专题1 集合（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1 集合 【复习目标】 1.理解集合的概念. 2.掌握集合的表示方法. 3.掌握集合之间的关系. 4.掌握集合的交、并、补运算. 考点1 集合的概念 知识梳理内容 1.一般地，把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就形成一个 ，构成集合的每个对象都叫做这个集合的 . 一个集合通常用大写的英文字母A,B,C……来表示，它的元素通常用小写的英文字母a,b,c……表示. 2.集合中元素的特性是 、 、 . 3.集合的分类:含有有限个元素的集合称为 ，含有无限个元素的集合称为 ，不含任何元素的集合称为 ，记作 . 4.常见数集的符号表示: 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号表示 【即时训练】 1.以下各项中，可以组成集合的是(  ) A.与1相近的实数的全体 B.颜色鲜艳的花 C.所有高个子学生 D.正三角形的全体 2.若集合中的元素作为△ABC的三边长，则△ABC一定不是(  ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 3.由下列对象组成的集合，其中有限集的个数是(  ) (1)不超过的正整数； (2)高一数学课本中所有难题； (3)中国的高山； (4)其平方等于自身的数； (5)某班班中考分以上的学生. A.0 B.1 C.2 D.3 考点2 元素与集合的关系 如果a是集合A中的元素,就说元素a属于集合A,记作 ；如果a不是集合A中的元素,就说元素a不属于集合A,记作 . 【即时训练】 4.下列表述不正确的是(  ) A. B. C. D. 5.下列关系中，正确的个数为(  ) ①；②；③；④；⑤；⑥． A.3 B.4 C.5 D.6 6.用符号“”“”填空： (1)3.14__________；     (2)0____________________偶数； (3)__________；     (4)__________｛有理数}． 7.已知集合只含有一个元素,则的值是_____. 8.已知集合,,且,求集合． 考点3 集合的表示方法 集合的表示方法有 、 、 (即Venn图法)三种. 【即时训练】 9.用列举法表示集合“大于2且小于7的整数”为__________. 10.用描述法表示“大于3且小于10的所有实数组成的集合”:________. 11.集合且表示平面直角坐标系中(  )的集合. A.第一象限的点 B.第二象限的点 C.第三象限的点 D.第四象限的点 12.方程组的解集是(  ) A. B. C. D. 13.定义:不小于x的最小整数,在数学中通常用向上取整函数表示,符号为,读作“x的上取整”,如,.已知集合,则(  ) A. B. C. D. 考点4 集合之间的关系 1.子集:如果集合A中的 元素都是集合 B的元素,那么集合A称为集合 B的子集,记作 (读作 )或 (读作 ).任何一个集合A都是它本身的子集,即 . 2.真子集:如果集合A是集合B的 ,并且 ,则集合A是集合B的真子集，记作 (读作 )或 (读作 ). 3.集合相等:如果两个集合的元素 ,则称这两个集合相等,集合 A与集合B相等，记作 . 4.子集、真子集、集合相等的关系 ①如果AB,则 A B或A B. ②如果AB且 BA,则 A B；反之 ,如果A=B,则 . 5.常用结论 ①如果集合A中有n个元素,则A有 个子集, 个真子集, 个非空子集, 个非空真子集. ②是任何一个集合的 ,是任何一个非空集合的 . 【即时训练】 14.已知集合,,若,则实数x的值是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 15.由英文单词“”中的字母构成的集合的子集个数为(  ) A.3 B.6 C.8 D. 16.用符号“”、“”或“”填空： ①______       ②______ 17.已知集合,若,则__________. 18.已知集合集合，且则a= _________. 19.给定集合A、B定义一种运算则构成的集合是________． 考点5 集合的运算 1.交集①定义:一般地,给定两个集合A,B,由 构成的集合称为集合A与集合B的交集,记作 ,读作 ,A∩B= . (如下图阴影部分所示) ②性质:A∩A= ；A∩B= ；A∩= ；若AB,则A∩B= ；反之,若A∩B=A,则 . 2.并集①定义:一般地,给定两个集合A,B,由 构成的集合称为集合A与集合B的并集,记作 ,读作 ,A∪B= . (如下图阴影部分所示) ②性质:A∪A= ；A∪B= ；A∪= ；若AB,则A∪B= ；反之,若A∪B=B,则 . 3.补集 ①全集:在研究集合间的关系时,每一个集合都是某一个给定集合U的子集，那么就称U为这些集合的 . ②补集的定义:如果集合A是全集U的一个子集,那么由 构成的集合,称为集合A在U中的补集,记作 ,读作 ,CUA= . ③性质:A∩CUA= ；A∪CUA= ；CU(CUA)= . 【即时训练】 20.已知集合,则(  ) A. B. C. D. 21.已知集合则(  ) A. B. C. D. 22.已知集合则所有满足条件的集合B的个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 23.设全集集合则等于(  ) A. B. C. D. 24.设全集集合则等于(  ) A. B. C. D. 25.设集合若则a的值为_________． 26.已知集合则__________. (2026年山东春考第1题) 1.已知集合则集合A的子集个数为(  ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个 (2025年山东春考第1题) 2.已知集合集合则(  ) A． B． C． D． (2024年山东春考第1题) 3.下列关系式正确的是(  ) A.B.C. D. (2023年山东春考第1题) 4.已知集合则(  ) A. B. C. D. (2022年山东春考第1题) 5.已知集合若则实数的值是(  ) A. B. C.D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题1集合 【复习目标】 1.理解集合的概念. 2.掌握集合的表示方法. 3.掌握集合之间的关系. 4.掌握集合的交、并、补运算. 考点1 集合的概念 知识梳理内容 1.一般地，把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就形成一个集合，构成集合的每个对象都叫做这个集合的 元素 . 一个集合通常用大写的英文字母A,B,C……来表示，它的元素通常用小写的英文字母a,b,c……表示. 2.集合中元素的特性是 确定性 、 互异性 、 无序性 . 3.集合的分类:含有有限个元素的集合称为 有限集 ，含有无限个元素的集合称为 无限集，不含任何元素的集合称为 空集 ，记作 . 4.常见数集的符号表示: 常用数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号表示 N N+或N* Z Q R 【即时训练】 1.以下各项中，可以组成集合的是(  ) A.与1相近的实数的全体 B.颜色鲜艳的花 C.所有高个子学生 D.正三角形的全体 【答案】D 【分析】根据集合的概念求解即可. 【详解】选项A.与1相近的实数的全体，与1相近概念不明确，不能构成集合. 选项B.颜色鲜艳的花，鲜艳定义不明确，不能构成集合. 选项C.所有高个子学生，高个子的定义不明确，不能构成集合. 选项D.正三角形的全体，正三角形定义明确，可以组合集合. 故选:D. 2.若集合中的元素作为△ABC的三边长，则△ABC一定不是(  ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.钝角三角形 【答案】C 【分析】根据集合中元素的互异性进行判断. 【详解】根据集合中元素互异性，，故三角形一定不是等腰三角形. 故选:C. 3.由下列对象组成的集合，其中有限集的个数是(  ) (1)不超过的正整数； (2)高一数学课本中所有难题； (3)中国的高山； (4)其平方等于自身的数； (5)某班班中考分以上的学生. A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【分析】根据有限集的定义和集合中元素的性质即可求解. 【详解】（1）不超过的正整数构成的集合为，为有限集； （2）高一数学课本中所有难题标准不明确，不能构成集合； （3）中国的高山标准不明确，不能构成集合； （4）其平方等于自身的数构成的集合为，为有限集； （5）某班中考分以上的学生标准明确，个数确定，故构成的集合为有限集； 综上，属于有限集的有（1）（4）（5），共3个. 故选:D 考点2 元素与集合的关系 如果a是集合A中的元素,就说元素a属于集合A,记作 aA ；如果a不是集合A中的元素,就说元素a不属于集合A,记作 aA. 【即时训练】 4.下列表述不正确的是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据常见数集的表示，及元素与集合的关系判断即可. 【详解】表示正整数集，故，A正确； 表示有理数集，故，B正确； 表示空集，不含任何元素，故，C错误； 表示自然数集，故，D正确. 故选:C. 5.下列关系中，正确的个数为(  ) ①；②；③；④；⑤；⑥． A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【分析】根据题意，结合元素与集合的关系，及常用数集，即可求解. 【详解】因为0是元素，是一个集合，故，故①错误； 因为是无理数，故，故②错误；因为是实数，故，故③正确； 因为是整数，故，故④正确；因为是有理数，故，故⑤正确； 因为是自然数，故，故⑥错误； 故正确的个数为3个. 故选:A. 6.用符号“”“”填空： (1)3.14__________；     (2)0____________________偶数； (3)__________；     (4)__________｛有理数}． 【答案】 【分析】根据元素与集合之间的关系即可求解． 【详解】3.14；0偶数；； ｛有理数}． 故答案为：. 7.已知集合只含有一个元素,则的值是_____. 【答案】0或/或0 【分析】根据题意，可分类讨论和两种情况，结合二次方程根的判别式，即可求解. 【详解】因为集合只含有一个元素， 所以方程只有一个解， 当时，方程为，解得，此时只有一个元素，符合题意； 当时，需满足，解得， 此时集合，只有一个元素，符合题意； 综上所述，或. 故答案为:0或. 8.已知集合,,且,求集合． 【答案】 【分析】根据集合之间的包含关系即可解得. 【详解】由题，集合，又知， 则，解得， 故答案为:. 考点3 集合的表示方法 集合的表示方法有 列举法 、 描述法 、 图示法 (即Venn图法)三种. 【即时训练】 9.用列举法表示集合“大于2且小于7的整数”为__________. 【答案】 【分析】根据集合的列举法表示即可. 【详解】“大于2且小于7的整数”为， 则该集合用列举法表示为， 故答案为:. 10.用描述法表示“大于3且小于10的所有实数组成的集合”:________. 【答案】 【分析】运用集合的描述法表示即可. 【详解】大于3且小于10的所有实数组成的集合为， ， 故答案为:. 11.集合且表示平面直角坐标系中(  )的集合. A.第一象限的点 B.第二象限的点 C.第三象限的点 D.第四象限的点 【答案】C 【分析】根据集合的表述法结合平面直角坐标系中各象限点的特征即可得解. 【详解】第三象限的点的特征是横坐标为负数，纵坐标为负数， 所以集合0且表示平面直角坐标系中第三象限的点的集合. 故选:C. 12.方程组的解集是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】解方程组即可得到其解集. 【详解】方程组中，将两式相加可得， 解得，代入可得， 所以方程组的解集为. 故选:C. 13.定义:不小于x的最小整数,在数学中通常用向上取整函数表示,符号为,读作“x的上取整”,如,.已知集合,则(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意分为，和三种情况，分别求，即可得到答案. 由题意可知，当时，， 当时，， 当时，， 所以. 故选:B. 考点4 集合之间的关系 1.子集:如果集合A中的 任意一个 元素都是集合 B的元素,那么集合A称为集合 B的子集,记作 AB (读作 A包含于B )或 BA (读作 B包含A ).任何一个集合A都是它本身的子集,即 AA . 2.真子集:如果集合A是集合B的 子集 ,并且 集合B中至少有一个元素不属于A ,则集合A是集合B的真子集，记作 AB (读作 A真包含于B)或BA (读作 B真包含A). 3.集合相等:如果两个集合的元素 完全相同 ,则称这两个集合相等,集合 A与集合B相等，记作 A=B . 4.子集、真子集、集合相等的关系 ①如果AB,则 A B或A = B. ②如果AB且 BA,则 A = B；反之 ,如果A=B,则 AB且 BA . 5.常用结论 ①如果集合A中有n个元素,则A有 2n 个子集, 2n-1 个真子集, 2n-1 个非空子集, 2n-2 个非空真子集. ②是任何一个集合的 子集 ,是任何一个非空集合的 真子集 . 【即时训练】 14.已知集合,,若,则实数x的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系即可求解x的值. 【详解】因为， 所以可知M是N的子集， 因为集合，， 所以， 所以x的值是1. 故选:A. 15.由英文单词“”中的字母构成的集合的子集个数为(  ) A.3 B.6 C.8 D. 【答案】C 【分析】首先确定该集合的元素的个数，再由子集个数的公式求值即可. 【详解】由英文单词“”中的字母构成的集合中， 共有共个元素，所以该集合的子集个数为， 故选:C. 16.用符号“”、“”或“”填空： ①______       ②______ 【答案】 【分析】根据集合与集合的关系可判断结果. 【详解】根据集合与集合的关系可得， ，. 故答案为:； 17.已知集合,若,则__________. 【答案】3 【分析】根据集合相等的定义即可求解. 【详解】因为集合，， 所以. 故答案为:3. 18.已知集合集合，且则a= _________. 【答案】 【分析】根据集合之间的包含关系即可解得. 【详解】由题，集合，又知， 则，解得， 故答案为:. 19.给定集合A、B定义一种运算则构成的集合是________． 【答案】 【分析】根据新运输的定义求解即可； 【详解】由题可知，，， 则. 故答案为:. 考点5 集合的运算 1.交集①定义:一般地,给定两个集合A,B,由 即属于集合A又属于B构成的集合称为集合A与集合B的交集,记作 A∩B ,读作A交B,A∩B=. (如下图阴影部分所示) ②性质:A∩A= A ；A∩B= A∩B ；A∩=；若AB,则A∩B= A ；反之,若A∩B=A,则 AB . 2.并集①定义:一般地,给定两个集合A,B,由 既属于集合A又属于集合B 构成的集合称为集合A与集合B的并集,记作 A∪B ,读作 A并B ,A∪B= . (如下图阴影部分所示 ②性质:A∪A= A ；A∪B= B∪A ；A∪= A ；若AB,则A∪B= B ；反之,若A∪B=B,则 AB . 3.补集 ①全集:在研究集合间的关系时,每一个集合都是某一个给定集合U的子集，那么就称U为这些集合的 全集 . ②补集的定义:如果集合A是全集U的一个子集,那么由 全集U中所有不属于A的元素构成的集合,称为集合A在U中的补集,记作 CUA ,读作集合A在U中的补集,CUA= . ③性质:A∩CUA= ；A∪CUA= U ；CU(CUA)= A . 【即时训练】 20.已知集合,则(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意结合交集的定义即可得解. 【详解】集合， 则， 故选:. 21.已知集合则(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据并集的运算求解. 【详解】已知集合，， 则. 故选:D. 22.已知集合则所有满足条件的集合B的个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【分析】根据集合并集的结果求解集合B即可. 【详解】集合，且，则B必含， 满足条件的集合B：、、、，共4个. 故选:D. 23.设全集集合则等于(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据题意结合交集及补集的定义即可求解. 【详解】全集，集合，， 则，， 故选:A. 24.设全集集合则等于(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意求出全集，利用补集的定义即可得解. 【详解】全集，集合， 则， 故选:. 25.设集合若则a的值为_________． 【答案】或1 【分析】根据交集的基本性质，即可求解集合中元素的未知数. 【详解】∵集合，， 所以集合B中含有元素和， ∴或， ∴或． 故答案为:或1． 26.已知集合则__________. 【答案】 【分析】由集合的交集和并集的定义进行运算即可. 【详解】因为集合， 所以，. 故答案为:. (2026年山东春考第1题) 1.已知集合则集合A的子集个数为(  ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的子集的概念即可求解. 【详解】集合的子集有， 所以集合A的子集个数为4个. 故选:C. (2025年山东春考第1题) 2.已知集合集合则(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集的运算定义计算即可. 【详解】∵集合，集合 ∴ 故选:C. (2024年山东春考第1题) 3.下列关系式正确的是(  ) A.B.C. D. 【答案】A 【分析】根据集合与元素，集合与集合之间的关系即可求解 【详解】对A:N为自然数集，Z为整数集，所以N⊆Z，故A正确； 对B:Q为有理数集，2为无理数，所以，故B错误； 对C:没有任何元素，所以，故C错误； 对D:N为自然数集，所以0∈N，故D错误. 故选:A. (2023年山东春考第1题) 4.已知集合则(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据交集得概念即可求解. 【详解】 故选:A. (2022年山东春考第1题) 5.已知集合若则实数的值是(  ) A. B. C.D. 【答案】A 【分析】根据集合之间的包含关系直接求得. 【详解】若，集合中的元素一定在集合中， 因为，所以, 又因为，所以. 故选:A. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $