共线的自由电荷的平衡问题、多个点电荷间库仑力合成 专项训练 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第三册

**基本信息** 以“判电性-定位置-列方程-求解-稳定性判断”及“对象选取-方向判断-分力计算-矢量合成”为双主线，系统整合共线电荷平衡与库仑力合成问题的解题方法，强化科学推理与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |共线的自由电荷的平衡问题|例6+变式6|判电性-定位置-列平衡方程-联立求解-稳定性判断五步法|基于库仑定律，结合“两同夹异”等规律，构建电荷平衡模型，培养相互作用观念| |多个点电荷间库仑力合成|例5+变式5|对象选取-方向判断-分力计算-矢量合成（共线/正交分解）四步法|从库仑力矢量性出发，通过正交分解等方法实现力的合成，提升科学推理能力|

共线的自由电荷的平衡问题、多个点电荷间库仑力合成专项训练 共线的自由电荷的平衡问题、多个点电荷间库仑力合成专项训练 考点目录 共线的自由电荷的平衡问题 多个点电荷间库仑力合成 考点一 共线的自由电荷的平衡问题 解题思路点拨 1. 判电性：根据“两同夹异、两大夹小、近小远大”规律，先确定三个共线电荷的电性排布。 1. 定位置：判断平衡点在两电荷外侧还是内侧；同种电荷平衡点在二者外侧，异种电荷无共线平衡位置。 1. 列平衡方程：对研究电荷，沿直线标出所有库仑力方向，根据合力为0列等式。 1. 联立求解：结合库仑公式联立方程，求距离、电荷量大小；多电荷依次逐个分析。 1. 稳定性判断：区分静态平衡与扰动后是否能保持平衡。 例1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）如图所示，两根轻质绝缘细线挂着两个质量相同的小球A、B。原来两球不带电，上、下两细线的拉力分别为FA和FB；现使两球带上异种电荷，此时上、下两细线的拉力分别变为F′A和F′B。则（　　） A．FA=F′A，FB>F′B B．FA=F′A，FB<F′B C．FA<F′A，FB<F′B D．FA>F′A，FB>F′B 【答案】A 【详解】设两球质量均为m，两球不带电时，根据两球整体受力平衡有 根据B球受力平衡有 两球带上异种电荷时，设两球间的库仑力大小为F，根据两球整体受力平衡有 根据B球受力平衡有 解得 所以， 故选A。 例2．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图所示，在直角三角形ABC的顶点A、B分别固定有点电荷Q1、Q2，现将一试探电荷q固定于顶点C，测得q所受电场力与AB边垂直。已知，则（　　） A．= B．= C．= D．= 【答案】A 【详解】根据电荷q受到的电场力方向，可以判断出点电荷、对q的电场力分别为和，如图 根据库仑定律，则有， 根据几何关系 可知， 联立解得 故选A。 例3．（24-25高一下·辽宁·期末·多选）如图所示，两根绝缘细线挂着质量相同的两个小球A、B，A、B均静止且不带电，上、下两根细线所受的拉力大小分别为、。现使两球带上异种电荷（两球不动），则（　　） A．变大 B．不变 C．变小 D．不变 【答案】BC 【详解】AB．以A、B整体作为研究对象进行分析， 平衡条件有 可知，不变，故A错误，B正确； CD．当A、B不带电时，对B进行分析，根据平衡条件有 当A、B带异种电荷时，它们相互吸引，对B进行分析，根据平衡条件有 可知 即变小，故C正确，D错误。 故选BC。 例4．（24-25高一下·安徽合肥·期末·多选）如图所示，绝缘水平地面上固定有一带正电小球A，小球A正上方有一个轻小光滑定滑轮（忽略大小），绝缘细线绕过定滑轮拴住另一个相同的带电小球B。已知两小球的质量均为m，电荷量均为q，重力加速度大小为g，静电力常量为k，两小球均可视为点电荷，拉力时，小球B对地面恰好无压力。然后继续缓慢拉动细线使小球B缓慢移动到定滑轮的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球B对地面恰好无压力时两小球间的距离为 B．小球B被拉动后，受到小球A的库仑力大小先不变再逐渐减小 C．小球B被拉动后，电场力对小球B先不做功后做正功 D．小球B恰好被拉到小球A正上方的过程中，拉力对小球B做的功为 【答案】ABC 【详解】A．设小球A到定滑轮的距离为H，A、B间的距离为L，小球B恰好离开地面时，静电力 由平衡可知 解得，故A正确； BC．小球B被拉动后，一直处于平衡状态，其受力示意图为 设小球A、B之间的距离为，A球到滑轮的距离为H，则库仑力为 根据相似三角形的关系 可知B球移动到A球正方向过程中，两球之间的距离L保持不变，小球B受到小球A的库仑力大小不变，电场力对小球B不做功，从A球正上方到移动定滑轮的过程中，电场力做正功，库仑力逐渐减小，故全过程B受到小球A的库仑力大小先不变再逐渐减小，电场力对小球B先不做功后做正功，故BC正确； D．根据功能关系可知，拉力对小球B做的功等于小球B重力势能的增加量，，选项D错误。 故选ABC。 例5．（25-26高一下·江苏淮安·期中）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A球质量为，B球质量为，且均带电，其中A球带电荷量，系统处于静止状态。已知静电力常量，重力加速度。 (1)若已知两球间距为，求B球所带电荷量大小； (2)求弹簧伸长量 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据平衡可知，对B球 解得 （2）对AB整体分析： 解得 例6．（25-26高二上·河北·期中）如图所示，用两根不可伸长的绝缘细线将A、B两带电小球悬挂于O点，电荷量分别为+9q、+q，质量分别记为m1和m2，静止时A、B两球处于同一水平线上，其中O点到B球的距离OB=L，∠AOB=90°，∠OAB=30°，带电小球均可视为点电荷，静电力常量为k。求： (1)A、B间的库仑力大小； (2)A、B两球的质量m1和m2之比； (3)A、B连线上且在O点的正下方C点的电场强度。 【答案】(1) (2)1:3 (3)零 【详解】（1）由几何关系可知，A、B间距为 根据库仑定律，A、B之间的库仑力大小为 （2）对A、B受力分析如图所示 对A球有 对B球有 解得 （3）两个带电小球A、B在C点产生的电场强度大小分别为 ， 二者方向相反，因此C点的合场强为零。 变式1．（24-25高一下·河南周口·期末）在绝缘水平地面上固定甲、乙两个完全相同的带电金属小球（可视为质点），甲所带的电荷量，乙所带的电荷量，两带电小球的间距，已知静电常量。下列说法正确的是（   ） A．若将两个金属小球相互接触后再放回原处，则它们之间的库仑力大小为8.1N B．若将两个金属小球相互接触后再放回原处，则它们之间的库仑力大小为 C．若在绝缘地面上再放一带电小球丙，要使三个小球受到的电场力均为0，则丙球带电量为 D．若在绝缘地面上再放一带电小球丙，要使三个小球受到的电场力均为0，则丙球带电量为 【答案】A 【详解】AB．两相同金属球接触后电荷均分。均分后每球所带电荷为量 库仑力大小，故A正确，B错误； CD．要使三个小球受到的电场力均为0，放入的小球必须带负电，并且甲球必须在两个带负电的小球之间，设丙电荷为，距离甲为，则对甲分析，根据平衡条件有 对乙分析，根据平衡条件有 代入数据解得，故CD错误。 故选A。 变式2．（24-25高一下·江西·期末）一绝缘轻质弹簧的两端连接有电荷量均为q的A、B两个带电小球（视为点电荷），如图所示，两小球放置在光滑绝缘的水平面上，静止时，它们之间的距离为弹簧原长的倍。若改变两小球的电荷量（两小球的电荷量始终相同），两小球再次处于静止状态时，它们之间的距离为弹簧原长的倍，弹簧始终在弹性限度内，则其中一个小球的电荷量约为（　　） A． B． C． D．2q 【答案】B 【详解】当两小球的电荷量均为q时，有 其中k为静电力常量，L为弹簧的原长，为弹簧的劲度系数，当两小球的电荷量均为时，有 解得 故选B。 变式3．（25-26高二上·福建泉州·期末·多选）在探究电荷间作用力的大小与距离、电荷量的关系时，分别用长为L的绝缘细线把质量均为m的带电小球P、Q，悬挂在同一水平线上相距2L的M、N两点，平衡时P、Q的位置如图所示，细线与竖直方向的夹角均为，两小球均视为点电荷。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g。则（　　） A．两小球带异种电荷 B．两小球带电量一定相等 C．细线对小球P的拉力大小为2mg D．若两球带等量电荷，则小球所带电荷量均为 【答案】AD 【详解】A．同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引，所以两小球带异种电荷，故A正确； B．两小球之间的静电力是相互作用力，大小相等，方向相反，根据库仑定律可得，仅能确定两小球带电量的乘积，但电荷量不一定相等，故B错误； C．对小球P受力分析有 解得，故C错误； D．两小球相距 由小球受力平衡可得 解得，故D正确。 故选AD。 变式4．（25-26高一上·甘肃武威·期末·多选）如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球，用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平地面的高度相等，绳与竖直方向的夹角分别为、，且，若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电量不变，则下列叙述正确的是（　　） A．a球的质量比b球的质量大 B．a球的电荷量比b球的电荷量大 C．a、b两球飞行的水平距离相等 D．两球同时落地 【答案】AD 【详解】A．对a、b两球进行受力分析，均受重力、细线的拉力和库仑斥力三个力的作用而处于平衡状态，对a球 对b球 联立得，因为，所以，故A正确； B．小球a、b受到的库仑力遵循牛顿第三定律，总是大小相等，方向相反，与两球的电荷量的大小无关，所以无法判断两球电荷量的大小，故B错误． CD．剪断细线后，两球水平方向受相等的库仑力，竖直方向受重力作用，竖直方向做自由落体运动，高度相等，则时间相等，两球质量不等，则水平方向两球的加速度不等，故水平位移不等，故C错误，D正确； 故选AD。 变式5．（24-25高一下·江苏苏州·期中）如图，真空中有两个点电荷，，，分别固定在x轴坐标为0和6cm的位置上。（已知静电力常量，不计电荷重力） (1)求与间的库仑力大小F； (2)若在x轴上放置第三个点电荷，使其仅在静电力作用下保持静止，求的位置坐标x。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）与间的库仑力大小为 其中 代入数据，解得 （2）由题意可知在的右侧，根据平衡条件可知，和对的库仑力等大反向，则 代入数据，解得 变式6．（2025·福建宁德·三模）如图所示，光滑绝缘的轻质三角形框架OAB，OA杆竖直且O、A相距为，OB杆与OA杆夹角为，B点与A点高度相同。A点固定一带电小球，绝缘轻质弹簧一端固定于O点，另一端与套在OB杆上质量为的带电小球P相连，初始时，小球静止于OB中点且对杆无压力。现驱动该装置以OA为轴转动，使小球缓慢移动至B点，此时弹簧恰好恢复原长，此后维持角速度不变。已知重力加速度为，不计空气阻力，求： (1)初始时小球P所受的静电力大小； (2)小球到达B点后的角速度大小； (3)整个过程驱动力所做的功。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）方法1：小球受到弹簧弹力F、库仑力、重力mg而平衡，如图 几何关系可知 由平衡条件有 联立解得 方法2：对小球，由平衡条件有， 联立解得 （2）方法1：设此时库仑力为，杆对球弹力为N，如图 几何关系可知AB=AP，故 由牛顿第二定律有 且 联立解得 方法2：由牛顿第二定律有 几何关系可知 联立解得 （3）小球做周运动的速度大小为 解法一：根据动能定理 联立解得 解法二：由功能关系得 解得 解法三：由功能关系得 且  ，，   联立解得 考点二 多个点电荷间库仑力合成 解题思路点拨 1. 确定研究对象：选定目标点电荷，找出所有对它施加库仑力的其他电荷。 1. 判断力的方向：依据“同种电荷相斥，异种电荷相吸”，画出每个库仑力的方向。 1. 计算分力大小：用库仑定律逐一算出各个库仑力的大小。 1. 矢量合成 共线：直接代数加减； 不共线：用平行四边形定则，或建立直角坐标系正交分解，分别求x、y方向合力，再合成总合力。 1. 求结果：算出合力大小，标注合力方向。 例1．（25-26高三上·重庆·期中）如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接，两球均处于静止状态。轻绳水平，两球连线与轻绳的夹角为30°，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为2mg B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为mg C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A 球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B 球的作用力不变 【答案】D 【详解】A．对A球受力分析如图所示 由平衡条件可知轻绳上拉力为，故A错误； B．由平衡条件可知A球与B球间的库仑力为，故B错误； C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A球受到轻绳的拉力消失，其它两力保持不变，根据三力平衡知识，此时A球的合外力大小等于拉力的大小，则加速度大小为，方向为拉力的反方向，故C错误； D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间Ｂ球受到的库仑力和重力不变，小球仍然处于静止状态，则轻杆对B球的作用力不变，故D正确。 故选D。 例2．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）如图所示，A、B、C是三个相同的金属球（可视为质点），分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上，其中A球带正电荷，B球带负电荷，C球不带电，A球带电荷量为Q，B球带电荷量为。现将B球先后与A、C接触再放回原处，静电力常量为k，则A球受到的静电力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将B球先后与A、C接触后，A、B、C各带电量为-Q、、；放回原处后，B、C对A的斥力均为 夹角为60°，则A受静电力的合力为，故选B。 例3．（24-25高一下·河北邯郸·期末·多选）如图所示，中，，将两个电荷量绝对值为，的点电荷分别固定在、两点，电荷量为的试探电荷在点受到的静电力方向垂直于向下，已知，，则下列说法正确的是（　　） A．、一定带异种电荷 B．、一定带同种电荷 C． D． 【答案】BD 【详解】AB．题意知电荷量为的试探电荷在点受到的静电力方向垂直于向下，可知、一定带同种正电荷，故A错误，B正确； CD．由于试探电荷在点受到的静电力方向垂直于向下，根据平行四边形定则，可知 因为 联立解得 故C错误，D正确。 故选BD。 例4．（24-25高一下·河南·阶段检测）如图所示，A、B为真空中电荷量均为的两个固定的点电荷，相距为s，AB连线中点为O，C是中垂线上的一点，距O点距离为d，现将另一个电荷量为的点电荷固定在C点处，已知静电力常量为k，求： (1)A电荷对电荷量为的点电荷的库仑力； (2)电荷量为的点电荷在C点处所受的库仑力。 【答案】(1)，方向由A指向C (2)，方向由O指向C 【详解】（1）如图所示 由库仑定律有 其中 可得，方向为由A指向C； （2）如上图所示，A、B两电荷对产生的电场力大小相同 则电荷量为的点电荷在C点处所受的库仑力大小为 根据几何关系有 解得，方向由O指向C。 例5．（24-25高一下·河南洛阳·阶段检测）如图所示，同一竖直平面内、、三点的连线构成一个底边长的等腰三角形，为连线的中垂线，为连线中点。点固定一个电荷量为的点电荷，点固定一个电荷量为的点电荷，现将一电荷量为的点电荷放置在点，，已知静电力常量，求此时所受的静电力大小。 【答案】 【详解】由于，且，根据图中几何关系可得为等腰直角三角形，则点对的静电力大小为 方向由指向；点对的静电力大小为 方向由指向；则所受的静电力大小为 变式1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在真空中两点分别固定电荷量均为的点电荷，是中垂线上的一点，。若在点放置一个电荷量为的点电荷，已知静电力常量为，则处点电荷受到两处点电荷的库仑力的合力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据力的矢量合成可知 故选A。 变式2．（24-25高一下·湖北孝感·期末）在边长为a的正六边形ABCDEF的各顶点分别固定六个点电荷，电荷量依次为+q，−q，+q，−q，+q，−q，则A处的点电荷所受库仑力的合力为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A处点电荷受到的其他各点电荷对其的库仑力如图所示， 根据几何关系可知， 由库仑定律可知，， 则合力 故选C。 变式3．（25-26高一下·北京海淀·期中·多选）如图所示，位于同一直线上的两个点电荷和将该直线划分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，另有一负点电荷，设对、的电场的影响可忽略不计，则（　　） A．在Ⅰ区中，受力可能向左，也可能向右 B．在Ⅱ区中，受力可能向左，也可能向右 C．在Ⅲ区中，受力可能向左，也可能向右 D．在Ⅱ区中，受力一定不为零 【答案】ACD 【详解】根据同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引可知：在Ⅰ区域对的力向右，对的力向左；在Ⅱ区域对的力向左，对的力也向左；在Ⅲ区域对的力向左，对的力向右。 根据库仑定律可知点电荷对放入其中的电荷的力为，由于不知道、的大小关系，则两电荷对的库仑力的大小关系不能确定，则在Ⅰ区和Ⅲ区中，受力可能向左，也可能向右，也可能合力为0；在Ⅱ区中，受力一定向左，且一定不为0。 故选ACD。 变式4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图所示，场源电荷A、B固定在同一竖直线上，C点为AB连线的中点。质量、电荷量的带正电小球恰好静止于C点。已知场源电荷A、B和小球均可视为点电荷，场源电荷A所带电荷量，静电力常量，B、C间的距离，取重力加速度大小。求： (1)场源电荷A、B在C点处产生电场的合电场强度大小E； (2)场源电荷B所带电荷的电性及电荷量。 【答案】(1) (2)正电, 【详解】（1）对带电小球受力分析有 由电场强度定义式有 解得 （2）场源电荷A对小球的库仑力 由，可知场源电荷应带正电 场源电荷对小球的库仑力 解得 变式5．（24-25高一下·湖北恩施·期末）如图所示，光滑绝缘水平面上（俯视图）有三个可视为点电荷的带电小球A、B、C。在小球C上作用一水平恒力F（未知），三个小球保持相对静止一起向右运动。已知三球质量均为m，间距均为r。A、B球带等量正电荷q。求： (1)C球的电性和电荷量qC； (2)水平外力F的大小。 【答案】(1)C球带负电荷，2q (2) 【详解】（1）由题意可知C球带负电荷，对A球有 解得 （2）设三球运动加速度为a，对A球有 对三球整体有 解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $共线的自由电荷的平衡问题、多个点电荷间库仑力合成专项训练 共线的自由电荷的平衡问题、多个点电荷间库仑力合成专项训练 考点目录 共线的自由电荷的平衡问题 多个点电荷间库仑力合成 考点一 共线的自由电荷的平衡问题 解题思路点拨 1. 判电性：根据“两同夹异、两大夹小、近小远大”规律，先确定三个共线电荷的电性排布。 1. 定位置：判断平衡点在两电荷外侧还是内侧；同种电荷平衡点在二者外侧，异种电荷无共线平衡位置。 1. 列平衡方程：对研究电荷，沿直线标出所有库仑力方向，根据合力为0列等式。 1. 联立求解：结合库仑公式联立方程，求距离、电荷量大小；多电荷依次逐个分析。 1. 稳定性判断：区分静态平衡与扰动后是否能保持平衡。 例1．（25-26高一下·江苏盐城·期中）如图所示，两根轻质绝缘细线挂着两个质量相同的小球A、B。原来两球不带电，上、下两细线的拉力分别为FA和FB；现使两球带上异种电荷，此时上、下两细线的拉力分别变为F′A和F′B。则（　　） A．FA=F′A，FB>F′B B．FA=F′A，FB<F′B C．FA<F′A，FB<F′B D．FA>F′A，FB>F′B 例2．（24-25高一下·江苏南京·期中）如图所示，在直角三角形ABC的顶点A、B分别固定有点电荷Q1、Q2，现将一试探电荷q固定于顶点C，测得q所受电场力与AB边垂直。已知，则（　　） A．= B．= C．= D．= 例3．（24-25高一下·辽宁·期末·多选）如图所示，两根绝缘细线挂着质量相同的两个小球A、B，A、B均静止且不带电，上、下两根细线所受的拉力大小分别为、。现使两球带上异种电荷（两球不动），则（　　） A．变大 B．不变 C．变小 D．不变 例4．（24-25高一下·安徽合肥·期末·多选）如图所示，绝缘水平地面上固定有一带正电小球A，小球A正上方有一个轻小光滑定滑轮（忽略大小），绝缘细线绕过定滑轮拴住另一个相同的带电小球B。已知两小球的质量均为m，电荷量均为q，重力加速度大小为g，静电力常量为k，两小球均可视为点电荷，拉力时，小球B对地面恰好无压力。然后继续缓慢拉动细线使小球B缓慢移动到定滑轮的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球B对地面恰好无压力时两小球间的距离为 B．小球B被拉动后，受到小球A的库仑力大小先不变再逐渐减小 C．小球B被拉动后，电场力对小球B先不做功后做正功 D．小球B恰好被拉到小球A正上方的过程中，拉力对小球B做的功为 例5．（25-26高一下·江苏淮安·期中）如图所示，在倾角为的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A球质量为，B球质量为，且均带电，其中A球带电荷量，系统处于静止状态。已知静电力常量，重力加速度。 (1)若已知两球间距为，求B球所带电荷量大小； (2)求弹簧伸长量 例6．（25-26高二上·河北·期中）如图所示，用两根不可伸长的绝缘细线将A、B两带电小球悬挂于O点，电荷量分别为+9q、+q，质量分别记为m1和m2，静止时A、B两球处于同一水平线上，其中O点到B球的距离OB=L，∠AOB=90°，∠OAB=30°，带电小球均可视为点电荷，静电力常量为k。求： (1)A、B间的库仑力大小； (2)A、B两球的质量m1和m2之比； (3)A、B连线上且在O点的正下方C点的电场强度。 变式1．（24-25高一下·河南周口·期末）在绝缘水平地面上固定甲、乙两个完全相同的带电金属小球（可视为质点），甲所带的电荷量，乙所带的电荷量，两带电小球的间距，已知静电常量。下列说法正确的是（   ） A．若将两个金属小球相互接触后再放回原处，则它们之间的库仑力大小为8.1N B．若将两个金属小球相互接触后再放回原处，则它们之间的库仑力大小为 C．若在绝缘地面上再放一带电小球丙，要使三个小球受到的电场力均为0，则丙球带电量为 D．若在绝缘地面上再放一带电小球丙，要使三个小球受到的电场力均为0，则丙球带电量为 变式2．（24-25高一下·江西·期末）一绝缘轻质弹簧的两端连接有电荷量均为q的A、B两个带电小球（视为点电荷），如图所示，两小球放置在光滑绝缘的水平面上，静止时，它们之间的距离为弹簧原长的倍。若改变两小球的电荷量（两小球的电荷量始终相同），两小球再次处于静止状态时，它们之间的距离为弹簧原长的倍，弹簧始终在弹性限度内，则其中一个小球的电荷量约为（　　） A． B． C． D．2q 变式3．（25-26高二上·福建泉州·期末·多选）在探究电荷间作用力的大小与距离、电荷量的关系时，分别用长为L的绝缘细线把质量均为m的带电小球P、Q，悬挂在同一水平线上相距2L的M、N两点，平衡时P、Q的位置如图所示，细线与竖直方向的夹角均为，两小球均视为点电荷。已知静电力常量为k，重力加速度大小为g。则（　　） A．两小球带异种电荷 B．两小球带电量一定相等 C．细线对小球P的拉力大小为2mg D．若两球带等量电荷，则小球所带电荷量均为 变式4．（25-26高一上·甘肃武威·期末·多选）如图所示，a、b是两个带有同种电荷的小球，用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平地面的高度相等，绳与竖直方向的夹角分别为、，且，若同时剪断两根细线，空气阻力不计，两球带电量不变，则下列叙述正确的是（　　） A．a球的质量比b球的质量大 B．a球的电荷量比b球的电荷量大 C．a、b两球飞行的水平距离相等 D．两球同时落地 变式5．（24-25高一下·江苏苏州·期中）如图，真空中有两个点电荷，，，分别固定在x轴坐标为0和6cm的位置上。（已知静电力常量，不计电荷重力） (1)求与间的库仑力大小F； (2)若在x轴上放置第三个点电荷，使其仅在静电力作用下保持静止，求的位置坐标x。 变式6．（2025·福建宁德·三模）如图所示，光滑绝缘的轻质三角形框架OAB，OA杆竖直且O、A相距为，OB杆与OA杆夹角为，B点与A点高度相同。A点固定一带电小球，绝缘轻质弹簧一端固定于O点，另一端与套在OB杆上质量为的带电小球P相连，初始时，小球静止于OB中点且对杆无压力。现驱动该装置以OA为轴转动，使小球缓慢移动至B点，此时弹簧恰好恢复原长，此后维持角速度不变。已知重力加速度为，不计空气阻力，求： (1)初始时小球P所受的静电力大小； (2)小球到达B点后的角速度大小； (3)整个过程驱动力所做的功。 考点二 多个点电荷间库仑力合成 解题思路点拨 1. 确定研究对象：选定目标点电荷，找出所有对它施加库仑力的其他电荷。 1. 判断力的方向：依据“同种电荷相斥，异种电荷相吸”，画出每个库仑力的方向。 1. 计算分力大小：用库仑定律逐一算出各个库仑力的大小。 1. 矢量合成 共线：直接代数加减； 不共线：用平行四边形定则，或建立直角坐标系正交分解，分别求x、y方向合力，再合成总合力。 1. 求结果：算出合力大小，标注合力方向。 例1．（25-26高三上·重庆·期中）如图，两带电小球的质量均为m，小球A用一端固定在墙上的绝缘轻绳连接，小球B用固定的绝缘轻杆连接，两球均处于静止状态。轻绳水平，两球连线与轻绳的夹角为30°，整个系统在同一竖直平面内，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　） A．A球静止时，轻绳上拉力为2mg B．A球静止时，A球与B球间的库仑力为mg C．若将轻绳剪断，则剪断瞬间A 球加速度大小为g D．若将轻绳剪断，则剪断瞬间轻杆对B 球的作用力不变 例2．（25-26高二上·广西贵港·开学考试）如图所示，A、B、C是三个相同的金属球（可视为质点），分别位于边长为l的正三角形的三个顶点上，其中A球带正电荷，B球带负电荷，C球不带电，A球带电荷量为Q，B球带电荷量为。现将B球先后与A、C接触再放回原处，静电力常量为k，则A球受到的静电力大小为（　　） A． B． C． D． 例3．（24-25高一下·河北邯郸·期末·多选）如图所示，中，，将两个电荷量绝对值为，的点电荷分别固定在、两点，电荷量为的试探电荷在点受到的静电力方向垂直于向下，已知，，则下列说法正确的是（　　） A．、一定带异种电荷 B．、一定带同种电荷 C． D． 例4．（24-25高一下·河南·阶段检测）如图所示，A、B为真空中电荷量均为的两个固定的点电荷，相距为s，AB连线中点为O，C是中垂线上的一点，距O点距离为d，现将另一个电荷量为的点电荷固定在C点处，已知静电力常量为k，求： (1)A电荷对电荷量为的点电荷的库仑力； (2)电荷量为的点电荷在C点处所受的库仑力。 例5．（24-25高一下·河南洛阳·阶段检测）如图所示，同一竖直平面内、、三点的连线构成一个底边长的等腰三角形，为连线的中垂线，为连线中点。点固定一个电荷量为的点电荷，点固定一个电荷量为的点电荷，现将一电荷量为的点电荷放置在点，，已知静电力常量，求此时所受的静电力大小。 变式1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段检测）如图，在真空中两点分别固定电荷量均为的点电荷，是中垂线上的一点，。若在点放置一个电荷量为的点电荷，已知静电力常量为，则处点电荷受到两处点电荷的库仑力的合力大小为（　　） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一下·湖北孝感·期末）在边长为a的正六边形ABCDEF的各顶点分别固定六个点电荷，电荷量依次为+q，−q，+q，−q，+q，−q，则A处的点电荷所受库仑力的合力为（　　） A． B． C． D． 变式3．（25-26高一下·北京海淀·期中·多选）如图所示，位于同一直线上的两个点电荷和将该直线划分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域，另有一负点电荷，设对、的电场的影响可忽略不计，则（　　） A．在Ⅰ区中，受力可能向左，也可能向右 B．在Ⅱ区中，受力可能向左，也可能向右 C．在Ⅲ区中，受力可能向左，也可能向右 D．在Ⅱ区中，受力一定不为零 变式4．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）如图所示，场源电荷A、B固定在同一竖直线上，C点为AB连线的中点。质量、电荷量的带正电小球恰好静止于C点。已知场源电荷A、B和小球均可视为点电荷，场源电荷A所带电荷量，静电力常量，B、C间的距离，取重力加速度大小。求： (1)场源电荷A、B在C点处产生电场的合电场强度大小E； (2)场源电荷B所带电荷的电性及电荷量。 变式5．（24-25高一下·湖北恩施·期末）如图所示，光滑绝缘水平面上（俯视图）有三个可视为点电荷的带电小球A、B、C。在小球C上作用一水平恒力F（未知），三个小球保持相对静止一起向右运动。已知三球质量均为m，间距均为r。A、B球带等量正电荷q。求： (1)C球的电性和电荷量qC； (2)水平外力F的大小。 2 学科网（北京）股份有限公司 $