专题6 函数的性质（讲义）-2027年江西省（三校生对口升学）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年江西省三校生对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江西省三校生对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 函数的性质 【复习目标】 1. 掌握增减函数的定义，图像特征； 2. 能求基本初等函数的单调区间、比较函数值大小、解简单函数不等式； 3. 理解奇函数、偶函数定义与图像对称性，会按三步法判断奇偶性，能利用奇偶性求函数值、解析式； 4. 理解函数最大/最小值的概念，会结合单调性求基本初等函数在某区间上的最值. 5. 能结合单调性、奇偶性、最值解决简单综合题，理解性质之间的关联. 考点1 函数的单调性 增函数和减函数的概念：设函数的定义域为D，区间. (1). 如果对于区间I上的任意两点和 ，当时，都有，那么称函数在区间I上是______函数，区间I称为函数)的_______________，如图(1)所示. (2). 如果对于区间I上的任意两点和 ，当时，都有，那么称函数在区间I上是______函数，区间I称为函数)的_______________，如图(2)所示. (1) (2) 单调性的概念：如果函数在区间I上是增函数或减函数，那么称函数在区间I上具有单调性，区间I称为_______________，增区间也称为__________________，减区间也称为__________________. 单调性、自变量的大小关系、函数值的大小关系： 若是增函数，则自变量的大小关系与对应函数值的大小关系_________，反之亦然. 若是减函数，则自变量的大小关系与对应函数值的大小关系_________，反之亦然. 【即时训练】 1．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是. ························································································································（A B） 2．函数单调增区间是和. ····················································（A B） 3．若函数在R上是减函数，且，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 4．函数定义域为，且在上是增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．是奇函数，在区间上是减函数，且有最小值3，则在区间上（     ） A．是增函数且有最小值3 B．是增函数且有最小值 C．是减函数且有最大值3 D．是减函数且有最大值 6．函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．函数定义域是，且为增函数，若，则实数的取值范围为____________. 8．若是定义在上的减函数，且，则的取值范围是_______________． 考点2 函数的奇偶性 偶函数的概念：设函数的定义域为数集D，若对于任意的，都有，且， 则称是____________，偶函数的图像关于____________对称. 奇函数的概念：设函数的定义域为数集D，若对于任意的，都有，且， 则称是____________，奇函数的图像关于____________对称. 如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数具有______________，其定义域一定关于_________对称. 函数奇偶性概念的注意事项： (1). 单调性可以描述函数的___________性质，但是奇偶性描述的是函数的_____________________的性质； (2). 函数具有奇偶性的前提是：____________________________________. (3). 若，且，则既___________奇函数，也____________偶函数. 奇偶性的四则运算：把奇函数当做负数，偶函数当正数，运算的结果是负数，则是奇函数，运算的结果是正数，则是______函数. 如：奇函数+奇函数=______函数，奇函数×偶函数=______函数. 【即时训练】 9．函数是偶函数. ···········································································（A B） 10．定义在上的函数，满足，则函数为增函数. ··························（A B） 11．函数的图像关于y轴对称. ································································（A B） 12．下列函数关于原点对称的函数是（    ） A． B． C． D． 13．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（     ） A． B． C． D． 14．下列函数为偶函数的是（     ） A． B． C． D． 15．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 16．已知函数在R上是奇函数，且当时，，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D． 17．已知二次函数是偶函数，则实数m的值是（     ） A． B．0 C．2 D． 18．已知函数满足，则__________． 19．若函数为定义在R上的偶函数，且，则________． 20．若为定义在R上的偶函数，则实数_______． 1. (2025·江西·真题T05)已知函数的定义域为R，则“”是“是奇函数”的必要不充分条件. ·····················································································································（A B） 2. (2022·江西·真题T03) 若对于定义域内的任意，都有则函数是奇函数. ···························································································································（A B） 3. (2022年高考真题T24) 函数为偶函数的充要条件是___________________. 4. (2021·江西·真题T27) 已知函数，判断的奇偶性并证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年江西省三校生对口升学《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年江西省三校生对口升学 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题6 函数的性质 【复习目标】 1. 掌握增减函数的定义，图像特征； 2. 能求基本初等函数的单调区间、比较函数值大小、解简单函数不等式； 3. 理解奇函数、偶函数定义与图像对称性，会按三步法判断奇偶性，能利用奇偶性求函数值、解析式； 4. 理解函数最大/最小值的概念，会结合单调性求基本初等函数在某区间上的最值. 5. 能结合单调性、奇偶性、最值解决简单综合题，理解性质之间的关联. 考点1 函数的单调性 增函数和减函数的概念：设函数的定义域为D，区间. (1). 如果对于区间I上的任意两点和 ，当时，都有，那么称函数在区间I上是增函数，区间I称为函数)的增区间，如图(1)所示. (2). 如果对于区间I上的任意两点和 ，当时，都有，那么称函数在区间I上是减函数，区间I称为函数)的减区间，如图(2)所示. (1) (2) 单调性的概念：如果函数在区间I上是增函数或减函数，那么称函数在区间I上具有单调性，区间I称为单调区间，增区间也称为单调增区间，减区间也称为单调减区间. 单调性、自变量的大小关系、函数值的大小关系： 若是增函数，则自变量的大小关系与对应函数值的大小关系一致，反之亦然. 若是减函数，则自变量的大小关系与对应函数值的大小关系相反，反之亦然. 【即时训练】 1．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是. ························································································································（A B） 【答案】A 【分析】根据函数的单调性列出不等式即可得解. 【详解】在上单调递增，，，解得， 实数的取值范围为，故选A . 2．函数单调增区间是和. ··················································（A B） 【答案】A 【分析】确定的单调性及函数值的正负，然后结合绝对值的性质得单调增区间． 【详解】，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以单调增区间是和，故选A． 3．若函数在R上是减函数，且，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性与函数值的大小，确定自变量的大小关系，进而得到答案. 【详解】在R上是减函数，，，，故选A . 4．函数定义域为，且在上是增函数，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的单调性，解不等式，即可求解. 【详解】由题意知函数的定义域为，且在上是增函数， 因为，所以，解得，故选B. 5．是奇函数，在区间上是减函数，且有最小值3，则在区间上（     ） A．是增函数且有最小值3 B．是增函数且有最小值 C．是减函数且有最大值3 D．是减函数且有最大值 【答案】D 【分析】根据奇函数在对称区间上的单调性不变，最值相反即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，所以关于原点对称， 则函数单调性不变，最值相反.即在也是减函数，且有最大值，最大值为，故选D. 6．函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】已知函数的对称轴为， 因为函数的图像开口上，且在区间上是减函数， 所以令，可得，故选B. 7．函数定义域是，且为增函数，若，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【分析】根据的定义域与单调性解抽象不等式即可得解. 【详解】已知函数的定义域是，且为增函数， 由，得， 由，得或，由，得，由，得或， 综上，或，即实数的取值范围为，故答案为：. 8．若是定义在上的减函数，且，则的取值范围是_______________． 【答案】 【分析】根据函数的单调性即可求解. 【详解】因为是定义在上的减函数，且， 所以，解得，所以的取值范围是，故答案为：. 考点2 函数的奇偶性 偶函数的概念：设函数的定义域为数集D，若对于任意的，都有，且， 则称是偶函数，偶函数的图像关于y轴对称. 奇函数的概念：设函数的定义域为数集D，若对于任意的，都有，且， 则称是奇函数，奇函数的图像关于原点中心对称. 如果一个函数是奇函数或偶函数，就说这个函数具有奇偶性，其定义域一定关于原点对称. 函数奇偶性概念的注意事项： (1). 单调性可以描述函数的局部性质，但是奇偶性描述的是函数的整个定义域内的性质； (2). 函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称. (3). 若，且，则既不是奇函数，也不是偶函数. 奇偶性的四则运算：把奇函数当做负数，偶函数当正数，运算的结果是负数，则是奇函数，运算的结果是正数，则是偶函数. 如：奇函数+奇函数=奇函数，奇函数×偶函数=奇函数. 【即时训练】 9．函数是偶函数. ···········································································（A B） 【答案】B 【分析】根据奇偶性的定义域要求进行判断. 【详解】函数具备奇偶性的前提是定义域必须关于原点对称，本题定义域不关于原点对称，故选B . 10．定义在上的函数，满足，则函数为增函数. ·························（A B） 【答案】B 【分析】根据函数单调性的定义可确定答案． 【详解】定义在上的函数，满足 ，不能说明任意都有， 所以不能判断函数为增函数，故选B . 11．函数的图像关于y轴对称. ·······························································（A B） 【答案】A 【分析】判断函数的奇偶性即可知道函数图像是否关于轴对称. 【详解】函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，即，故函数为偶函数，其图像是关于轴对称，故选A . 12．下列函数关于原点对称的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义判断即可. 【详解】函数若关于原点对称则函数为奇函数， A：的定义域为R，定义域关于原点对称， ，不是奇函数，不关于原点对称，错误， B：的定义域为R，定义域关于原点对称，，不关于原点对称，错误， C：的定义域为，定义域关于原点对称， ，是奇函数，关于原点对称，正确， D：的定义域为，定义域不关于原点对称，故不关于原点对称，错误，故选C． 13．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数，二次函数和反比例函数的性质判断奇偶性和单调性即可. 【详解】对A：为一次函数，，所以函数是奇函数且为增函数，A正确， 对B：为反比例函数，，所以函数是奇函数，在，上单调递减，B错误， 对C：为二次函数，，所以函数为偶函数，且图像开口向上， 在上单调递减，上单调递增，C错误， 对D：为一次函数，，所以函数是奇函数且为减函数，D错误，故选A. 14．下列函数为偶函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性的定义逐个分析即可. 【详解】的定义域为，关于原点对称，令，则， 所以为偶函数，A正确. 的定义域为R，关于原点对称，令，则， 则，所以为非奇非偶函数，B错误. 的定义域为R，关于原点对称，令，则， 所以为奇函数，C错误. 的定义域为，不关于原点对称，所以为非奇非偶函数，D错误，故选A. 15．已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，则的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的偶函数性质和增函数性质易得答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，所以， 因为在上是增函数，，所以，即，故选A. 16．已知函数在R上是奇函数，且当时，，则的值为（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】由奇函数的性质及函数的解析式即可得解. 【详解】当时，，所以， 又在上是奇函数，故，故选B. 17．已知二次函数是偶函数，则实数m的值是（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】D 【分析】考查二次函数的定义和函数的奇偶性. 【详解】因为二次函数是偶函数， 所以有，解得，所以的值为，故选D. 18．已知函数满足，则__________． 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，求解函数的值. 【详解】∵，令， ∵，∴故为奇函数， ∵，∴，∴，故 ∴，故答案为：. 19．若函数为定义在R上的偶函数，且，则________． 【答案】2 【分析】根据偶函数的性质求解即可. 【详解】为定义在R上的偶函数，即， ，解得，故答案为：2. 20．若为定义在R上的偶函数，则实数_______． 【答案】1 【分析】利用偶函数的性质求解即可. 【详解】因为函数的定义域为，由偶函数的性质可得，. 即，即，由于上式对于任意都成立，可得， 即，故答案为：1. 1. (2025·江西·真题T05)已知函数的定义域为R，则“”是“是奇函数”的必要不充分条件. ·····················································································································（A B） 【答案】A 【分析】本题求考察函数奇偶性的定义. 【详解】由不能得出对于，都有，所以充分性不成立，若是奇函数且，则有，即，，所以，所以必要性成立，故选A. 2. (2022·江西·真题T03) 若对于定义域内的任意，都有则函数是奇函数. ···························································································································（A B） 【答案】A 【分析】本题求考察函数奇偶性的定义. 【详解】因为对于定义域内的任意，都有，所以，符合奇函数的定义，所以结论正确，故选A. 3. (2022年高考真题T24) 函数为偶函数的充要条件是___________________. 【答案】 【分析】本题考察函数的奇偶性. 【详解】因为的定义域为且为偶函数，所以，， 所以 ，所以 ，所以. 4. (2021·江西·真题T27) 已知函数，判断的奇偶性并证明. 【详解】是偶函数，证明如下： 的定义域为R， 因为， 所以是偶函数. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $