2026年高考数学考前增强信心卷01（全国Ⅱ卷）

**基本信息** 2026年高考数学考前信心增强卷（全国Ⅱ卷）以基础题为主，覆盖集合、函数、概率等核心知识，融入AI质检、企业零件检测等现实情境，通过分层设计适配考前信心提升与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、命题否定、椭圆离心率等|第7题AI质检概率题，体现数学眼光观察科技现实| |填空题|3题/15分|复数、直线与圆、函数零点|基础概念直接考查，强化知识巩固| |解答题|5题/77分|导数应用、概率分布、抛物线综合等|第17题企业零件检测问题，融合数学思维与实际应用；第18题抛物线综合题，分层设计基础证明与创新探究|

亮剑高考・最后一练 2026年高考考前信心增强卷 数学（全国Ⅱ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！ 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以或， 所以. 2．已知命题，则命题p的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由全称命题的否定知，命题p的否定为：，. 3．在中，点D在边BC上，且，设，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据线段的比例关系转化为向量等量关系，通过向量线性运算将用，表示后匹配选项. 【详解】，因此。 又因为，， 所以. 化简可得，即. 又，， 因此. 4．下列函数为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A选项，，定义域关于原点对称，，为偶函数，故A选项错误； 对于B选项，，，为非奇非偶函数，故B选项错误； 对于C选项，为偶函数，故C选项错误； 对于D选项，为奇函数，故D选项正确. 5．已知中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知结合同角三角函数的基本关系求出，，然后结合诱导公式以及和差角公式进行化简即可求解. 【详解】因为在中，，， 所以，， 因为，为锐角，所以， 若，则为钝角，又可知，，此时，矛盾， 故，则. 6．已知等差数列满足，则（   ） A． B．14 C． D．21 【答案】B 【详解】由等差数列满足，得， 所以，所以. 7．某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】记“芯片为瑕疵芯片”为事件，“芯片被标记为合格”为事件，“芯片被标记为瑕疵”为事件. 则，，，. 所以. 即在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为. 8．已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，，结合椭圆定义求离心率即可. 【详解】因为，，则， 则，， 所以椭圆的离心率为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．将的图象向右平移个单位长度后，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象 D．的图象与的图象在内有4个交点 【答案】BD 【分析】利用辅助角公式得，对A和B，利用正弦函数的性质，代入检验，即可求解；对C，利用图象的平移变换，即可求解；对D，在同坐标系中作出两函数的图象，数形结合，即可求解. 【详解】对于A，由题意知， 因为，故不是的对称轴，所以A错误， 对于B，因为，故的图象关于点对称，所以B正确， 对于C，将的图象向右平移个单位长度后，得到， 再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数，故C错误， 对于D，在同坐标系中，作出与在内的图象， 由图可知的图象与的图象在内有4个交点，故D正确． 10．在正四棱台中，E，F分别为，的中点，则（   ） A． B． C．平面 D．平面 【答案】ACD 【分析】将正四棱台补成正四棱锥，根据空间线面的位置关系逐一判断. 【详解】如图，将正四棱台补成正四棱锥，点是正四棱锥的顶点，是正方形的中心， 连接， 对于A，因为分别是的中点，所以，又，所以，故A正确； 对于B，因为与所成角为，又，所以与所成角为， 因为，所以与所成角为，故B错误； 对于C，因为，平面，平面，所以平面，故C正确； 对于D，因为平面，平面，所以， 又，，所以， 又是平面内两条相交直线，所以平面，即平面，故D正确. 11．下列命题中，真命题的是（   ） A．一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变大 B．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； 【答案】BD 【分析】选项A：利用平均数公式计算新样本平均数，再利用方差公式分析方差变化；选项B：结合回归直线必过样本中心点，先计算原样本的中心点，再去除异常点后计算新的样本中心点，验证是否为给定的点；选项C：结合正态分布关于均值对称，利用对称性求出和，再计算；选项D：将数据排序，再根据百分位数的计算规则确定位置，进而找到对应数值. 【详解】选项A，设原样本有个数据，原平均数，总和为； 添加数据后，新总和为，新平均数，平均数不变. 当原方差为0时，每个数据为3，由新增数据也为3， 可知新方差； 当原方差不为0时，原方差， 新方差，方差变小，错误. 选项B，原回归直线必过原样本中心点，代入， 得原. 原10个点总，总；去掉异常点后， 新样本中心点：，，即新中心点为， 回归直线必过样本中心点，正确. 选项C，，正态曲线对称轴为，， 则，由对称性得， 因此： ，错误. 选项D，将数据从小到大排序：，共个数据， 计算，不是整数，根据百分位数计算规则， 向上取整得第个数据为第70百分位数，第6个数据，正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则______. 【答案】 【详解】设，则， 所以， 所以， 所以，故. 13．若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 【答案】或 【分析】由点到直线距离公式及垂径定理列出方程即可求解． 【详解】设直线方程为，圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 由垂径定理得或， 所以直线方程为或． 14．函数的零点个数为______. 【答案】1 【分析】先判断函数在上单调递增，再根据零点存在定理，可得函数在上的零点只有1个. 【详解】设，则， 所以在上单调递增， ， 所以在上单调递减，则在上单调递增， 因为在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为，，根据零点存在定理，可得函数在上的零点只有1个. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据切线方程为可得斜率为，以及经过点，即可求导得解， （2）将问题转化为，构造函数，利用导数求解函数的单调性，即可求解. 【详解】（1），曲线在点处的切线方程为， 则，则 （2）当时，依题意有对于任意恒成立，则， 设， 设， 由得：，则在上单调递减， 且，则在上恒成立，即在上单调递减， ，则，则. 16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若a，b，c成等差数列，且，设数列满足，求的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题设，结合两角和的正弦公式化简求解即可； （2）由（1）可得，由a，b，c成等差数列可得，进而求出，可得，再根据等比数列的求和公式及分组求和法求解即可. 【详解】（1）在中，， 由， 则， 所以， 化简得， 由于A，，故，，则， 所以，因为，故. （2）由（1）知，则，即， 因为a，b，c成等差数列，所以， 而，则，则，即， 因为，所以，从而， 由此可得，. 所以， 则 . 17．某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件，其中不合格的零件占，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为X． (1)求随机变量X的分布列和期望； (2)对抽取的3个零件进行检测，若每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．本次检测的总费用为Y元，求随机变量Y和X的关系式，并利用它求出Y的数学期望． 【答案】(1)X的分布列为： X 0 1 2 3 P 期望； (2) ，元. 【分析】（1）结合题意可得服从参数为的二项分布，进而利用二项分布的概率公式计算概率，列出分布列，再通过二项分布期望公式计算期望； （2）根据题目给出的费用规则，建立与的线性关系式，利用数学期望的线性性质，代入的期望计算的期望. 【详解】（1）由题意，这批零件数量足够大，抽取3个可看作独立重复试验，随机变量，的所有可能取值为，可得对应概率为： ，， ，， 因此的分布列为： X 0 1 2 3 P 由二项分布期望公式得： （2）3个零件的基础检测费用为元，每发现1个不合格品额外支出25元， 因此总费用满足关系式：, 由期望的线性性质：, 即的数学期望为元. 18．已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． (1)若C的焦点恰好是的垂心，求； (2)若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）． 【分析】（1）根据题意，结合图形可得，，设，由求出的值，即得； （2）（ⅰ）依题设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用直线OA与直线OB的斜率之积为，列方程求得，即可得证； （ii）由（ⅰ）结合条件可得，求得点的坐标，写出直线MN的方程，与直线直线AB的方程联立，求得点的坐标，进而得到点的坐标，利用三角形的面积公式即可求得答案. 【详解】（1）记C的焦点为F，因为C的焦点恰好是的垂心，所以，， 设，则，又，由可得 ， 解得或，所以． （2）（ⅰ）显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为，，， 由，得，所以 ，，， 又直线OA与直线OB的斜率之积为，所以 ，解得， 所以直线AB的方程为，故直线AB过定点． （ⅱ）由题意知，可得，即，所以或， 当时，MN的中点为，直线MN的斜率为，方程为． 此时直线AB的方程为，由，得，解得或， 即，或，， 故，又，点到直线MN的距离为， 所以； 当时，同理可得． 综上，的面积为． 19．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量，，即可用空间向量法求解； （2）由向量得出点到平面的距离，再由锥体的体积公式即可求解； （3）分别求出平面与平面的法向量，然后用空间向量法求解. 【详解】（1）由题意可知、、两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 即，， 设异面直线与所成角为，则为锐角， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为． （2）由（1）易知，，， 设面的一个法向量为，则有， 取，，即， 所以点到平面的距离为； ，，， 所以三棱锥的体积为． （3）由（1）可知，， 设面的一个法向量为，则有， 取，，即， 设平面与平面夹角为，则为锐角， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 2 / 12 脚踏实地，全力以赴，顶峰相见1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $亮剑高考・最后一练 2026年高考考前信心增强卷 数学（全国Ⅱ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！ 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知命题，则命题p的否定为（   ） A．， B．， C．， D．， 3．在中，点D在边BC上，且，设，，则（   ） A． B． C． D． 4．下列函数为奇函数的是（     ） A． B． C． D． 5．已知中，，则（   ） A． B． C． D． 6．已知等差数列满足，则（   ） A． B．14 C． D．21 7．某科技公司使用AI质检系统对生产的芯片进行初筛（分为合格芯片和瑕疵芯片）．已知芯片被标记为合格的概率为，被标记为瑕疵的概率为．被标记为合格的芯片中有实际为瑕疵芯片，被标记为瑕疵的芯片中有实际为合格芯片．在被AI质检过的芯片中随机抽取1个，该芯片为瑕疵芯片的概率为（ ） A． B． C． D． 8．已知是椭圆上一点，，是椭圆的两个焦点，，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，，则下列说法正确的是（    ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．将的图象向右平移个单位长度后，再把所得图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象 D．的图象与的图象在内有4个交点 10．在正四棱台中，E，F分别为，的中点，则（   ） A． B． C．平面 D．平面 11．下列命题中，真命题的是（   ） A．一个样本的平均数为3，若添加一个新数据3组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变大 B．数据组成一个样本，其回归直线方程为，其中，去除一个异常点后，得到新的回归直线必过点 C．若随机变量服从正态分布，，则 D．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23； 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知复数满足，则______. 13．若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 14．函数的零点个数为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数. (1)曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)当时，对于任意恒成立，求实数的取值范围. 16．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若a，b，c成等差数列，且，设数列满足，求的前n项和. 17．某企业生产的智能机器人需要用到一种高精度零件，现收到一批零件，其中不合格的零件占，从中随机抽取3个零件，设抽到的不合格的零件数为X． (1)求随机变量X的分布列和期望； (2)对抽取的3个零件进行检测，若每个零件的检测费用为10元，每发现1个不合格品，需额外支出25元的处理费用．本次检测的总费用为Y元，求随机变量Y和X的关系式，并利用它求出Y的数学期望． 18．已知A，B是抛物线上异于坐标原点O的两点． (1)若C的焦点恰好是的垂心，求； (2)若直线OA与直线OB的斜率之积为． （ⅰ）求证：直线AB恒过定点； （ⅱ）已知点G是线段AB的中点，点关于直线AB的对称点N在C上，求的面积． 19．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 2 / 12 脚踏实地，全力以赴，顶峰相见1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $