.{4} B.{1,3} C.{1,2,3,4} D.{1,3,4,5,6} 21. 设集合,,, 则 ( ) A.{2} B.{2,3} C.{−1,2,3} D.{1,2,3,4} （2026年重庆对口职高考试第1题） 1. 设集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. （2025年重庆对口职高考试第1题） 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. （2024年重庆对口职高考试第1题） 3. 下列集合中是集合的子集的是（ ） A． B． C． D． （2023年重庆对口职高考试第1题） 4. 与集合相等的是（ ） A． B． C． D． （2022年重庆对口职高考试第1题） 5. 设集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年重庆市高职对口招生《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年重庆市高职对口招生 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合的概念、关系与运算 【复习目标】 1.理解集合及其表示； 2.掌握集合的运算. 考点1 集合的概念与表示方法 1.集合 （1）集合：由一些确定对象所组成的整体称为 集合 ，简称为 集 ，每个确定的对象叫作这个集合的 元素 。 （2）集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。 （3）常见数集：自然数集，正整数集，整数集，有理数集，实数集。 （4）空集：不含任何元素的集合叫作 空集 ，记作。 2.元素与集合的关系 如果是集合的元素，记作；如果不是集合的元素，记作。 3. 集合的表示方法 （1）列举法：把集合中的元素 一一 列举出来，写在大括号里。如：。 （2）描述法：把集合中所有元素的 共同特征 描述出来，写在大括号里。如：。 （3）图示法：用数轴或韦恩图。 【即时训练】 1. 下列四组对象，能构成集合的是 ( ) A. 某班所有高个子的学生 B. 杰出的艺术家 C. 一切很厚的书 D. 倒数等于它自身的实数 【答案】D. 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】由集合的定义即可得解。 【详解】A选项，“高个子的学生” 标准不明确，不符合确定性，故错误； B选项，“杰出的艺术家” 标准不明确，不符合确定性，故错误； C选项，“很厚的书” 标准不明确，不符合确定性，故错误； D选项，倒数等于自身的实数为，符合集合的定义，故正确。 故选：D. 2. 下列各组对象中，不能组成集合的是 ( ) A. 所有的正六边形 B. 《数学》第一册中的所有习题 C. 所有的数学容易题 D. 所有的有理数 【答案】C. 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合的确定性判断。 【详解】集合的性质有：互异性，确定性，无序性； A选项，所有的正六边形符合集合的性质，故能构成集合； B选项，《数学》第一册中的所有习题符合集合的性质，故能构成集合； C选项，所有的数学容易题不符合确定性，故不能构成集合； D选项，所有的有理数符合集合的性质，故能构成集合。 故选：C. 3. 下列关系正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】C. 【知识点】常用数集或数集关系应用、判断元素与集合的关系 【分析】根据常见集合的概念及元素与集合的关系可判断结果。 【详解】对于A选项，-2是负整数，则，故A错误； 对于B选项，是分数，则，故 B错误； 对于C选项，π是无理数，则，故C正确； 对于D选项，5是自然数，则，故D错误。 故选：C. 4. 集合用列举法可表示为 ( ) A. B. C. D. 【答案】B. 【知识点】常用数集或数集关系应用、描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】利用性质描述法先求集合中元素，然后用列举法表示即可。 【详解】由题意可得，且，即用列举法为。 故选：B. 5. 若集合，则下列关系正确的是 ( ) A. B. C. D. 【答案】A. 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】判断元素与集合的关系，对选项中的元素逐一验证即可。 【详解】集合，满足集合A 的条件；，，所以是集合 A 中的元素，而，不是集合A中的元素。 故选：A. 6. 方程组的解组成的集合为 ( ) A. B. C. D. 【答案】C. 【知识点】列举法表示集合 【分析】根据集合的定义分析求解。 【详解】由方程组解得，所以方程组的解组成的集合为。 故选： C. 7. 集合是指 ( ) A. 第一象限内所有点的集合 B. 第二象限内所有点的集合 C. 第三象限内所有点的集合 D. 第四象限内所有点的集合 【答案】C 【知识点】描述法表示集合 【分析】根据集合的性质描述法以及平面直角坐标系四个象限的划分原则求解即可。 【详解】由集合可得，点的横坐标和纵坐标均为负数，则有序实数对所对应的点在第三象限，因此，该集合表示第三象限所有点的集合。故选： C. 8. 已知集合，，则集合B中元素个数为 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C. 【知识点】利用集合元素性质求元素个数、描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】由题意知：，，即可计算出集合B的元素，注意集合元素的互异性。 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，；所以集合，元素个数为3。 故选：C. 考点2 集合与集合的关系 1. 子集：如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫作集合B的 子集 ，记作：，注意：。 2. 真子集：如果集合A是集合B的子集，并且集合B 至少有一个元素 不属于集合A，那么集合A就叫作集合B的 真子集 ，记作：，注意：空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集， 3. 相等：如果两个集合的元素完全相同，那么我们就说这两个集合 相等 ，记作： 4. 结论：一个集合有个元素，则子集有个，真子集有个，非空真子集有个。 【即时训练】 9. 满足条件的集合A有 ( ) 种 A. 3 B. 5 C. 7 D. 8 【答案】D. 【知识点】判断集合子集 (真子集) 个数、求子集 (真子集) 【分析】集合A必包含，再根据包含关系列举即可。 【详解】满足条件的集合 A 共 8 个。 故选： D. 10. 集合的真子集的个数为 ( ) A.3 B.4 C.7 D.8 【答案】A. 【知识点】判断集合的子集 (真子集) 的个数 【分析】计算出该集合后，可得元素个数，从而得到真子集个数. 【详解】, 共有两个元素，故其真子集的个数为。 故选： A. 11. 集合的子集个数是 ( ) A.4 B.8 C.12 D.16 【答案】D. 【知识点】求集合的子集 (真子集) 【分析】若集合有个元素，则它有个子集，代入计算即可得解. 【详解】集合 A 中有 4 个元素，因此子集个数为个。 故选： D. 12. 下列四个写法:(1);(2);(3);(4) . 其中正确写法的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B. 【知识点】判断是否为同一集合､子集的概念､判断两个集合的包含关系､空集的概念以及判断 【分析】利用集合的概念与包含关系，逐一判断即可. 【详解】对于①，是集合，也是集合，所以不能用∈这个符号，故①错误； 对于②，是空集，也是集合，由于空集是任何集合的子集，故②正确； 对于③，由集合的无序性可知两集合是同一个集合，再由一个集合的本身是该集合的子集，故③正确； 对于④，，表示直线,两者毫无关联，故④错误； 综上，正确写法的有2个。 故选：B. 13. 下列四个命题:①空集没有子集；②空集是任何一个集合的真子集；③；④任何一个集合必有两个或两个以上的子集。其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】A 【知识点】判断集合的子集(真子集)的个数､空集的概念以及判断､空集的性质及应用 【分析】根据空集的定义和性质判断即可. 【详解】因为空集是其本身的子集，故①错误； 空集只有本身一个子集，故②④错误； 空集没有元素，而集合含有一个元素0, 故③错误。故正确命题个数为0。 故选：A. 考点3 集合的运算 1. 交集 （1）概念：设是两个集合，由既属于A又属于B的所有元素组成的集合，叫作集合A与集合B的交集。记作：，即：。 （2）性质：①； ②，=； ③，； ④，。 2. 并集 （1）概念：设是两个集合，由所有 属于A或属于B 的元素组成的集合，叫作集合A与集合B的 并集 ，记作：，即： （2）性质：①； ②，； ③，； ④，。 3. 补集 （1）概念： 如果集合A是全集U中的一个子集，则由 U中所有不属于A 的元素组成的集合，叫作子集 A 在全集U中的 补集 。记作，即：。 （2）性质：① ； ②； ③ 【即时训练】 14. 已知集合，, 则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D. 【知识点】交集的概念及运算 【分析】由集合的交集运算即可求解. 【详解】由集合，,及集合的交集运算知。 故选：D. 15. 已知集合，, 则( ) A.{0,1} B.{−1,2,4} C.{−1,0,1,2,4} D.{−1} 【答案】A. 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据集合的交集运算易得答案. 【详解】因为集合，, 所以。 故选：A. 16. 设集合,,则( ) A.{5} B.{3,5} C.{1,3,5} D.{1,3,5,7} 【答案】D. 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据集合并集的定义即可求解. 【详解】集合, ,。 故选：D. 17. 已知集合,,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A. 【知识点】并集的概念及运算 【分析】根据并集的定义即可得解. 【详解】因为, , 所以 。 故选：A. 18. 若集合, , 则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A. 【知识点】交集的概念及运算 【分析】根据交集的概念即可求解. 【详解】因为, , 所以。 故选： A. 19. 已知集合, , , 则( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B. 【知识点】根据并集结果求集合或参数 【分析】根据集合并集的运算结果求出参数即可解得. 【详解】因为集合, ,, 所以或. 当，即时，, , 此时, 不符合题意； 当, 即时，, , 此时, 符合题意，所以。 故选：B. 20. 已知全集, 集合, 集合, 则 ( ) A.{4} B.{1,3} C.{1,2,3,4} D.{1,3,4,5,6} 【答案】B. 【知识点】交集的概念及运算､补集的概念及运算､交并补混合运算 【分析】根据交集和补集的定义及运算求解即可. 【详解】因为全集, 集合, 所以, 又因为集合, 所以。 故选：B. 21. 设集合,,, 则 ( ) A.{2} B.{2,3} C.{−1,2,3} D.{1,2,3,4} 【答案】D. 【知识点】交集的概念及运算､并集的概念及运算 【分析】根据集合的运算，先算交集，再算并集得到答案. 【详解】由题意得, 再计算。 故选：D. （2026年重庆对口职高考试第1题） 1. 设集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据交集定义，即可求解. 【详解】由集合，集合，则. 故选：B. （2025年重庆对口职高考试第1题） 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据集合的交集概念，即可求解. 【详解】因为集合，所以. 故选：B. （2024年重庆对口职高考试第1题） 3. 下列集合中是集合的子集的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据求解一元一次不等式以及子集的概念，即可求解. 【详解】由集合知 解得；又因为，表示正整数；所以或，用列举法表示为.其子集分别为：，，，. 故选：B. （2023年重庆对口职高考试第1题） 4. 与集合相等的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据求解一元二次方程以及集合相等的概念，即可求解. 【详解】由集合知 解得或；用列举法表示得. 故选：D. （2022年重庆对口职高考试第1题） 5. 设集合，集合，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据并集定义，即可求解. 【详解】由集合，集合，则. 故选：D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $