第20讲 利用导数研究函数的单调性 课时作业-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数单调性与奇偶性，通过基础到提升分层训练，培养数学思维与推理能力，构建从概念辨析到综合应用的知识逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A组基础保分练|8题|奇偶性判断、单调区间求解、图像识别等基础题型|从函数奇偶性概念出发，结合导数判定单调性，形成概念到基础应用的逻辑链条| |B组能力提升练|2题|新定义“F函数”判断、含参单调性讨论等综合题型|在基础上拓展，通过新定义和参数讨论深化单调性判定的推理能力，体现知识应用的进阶|

[A组　基础保分练] 1.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　) A.f(x)=-ln x　　　　　 B.f(x)=3x- C.f(x)= D.f(x)=x3-3x 答案:B 解析:对于A,f(x)=-ln x的定义域是(0,+∞),不是奇函数,所以A错误; 对于B,f(x)=3x-,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且f(-x)=3(-x)-=-3x+=-f(x),是奇函数, f'(x)=3+>0,所以f(x)=3x-在区间(0,+∞)上单调递增,所以B正确; 对于C,f(x)=,则f'(x)=-<0,在区间(0,+∞)上单调递减,所以C错误; 对于D,f(x)=x3-3x,则f'(x)=3x2-3,令f'(x)<0,即3x2-3<0,解得-1<x<1,所以f(x)=x3-3x在(0,1)上单调递减,所以D错误. 2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递减区间是 (　　) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 答案:A 解析:由已知得, f'(x)=ex+(x-3)ex=(x-2)ex, 当x<2时,f'(x)<0,当x>2时,f'(x)>0, 所以f(x)的单调递减区间是(-∞,2),单调递增区间是(2,+∞). 3.函数f(x)=的大致图象为 (　　) 答案:C 解析:函数f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称, 且f(-x)==-=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A,B; 当x>0时,函数f(x)=,则f'(x)=, 当0<x<e时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增, 当x>e时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减,排除D. 4.(2026·天津模拟)函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调递增区间为 (　　) A.(0,) B.(,+∞) C.(-∞,) D.(-∞,a) 答案:A 解析:由f'(x)=-a>0,x>0,得0<x<, ∴f(x)的单调递增区间为(0,). 5.(多选)已知函数f(x)=2x3-x2,在下列区间中, f(x)单调递增的是 (　　) A.(0,) B.(,+∞) C.(-∞,0) D.(0,) 答案:BC 解析:由题意有f'(x)=6x2-2x=2x(3x-1),由f'(x)>0有x>或x<0, 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞,0),(,+∞). 6.(多选)若函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),则f(x)可能是 (　　) A.f(x)=ln(x-2)+x B.f(x)= C.f(x)=x+ D.f(x)=x(ln x-1) 答案:BD 解析:A选项,f(x)=ln(x-2)+x的定义域为(2,+∞),故单调递增区间不可能为(1,+∞),A错误; B选项,f(x)=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f'(x)=,令f'(x)>0,解得x>1, 所以f(x)=的单调递增区间为(1,+∞),B正确; C选项,f(x)=x+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞), f'(x)=1-=,令f'(x)=>0,解得x>1或x<-1, 所以f(x)=x+的单调递增区间为(-∞,-1),(1,+∞),C错误; D选项,f(x)=x(ln x-1)的定义域为(0,+∞), f'(x)=ln x-1+1=ln x,令f'(x)=ln x>0,解得x>1, 故f(x)=x(ln x-1)的单调递增区间为(1,+∞),D正确. 7.函数f(x)=+2x-3ln x的单调递增区间为　　　　.  答案:(1,+∞) 解析:因为f'(x)=x+2-=,x>0, 由f'(x)>0可得x2+2x-3>0, 即(x+3)(x-1)>0⇒x<-3(舍去)或x>1, 所以函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞). 8.已知函数f(x)=x3+mx2+nx+1的单调递减区间是(-3,1),则m+n=　　　　.  答案:-2 解析:f'(x)=x2+2mx+n, 由f(x)的单调递减区间是(-3,1),得f'(x)<0的解集为(-3,1),则-3,1是f'(x)=0的解, ∴-2m=-3+1=-2,n=1×(-3)=-3,可得m=1,n=-3,故m+n=-2. [B组　能力提升练] 9.(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1,x2(x1≠x2)都有>0,则称函数y=f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是(　　) A.f(x)=ex B.f(x)=x2 C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x 答案:ACD 解析:依题意,函数g(x)=xf(x)为定义域上的增函数. 对于A,g(x)=xex,g'(x)=(x+1)ex,当x∈(-∞,-1)时,g'(x)<0, ∴g(x)在(-∞,-1)上单调递减,故A中函数不是“F函数”; 对于B,g(x)=x3在R上为增函数,故B中函数为“F函数”; 对于C,g(x)=xln x,g'(x)=1+ln x,x>0,当x∈(0,)时,g'(x)<0, ∴g(x)在(0,)上单调递减,故C中函数不是“F函数”; 对于D,g(x)=xsin x,g'(x)=sin x+xcos x,当x∈(-,0)时,g'(x)<0, ∴g(x)在(-,0)上单调递减,故D中函数不是“F函数”. 10.已知函数f(x)=x3-ax2-a2x+1. (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论f(x)的单调性. 解:(1)当a=2时,f(x)=x3-2x2-4x+1,则f'(x)=3x2-4x-4, 从而f(1)=-4,f'(1)=-5, 故所求切线方程为y+4=-5(x-1),即y=-5x+1(或5x+y-1=0). (2)由题意可得f'(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)·(x-a). 当->a,即a<0时,由f'(x)>0,得x<a或x>-,由f'(x)<0,得a<x<-, 则f(x)在(-∞,a)和(-,+∞)上单调递增,在(a,-)上单调递减; 当-=a,即a=0时,f'(x)≥0恒成立,则f(x)在R上单调递增; 当-<a,即a>0时,由f'(x)>0,得x<-或x>a,由f'(x)<0,得-<x<a,则f(x)在(-∞,-)和(a,+∞)上单调递增,在(-,a)上单调递减. 综上,当a<0时,f(x)在(-∞,a)和(-,+∞)上单调递增,在(a,-)上单调递减; 当a=0时,f(x)在R上单调递增; 当a>0时,f(x)在(-∞,-)和(a,+∞)上单调递增,在(-,a)上单调递减. 学科网（北京）股份有限公司 $ [A组　基础保分练] 1.下列函数中,既是奇函数,又在区间(0,+∞)上单调递增的是 (　　) A.f(x)=-ln x　　　　　 B.f(x)=3x- C.f(x)= D.f(x)=x3-3x 2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递减区间是 (　　) A.(-∞,2) B.(0,3) C.(1,4) D.(2,+∞) 3.函数f(x)=的大致图象为 (　　) 4.(2026·天津模拟)函数f(x)=ln x-ax(a>0)的单调递增区间为 (　　) A.(0,) B.(,+∞) C.(-∞,) D.(-∞,a) 5.(多选)已知函数f(x)=2x3-x2,在下列区间中, f(x)单调递增的是 (　　) A.(0,) B.(,+∞) C.(-∞,0) D.(0,) 6.(多选)若函数f(x)的单调递增区间为(1,+∞),则f(x)可能是 (　　) A.f(x)=ln(x-2)+x B.f(x)= C.f(x)=x+ D.f(x)=x(ln x-1) 7.函数f(x)=+2x-3ln x的单调递增区间为　　　　.  8.已知函数f(x)=x3+mx2+nx+1的单调递减区间是(-3,1),则m+n=　　　　.  [B组　能力提升练] 9.(多选)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1,x2(x1≠x2)都有>0,则称函数y=f(x)为“F函数”.下列函数不是“F函数”的是(　　) A.f(x)=ex B.f(x)=x2 C.f(x)=ln x D.f(x)=sin x 10.已知函数f(x)=x3-ax2-a2x+1. (1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)讨论f(x)的单调性. 学科网（北京）股份有限公司 $