专题18 探索规律（能力清单+核心精要+实战演练）-2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训（通用版）

**基本信息** 聚焦探索规律专题，以能力清单为导向，融合传统建筑、无人机科技、生活场景等真实情境，分层设计选择、填空、计算、解答题，实现从基础规律识别到复杂模型应用的能力进阶。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择题|10|数列规律（等差/等比）、图形规律（点阵/小棒摆图）|结合无人机队形变化考图形数量递变，体现科技情境| |填空题|10|周期规律（余数应用）、算式规律（对称积）|融入毕达哥拉斯点阵、莱布尼茨调和三角形，渗透数学文化| |计算题|2|规律简算（连续奇数和）|通过算式对比发现规律，培养推理意识| |解答题|10|综合规律应用（倍尔数/建筑交点）|以“三交六椀菱花”传统建筑考交点规律，联结文化与数学思维|

2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训 编者的话 你们好！ 当你们翻开这本书时，意味着你们已正式踏上了小学阶段的最后一程，也即将迎接人生中第一次重要的学业跨越。小升初，是结束，更是开始；是检验，更是启航。如何让孩子在有限的时间内，既掌握知识，又提升思维，还能从容面对挑战，是我们共同关心的问题。这份《2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训》的诞生，正是为了回应这份期待。 我们深知，真正的数学学习，是建立知识之间的联系，构建自己的思维体系，并能在实际问题中灵活运用。为此，本书以“关系”为纲，以“应用”为要，围绕 “能力清单—核心精要—实战演练”三大模块精心设计，力求为您提供一条清晰、高效、扎实的学习路径。 第一部分：能力清单——看清目标，明确方向。 我们首先为您列出本讲具体、可衡量、可达成的能力目标。这不是抽象的要求，而是您学习后能真实做到的事。例如： 能准确说出轴对称图形与平移的本质区别； 能运用平移法，三步内求解复杂图形的周长； 能根据题意，快速判断鸡兔同笼问题该用“假设法”还是“分组法”。 在开始前阅读它，能帮助您建立清晰的学习预期；在学习后回顾它，将成为您检验自己是否真正掌握的标尺。 第二部分：核心精要——打通脉络，抓住本质 这是全书的骨架与灵魂。我们摒弃零散的碎片，致力于为您呈现： 知识的内在联系：以逻辑图、对比表等形式，揭示概念之间的层级、关联与区别，助您构建整体认知。 关键结论与模型：提炼出必须掌握的公式、定理和典型问题模型。 本部分的目标，是帮您从“知道是什么”走向“明白为什么”，最终“记住怎么用”，实现知识的深度内化。 第三部分：实战演练——固化能力，迈向自如 能力的最终证明，是在面对新问题时的从容不迫。为此，我们设计了层次分明的实战演练： 对应核心知识点，确保根基牢固。 侧重知识综合与思维进阶，挑战您对核心精要的灵活运用。 对接真实考试与生活应用，训练您在复杂情境中识别模型、解决问题的能力。 与前面的“能力清单”和“核心精要”精准对应，让您的每一次练习都目标明确、反馈清晰。 致读者： 学习之旅，贵在得法。我们希望您能以“能力清单”为罗盘，以“核心精要”为地图，以“实战演练”为航程，一步步完成从知识积累到能力生成，再到应用自如的跨越。数学之美，在于其严密的逻辑与和谐的联系。愿您能通过本书，不仅收获分数，更收获思维的乐趣、探索的勇气和解决问题的自信。 愿我们共同开启这段富有成效的学习旅程。 2026年5月 专题18 探索规律（能力清单+核心精要+实战演练） 1、能清晰说出数字、图形、算式、周期类规律的定义，明确各类规律的核心特征，掌握观察对比法、模型归纳法、函数对应法三大规律探索方法，能准确区分不同规律类型的适用场景。 2、能熟练运用规律探索方法解决各类规律问题，包括数字数列填空、图形规律推断、算式规律计算、周期规律求解，能准确梳理规律推导的逻辑链条，避免机械套用方法而忽略规律本质。 3、能根据不同题目要求，灵活选用“观察对比法”“模型归纳法”“函数对应法”解决规律问题，比如复杂数列先通过观察对比找差值规律，周期问题直接套用模型归纳法求解，算式规律用函数对应法推导公式。 4、进行规律探索或解题前，会习惯性确定“规律类型”与“解题逻辑”，明确每一步推理对应的实际意义，避免盲目计算而忽略规律的合理性，同时关注特殊规律的细节，比如周期问题的余数判断、数列规律的项数对应。 5、能分辨“基础规律类/复杂综合类/拓展变形类”问题，抓住“规律特征、数量关系、对应项”这一关键，熟练运用规律知识解决实际问题，比如日历规律计算、图形递变规律推断、数字操作变换规律分析等场景。 6、做题时，能圈出题目中的“规律”“数列”“图形”“周期”“第n项”“最简规律”等关键词，快速定位解题方向，明确计算要求与问题类型。 7、能熟练进行规律相关知识的验算，掌握代入验证、重新推导、举例验证等方法，能准确检查规律推导错误、计算错误、项数对应错误等问题，养成良好的验算习惯。 8、能清晰梳理规律相关概念的逻辑关联，构建完整的知识体系，比如明确数字规律与图形规律的转化关系，周期规律与数列规律的衍生关系，不同规律探索方法的内在联系。 9、能熟练运用规律知识进行实际场景的分析与表达，理解规律在不同情境下的等价表达，比如将复杂的实际描述转化为简洁的规律公式，根据需求对规律的表示进行合理改写。 一、数列中的规律。 1、规律蕴含在相邻两数的差中。 例如：1，2，3，4，5，6，7，…，相邻两数之差为 1。 2、规律蕴含在相邻两数的倍数。 例如：1，2，4，8，16，32，…，从第二个数开始，后一个数是前一个数的2倍。 3、前后几个数为一组，以组为单位蕴含一定的规律。 例如：1，1，2，3，5，8，13，21，…，从第三个数开始，每一个数都是它前面两个数的和。 4、对数列中的数进行加、减、乘、除等运算，发现规律。 例如：12，14，18，24，32，42，…，从前往后，相邻两数后一个数比前一个数依次大2，4，6，8，10，… 5、对数列本身进行分解，通过对比发现规律。 例如：12，15，17，30，22，45，27，…，奇数项依次加5，偶数项依次加15。 6、数列的各项分别是项数的平方或立方。 例如：1，4，9，16，25，… 1，8，27，64，125，… 二、算式中的规律。 在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果． 例如：1×1=1； 11×11=121； 111×111=12321； 1111×1111=1234321； 通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出． 三、周期中的规律。 1、在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断地重复出现，这种规律就是周期中的规律。 2、探索周期中的规律，关键是要确定周期，明确周期的特征。 四、图形中的规律。 1、图形的变化规律。 一般来说，在观察图形的变化规律时，可以抓住以下几点来考虑问题: （1）图形数量的变化； （2）图形形状的变化； （3）图形大小的变化； （4）图形颜色的变化； （5）图形位置的变化； （6）图形繁简的变化； 2、数图形的规律。 数图形的个数时，适当分类，然后逐类计数，才能做到不重复、不遗漏，正确地数出图形的个数。 3、数形结合的规律 在探索数形结合的规律时，一方面需要考虑数的规律（如图形的个数、边数，数字本身之间的关系、运算等），另一方面需要考虑图形的规律（如形状、数量、颜色、位置等），把两者结合起来思考问题、解决问题。 一、选择题 1．下图是小刚用小棒和纽扣摆的图案，照这样摆下去，摆n根小棒共需要纽扣（    ）。 A．n粒 B．6n粒 C．（2n＋4）粒 D．（4n＋2）粒 【答案】D 【分析】由图可知，摆一根小棒要6粒纽扣，6＝4＋2＝4×1＋2； 摆两根小棒要6＋4＝10粒，10＝4＋4＋2＝4×2＋2； 摆三根小棒要6＋4＋4＝14粒，14＝4＋4＋4＋2＝4×3＋2； 每增加一根小棒就增加4粒纽扣。 摆n根小棒要（4n＋2）粒纽扣。 【解答】根据规律，每增加一根小棒就增加4粒纽扣，摆n根小棒要（4n＋2）粒纽扣。 2．小马虎想要计算“1＋2＋3＋…＋n”的和，但是他不小心把其中一个数加了两次，得到的结果为2026，小马虎加了两次的数是（    ）。 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】根据题意，错误的和比正确的和多了一个加数，且这个加数小于或等于最大的加数n。可以利用求和公式估算出n的值，计算出正确的和，再用错误的和减去正确的和，即可得到重复加的数。 【解答】因为其中一个数加了两次，所以错误的和2026比正确的和略大，即＜2026。 估算n的值：＜2026，两边同时乘2，可得≈2026×2＝4052。 60×60＝3600、63×64＝4032、64×65＝4160，所以n取63比较合适。 当n＝63时 ＝ ＝ ＝2016 2026－2016＝10 小马虎加了两次的数是10。 3．观察下边算式的规律，14285.7×42的正确得数应是（    ）。 14285.7×7＝99999.9 14285.7×14＝199999.8 14285.7×21＝299999.7 …… A．399999.6 B．499999.5 C．599999.4 D．699999.3 【答案】C 【分析】观察算式发现：第一个因数是14285.7不变，第二个因数依次是7的1倍、2倍、3倍。从第二个算式开始，积的整数部分都是六位数，最高位依次是1、2（呈依次加1的规律），后面五位都是9；积的小数部分依次是9、8、7（呈依次减1的规律）。因为42＝7×6，第二个因数是7的6倍。根据上述规律，积的整数部分最高位应是5，后面五位是9，即599999，积的小数部分应是4。 【解答】14285.7×42＝599999.4 故答案为：C 4．科学老师用四张航拍剧照展示了无人机变化队形的过程（每个点代表一架无人机）。若按前四张的规律继续变化，第八张剧照应该有（    ）架无人机。 A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】C 【分析】通过观察发现，第一张剧照有1架无人机，第二张剧照有（1＋4）架无人机，第三张剧照有（1＋2×4）架无人机，……，第n张剧照有[1＋4×（n－1）]架无人机，据此解答。 【解答】当n＝8时， 1＋4×（n－1） ＝1＋4×7 ＝29（架） 第八张剧照应该有29架无人机。 故答案为：C 5．如图的点阵中，第①个图形3个点，第②个图形7个点，第⑤个图形有（    ）个点。 A．27 B．30 C．31 D．33 【答案】C 【分析】根据已知信息和图形信息，可知： 第①个图形有3个点，可表示为1＋2＝3； 第②个图形有7个点，可表示为1＋2＋4＝7； 第③个图形有13个点，可表示为1＋2＋4＋6＝13； 可以发现其中1为固定数，第几个图形就再往后按顺序加几个偶数， 因此，第n个图形点的个数为：1＋2＋4＋6＋…＋2n。 【解答】根据规律式，可得 第⑤个图形的点数为： 1＋2＋4＋6＋8＋10 ＝（1＋2）＋（4＋6）＋（8＋10） ＝3＋10＋18 ＝13＋18 ＝31（个） 所以，第⑤个图形有31个点。 故答案为：C 6．根据以下规律，选项中正确的算式是（    ）。              A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察题干中的例子，发现两位数除以99的规律：若被除数的两个数字相同，则商为单一循环节；若不同，则商为两位循环节。据此逐一验证选项。 【解答】A．75÷99，被除数75是两位数且数字不同，循环节应为75，即0.̇7̇5，符合规律，该选项算式正确。 B．99÷75，被除数99与除数75不符合两位数除以99的结构，计算结果为1.32（非循环小数），该选项算式不正确。 C．89÷99，被除数89是两位数且数字不同，循环节应为89，但选项为98，该选项算式错误。 D．99÷89，被除数99与除数89不符合两位数除以99的结构，该选项算式错误。 所以选项中正确的算式是。 故答案为：A 7．按照下图的规律摆圆，如果每个圆的直径都是10厘米，那么图10的总长是（    ）厘米。 A．50 B．55 C．95 D．100 【答案】B 【分析】图1：有1个圆，总长是10厘米，可表示为5＋5×1； 图2：有2个圆，总长是15厘米，可表示为5＋5×2； 图3：有3个圆，总长是20厘米，可表示为5＋5×3； 由此可推出，图n的总长为（5＋5n）厘米，求图10的总长度，将n＝10代入其中计算即可。 【解答】观察发现：图n的总长为（5＋5n）厘米 当n＝10时， 5＋5n ＝5＋5×10 ＝5＋50 ＝55 因此图10的总长度是55厘米。 故答案为：B 8．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 【答案】C 【分析】观察左上角的数：依次是0，2，4，6，每次增加2。观察右上角的数：依次是4，6，8，每次增加2。观察左下角的数：依次是2，4，6，每次增加2。 右下角的数与其他三个数的关系，第一个正方形：0，4，2，8，4×2＋0＝8。第二个正方形：2，6，4，26，6×4＋2＝26。第三个正方形：4，8，6，52，8×6＋4＝52。右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。据此计算第四个正方形的数字。 【解答】由分析可知，右上角的数每次增加2；左下角的数每次增加2；右下角的数等于右上角的数乘左下角的数再加上左上角的数。 8＋2＝10 6＋2＝8 10×8＋6 ＝80＋6 ＝86 所以的值是86。 故答案为：C 9．根据999×1＝999，999×2＝1998，999×3＝2997，…，可知999×6＝（    ）。 A．6993 B．5994 C．4994 D．3994 【答案】B 【分析】观察999×1＝999、999×2＝1998、999×3＝2997可知，第一个因数是999，第二个因数分别是1、2、3，第二个因数≥2时，而积是一个四位数，十位和百位都是9，千位上的数比第二个因数少1，个位上的数与千位上的数的和是9，据此解答。 【解答】根据999×1＝999，999×2＝1998，999×3＝2997，…可知999×6＝5994。 故答案为：B 10．月历不仅是记录日期的工具，其中还蕴含着许多有趣的数学规律，在月历中任意框出如图这样的四个数，能表示它们之间关系的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 从图中可知，框出来的四个数是，观察它们之间的关系：同一行相邻两个数相差1，同一列相邻两个数相差7。通过设其中一个数，根据这个规律来表示出其余三个数，从而判断四个数之间的关系。 【解答】 A．设左上角的数为a，则右上角的数是a＋1；左下角的数为a＋7，则右下角的数为a＋1＋7＝a＋8，所以正确； B．设右上角的数为a，则左上角的数是a－1；右下角的数是a＋7，则左下角的数为a＋7－1＝a＋6；所以错误； C．设左下角的数为a，则右下角的数为a＋1；左上角的数为a－7，则右上角的数为a－7＋1＝a－6，所以错误； D．设右下角的数为a，则左下角的数为a－1；右上角的数为a－7，则左上角的数为a－7－1＝a－8；所以错误。 故答案为：A 二、填空题 11．乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符。把音符按照一定规律排列如图所示，①号图由5个八分音符组成，②号图由7个八分音符组成，③号图由9个八分音符组成……，那么第⑤号图由（ ）个八分音符组成，第n号图由（ ）个八分音符组成。 【答案】 13 （3＋2n）/（2n＋3） 【分析】如图，后面每一号图都比前面一号图多2个八分音符。①号图由5个八分音符组成，②号图由5＋2＝7个八分音符组成，③号图由5＋2×2＝5＋4＝9个八分音符组成。⑤号图由（5＋4×2）个八分音符组成。第n号图由5＋2×（n－1）个八分音符组成，由此解答本题即可。 【解答】由分析可知，第⑤号图八分音符有：5＋2×（5－1） ＝5＋2×4 ＝5＋8 ＝13（个） 第n号图八分音符有：5＋2×（n－1） ＝5＋2n－2 ＝（3＋2n）个 那么第⑤号图由13个八分音符组成，第n号图由（3＋2n）个八分音符组成。 12．古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是数是宇宙万物的要素，他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子排列的形状把整数进行分类。例如排列成如图系列图形，点子数分别是4，7，10…照这样的排列规律，第5个图形的点子数是（ ）；第n个图形的点子数是（ ）。 【答案】 16 3n＋1/1＋3n 【分析】观察图形：第1个、第2个、第3个图形的点子数分别是4、7、10，发现每个图形的点子数比前一个图形多3个，由此得出规律，并按规律解答。 【解答】观察图形发现： 第1个图形的点子数是4，4＝1×3＋1； 第2个图形的点子数是4＋3＝7，7＝2×3＋1； 第3个图形的点子数是4＋3×2＝10，10＝3×3＋1； …… 第n个图形的点子数是（3n＋1）。 当n＝5时 3n＋1 ＝3×5＋1 ＝15＋1 ＝16 13．用小棒按照下图方式摆图形，摆n个六边形需要（ ）根小棒；121根小棒能摆（ ）个六边形。 【答案】 5n＋1 24 【分析】摆1个六边形需要6根小棒，可以写作：5×1＋1；摆2个需要11根小棒，可以写作：5×2＋1；摆3个需要16根小棒，可以写成：5×3＋1；……所以摆成n个六边形就需要：6＋5（n－1）＝5n＋1根小棒；令5n＋1＝121，解方程据此即可解答。 【解答】摆n个六边形：6＋5（n－1） ＝6＋5n－5 ＝（5n＋1）根 令5n＋1＝121 解：5n＋1－1＝121－1 5n＝120 5n÷5＝120÷5 n＝24 121根小棒能摆24个六边形。 14．找规律填数。 （1）2，5，9，14，20，（ ），（ ），44。 （2），0.25，，0.5，（ ），0.75，（ ），1。 【答案】（1） 27 35 （2） 【分析】（1）观察数列中相邻两个数的差，发现差依次增加1，根据此规律计算后续数值。 （2）数列中分数与小数交替出现，为了便于发现规律，可将所有数统一转化为分母为8的分数，观察分子的变化规律，同时注意保持原数列分数与小数的交替形式。 【解答】（1）20－14＋1 ＝6＋1 ＝7 第一个空：20＋7＝27； 27－20＋1 ＝7＋1 ＝8 第二个空：27＋8＝35 （2）0.25＝；0.5＝；0.75＝；1＝ 原数列转化为：，，，，（），，（），，分母是8，分子依次加1。 即，0.25，，0.5，，0.75，，1。 15．仔细阅读，写出最后的得数。 两千多年前，数学家们已经利用图形来研究数。在表现数的特征方面，点阵更加直观。请你结合下面的点阵图，找出算式的规律并填空。 1＝12＝1 1＋3＝22＝4 1＋3＋5＝32＝9 1＋3＋5＋7＝42＝16 …… 1＋3＋5＋7＋……＋99＝（ ）                21＋23＋25＋27＋……＋99＝（ ） 【答案】 2500 2400 【分析】先观察规律：从1开始的连续奇数相加，和等于奇数个数的平方。先求出1到99里所有连续奇数的个数，求出它们的和；再求出1到19里所有连续奇数的个数，求出它们的和；最后用前者减去后者，得到21到99连续奇数相加的和。 【解答】（99＋1）÷2 ＝100÷2 ＝50 1＋3＋5＋7＋……＋99＝502＝2500 （19＋1）÷2 ＝20÷2 ＝10 1＋3＋5＋7＋……＋19＝102＝100 21＋23＋25＋27＋……＋99 ＝2500－100 ＝2400 16．下图的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第7行第3个数（从左往右数）为（ ）。               【答案】 【分析】第n行有n个数，两端的数都是，且上一行的每个数＝下一行相邻两个数的和，从已知的行逐步推导到第7行即可。 【解答】第5行：两端都是，第二个数＝​，第三个数＝，即第5行：； 第6行：两端都是，第二个数＝​，第三个数＝，即第6行：； 第7行：第一个数是​，第二个数＝​，第三个数＝​​； 即则第7行第3个数（从左往右数）为。 17．找规律，填一填。 如图是一组有规律的图案，第1个图案中有8个小正方形，第2个图案中有12个小正方形，第4个图案中有（ ）个小正方形，第n个图案有（ ）个小正方形。 …… 第1个 第2个 第3个 …… 【答案】 20 【分析】根据图可以将每个图案的左侧3个和右侧最中间的1个固定，即固定4个小正方形，每增加一个图形就要增加4个小正方形。即第一个图案中小正方形个数为，第二个图案中小正方形个数为，第三个图案中小正方形个数为，第n个图案中小正方形个数为。 【解答】 （个） 第4个图案中有20个小正方形。 个 第n个图案有个小正方形。 18．如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 （1）探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是（ ）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，会分成（ ）段。 【答案】（1）7；10 （2）b＝3a＋1 （3）61 【分析】（1）剪1次分成4段，剪2次分成（4＋3＝4＋3×1）段，剪3次分成（4＋3＋3＝4＋3×2）段。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是b＝4＋3×（a－1）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，就是当a＝20时，代入a和b的关系式，求出b即可。 【解答】（1）剪2次： 4＋3×1 ＝4＋3 ＝7（段） 剪3次： 4＋3×2 ＝4＋6 ＝10（段） 填数如下： （2）4＋3×（a－1） ＝4＋3a－3 ＝（3a＋1）段 因此剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系为b＝3a＋1。 （3）当a＝20时，代入b＝3a＋1得： 3×20＋1 ＝60＋1 ＝61（段） 19．探索发现。 观察：如图，两个同样的铁环连在一起长16厘米，每个铁环长10厘米。 （1）操作：画一画，算一算，3个铁环像这样连在一起长（ ）厘米。 （2）解答：小丽要将6个铁环像这样连在一起，长是（ ）厘米。 【答案】（1）22 （2）40 【分析】（1）由图可知，2个铁环原本总长为厘米，实际连在一起长16厘米，说明重叠部分（扣合处）长度为厘米；每多连1个铁环，就会多1个重叠扣合处，总长度增加厘米；总结规律：n个铁环连在一起的总长度为厘米。因此，3个铁环连在一起的总长度为厘米。 （2）6个铁环连在一起的总长度为厘米。 【解答】（1）根据分析， （厘米） （2）根据分析， （厘米） 20．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按这个规律写出的第6个数是（ ）。 【答案】 【分析】根据题意可知，分子的规律依次是32、42、52、62……分母的规律是：1×5、2×6、3×7、4×8……；通过上述分子和分母的规律，可知，第几个数，分子就是这个数加2的平方，即（n＋2）2，分母可以写成两个数相乘，后面的数比前面的数多4，则第几个数，它的分母就是n（n＋4），由此即可解答。 【解答】当n＝6时 （6＋2）2＝82＝64 6×（6＋4）＝6×10＝60 按这个规律写出的第6个数是。 三、计算题 21．（1）先观察，再通过计算比较大小。                   （2）根据上面算式中蕴含的规律再写一道这样的算式：_____。 （3）根据上面的规律计算：－＋－＋－。 【答案】（1）＝；＝；＝；＝ （2）＝＋ （3） 【分析】（1）先计算两边算式的结果，再进行比较； （2）通过观察可知上面算式的特点：分数的分母是两个相差2的数的乘积，并且这两个数都是奇数；分子是这两个数相加的和；这样的分数值的大小等于分子是1，分母是这两个数的两个分数之和，据此写出一道算式（答案不唯一）。 （3）根据（1）中发现的规律，把算式中的每个分数看作两个分数的和，再通过去掉括号将一些分数互相抵消，从而使计算简便。 【解答】（1）和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ 和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ 和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ 和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ （2）如：＝＋（答案不唯一） （3）－＋－＋－ ＝（1＋）－（＋）＋（＋）－（＋）＋（＋）－（＋） ＝1＋－－＋＋－－＋＋－－ ＝－ ＝ 22．计算：（1＋3＋5＋…＋2001＋2003＋2005）－（2＋4＋6＋…＋2000＋2002＋2004）。 【答案】1003 【分析】把原式拆开重新组合，从2到2004的偶数有 个，因此能形成1002组差为1的算式，再加上最开始的1，即为该算式的结果。据此解答。 【解答】 四、解答题 23．如图，观察由梯形拼成的图形和所给表中的数据后回答问题。 梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形周长 10 14 18 22 26 … （1）当梯形的个数为10个时，图形的周长是（ ）。 （2）当图形的周长为82时，梯形的个数是（ ）个。 【答案】（1）46 （2）19 【分析】（1）观察图形及表格可知，每增加一个梯形，图形的周长就增加4。据此总结出计算周长的规律表达式，求出梯形个数为10时，图形的周长。 （2）让上述表达式的结果等于82，求出梯形的个数。 【解答】（1）根据图形及表格可知： 当梯形个数为1时，周长为10，10＝1×4＋6； 当梯形个数为2时，周长为14，14＝2×4＋6； 当梯形个数为3时，周长为18，18＝3×4＋6； 当梯形个数为4时，周长为22，22＝4×4＋6； 当梯形个数为5时，周长为26，26＝5×4＋6； …… 由此可知，当梯形个数为n时，周长为n×4＋6＝4n＋6。 将n＝10代入上述表达式，得到当梯形个数为10时，图形的周长为： 4×10＋6 ＝40＋6 ＝46 （2）当图形的周长为82时，即： 4n＋6＝82 解：4n＝82－6 4n＝76 n＝76÷4 n＝19 因此，当图形的周长为82时，梯形的个数是19个。 24．多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… （1）如果继续摆下去，7个凳子的总高度是（ ）厘米。 （2）凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 【答案】（1）81 （2）不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 【分析】（1）先观察表格里凳子数量和总高度的变化，发现1个凳子高45厘米，每增加1个凳子，总高度增加6厘米，由此得出总高度的计算公式：总高度＝45＋6×（凳子数量－1），再把凳子数量7代入公式，即可求出7个凳子的总高度。 （2）正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则成正比例关系。接着计算不同数量凳子对应的总高度与数量的比值，发现这些比值不固定，因此判断凳子的数量与总高度不成正比例关系。 【解答】（1）45＋6×（7－1） ＝45＋6×6 ＝45＋36 ＝81（厘米） （2）1个凳子：45÷1＝45 2个凳子：51÷2＝25.5 3个凳子：57÷3＝19 答：不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 25．中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 （1）如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有（ ）个交点，照这样的规律，第9幅图有（ ）个交点。 （2）根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 【答案】（1） 18 48 （2）75幅 【分析】（1）根据题意，已知第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，先计算两幅图交点数的差，得出每增加一幅图交点数增加5个，据此总结出第n幅图交点数的计算方法，再代入第3幅和第9幅图的序号计算结果。 （2）根据已知的交点总数378个，结合总结的规律，先减去固定多出的3个交点，再用所得的差÷每幅图增加的5个交点，即可求出对应的图序号。 【解答】（1）计算相邻两幅图交点数的差值：13－8＝5（个），可知每增加1幅图，交点数增加5个。 总结规律：第n幅图的交点数＝8＋（n－1）×5，化简后为5n＋3。 计算第3幅图交点数：5×3＋3＝18（个） 计算第9幅图交点数：5×9＋3＝48（个） （2）378－3＝375（个） 375÷5＝75 答：有378个交点的是第75幅图。 26．“倍尔数”是以数学家倍尔的名字命名的一个数列。它的形状像一个三角形，人们又称它为“倍尔三角形”。 …… （1）请写出两条“倍尔三角形”中每行数形成的规律。 （2）请你试着写出第7行“倍尔数”吧。 【答案】（1）①每行开头的第一个数都是上一行最后一个数。 ②每行的第二个数都是前一个数与前一个数上方那个数的和。 （2）203，255，322，409，523，674，877 【分析】（1）观察给出的数字，可得：上一行的最后一个数是下一行的第一个数，这个数加上上一行的第一个数就是这行的第二个数，第二个数加上上一行的第二个数就是这一行的第三个数，以此类推； （2）根据（1）的结论写出第7行“倍尔数”。 【解答】（1）答：①每行开头的第一个数都是上一行最后一个数。 ②每行的第二个数都是前一个数与前一个数上方那个数的和。 （2） 答：第7行“倍尔数”是：203，255，322，409，523，674，877 27．（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）。 （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 【答案】（1）圈出的4个数的个位数字都相同，每相邻两个数之间相差10（答案不唯一） （2） （3）38，48，58，68 【分析】（1）观察上下相邻的数之间的大小关系，得出规律； （2）长方形中一共有4个数，最上面和最下面之间相差30，据此列式； （3）设小丽圈出的第一个数字为a，下面的数依次是a＋10、a＋20、a＋30，根据四个数相加等于212，列出方程，求出第一个数，再分别求出下面的数即可。 【解答】（1）我发现圈出的4个数，每个数的个位数字相同，每相邻两个数之间相差10。（答案不唯一） （2）41－11＝30，64－34＝30 若把长方形中最上面的一个数记为a，则最下面那个数是a＋30。 （3）解：设小丽圈出的第一个数字为a。 a＋（a＋10）＋（a＋20）＋（a＋30）＝212     4a＋60＝212    4a＝152 a＝38 a＋10＝38＋10＝48 a＋20＝38＋20＝58 a＋30＝38＋30＝68 答：她圈的是38、48、58、68。 28．找规律填空。 拆分就是把一个分数拆成两个（或几个）分数相加或相减的形式。如： （1）你能根据上面的方法，将拆成两个数的和吗？（写出拆分的过程） （2）观察上面的拆分过程，用喜欢的方式表示其中的规律。 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）观察前面的示例，如，，可以发现规律： （n为大于0的整数）。对于，n＝5，按照规律拆分即可。 （2）规律可表示为：对于任意大于0的整数n，，也可以用文字描述为：分子是1，分母为n（n为大于0的整数）的分数，可拆分为分子是1、分母为n＋1的分数与分子是1、分母为n（n＋1）的分数之和。 【解答】（1） n＝5时，。 答：。 （2）（n为大于0的整数） 答：规律为（n为大于0的整数）。 29．车甫为了参加速算比赛，做了一些练习题，以下是其中几道： 23×11＝253    46×11＝506    31×11＝341 58×11＝638    45×11＝495    69×11＝759 （1）车甫通过观察以上算式及其结果后发现，一个两位数与11相乘所得的积有如下规律：首尾（ ），中间（ ），满十向前一位（ ）。 ①进一   ②不变   ③相加   ④相减 （2）通过上面发现的规律，你能直接写出下面算式的结果吗？ 52×11＝（ ）； 11×63＝（ ）； 77×11＝（ ）。 【答案】（1） ② ③ ① （2） 572 693 847 【分析】（1）通过观察，从给定的算式中找出两位数与11相乘的积的规律； （2）根据发现的规律去解答后面的算式。 【解答】（1）观察 23×11＝253，这里23的首位2和末尾3在积的首位和末尾，所以首尾不变选②。 再看积的中间数字5，是23的首位2和末尾3相加得到的2＋3＝5，所以中间相加，选③。 对于46×11＝506，4＋6＝10，积的中间是0，并且向百位进了1，所以满十向前一位进一，选①。 （2）对于 52×11，按照规律，首位是5，末尾是2，中间是5＋2＝7，所以结果是572。 对于11×63，首位是6，末尾是3，中间是6＋3＝9，结果是693。 对于77×11，首位是7，末尾是7，中间是7＋7＝14，满十进一，所以结果是847。 30．数学实践课上，同学们玩拼图，用若干个完全一样的梯形，有序拼接起来，计算出拼成的图形的周长，能够发现一些有趣的规律。梯形各边的长度如下图。（单位：cm） （1）观察上图，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ … 周长/cm 8 12 … （2）按照这样的规律排列，图⑧的周长是（    ）cm，图的周长是（    ）cm。 【答案】（1）16；20； （2）36；4n＋4 【分析】（1）观察图形可知，图①周长为8cm，图②周长为12cm，图②比图①多4cm；图③周长为16cm，比图②多4cm；图④周长为20cm，比图③多4cm，规律为后一个图形周长比前一个多4cm。 （2）由上述规律可得，周长公式为（其中n为图号）。当n=8时，周长为cm；图n的周长为cm。 【解答】（1）图③周长：（cm） 图④周长：（cm） 答：表格中应填16、20。 （2）图⑧周长： （cm） 图n周长：cm 答：图⑧的周长是36cm，图n的周长是4n+4cm。 学科网（北京）股份有限公司 $2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训 编者的话 你们好！ 当你们翻开这本书时，意味着你们已正式踏上了小学阶段的最后一程，也即将迎接人生中第一次重要的学业跨越。小升初，是结束，更是开始；是检验，更是启航。如何让孩子在有限的时间内，既掌握知识，又提升思维，还能从容面对挑战，是我们共同关心的问题。这份《2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训》的诞生，正是为了回应这份期待。 我们深知，真正的数学学习，是建立知识之间的联系，构建自己的思维体系，并能在实际问题中灵活运用。为此，本书以“关系”为纲，以“应用”为要，围绕 “能力清单—核心精要—实战演练”三大模块精心设计，力求为您提供一条清晰、高效、扎实的学习路径。 第一部分：能力清单——看清目标，明确方向。 我们首先为您列出本讲具体、可衡量、可达成的能力目标。这不是抽象的要求，而是您学习后能真实做到的事。例如： 能准确说出轴对称图形与平移的本质区别； 能运用平移法，三步内求解复杂图形的周长； 能根据题意，快速判断鸡兔同笼问题该用“假设法”还是“分组法”。 在开始前阅读它，能帮助您建立清晰的学习预期；在学习后回顾它，将成为您检验自己是否真正掌握的标尺。 第二部分：核心精要——打通脉络，抓住本质 这是全书的骨架与灵魂。我们摒弃零散的碎片，致力于为您呈现： 知识的内在联系：以逻辑图、对比表等形式，揭示概念之间的层级、关联与区别，助您构建整体认知。 关键结论与模型：提炼出必须掌握的公式、定理和典型问题模型。 本部分的目标，是帮您从“知道是什么”走向“明白为什么”，最终“记住怎么用”，实现知识的深度内化。 第三部分：实战演练——固化能力，迈向自如 能力的最终证明，是在面对新问题时的从容不迫。为此，我们设计了层次分明的实战演练： 对应核心知识点，确保根基牢固。 侧重知识综合与思维进阶，挑战您对核心精要的灵活运用。 对接真实考试与生活应用，训练您在复杂情境中识别模型、解决问题的能力。 与前面的“能力清单”和“核心精要”精准对应，让您的每一次练习都目标明确、反馈清晰。 致读者： 学习之旅，贵在得法。我们希望您能以“能力清单”为罗盘，以“核心精要”为地图，以“实战演练”为航程，一步步完成从知识积累到能力生成，再到应用自如的跨越。数学之美，在于其严密的逻辑与和谐的联系。愿您能通过本书，不仅收获分数，更收获思维的乐趣、探索的勇气和解决问题的自信。 愿我们共同开启这段富有成效的学习旅程。 2026年5月 专题18 探索规律（能力清单+核心精要+实战演练） 1、能清晰说出数字、图形、算式、周期类规律的定义，明确各类规律的核心特征，掌握观察对比法、模型归纳法、函数对应法三大规律探索方法，能准确区分不同规律类型的适用场景。 2、能熟练运用规律探索方法解决各类规律问题，包括数字数列填空、图形规律推断、算式规律计算、周期规律求解，能准确梳理规律推导的逻辑链条，避免机械套用方法而忽略规律本质。 3、能根据不同题目要求，灵活选用“观察对比法”“模型归纳法”“函数对应法”解决规律问题，比如复杂数列先通过观察对比找差值规律，周期问题直接套用模型归纳法求解，算式规律用函数对应法推导公式。 4、进行规律探索或解题前，会习惯性确定“规律类型”与“解题逻辑”，明确每一步推理对应的实际意义，避免盲目计算而忽略规律的合理性，同时关注特殊规律的细节，比如周期问题的余数判断、数列规律的项数对应。 5、能分辨“基础规律类/复杂综合类/拓展变形类”问题，抓住“规律特征、数量关系、对应项”这一关键，熟练运用规律知识解决实际问题，比如日历规律计算、图形递变规律推断、数字操作变换规律分析等场景。 6、做题时，能圈出题目中的“规律”“数列”“图形”“周期”“第n项”“最简规律”等关键词，快速定位解题方向，明确计算要求与问题类型。 7、能熟练进行规律相关知识的验算，掌握代入验证、重新推导、举例验证等方法，能准确检查规律推导错误、计算错误、项数对应错误等问题，养成良好的验算习惯。 8、能清晰梳理规律相关概念的逻辑关联，构建完整的知识体系，比如明确数字规律与图形规律的转化关系，周期规律与数列规律的衍生关系，不同规律探索方法的内在联系。 9、能熟练运用规律知识进行实际场景的分析与表达，理解规律在不同情境下的等价表达，比如将复杂的实际描述转化为简洁的规律公式，根据需求对规律的表示进行合理改写。 一、数列中的规律。 1、规律蕴含在相邻两数的差中。 例如：1，2，3，4，5，6，7，…，相邻两数之差为 1。 2、规律蕴含在相邻两数的倍数。 例如：1，2，4，8，16，32，…，从第二个数开始，后一个数是前一个数的2倍。 3、前后几个数为一组，以组为单位蕴含一定的规律。 例如：1，1，2，3，5，8，13，21，…，从第三个数开始，每一个数都是它前面两个数的和。 4、对数列中的数进行加、减、乘、除等运算，发现规律。 例如：12，14，18，24，32，42，…，从前往后，相邻两数后一个数比前一个数依次大2，4，6，8，10，… 5、对数列本身进行分解，通过对比发现规律。 例如：12，15，17，30，22，45，27，…，奇数项依次加5，偶数项依次加15。 6、数列的各项分别是项数的平方或立方。 例如：1，4，9，16，25，… 1，8，27，64，125，… 二、算式中的规律。 在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果． 例如：1×1=1； 11×11=121； 111×111=12321； 1111×1111=1234321； 通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出． 三、周期中的规律。 1、在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断地重复出现，这种规律就是周期中的规律。 2、探索周期中的规律，关键是要确定周期，明确周期的特征。 四、图形中的规律。 1、图形的变化规律。 一般来说，在观察图形的变化规律时，可以抓住以下几点来考虑问题: （1）图形数量的变化； （2）图形形状的变化； （3）图形大小的变化； （4）图形颜色的变化； （5）图形位置的变化； （6）图形繁简的变化； 2、数图形的规律。 数图形的个数时，适当分类，然后逐类计数，才能做到不重复、不遗漏，正确地数出图形的个数。 3、数形结合的规律 在探索数形结合的规律时，一方面需要考虑数的规律（如图形的个数、边数，数字本身之间的关系、运算等），另一方面需要考虑图形的规律（如形状、数量、颜色、位置等），把两者结合起来思考问题、解决问题。 一、选择题 1．下图是小刚用小棒和纽扣摆的图案，照这样摆下去，摆n根小棒共需要纽扣（    ）。 A．n粒 B．6n粒 C．（2n＋4）粒 D．（4n＋2）粒 2．小马虎想要计算“1＋2＋3＋…＋n”的和，但是他不小心把其中一个数加了两次，得到的结果为2026，小马虎加了两次的数是（    ）。 A．9 B．10 C．11 D．12 3．观察下边算式的规律，14285.7×42的正确得数应是（    ）。 14285.7×7＝99999.9 14285.7×14＝199999.8 14285.7×21＝299999.7 …… A．399999.6 B．499999.5 C．599999.4 D．699999.3 4．科学老师用四张航拍剧照展示了无人机变化队形的过程（每个点代表一架无人机）。若按前四张的规律继续变化，第八张剧照应该有（    ）架无人机。 A．27 B．28 C．29 D．30 5．如图的点阵中，第①个图形3个点，第②个图形7个点，第⑤个图形有（    ）个点。 A．27 B．30 C．31 D．33 6．根据以下规律，选项中正确的算式是（    ）。              A． B． C． D． 7．按照下图的规律摆圆，如果每个圆的直径都是10厘米，那么图10的总长是（    ）厘米。 A．50 B．55 C．95 D．100 8．填在如图各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据规律，的值是（    ）。 A．38 B．74 C．86 D．52 9．根据999×1＝999，999×2＝1998，999×3＝2997，…，可知999×6＝（    ）。 A．6993 B．5994 C．4994 D．3994 10．月历不仅是记录日期的工具，其中还蕴含着许多有趣的数学规律，在月历中任意框出如图这样的四个数，能表示它们之间关系的是（    ）。 A． B． C． D． 二、填空题 11．乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符。把音符按照一定规律排列如图所示，①号图由5个八分音符组成，②号图由7个八分音符组成，③号图由9个八分音符组成……，那么第⑤号图由（ ）个八分音符组成，第n号图由（ ）个八分音符组成。 12．古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是数是宇宙万物的要素，他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子排列的形状把整数进行分类。例如排列成如图系列图形，点子数分别是4，7，10…照这样的排列规律，第5个图形的点子数是（ ）；第n个图形的点子数是（ ）。 13．用小棒按照下图方式摆图形，摆n个六边形需要（ ）根小棒；121根小棒能摆（ ）个六边形。 14．找规律填数。 （1）2，5，9，14，20，（ ），（ ），44。 （2），0.25，，0.5，（ ），0.75，（ ），1。 15．仔细阅读，写出最后的得数。 两千多年前，数学家们已经利用图形来研究数。在表现数的特征方面，点阵更加直观。请你结合下面的点阵图，找出算式的规律并填空。 1＝12＝1 1＋3＝22＝4 1＋3＋5＝32＝9 1＋3＋5＋7＝42＝16 …… 1＋3＋5＋7＋……＋99＝（ ）                21＋23＋25＋27＋……＋99＝（ ） 16．下图的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数，且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，则第7行第3个数（从左往右数）为（ ）。               17．找规律，填一填。 如图是一组有规律的图案，第1个图案中有8个小正方形，第2个图案中有12个小正方形，第4个图案中有（ ）个小正方形，第n个图案有（ ）个小正方形。 …… 第1个 第2个 第3个 …… 18．如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 （1）探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 （2）总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是（ ）。 （3）应用：像这样如果剪切20次，会分成（ ）段。 19．探索发现。 观察：如图，两个同样的铁环连在一起长16厘米，每个铁环长10厘米。 （1）操作：画一画，算一算，3个铁环像这样连在一起长（ ）厘米。 （2）解答：小丽要将6个铁环像这样连在一起，长是（ ）厘米。 20．瑞士数学教师巴尔末成功地从光谱数据中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门，按这个规律写出的第6个数是（ ）。 三、计算题 21．（1）先观察，再通过计算比较大小。                   （2）根据上面算式中蕴含的规律再写一道这样的算式：_____。 （3）根据上面的规律计算：－＋－＋－。 22．计算：（1＋3＋5＋…＋2001＋2003＋2005）－（2＋4＋6＋…＋2000＋2002＋2004）。 四、解答题 23．如图，观察由梯形拼成的图形和所给表中的数据后回答问题。 梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形周长 10 14 18 22 26 … （1）当梯形的个数为10个时，图形的周长是（ ）。 （2）当图形的周长为82时，梯形的个数是（ ）个。 24．多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… （1）如果继续摆下去，7个凳子的总高度是（ ）厘米。 （2）凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 25．中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 （1）如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有（ ）个交点，照这样的规律，第9幅图有（ ）个交点。 （2）根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 26．“倍尔数”是以数学家倍尔的名字命名的一个数列。它的形状像一个三角形，人们又称它为“倍尔三角形”。 …… （1）请写出两条“倍尔三角形”中每行数形成的规律。 （2）请你试着写出第7行“倍尔数”吧。 27．（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律（写出两条规律即可）？ （2）如果长方形中最上面一个数字用a表示，最下面一个数字是______（用a表示）。 （3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是212，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。 28．找规律填空。 拆分就是把一个分数拆成两个（或几个）分数相加或相减的形式。如： （1）你能根据上面的方法，将拆成两个数的和吗？（写出拆分的过程） （2）观察上面的拆分过程，用喜欢的方式表示其中的规律。 29．车甫为了参加速算比赛，做了一些练习题，以下是其中几道： 23×11＝253    46×11＝506    31×11＝341 58×11＝638    45×11＝495    69×11＝759 （1）车甫通过观察以上算式及其结果后发现，一个两位数与11相乘所得的积有如下规律：首尾（ ），中间（ ），满十向前一位（ ）。 ①进一   ②不变   ③相加   ④相减 （2）通过上面发现的规律，你能直接写出下面算式的结果吗？ 52×11＝（ ）； 11×63＝（ ）； 77×11＝（ ）。 30．数学实践课上，同学们玩拼图，用若干个完全一样的梯形，有序拼接起来，计算出拼成的图形的周长，能够发现一些有趣的规律。梯形各边的长度如下图。（单位：cm） （1）观察上图，完成表格。 图号 ① ② ③ ④ … 周长/cm 8 12 … （2）按照这样的规律排列，图⑧的周长是（    ）cm，图的周长是（    ）cm。 学科网（北京）股份有限公司 $