2026年高考数学考前增强信心卷02（全国Ⅰ卷）（原卷版）

**基本信息** 以基础题为主，覆盖集合、函数、立体几何等核心知识，通过分层设计与真实情境（如抽球游戏）提升考前信心，培养数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算（题1）、命题判断（题2）、立体几何（题7）|基础题占比高，注重概念辨析与空间观念| |填空题|3题/15分|复数运算（题12）、等比数列（题13）、双曲线离心率（题14）|聚焦高频考点，强化运算能力| |解答题|5题/77分|三角函数（题15）、立体几何证明（题16）、概率统计（题17）、导数应用（题19）|综合题结合实际情境（如游戏规则），体现数学建模与逻辑推理，适配高考命题趋势|

亮剑高考・最后一练 2026年高考考前信心增强卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！ 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题设， 或， 所以. 2．已知命题：，有，命题：，使得，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】对于命题，取，得，所以命题不正确，所以是真命题； 对于命题，取，得，所以命题正确. 综上所述，和都是真命题. 3．已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据投影向量的计算公式求得正确答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为. 4．记，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， , 因, 故. . 综上可得大小关系：. 5．在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理把换成,代入化简得,结合三角形内角范围,得或,故三角形为等腰三角形或直角三角形. 【详解】在中，由正弦定理，为外接圆半径. 得，. 将其代入已知条件，可得. 化简得，因为，所以. 因此有两种情况： ①，即，此时为等腰三角形； ②，即，则，此时为直角三角形. 综上，的形状为等腰三角形或直角三角形. 6．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由已知变形得到，利用等差数列求通项公式得到，进而得，即可得答案. 【详解】由可变形为， 故为公差为的等差数列， 所以，所以，所以． 7．在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，利用距离公式求解即可. 【详解】如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，， 所以点到直线的距离为 故选：D 8．已知 ，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的最大值是（    ） A． B． C．4 D．14 【答案】C 【分析】先根据求出点的轨迹为圆，再结合直线与圆有交点时圆心到直线的距离不大于半径，求解的取值范围即可得到最大值。 【详解】设，由得，化简整理得. 由题意得直线与有公共点， 故， 解得， 所以实数 的最大值是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（     ） A．随机变量，则方差 B．2，4，5，7，8，11，15，18的上四分位数是13 C．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是 D．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，对于样本点对应的残差为 【答案】BCD 【分析】由二项分布的方差公式求方差判断A，由上四分位数的定义求分位数判断B，应用分步分类计数及排列组合求任意相邻两个数字的奇偶性不同的六位数的个数、其中相邻情况的个数，再由古典概型求概率判断C，根据样本中心求参数，再由残差的定义确定样本点的残差判断D. 【详解】A：由题设，则，错， B：由题设，数据从小到大排序知上四分位数是，对， C：将中任意相邻两个数字的奇偶性不同的六位数， 有两种情况：奇偶奇偶奇偶、偶奇偶奇偶奇，所以共有种， 其中相邻的情况，如：“奇偶奇偶奇偶”的排列， 共有奇偶相邻对有5个，将安排到其中一个， 再把中的奇数、偶数分别安排到余下的4个位置， 所以共有种， 同理“偶奇偶奇偶奇”的情况也有20种，故共有40种， 综上，在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是，对， D：由题意，可得，则， 当，则，则残差为，对. 10．已知函数的周期为，且向右平移个单位后所得到的函数为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在处取极值 【答案】AC 【分析】先根据周期公式求出值，再结合函数平移后为奇函数的性质确定值，得到函数解析式.再根据正弦函数的性质，逐一判断、、各选项是否正确. 先对函数求导，再根据极值点的定义，判断选项是否正确. 【详解】由，得，则， 将向右平移个单位长度，得. 因为是奇函数，所以，，得，. 由，得. 所以，. 选项A：令，则可转化为. 由，得，因在上单调递减， 故在上单调递减，故A正确. 选项B：因为，故B不正确. 选项C：当时，，故C正确. 选项D：，所以，， 所以在处一定不取极值，故D不正确. 11．在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 【答案】BCD 【分析】结合正方体性质，根据异面直线夹角，线面角的定义求解判断即可. 【详解】如下图，且为等边三角形，则与所成的角为，A错误； 由，且，则，故与所成的角为正确； 由平面，则与平面所成的角为，C正确； 由平面平面，则，又， 且都在平面内，则平面， 所以与平面所成的角为，且， 故，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数Z满足：，则__________． 【答案】 【详解】对等式两边同时取模，可得. 13．已知各项均为正数的等比数列{}的前n项和为 ，且 ， 则 _______ 【答案】 【详解】因为数列为等比数列，且各项均为正数，设公比为，所以，， 由得， 即，解得或－1（舍）， 所以． 14．双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点且在以为直径的圆上，直线的斜率为2，则双曲线的离心率为______． 【答案】 【分析】利用在以为直径的圆上得到为直角，结合双曲线右支的定义和直线的斜率得到直角三角形三边关系，再由勾股定理推导出双曲线的离心率. 【详解】因为在以为直径的圆上，根据直径所对圆周角为直角，得， 即是直角三角形，斜边， 因为直线斜率为，所以中两直角边满足， 在双曲线右支上，由双曲线定义， 代入得，， 由得，化简得，即， 因此离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且． (1)求的值； (2)求函数图象的对称中心； (3)求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先令函数，根据正弦函数值求解，再结合最小正零点及已知条件求出. （2）由（1）得出的表达式，令正弦函数的相位为，求解，进而得到对称中心. （3）根据三角函数零点求出数列的通项公式，进而求出. 【详解】（1）令得 或，其中， 解得或，                             所以当时，的最小正零点为． 依题意有，故． （2）由（1）知， 令，解得， 所以函数图象的对称中心为．     （3）由（1）可知满足或， 依据三角函数的特性可知，在一个周期内有两个零点， 所以最小的两个正零点为，周期， 所以数列的奇数项构成了一个以为首项，2为公差的等差数列， 数列的偶数项构成了一个以为首项，2为公差的等差数列， 所以                       所以， 所以． 16．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，平面 平面，平面平面 且二面角 的余弦值为 . (1)求证： 平面 ； (2)求三棱锥 的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用空间垂直关系的转化可得，，由线面垂直的判定定理可证平面 ； （2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量求出面面角的余弦值，从而求出，据此可求三棱锥 的体积. 【详解】（1）因为四边形为正方形，故， 而平面 平面，平面 平面， 平面，故平面，而平面， 故，同理，而，平面， 故平面. （2）因为平面，，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故，故，所以， 故，， 设平面的法向量为，则， 所以，取， 而平面的法向量为，故， 整理得，故，故， 故到平面的距离为，故. 17．现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 【答案】(1)分布列见解析，； (2). 【分析】（1）先求出每一轮成功和失败的概率，再由条件概率公式求解即可； （2）设，则回归方程为，根据所给数据和公式，求出的值，再代回，即可得答案. 【详解】（1）由题意可知： 第1轮：盒子中共有3个小球（2白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第2轮：盒子中共有4个小球（3白1黑）， 所以成功的概率为，所以失败的概率为； 第3轮：是否成功都会停止，且只有前两轮失败，就会进行第3轮； 所以，，， 所以的分布列如下： 所以 （2）设，则回归方程为， 因为，，，，， 且， 所以， 所以． 所以回归方程为， 又因为， 所以回归方程为. 18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的图象经过点，且椭圆C的右焦点F的坐标为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作倾斜角为的直线和椭圆C交于两点，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】(1)已知焦点坐标，根据椭圆的定义得到的的值，再根据计算的值，得到椭圆C的标准方程． (2)根据点斜式写出直线方程，联立椭圆方程得到一元二次方程，根据韦达定理得到两点坐标之间的关系，代入两点间距离公式化简即可． 【详解】（1）依题意，椭圆的右焦点为，则左焦点为，设， 由椭圆的定义可知， 所以，可得， 所以椭圆的方程为． （2）依题可设过点的直线方程为， 将其与椭圆方程联立，消元得， 设，则得，（*）， 于是 将（*）代入，得． 19．已知函数． (1)当时，判断经过点的曲线的切线有多少条； (2)若在区间上的最小值为，求实数a的值． 【答案】(1)1条 (2) 【分析】（1）设切点，求出切线，根据过解出切点． （2）求导，对范围讨论，判断单调性，求出最小值，得到实数a的值． 【详解】（1）由题可知的定义域为， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为： ． 将代入上式，得， 化简得． 令，则，设，则， 令，得，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，在上有唯一的零点， 所以经过点的曲线的切线仅有1条． （2）， 令，得，令，得． ①当时，在上恒成立，故在上单调递增， 所以，不符合题意； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以，由，解得； ③当时，在上恒成立，在上单调递减， 所以，不符合题意，舍去． 综上，． 2 / 12 脚踏实地，全力以赴，顶峰相见1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $亮剑高考・最后一练 2026年高考考前信心增强卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！ 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知命题：，有，命题：，使得，则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 3．已知向量，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．记，，，则（   ） A． B． C． D． 5．在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 6．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D． 7．在棱长为2的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 8．已知 ，若直线 上存在点 满足 ，则实数 的最大值是（    ） A． B． C．4 D．14 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（     ） A．随机变量，则方差 B．2，4，5，7，8，11，15，18的上四分位数是13 C．用1，2，3，4，5，6组成六位数（没有重复数字），在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和2相邻的概率是 D．对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，对于样本点对应的残差为 10．已知函数的周期为，且向右平移个单位后所得到的函数为奇函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数在上单调递减 B．函数的图象关于点中心对称 C．函数的图象关于直线对称 D．函数在处取极值 11．在正方体中，下列结论正确的是（    ） A．与所成的角为 B．与所成的角为 C．与平面所成的角为 D．与平面所成的角为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若复数Z满足：，则__________． 13．已知各项均为正数的等比数列{}的前n项和为 ，且 ， 则 _______ 14．双曲线的左、右焦点分别为、，是双曲线右支上一点且在以为直径的圆上，直线的斜率为2，则双曲线的离心率为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设函数，将函数的正零点按照从小到大的顺序排列，得到数列，且． (1)求的值； (2)求函数图象的对称中心； (3)求数列的前2n项和． 16．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，平面 平面，平面平面 且二面角 的余弦值为 . (1)求证： 平面 ； (2)求三棱锥 的体积. 17．现有抽球游戏规则如下：盒子中初始装有2个白球和1个黑球，每次有放回的任取一个，连续取两次，将以上过程记为一轮．如果每一轮取到的两个球的颜色相同．则记该轮为成功，否则记为失败．在抽取过程中，如果某一轮成功，则停止游戏.否则，在盒子中再放入一个白球，然后接着进行下一轮抽球，如此不断继续下去，直至成功． 1 2 3 4 5 516 209 127 98 50 (1)某人进行该抽球游戏时，最多进行三轮，即使第三轮不成功，也停止游戏，记其进行抽球游戏的轮数为随机变量，求的分布列和期望； (2)有数学爱好者统计了近1000名玩家进行该抽球游戏的数据，记表示成功时抽球游戏的轮数，表示对应的人数，部分统计数据如表，经计算发现，非线性回归模型的拟合效果优于线性回归模型，求出关于的非线性回归方程（结果保留整数）． 附：回归方程系数：，． 参考数据：设，，，，，，． 18．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的图象经过点，且椭圆C的右焦点F的坐标为． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作倾斜角为的直线和椭圆C交于两点，求的值． 19．已知函数． (1)当时，判断经过点的曲线的切线有多少条； (2)若在区间上的最小值为，求实数a的值． 2 / 12 脚踏实地，全力以赴，顶峰相见1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $