2026年高考数学考前增强信心卷03（全国Ⅰ卷）（原卷版）

**基本信息** 2026年高考数学考前信心增强卷以基础题为主，覆盖集合、函数、立体几何等高考核心模块，通过涂色问题、投篮游戏等情境题培养数学眼光，适配考前模拟提升信心。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合、复数、向量、数列、排列组合|基础题为主，如向量充要条件判断，培养推理意识| |填空题|3题/15分|圆台体积、函数零点|注重空间观念，如圆台体积计算| |解答题|5题/77分|三角函数与解三角形、立体几何、导数、圆锥曲线、概率统计|综合性强，如投篮游戏结合概率求分布列，体现数学语言表达现实世界|

亮剑高考・最后一练 2026年高考考前信心增强卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！ 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题得或， 所以，所以 2．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的乘法法则及复数相等的定义可得. 【详解】由，得．所以， 解得，所以． 3．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据题意，利用共线向量的坐标表示，列出方程，求得的值，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由向量，若，可得， 解，解得或， 所以是的充分不必要条件. 4．已知，则（    ） A． B．7 C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式和降幂公式进行化简，利用商数关系转化为求值即可，注意“1”可以转化为进行计算． 【详解】 5．等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用等差数列的通项公式与前项和公式求解首项和公差，得到的表达式后对裂项，通过裂项相消法计算前10项和 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列通项公式，结合可得：，即， 由等差数列前项和公式，结合可得：，即. 将代入上式，解得，， 因此，故. 设的前10项和为，则： 6．用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的，，，，的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【分析】由分步计数原理结合分类讨论即可. 【详解】依顺序，区域可涂种颜色，区域可涂种颜色，区域可涂种颜色， ①区域若与区域同色，则E有两种颜色可选； ②区域若不与区域同色，则只有种颜色可选，也只有种颜色可选， 所以符合条件的方案有种方案． 7．已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当且仅当，即时，等号成立. 由对勾函数的性质可得，在上单调递增，在上单调递减. 当时，函数单调递减，. 函数在定义域内有最大值，则，即实数的取值范围是. 8．已知双曲线的一条渐近线过点，的右顶点为，直线与交于两点，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可得，将直线与联立求解可得，利用斜率公式求解即可. 【详解】将点代入，得． 联立，得， 不妨取， 又，所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】AC 【分析】根据空间线、面位置关系依次判断即可. 【详解】对于A，若，，则，故A正确； 对于B，若，，则或m与n为异面直线或相交直线，故B错误； 对于C，若，，则，故C正确； 对于D，若，，当时，不成立，故D错误. 10．已知事件A，B均为随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若事件A，B相互独立，，，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】选项A，，若，则，A正确. 选项B，若相互独立，则，根据和事件概率公式，B正确. 选项C，，.若，可得， 当时，则互斥，时，此时等式两边都为0，等式成立但，推不出，C错误. 选项D，，.已知， 代入得 ，消去后得，D正确 11．如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A， ，故A正确； 对于B，由A选项知， 则 ， 在中，利用余弦定理得 ，故B错误； 对于C，因为点三点共线，所以存在实数使得， 因为，由A知， 所以，所以 ，即，故C正确； 对于D，由C可知，结合题意可知， 所以 当且仅当，即时，等号成立， 此时取最小值为，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆台的上底面和下底面的半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为___________． 【答案】 【详解】因为圆台上、下底面半径分别为，母线长， 可得圆台的高， 所以． 13．设函数，，是直线与曲线的两个交点，且最小值为.若，则________. 【答案】 【分析】由最小值可得的最小正周期，从而可得，再将代入计算即可得. 【详解】由最小值为，则的最小正周期为，即， 则，， 解得，又，故. 14．若函数有且仅有2个零点，则______. 【答案】3 【分析】参变分离可得，令，，利用导数判断的单调性和图象，结合函数图象分析求解. 【详解】因为，则，可知0不为的零点， 令，且，可得， 令，，可知与有且仅有2个交点， 因为， 当时，，可知在内单调递增， 且当趋近于时，趋近于，当趋近于0时，趋近于； 当时，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增，则， 当趋近于0或时，趋近于； 综上所述：可得的图象，如图所示： 若与有且仅有2个交点，则. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线． (1)求的单调递增区间； (2)在中，内角，，的对边分别为，，，锐角满足，的面积为，求的最小值． 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再利用正弦函数性质求出单调递增区间. （2）由（1）求出，进而求出锐角，再利用三角形面积公式、余弦定理及基本不等式求出最小值. 【详解】（1）函数， 由，，解得，， 所以函数的单调递增区间为. （2）由（1）得，由，得， 由，得，则，解得， 由的面积为，得，解得， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 因此，所以a的最小值为2. 16．如图，在多面体中，底面四边形为直角梯形，，，，，平面，平面． (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理和线面垂直的性质，进而证明面面垂直； （2）建立直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用两个法向量夹角的余弦公式计算平面夹角的余弦值 【详解】（1）如图，取的中点，连接． 因为，，，， 所以，，所以四边形是正方形， 所以，．在中，， 则在中，，所以． 因为平面，平面，所以． 因为，，平面，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2）因为平面，，平面，所以，． 又因为，所以，，两两垂直． 以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以． 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以． 因为， 所以平面和平面夹角的余弦值为． 17．已知函数 (1)设，分别讨论函数与在上的单调性； (2)证明：当时，. 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减. (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数计算即可； （2）分，两种情况，利用结合函数单调性计算即可证明. 【详解】（1）由题意得， 令，得；令，得. 所以在上单调递增，在上单调递减. 由，得， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）因为，所以， ①当时，，由（1）知在上单调递增， 所以，因为，所以， 所以； ②当时，令， 则，， 由（1）知在上单调递增， 所以，所以， 所以在上单调递减，所以， 即当时，. 综上，当时，. 18．已知定直线l：，点M在l右侧，且M到的距离与到l的距离之比为2，记其轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过F与x轴垂直的直线交于A，C两点，过F的直线交于B，D两点.若四边形ABCD的面积为，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据题意可得，化简可得曲线的方程； （2）设直线的方程为，，与双曲线方程联立，结合根与系数的关系可得，进而可得，结合题意求解即可. 【详解】（1）设， 因为M到的距离与到l的距离之比为2，所以， 两边平方可得，所以， 所以，所以， 所以的方程为； （2）由题意可知的方程为，代入的方程可得， 由题意的斜率存在，所以设直线的方程为， 联立，可得， 设，所以， 所以或， 所以 ， 因为为的中点，所以，所以， 所以，整理得，解得（舍去）或， 所以，所以的方程. 19．某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为. (1)求； (2)求的分布列及数学期望； (3)求的通项公式； 【答案】(1)； (2)分布列见解析， (3)（） 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式即可求解； （2）通过相互独立事件概率公式计算分布列，再求期望； （3）当时，甲第次在处投篮分两种情形：①第次在处投篮且投进； ②第次在处投篮且未投进.分别确定概率，结合数列的递推关系得等比数列，根据等比数列的通项公式求解的通项公式即可； 【详解】（1）甲第次在处投篮的概率为，说明第次投中，即， 甲第次在处投篮的概率为，说明第次，第次投中或第次，第次没投中， 即. （2）第次投篮后累计得分记为，则的可能取值为0，2，3，4， 设“甲第次在处投进”为事件，“甲第次在处投进”为事件， ，2，依题意，的可能取值为0，2，3，4. ， ， ， ， 所以的概率分布为 0 2 3 4 . （3）当时，甲第次在处投篮分两种情形： ①第次在处投篮且投进，这种情形概率为； ②第次在处投篮且未投进，这种情形概率为. 所以，故， 因为，所以是以为首项，为公比的等比数列. 所以，即，. 2 / 12 脚踏实地，全力以赴，顶峰相见1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $亮剑高考・最后一练 2026年高考考前信心增强卷 数学（全国Ⅰ卷） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．试卷难度：本试卷以基础题为主，考前增强学生信心，心有底气，笔下生辉，加油！ 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．若，则（   ） A． B． C． D． 3．已知向量，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知，则（    ） A． B．7 C． D． 5．等差数列的前n项和为，已知，则数列的前10项和为（   ） A． B． C． D． 6．用红、黄、蓝、绿4种不同颜色在如图所示的，，，，的5个区域涂上颜色，要求每个区域只涂1种颜色，且相邻区域不能涂同一种颜色，则符合条件的不同涂色方案种数为（    ） A．24 B．36 C．48 D．72 7．已知函数在定义域内有最大值，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．已知双曲线的一条渐近线过点，的右顶点为，直线与交于两点，则直线与的斜率之积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知m，n是两条直线，，是两个平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知事件A，B均为随机事件，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若事件A，B相互独立，，，则 C．若，则 D．若，则 11．如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中正确的是（ ） A． B． C． D．的最小值是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知圆台的上底面和下底面的半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为___________． 13．设函数，，是直线与曲线的两个交点，且最小值为.若，则________. 14．若函数有且仅有2个零点，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数，将曲线向左平移个单位长度，得到曲线． (1)求的单调递增区间； (2)在中，内角，，的对边分别为，，，锐角满足，的面积为，求的最小值． 16．如图，在多面体中，底面四边形为直角梯形，，，，，平面，平面． (1)求证：平面平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值． 17．已知函数 (1)设，分别讨论函数与在上的单调性； (2)证明：当时，. 18．已知定直线l：，点M在l右侧，且M到的距离与到l的距离之比为2，记其轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)过F与x轴垂直的直线交于A，C两点，过F的直线交于B，D两点.若四边形ABCD的面积为，求的方程. 19．某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为. (1)求； (2)求的分布列及数学期望； (3)求的通项公式； 2 / 12 脚踏实地，全力以赴，顶峰相见1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $