甘肃嘉峪关市酒钢三中2026届高三第二学期模拟预测数学试题

嘉峪关市酒钢三中2025~2026学年第二学期三模考试 高三数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的、 1.如图，集合A,B均为U的子集，(CuA)n(CuB)表示的区域为() I U N A.I B.II C.Ⅲ D.IV 2.若a=0.2.3,b=0.302,c=10g0.50.3,则a,b,c的大小关系为( A.c<a<b B.b<a<c C.a<b<c D.a<c<b 1og1(3-x),(x≤0) 3.设函数f(x)= 则f(20)=() f(x-3)+1,(x>0) A.3 B.4 C.5 D.l0g117 4.如图：正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，E为DD的中点，过点D作正方体截面使其与 平面A,EC平行，则该截面的面积为( 2W3 B.26 C.46 D.45 5.一袋里装有带编号红色，白色，黑色，蓝色四种不同颜色的球各两个，从中随机选4个球， 已知有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为（) A. 2 B.5 C R 8 0.5 6.已知sin(a+B)=2cos(a-B),tana+tanB= ,则tana·tanB=() A.3 B.-3 c 7.函数f(x)=l0g4x+x一2的零点所在的区间为( ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 8.已知正项等比数列a,}的前n项和为8，且满足aS,=“2”,设b。=V21082S+①， 数学试卷·第1页，共4页 将数列{bn}中的整数项组成新的数列{cn,则c2o24=( A2022 B.2023 C.4048 D.4046 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分。 9.某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学生，了解到上学方式 主要有：A一结伴步行，B一自行乘车，C一家人接送，D一其他方式.。并将收集的数据整 理绘制成如下两幅不完整的统计图.根据图中信息，下列说法正确的是() 学生上学方式条形统计图 学生上学方式脚形统计图 50 D占15% C占25% 20 18 D 上学方式 A.扇形统计图中D的占比最小 B.条形统计图中A和C一样高 C.无法计算扇形统计图中A的占比 D.估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送 10.关于x的方程x2=-4的复数解为z1,z2,则（) A.31·22=-4 B.31与z2互为共轭复数 C.若z=2i,则满足z·乙1=2+i的复数z在复平面内对应的点在第二象限 D.若z=1,则z-zz2的最小值是3 1山.已知，B分别是椭圆C:爷+卡=1a>b>0)的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则 A.当a=V2b时，满足∠PF=90°的点P有2个 B.△PF1F2的周长一定小于4a C4P3,的面积可以大于号 D.若PF≤2b恒成立，则C的离心率的取值范围是(O,引 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.定义在(0，+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x),当x>0时，f'(x)<1,且f@)=3,则 不等式fx2)-2nx<2的解集为 13.已知数列{an}前n项和为Sn,且Sn=2an-l,n∈N,若存在两项am,an使得√ama.=2a, 数学试卷·第2页，共4页 当x>0,y>0,x+y=m+n时，则2+最小值是 14.(3-2x)7=ao+a1(X-1)+..+a(x-1)7,则a1+2a2+3a3+.+7a7. 四、解答题：本题共5小题，共77分。 15.（本1题3)分）已知函数/侧=6 cosxin(--名+号 2 (1)求f(x)的最小正周期和单调增区间： (②)若函数y=f0-a在xe哈径存在零点，求实数a的取值范国。 16。(本题15分)已知抛物线C:P-3x的焦点为，斜率为的直线5C的交点为A,B,与x 轴的交点为P, (1)若AF+BF=4,求的方程； (2)若AP=3PB,求|AB, 17.(本题15分)已知函数f(x)=ax2-nx+(2a-1)x,其中a∈R. (1)设a>0,若不等式f()+≥0对x∈(0，+o)恒成立，求a的取值范围. (2）g,若1<，x)片f2),求证：xx2>e2 18.(本题17分)现有外表相同，编号依次为1,2,3，，n(n之3)的袋子，里面均装有n个除颜 色外其他无区别的小球，第k(k=1,2,3,…,n)个袋中有k个红球，n-k个白球.随机选择其中一 个袋子，并从中依次不放回取出三个球. (1)当n=4时， ①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率； ②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率； (2）记第三次取到白球的概率为P,证明：p<】 19.(本题17分)离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个顶点，定义 多面体M在点P处的离散曲率为，=1-2元（∠QP吧，+∠L,P%,+…∠.P2.+∠，P9),其中 2,(=1,2,,k,k≥3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面2，P22,平面2P2,, 平面2k-,P2.和平面2P2为多面体M的所有以P为公共点的面. (1)求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC,三棱锥P-ABC 在顶点℃处的离敬曲率为写： 2 3 数学试卷·第4页，共4页三模数学 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1.如图，集合A,B均为U的子集，(CuA)∩(CuB)表示的区域为() A.IB.ⅡC.m D.IV 【答案】A由维恩图可知，(CuA)n(CB)表示的区域为I. 2.若a=0.23,b=0.32,c=l0g50.3,则a,b,c的大小关系为（) A.c<a<bB.b<a<cC.a<b<c D.a<c<b 【答案】C【详解】根据函数y=x3在(0，+0)单调递增，知道0.23<0.303， 根据函数y=0.3*在(0，+0)单调递减，知道0.33<0.32<0.3°=1， 根据函数y=logo.5x在(0，+o∞)单调递减，知道1=l0gos0.5<1ogos0.3, 综上所得，a=0.23<0.33<0.302=b<0.3°=1=l0g0s0.5<10g30.3=c 1og1(3-x),(x≤0) 3.设函数f(x)= ,则f(20)=() f(x-3)+1,(x>0) A.3 B.4 C.5 D.1og117 【答案】c【详解】由题意得f(20)=f17)+1=f14)+2=…=f(-1)+7 =1og1[3-(-1)]+7=-2+7=5, 2 4.如图：正方体ABCD-AB,CD的棱长为2，E为DD的中点，过点D 作正方体截面使其与平面AEC平行，则该截面的面积为() A.2W3B.2√6C.4v6D.4V3 【答案】B【详解】根据题意，取A4,CC的中点分别为M,N,连接 DM,DN,BM,BN,N,如下图所示： 易知DE=CN=1,且DEIC,N,所以四边形DECN是平行四边形： 即DN∥EC,又DNt平面AEC,ECc平面AEC,所以DN∥平面AEC；同理可 得DMI∥平面AEC;DN∩DM=D,DN,DMc平面DMN, 所以平面DMNI∥平面AEC平行， 即过点D作正方体截面使其与平面AEC平行的截面即为平面DMN; 显然4EIB,N,AE=B,N=V5,且DM∥AE,AE=DM=V5; 所以四边形DMB,N是边长为√5的菱形，即所求截面面积即为菱形DMBN的面积； 易知MW=2W2,BD=2√5，所以其面积为MN,BD=x2√2×25=2N6 0 2 故选：B 5。一袋里装有带编号的红色，白色，黑色，蓝色四种不同颜色的球各两个，从中随机选4 个球，已知有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为() 4 8 8 A. 5 B. C. 9 D. 15 【答案】C【详解】记至少有两个球颜色相同的事件为A,两球颜色不同的事件为B, 因tP0=+CS2-6+3x4-2,P4B-cC243x4=24 c 70 35 C 7035 所以有两个是同一颜色的球，则另外两个球不是同一颜色的概率为P心B1④=P4-8 P(A)9 6已知sin(a+B)=2cos(a-),tana+tanB=手则tana:tanB=( A.3 B.-3 c.3 D.3 【答案】D 解折：因为ana+an6=了则cos≠0，cosB≠0， 可得tana+anB=2+2 tan a tan B= 因为sin(a+B)=2cos(ce-B)， 3 则sim+os=2c0+2si血@,解得tan=-方 1 等式①的两边同时除以co$a cos B 7函数f(x)=1og4x+x-2的零点所在的区间为() A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4) 【答案】B【详解】利用零点存在定理解答 8已知正项等比数列{4的前n项和为$，耳满足a,=2之，设 b。=V21og2(Sn+1),将数列{色}中的整数项组成新的数列{c},则c4=() A.2022 B.2023 C.4048 D.4046 【答案】C【详解】令数列{an}的公比为9，an>0∴.41>0，q>0, 因为a8=4,2,所以当=1时，=4号2-1，即4=1， 2 2 当m=2时，48，=，2-6，即g+9)=6,解得g=2《合去g=-3), 2 所以5.x1-2）-2-1,即a=2og,8=2a， 1-2 因为数列{色，}中的整数项组成新的数列{c}, 所以n=22,k∈N*,此时bxe=V2×22=2k,即c=2n, 可得c224=2×2024=4048. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分全部 学生上学方式条形统计图 选对的得6分，部分选对得部分分，有选错或不选的得0分. 50t 2 9。某学校为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查部分学 30 生，了解到上学方式主要有：A—结伴步行，B一自行乘车，C一家人接 送，D一其他方式.并将收集的数据整理绘制成如下两幅不完整的统计 图。根据图中信息，下列说法正确的是() 学生上学方式扇形统计图 人D占15% C占25% A.扇形统计图中D的占比最小 B.条形统计图中A和C一样高 C.无法计算扇形统计图中A的占比D.估计该校一半的学生选择结伴步行或家人接送 【答案】ABD【详解】解：由条形统计图知，B一自行乘车上学的有42人，C一家人接送 上学的有30人，D一其他方式上学的有18人，采用B,C,D三种方式上学的共90人， 设A一结伴步行上学的有x人，由扇形统计图知，A一结伴步行上学与B一自行乘车上学 的学生占60，所以中号0·解将x0,故条形图中A,C带高，期形安中A 类占比与C一样都为25%，A和C共占约50%，故D也正确.D的占比最小，A正确 10.关于x的方程x2=-4的复数解为31,22，则（) A.3122=-4 B.?1与z2互为共轭复数 C.若z=2i,则满足z·z1=2+1的复数z在复平面内对应的点在第二象限 D.若z=1,则2-名·z2的最小值是3 【答案】BD【详解】因为（仕21）2=-4，因此不妨令方程x2=-4的复数解21=2i,z2=-2i, 对于A,322=2i(-2i)=4,A错误； 对于B,乙1与z2互为共轭复数，B正确； 对于C,名=2i,由22=2+i,得2=2+1=2+0)-1-21=1-i, 2i2i.(-i) 221 则复数z在复平面内对应的点（兮，-1）在第四象限，C错误； 对于D,设z=x+i(x,y∈R),由2=1，得x2+y2=1,显然有-1≤x≤1，由选项A知 3122=4, 因此2-名z2(x-4)+i=Vx-4)2+y2=V17-8x≥3，当且仅当x=1,即z=1时 取等号，D正确 1L已阳耳，乃分别是糯圆G:号+茶=a>60)的左、右病点，P是猫圆C上 点，则() A.当a=√2b时，满足∠P=90°的点P有2个B.△PFE的周长一定小于4a CAP驱的面积可以大于0D若PE2b恒成立，则C的离心率的取值范围是0， 【答案】ABD【详解】对于选项A:当点P的坐标为(O,b)或(O,-b)时，∠FPE最大，此 时，若a=√2b,则b=c,所以∠PE=90°，A正确； 对于选项B:△PF的周长为2a+2c<4a,故B正确； 对于选项C,的面积为引Sscs公扌-号 2 故C错误； 2 故于选项D:因为a-c≤P≤a+c,所以a+c≤2b,可得5c2+2ac-3a2≤0， 得5e2+2e-3≤0，将-1se≤号，又e(0.所以ee0喝 故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分 12.定义在(0，+oo)上的函数f(x)的导函数为f'(x),当x>0时，f'(x)<1,且f(e)=3, 则不等式f(x2)-21nx<2的解集为 【答案】(W,+o)【详解】构造函数g(x)=f(x)-lnx(x>0), 则g(x)=()-上-（四上<0，所以g(问）在区间(0，+切)上单调通减， [x2>e 由fx2)-2lnx<2,得f(x2)-lhx2<f(e)-me,即g(x2)<g(e),所以 x>0 解得x>√，所以不等式f(x2)-2nx<2的解集为（√E,+o). 故答案为：(We,+o) 13.已知数列{an}前n项和为Sn,且Sn=2an-1,n∈N4,若存在两项am,a,使得 91 √anan=2a,当x>0,y>0,x+y=m+n时，则2+-最小值是 x V 【答案】4 解析：由Sn=2an-1,得S=2an-1-1(n22), 两式相减得Sn-Sn1=2an-2a-→an =2an-2an1=an=2an 而S=a=2a-1→a=1, 所以数列{a}是首项为1，公比为2的等比数列，即 Qn=21, 因为amAn=2a,则aan=4, 即2m1.2=4一m+n-2=2→m+n=4, 因为x>0,y>0,x+y=m+n 所以x+y=4, 所2*》 x y =2+10腰+0x3*10=4 当且仅当9卫=，即x=3,y=1时取等号， 14.(3-2x)7=a0+am(x-1)++a7x-1)7,则a1+2a2+3ag+..+7a 【答案】14【详解】左边求导=7(3-2x)(-2)=a1+22(&-1)+3a3(x-1)+..+7a(x-1) 令x-1=1得x=2,故答案为14 四、解答题：本大题共5小题，共77分. .3 15·已知函数f)=6cosx$in(x-)+3 62 (1)求f(x)的最小正周期和单调增区间； 2）若函数y=f网-a在x∈[，]存在零点，求实数a的取值范围. 12’12 (2)[0,3] 【解析】【小问1详解】 对于函数f(x)=6 cos xsin x- 3 6 'sint-1 2 f(x)=3sinxcosx-3cos2x +=352x-3x1+eos2x+3-3 血2x- cos 2x|=3sin 2x- 22 222 6 所以函数f(x)的最小正周期为T= 2 =元， 2 令-正+2？2x亚？交2kk?Z,则-亚+k#x匹+hmk?Z, 62 6 3 ∴函数∫(x)的单调递增区间 [g+a+cez 【小问2详解】 令y=f(x)-a=0,即3si 2-=0,则m2-号 y=f(x)-a在x∈ 5π 元5t 存在零点，则方程sin 1212 有解， 1212 若x∈ π5π 12'12 ]时，则20 可得si 2x- ∈[0，]， :0≤8≤1，得0≤a≤3 故实数a的取值范围是[0,3]· 3 16.已知抛物线C:=3x的焦点为F,斜率为号的直线1与C的交点为A,B,与x轴的交 点为P. (1)若AF+BF=4,求1的方程； (2)若AP=3PB,求AB吲， 【答案】(1)12x-8y-7=0;(2)4W3 3 2x+m,A(,y),B(3,2) 3 【详解】（1)设直线1方程为：y= 3=4 由抛物线焦半径公式可知：AF+BF=x+x+ +为=2 3 y= 联立 +m 得：9x2+(12m-12)x+42=0 y2=3x 则△=（12m-12)2-144m2>0 m<1 2 7 …x1+x2= 12=3,解得：m= 9 8 直线l的方程为：y= 2x8,即：12x-8y-7=0 3.7 (2)设P(t,0),则可设直线1方程为：x= 2 2 联立 x=y+t 31 得：y2-2y-3t=0 y2=3x 则△=4+12t>0 …t>-1 3 片+3=2，%=-3t AP=3PB “4=-3y22=-1,3=3 =-3 则8=+号0+⅓-44= 3 .V4+12-4 3 17.(本题15分)已知函数f(x)=ax2-lnx+(2a-1)x,其中a∈R. (1)设a>0,若不等式f(y+≥0对x∈(0，+oo)恒成立，求a的取值范围. (2)gg若，<))，求证：x2>e2 【答案】(1) [是 (2)详解 【小月1泽1当a>0时，可知在易上单送装，在品 上单调递增， 故f()的最小值为f -+1 图为不等式f凶t孕0对xE0,+o恒成立，所以n2@+1H90 设g(x)=lnx- -+二+1， 2x2 则8（冈的定义域为(0，+∞），且g)=1+1 士22>0恒成立， 可知：g(x)在(0，∞)上单调递增， 因为g -0,所以n2)-右1+20，即80a≥8 可得2a≥，即a 2e 综上所述：a的取值范围是 【小问2详解】核按钮77页例题 远理因为x)=》,所以可设-=m,所以=D lnx2=x,② ,由①+②得lnx,+ 1ns,=m(名+)③片①-②得，-ln,=m(:-为，所以m=h二n,代入③得 x:-x2 名-名上<产点_+ln,所以<，l,所以nm,>2,综上年>6 Inx:Inx2 m 2 2m m 2m 18.现有外表相同，编号依次为1,2,3，…，n(n≥3)的袋子，里面均装有n个除颜色外其他 无区别的小球，第k(飞=1,2,3，…，n)个袋中有飞个红球，n-k个白球随机选择其中一个 袋子，并从中依次不放回取出三个球 (1)当n=4时， ①假设已知选中的恰为2号袋子，求第三次取出的是白球的概率； ②求在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率； (2)记第三次取到白球的概率为D,证明：卫<2 【答案】(1)①)：②( 1 1 (2)证明见解析 【小问1详解】 ①n=4时，第二个袋中有2白2红，共4个球， 从中连续取出三个球（每个取后不放回)， 第三次取出为白球的情况有：红红白，红白白，白红白， ∴第三次取出为白球的概率为二×二×二 212,2.2.1,2211 94*3x2+4×3x2+43×2=2 ②设选出的是第k(k=1,2,3,4)个袋，连续三次取球的方法数为4×3×2=24， 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形： (白，白，白)，若k=1则，取法数为(4-k)3-k)(2-k)， 若k=2或k=3或k=4,取法数为0，也满足关系(4-)3-k)(2-k)； 故取（白，白，白）的取法可表示为(4-k)(3-k)(2-k), 同理（白，红，白），取法数为k(4-)3-), (红，白，白)，取法数为k(4-k)3-k), (红，红，白)，取法数为k(k-1)(4-k), 从而第三次取出的是白球的种数为： (4-k)(3-k)(2-k)+k(4-)3-k)+k(4-k)3-)+k(k-1)(4-k) =3×2(4-), 则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率Pk= 4-k 4 1 则在第3个袋子中第三次取出的是白球的概率P,= 4 而选到第无个袋子的概率为}，故所求概率为： 1 4416台 11 所以在第三次取出的是白球的条件下，恰好选的是3号袋子的概率为44 3 6 8 【小问2详解】 设选出的是第k个袋，连续三次取球的方法数为n(n-1)(n-2), 第三次取出的是白球的三次取球颜色有如下四种情形： (白，白，白)，取法数为(n-)(n-k-1)(n-k-2), (白，红，白)，取法数为k(n-k)(n-k-1), (红，白，白)，取法数为k(n-k)(n-k-1), (红，红，白)，取法数为k(k-1)(n-k), 从而第三次取出的是白球的种数为： (n-k)(n-k-1)(n-k-2)+k(n-k)(n-k-1+k(n-k(n-k-1)+k(k-10(n-k) =(n-1)(n-2)(n-k), 则在第k个袋子中第三次取出的是白球的概率，=”-k 1 而选到第k个袋子的概率为二， n 2n22n2 19.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M 在点P处的离散曲率为①p=1-(LQ,PO+L0,P2,+…∠0P2+∠0P2),其 2元 中2(=1,2，k,k之3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面2P22,平面 22P23,,平面2k-1P2,和平面2P2为多面体M的所有以P为公共点的面. (1)求三棱锥P-ABC在各个顶点处的离散曲率的和； (2)如图，己知在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC, 三校雄P-ABC在顶点C处的离散曲率为) ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值. 【答案】(1)2 2)05,@60 4 【小问1详解】 由肉敬曲率的定义得：，=l1-(APB+∠BPC+∠CP）, DA=1-(∠BAP+∠CAP+∠BAC),D。=1-(LABP+∠CBP+∠ABC), 2π 2元 ①c=1-1(∠ACB+∠BCP+∠ACP),四个式子相加得： 2π ①p+①4+DB+Φc=4-1x4r=2. 2元 【小问2详解】 ①如图，分别取AC,BC,AP的中点D,E,F,连接AE,DE,DF,EF,显然有 AB/IDE,PC/IDF,所以∠FDE为异面直线AB与PC的夹角或其补角，设 AC=BC=2,因为∠ACB=90°，所以AB=2W2,AE=√5， 因为PA⊥平面ABC,AB,AC,AE,BCC平面ABC,所以PA⊥AB,PA⊥AC, PA⊥AE,PA⊥BC, B 因为AC⊥BC,PA∩AC=C,所以BC⊥平面PAC,又因为PCc平面PAC,所以