第7练 指数函数与对数函数的应用《数学》基础模块下册（高教版第三版）《一课一练》（原卷版+解析版）

**基本信息** 中职数学高教版第三版《一课一练》指数函数与对数函数应用同步练，以基础+中档+综合三层设计，通过实际情境问题实现从单一模型应用到综合建模的知识巩固，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一指数/对数模型直接应用|选择题1-3题直接代入增长/衰减公式，如企业研发资金增长问题，强化模型识别能力| |中档|模型参数计算与情境转换|填空题10-12题需对数运算，如鲑鱼耗氧量与游速关系，提升运算与推理能力| |综合|函数建模与综合应用|解答题13题建立药物含药量分段函数并求解有效时间，培养模型观念与应用意识|

中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块下册（高教版第三版） 第五章 指数函数与对数函数 第 7 练 指数函数与对数函数的应用 一、选择题 1．已知放射性物质的剩余质量占初始质量的比例与时间（单位：年）的关系为．若经过5年，剩余质量变为初始质量的，则（ ） A． B． C． D． 2．某企业2022年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）（ ） A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 3．某工厂的年产值从2020年开始每年比上一年增长8%，设2020年产值为 万元，则经过 年后的年产值 与 的函数关系为（ ） A． B． C． D． 4．地震能量与震级满足，若8.0级地震能量为，6.0级地震能量为，则是的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 5．市场分析师对新产品的用户采纳趋势进行研究，发现累计时间（单位：月）与市场渗透率满足函数模型，当时，标志着产品即将进入快速增长期，则此时（ ）（参考数据：） A．10 B．20 C．30 D．40 6．里氏震级M的计算公式为，其中是测振仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测得，则这次地震的震级为（ ） A．3级 B．4级 C．5级 D．6级 7．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10％．那么，经过x年绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数的大致图像为（ ） A．   B．   C．   D．   8．如图是标准对数视力表的局部示意图，视力数据通常用五分记录法或小数记录法表示，已知五分记录法表示的数据L与小数记录法表示的数据V之间的关系式为．若某同学左眼视力用小数记录法表示为，则该同学左眼视力用五分记录法表示为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 9．一种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），则经过2小时，这种细菌由一个可以繁殖为_____个.（分裂过程中细菌不死亡） 10．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数，当一条大西洋鲑鱼静止时，它的耗氧量的单位数__________. 11．专家对某地区新型流感爆发趋势研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t（单位：天）与病情爆发系数满足函数模型：，当时，标志着疫情即将爆发，则爆发所需要的时间天数约为（参考数据：）_____． 12．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过个小时后，药物在病人血液中的量为个单位，与的关系式为________． 三、解答题 13．某医药研究所研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）与时间（单位：h）之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后，关于的函数解析式； (2)根据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，求服药一次后，治疗疾病有效的时间. 14．20世纪30年代，里克特（）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，这里是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）. (1)若一次地震中，一个距离震中的测震仪记录的地震最大振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）； (2)计算里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的多少倍？（附：） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 中职数学高教版第三版《一课一练》，依托三阶支架资源体系精心编撰。本专辑作为课堂教学同步配套资源，作业设计严格对标课堂知识点，遵循“由浅入深、循序渐进”的认知逻辑，侧重于基础性与实效性，旨在降低学习门槛，帮助学生巩固课堂所学，通过科学、系统的反复训练，帮助学生打牢数学基础。 《数学》基础模块下册（高教版第三版） 第五章 指数函数与对数函数 第 7 练 指数函数与对数函数的应用 一、选择题 1．已知放射性物质的剩余质量占初始质量的比例与时间（单位：年）的关系为．若经过5年，剩余质量变为初始质量的，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意代入解析式，求解即可. 【详解】根据题意，将年、剩余质量比例代入关系式， ，即，可得. 故选：A. 2．某企业2022年全年投入研发资金150万元，为激励创新，该企业计划今后每年投入的研发资金比上年增长，则该企业全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：，，）（ ） A．2024年 B．2025年 C．2026年 D．2027年 【答案】C 【分析】设经过年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元，则，即可求解. 【详解】设经过年该企业全年投入的研发资金开始超过200万元， 则， 则， 所以的最小整数值为4，此时的年份是年. 故选：C. 3．某工厂的年产值从2020年开始每年比上一年增长8%，设2020年产值为 万元，则经过 年后的年产值 与 的函数关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数增长模型求解即可. 【详解】 已知2020年（初始年份）年产值为a万元，每年增长率为， 即每年产值是上一年的倍： 经过1年后的年产值：， 经过2年后的年产值：， 以此类推，经过年后的年产值满足：. 故选：A. 4．地震能量与震级满足，若8.0级地震能量为，6.0级地震能量为，则是的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】A 【分析】根据地震能量与震级之间的解析式求解即可. 【详解】由得：. 对于8.0级：. 对于6.0级：. 所以：. . 故选：A. 5．市场分析师对新产品的用户采纳趋势进行研究，发现累计时间（单位：月）与市场渗透率满足函数模型，当时，标志着产品即将进入快速增长期，则此时（ ）（参考数据：） A．10 B．20 C．30 D．40 【答案】A 【分析】解方程，即可解出对应的值. 【详解】，当时，. 即，则. 因为，所以， 因此： 所以 解得：，即. 故选：A. 6．里氏震级M的计算公式为，其中是测振仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测得，则这次地震的震级为（ ） A．3级 B．4级 C．5级 D．6级 【答案】C 【分析】根据对数函数的应用即可求解. 【详解】由，所以. 故则这次地震的震级为5级. 故选：C. 7．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10％．那么，经过x年绿色植被的面积可增长为原来的y倍，则函数的大致图像为（ ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】由题意先写出函数解析式，再由函数解析式分析函数图像即可. 【详解】因为绿色植被的面积每年都比上一年增长10％， 所以y与x的解析式是是指数型函数， 由指数型函数的性质可知定义域为，值域为． 故选:D. 8．如图是标准对数视力表的局部示意图，视力数据通常用五分记录法或小数记录法表示，已知五分记录法表示的数据L与小数记录法表示的数据V之间的关系式为．若某同学左眼视力用小数记录法表示为，则该同学左眼视力用五分记录法表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将小数记录法的数据代入关系式，即可求解. 【详解】因为五分记录法表示的数据L与小数记录法表示的数据V之间的关系式为， 时，则， 即该同学左眼视力用五分记录法表示为， 故选：A. 二、填空题 9．一种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），则经过2小时，这种细菌由一个可以繁殖为_____个.（分裂过程中细菌不死亡） 【答案】 【分析】根据指数增长模型即可求解. 【详解】因为2小时等于分钟，每15分钟分裂一次，则分裂了次， 所以经过2小时，这种细菌由一个可以繁殖为个. 故答案为：. 10．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数，当一条大西洋鲑鱼静止时，它的耗氧量的单位数__________. 【答案】 【分析】在函数中，令可求解. 【详解】在函数中，由题意， 令，即，解得， 即当一条大西洋鲑鱼静止时，它的耗氧量的单位数. 故答案为： 11．专家对某地区新型流感爆发趋势研究发现，从确诊第一名患者开始累计时间t（单位：天）与病情爆发系数满足函数模型：，当时，标志着疫情即将爆发，则爆发所需要的时间天数约为（参考数据：）_____． 【答案】10 【分析】由函数模型及求出t的值即可. 【详解】由题意知，， 则，即， 故， 所以，解得. 故答案为：10. 12．已知某种药物在血液中以每小时20%的比例衰减，现给某病人静脉注射了该药物1个单位，设经过个小时后，药物在病人血液中的量为个单位，与的关系式为________． 【答案】 【分析】根据题意，结合指数式和对数式的互化分析求解即可. 【详解】由题意知，该种药物在血液中以每小时20%的比例衰减， 给某病人注射了该药物1个单位，经过个小时后， 药物在病人血液中的量为 ，且， 即与的关系式为. 故答案为：. 三、解答题 13．某医药研究所研发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量（单位：微克）与时间（单位：h）之间近似满足如图所示的曲线. (1)写出第一次服药后，关于的函数解析式； (2)根据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效，求服药一次后，治疗疾病有效的时间. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数的图像设出函数的解析式并求解即可； （2）令求解即可. 【详解】（1）由题意可设 由图像可知，当时，， 代入，可知； 代入，得，即， ，解得. ∴第一次服药后，关于的函数解析式为 （2）由得或 解得， ∴服药一次后，治疗疾病有效的时间是. 14．20世纪30年代，里克特（）制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大.这就是我们常说的里氏震级，其计算公式为，这里是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）. (1)若一次地震中，一个距离震中的测震仪记录的地震最大振幅是，此时标准地震的振幅是，计算这次地震的震级（精确到）； (2)计算里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的多少倍？（附：） 【答案】(1)4.6级 (2)100倍 【分析】（1）根据，，计算即可得出结果； （2）由，化简计算求得即可得出结果. 【详解】（1）由题设可知：， 所以 ， 因此，该次地震的震级约为里氏4.6级. （2）设里氏8级和里氏6级地震的最大振幅分别为，. 由题设可得：， ∴， 因此，里氏8级地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的100倍. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $