3.1导数的概念及运算课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的概念及运算”专题，依据高考评价体系梳理了导数概念、运算公式、几何意义及切线问题四大核心考点，通过近五年真题分析明确切线问题占比达60%的高频权重，归纳出概念辨析、导数运算、切线方程求解等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题引领+分层训练+技巧提炼”策略，如以2020课标Ⅰ理切线方程真题为典例，提炼“切点三要素”解题法，培养学生数学思维（运算能力、推理意识）和数学眼光（几何直观）。特设“易错警示”和“变式训练”，助力学生掌握得分关键，教师可据此精准突破考点，提升复习效率。

3.1 导数的概念及运算 返回目录 知识清单 知识点　导数的概念及运算 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f '(x0)或y' ,即f '(x0)=  =  . (2)函数y=f(x)的导函数为f '(x)=y'=  . 返回目录 注意    f '(x)与f '(x0)的区别与联系: f '(x)是一个函数, f '(x0)是函数f '(x)在x0处的函数值(常 数),所以[f '(x0)]'=0. 2.导数的几何意义 函数f(x)在x=x0处导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处切线的斜率.相应地,切线 方程为y-y0= f '(x0)(x-x0). 函数y=f(x)的导数f '(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,|f '(x)|的大小反映了f(x)图象变化 的快慢,|f '(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 返回目录 3.导数的运算 (1)基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f '(x)=0 f(x)=xα(α∈R且α≠0) f '(x)=αxα-1 f(x)=sin x f '(x)=cos x f(x)=cos x f '(x)=-sin x f(x)=ax(a>0,且a≠1) f '(x)=axln a f(x)=ex f '(x)=ex f(x)=logax(a>0,且a≠1) f '(x)=  f(x)=ln x f '(x)=  返回目录 (2)导数的运算法则 [f(x)±g(x)]'=f '(x)±g'(x); [f(x)·g(x)]'=f '(x)g(x)+f(x)g'(x);  '= (g(x)≠0); [cf(x)]'=cf '(x). (3)复合函数的导数 一般地,由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的 导数间的关系为y'x=y'u·u'x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 知识拓展     '=-  ,( )'= . 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)设f(x)为R上的可导函数,且f '(1)=1,则  =2. ( ) (2)函数y=2sin(1-3x)的导函数为y'=6cos(1-3x). ( )     ✕         ✕     返回目录 2.曲线y=x2-ln x在x=1处的切线的斜率为 ( ) A.2　　    B.-2　　    C.1　　    D.-1     C     返回目录 3.已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+x+2(a≠0)相切,则a= ( ) A.- 　　    B. 　　    C.- 　　    D.      D     返回目录 4.已知f(x)=tan x,则f ' =_________.     4     返回目录 5.已知f(x)=f ' sin x-cos 2x,则f(x)在x= 处的导数为__________.     2      返回目录 考点清单 考点1　导数的概念及运算 典例1　求下列函数的导数: (1)y=e3x;(2)y=(3x2+2x+1)cos x; (3)y= ;(4)y=2xcos x-3xlog3x. 返回目录 解析    (1)y'=(e3x)'=3e3x. (2)y'=(3x2+2x+1)'cos x+(3x2+2x+1)·(cos x)' =(6x+2)cos x-(3x2+2x+1)sin x. (3)因为y= =3 +x-5+ ,所以y'=  -  +1. (4)y'=(2x)'cos x+2x(cos x)'-(3x)'log3x-3x(log3x)' =2xln 2cos x-2xsin x-3log3x-3x·  =2xln 2cos x-2xsin x-3log3x-3log3e. 返回目录 解题技巧    1.求函数导数的原则:先化简解析式,再求导. 2.(1)抽象函数求导,恰当赋值是关键,然后活用方程思想求导; (2)复合函数求导,应由外向内逐层求导,必要时可换元. 返回目录 变式训练 1.(情境模型变式)(2025届福建泉州阶段练)已知函数f(x)=ex+2f '(0)x+1,则f '(2)的值为 ____________.     e2-2     解析　由题意知f '(x)=ex+2f '(0),所以f '(0)=1+2f '(0),所以f '(0)=-1, 所以f '(x)=ex-2,所以f '(2)=e2-2. 返回目录 2.(情境模型变式)若定义域都为R的函数f(x)及其导函数f'(x),满足对任意实数x都有 f(x)-f(2 025-x)=2x-2 025,则 f '(k)=_____________.     2 024     解析　对f(x)-f(2 025-x)=2x-2 025两边同时求导得f '(x)-f '(2 025-x)·(2 025-x)'=2,即f '(x)+ f '(2 025-x)=2【不要忘记对内层函数求导】,则f '(1)+f '(2 024)=2,f '(2)+f '(2 023)=2,······, f '(1 012)+f '(1 013)=2,从而 f '(k)=2×1 012=2 024. 返回目录 考点2　曲线的切线 角度1　在某点处的切线问题 典例2　(切点已知)(2020课标Ⅰ理,6,5分)函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1, f(1))处的切 线方程为 ( ) A.y=-2x-1　　    B.y=-2x+1 C.y=2x-3　　    D.y=2x+1     B     解析    f'(x)=4x3-6x2,则f'(1)=4-6=-2,易知f(1)=1-2=-1,由点斜式可得函数f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程为y-(-1)=-2(x-1),即y=-2x+1.故选B. 返回目录 解题技巧　解决切线问题的注意事项 1.切点在切线上,即切点坐标可代入切线方程建立等式关系. 2.切点在曲线上,即切点坐标可代入曲线方程建立等式关系. 3.在切点横坐标处的导数等于切线的斜率. 返回目录 变式训练 3.(切点未知)(2025届福建莆田二模,5)曲线y=xex-x在点P处切线的斜率为-1,则P的坐 标为( ) A.(-1,-1)　　    B. 　　     C.(1,e-1)　　    D.(1,2e-1)     B     返回目录 解析　由y=xex-x得y'=(x+1)ex-1, 因为曲线y=xex-x在点P处切线的斜率为-1,所以令y'=-1,即(x+1)ex=0,故x=-1,此时y=-e-1- (-1)=1- , 即P的坐标为 .故选B. 返回目录 角度2　过某点的切线问题 典例3    (2025届河南名校学术联盟冲刺(六),4)过原点且与曲线y=xsin x相切的直线有  ( ) A.1条　　    B.2条　　    C.3条　　    D.4条     C     返回目录 解析    设切点坐标为(x0,x0sin x0),切线方程为y=kx. 对y=xsin x求导得y'=sin x+xcos x, 则 当x0=0时,k=0,此时切线方程为y=0;当x0≠0时, =sin x0+x0cos x 0,所以x0cos x0=0,所以cos x0=0,所以x0= +nπ,n∈Z, 所以k=±1,所以切线方程为y=±x, 所以切线有3条.故选C. 返回目录 解题技巧　若已知曲线y=f(x)过点P(x0,y0),求曲线过点P的切线方程. (1)当点P(x0,y0)是切点时,切线方程为y-y0=f '(x0)·(x-x0); (2)当点P(x0,y0)不是切点时,可分以下几步完成: 第一步:设出切点坐标P'(x1, f(x1)); 第二步:写出过点P'(x1, f(x1))的切线方程:y-f(x1)=f '(x1)(x-x1); 第三步:将点P(x0,y0)代入切线方程求出x1; 第四步:将x1的值代入方程y-f(x1)=f '(x1)(x-x1)可得过点P(x0,y0)的切线方程. 返回目录 变式训练 4.(结论拓展变式)(2025届湖北省实验中学月考,13)已知直线y=kx+b与函数f(x)= x2+ ln x的图象相切,则k-b的最小值为_________. 返回目录 解析　设切点为P , 由f'(x)=x+ ,得斜率k=x0+ , 则切线方程为y- = (x-x0), 即y= x-  +ln x0-1, 故  返回目录 【与y=kx+b作比较,对应项系数相等】 故k-b=  +x0+ -ln x0+1, 令g(x)= x2+x+ -ln x+1(x>0), 则g'(x)=x+1- - = , 当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减, 当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以g(x)min=g(1)= ,即k-b的最小值为 . 返回目录 角度3　公切线问题 典例4    (2025届湖南名校联合体三模,8)若直线y=kx+1(k为常数)是曲线y=ln x+1和曲线 y=aex+1的公切线,则实数a的值为 ( ) A. 　　    B. 　　    C.1　　    D.e     B     返回目录 解析　解法一　对于y=ln x+1,定义域为(0,+∞),则y'= , 设直线y=kx+1与曲线y=ln x+1的切点为(x1,ln x1+1), 则切线方程为y-ln x1-1= (x-x1),即y= x+ln x1, 又因为y=kx+1,所以 【利用两条切线重合,建立等式关系】 解得x1=e,k= ,所以切线方程为y= x+1. 令g(x)=y=aex+1,则g'(x)=aex, 返回目录 设直线y= x+1与曲线y=aex+1的切点为(x0,a +1),所以g'(x0)=a = ①, 又因为切点(x0,a +1)在直线y= x+1上,所以a +1= x0+1, 即a = x0②,由①和②可得x0=1, 所以ae= ,解得a= . 解法二　设直线y=kx+1(k为常数)与曲线y=ln x+1和曲线y=aex+1的切点分别为P(x1,y1), Q(x2,y2),则 返回目录  ⇒ln x1=kx1=1. ∴x1=e,k= . 同理 ⇒a =kx2=k.∴x2=1,∴k=ae= ,∴a= .故选B. 返回目录 解题技巧　利用导数的几何意义求两曲线的公切线   ①切点为两曲线的公共点,即f(x0)=g(x0); ②切线斜率相同,即f'(x0)=g'(x0)   分别写出两曲线的切线方程,由于重合,则对应系数相等, 解方程得结果 返回目录 变式训练 5.(关键元素变式)(2026届安徽皖豫名校联盟调研,4)已知函数f(x)=x2+ax+2与g(x)=ex+ b的图象在x=1处的切线重合,则a+b= ( ) A.e-1　　    B.e　　     C.e+1　　    D.e+2     A     解析　由题意得f '(x)=2x+a,g'(x)=ex.则有  即 解得 故a+b=e-2+1=e-1.故选A. 返回目录 6.(设问条件变式)(2024届广东茂名一模,7)曲线y=ln x与曲线y=x2+2ax有公切线,则实 数a的取值范围是 ( ) A. 　　    B.  C. 　　     D.      B     返回目录 解析　对两个函数分别求导得y'= ,y'=2x+2a, 设公切线与曲线y=ln x,y=x2+2ax的切点分别为(x1,ln x1),(x2, +2ax2),则在这两点处的切 线方程分别为y= +ln x1-1,y=(2x2+2a)x- , 则 【利用切线重合,建立等式关系】 所以2a= -2x2,【ln x1=1- ,则 = ,即x1= 】 设f(x)= -2x, f '(x)=2(x -1), 则f '(1)=0, 令g(x)=f '(x)=2(x -1), 返回目录 所以g'(x)=2(2x2+1) >0, 所以g(x)在R上单调递增, 又f '(1)=g(1)=0, 则f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以2a≥f(1)=-1,a≥- .故选B. 返回目录 $