专题13 用字母表示数（能力清单+核心精要+实战演练）-2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训（通用版）

**基本信息** 以“能力清单—核心精要—实战演练”为框架，聚焦用字母表示数的概念理解与实际应用，通过“空中的士”“核桃装箱”等真实情境设计分层训练，提升小升初备考效率。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|13|用字母表示数的意义、数量关系、公式应用|如第4题容器倒置结合体积计算，考查字母式变形| |填空题|13|运算定律表示、代数式化简、规律探究|如第26题核桃装箱体现反比例关系，强化模型意识| |解答题|10|实际问题解决、公式推导、综合应用|如第30题购物优惠对比，训练用字母式分析方案优劣|

2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训 编者的话 你们好！ 当你们翻开这本书时，意味着你们已正式踏上了小学阶段的最后一程，也即将迎接人生中第一次重要的学业跨越。小升初，是结束，更是开始；是检验，更是启航。如何让孩子在有限的时间内，既掌握知识，又提升思维，还能从容面对挑战，是我们共同关心的问题。这份《2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训》的诞生，正是为了回应这份期待。 我们深知，真正的数学学习，是建立知识之间的联系，构建自己的思维体系，并能在实际问题中灵活运用。为此，本书以“关系”为纲，以“应用”为要，围绕 “能力清单—核心精要—实战演练”三大模块精心设计，力求为您提供一条清晰、高效、扎实的学习路径。 第一部分：能力清单——看清目标，明确方向。 我们首先为您列出本讲具体、可衡量、可达成的能力目标。这不是抽象的要求，而是您学习后能真实做到的事。例如： 能准确说出轴对称图形与平移的本质区别； 能运用平移法，三步内求解复杂图形的周长； 能根据题意，快速判断鸡兔同笼问题该用“假设法”还是“分组法”。 在开始前阅读它，能帮助您建立清晰的学习预期；在学习后回顾它，将成为您检验自己是否真正掌握的标尺。 第二部分：核心精要——打通脉络，抓住本质 这是全书的骨架与灵魂。我们摒弃零散的碎片，致力于为您呈现： 知识的内在联系：以逻辑图、对比表等形式，揭示概念之间的层级、关联与区别，助您构建整体认知。 关键结论与模型：提炼出必须掌握的公式、定理和典型问题模型。 本部分的目标，是帮您从“知道是什么”走向“明白为什么”，最终“记住怎么用”，实现知识的深度内化。 第三部分：实战演练——固化能力，迈向自如 能力的最终证明，是在面对新问题时的从容不迫。为此，我们设计了层次分明的实战演练： 对应核心知识点，确保根基牢固。 侧重知识综合与思维进阶，挑战您对核心精要的灵活运用。 对接真实考试与生活应用，训练您在复杂情境中识别模型、解决问题的能力。 与前面的“能力清单”和“核心精要”精准对应，让您的每一次练习都目标明确、反馈清晰。 致读者： 学习之旅，贵在得法。我们希望您能以“能力清单”为罗盘，以“核心精要”为地图，以“实战演练”为航程，一步步完成从知识积累到能力生成，再到应用自如的跨越。数学之美，在于其严密的逻辑与和谐的联系。愿您能通过本书，不仅收获分数，更收获思维的乐趣、探索的勇气和解决问题的自信。 愿我们共同开启这段富有成效的学习旅程。 2026年5月 专题13 用字母表示数（能力清单+核心精要+实战演练） 1、能清晰说出用字母表示数的定义、意义，明确字母可表示数、数量关系、运算定律及公式，理解其在整数、小数、分数运算中的通用性，掌握字母表示数与具体数运算的关联与区别。 2、能熟练运用字母表示常见的数量关系、运算定律及图形公式，比如用字母表示路程、总价、工作效率等关系，长方形周长、圆的面积等公式，能准确对应字母与所代表的量，避免混淆。 3、能熟练进行含有字母的式子的化简与求值，掌握字母式子的书写规则，比如数字与字母相乘的省略规则、带分数化假分数的要求等，能根据给定字母的数值，准确计算式子的值。 4、能根据不同题目要求，灵活选用“直接代入法”“公式推导法”“情境分析法”解决相关问题，比如复杂情境下先梳理数量关系再代入字母，符合公式特征的直接套用公式表示。 5、进行字母表示数相关操作前，会习惯性确定“字母代表的量”与“数量关系逻辑”，明确每个字母和式子对应的实际意义，避免机械套用规则而忽略其本质，同时关注字母取值的合理性。 6、能分辨“基础表示类/公式应用类/实际问题类”问题，抓住“字母含义、数量关系、公式对应”这一关键，熟练运用字母表示数的知识解决实际问题，比如年龄问题、行程问题、购物账单计算等场景。 7、做题时，能圈出题目中的“字母”“表示”“公式”“求值”“关系”等关键词，快速定位解题方向，明确题目要求与问题类型。 8、能熟练进行字母表示数相关知识的验算，掌握代入验证、公式核对、反向推导等方法，能准确检查字母对应错误、式子化简错误、求值计算错误等问题，养成良好的验算习惯。 9、能清晰梳理用字母表示数相关概念的逻辑关联，构建完整的知识体系，比如明确具体数运算、数量关系、运算定律、图形公式与字母表示数之间的内在联系。 10、能熟练运用字母表示数进行算式的转化与变形，理解式子在不同情境下的等价表达，比如将复杂的数量关系转化为简洁的字母式子，根据需求对式子进行合理改写。 11、能结合生活实际理解用字母表示数的意义，比如用字母表示家庭每月的水电费、商品的单价与总价关系等生活场景中的数量，能准确进行相关表示和分析，体会数学在生活中的应用价值。 一、用字母表示数。 从特殊的、具体的、明确的数到一般的、抽象的、不确定的字母或含有字母的式 子。 二、用字母表示数量关系。 （1）路程、速度和时间分别用字母s、v、t表示;三者之间的关系:s=vt,，。 （2）工作总量、工作效率和工作时间分别用字母c、a、t 表示;三者之间的关系:c=at，，。 （3）收入、支出和结余分别用字母a、b、c表示;三者之间关系:c=a-b,a=b+c,b=a-c。 三、用字母表示运算定律和性质。 加法运算律 （1）交换律:a+b=b+a （2）结合律:（a+b）+c=a+（b+c） 乘法运算律 （1）交换律:a×b=b×a （2）结合律:（a×b）×c=a×（b×c） （3）分配律:（a±b）×c=a×c±6×c 运算性质 （1）减法性质:a-b-c=a-（b+c） （2）除法性质:a÷b÷c=a÷（b×c） 四、用字母表示计算公式。 几何图形的周长、面积、表面积、体积的计算公式也常用字母表示。 五、代数式和代数式的值。 （1）用加、减、乘、除等运算符号,把数和表示的字母连接而成的式子叫代数式,代数式也就是含有字母的式子。 （2）当字母的数值确定时,把它代入原式中进行计算,所得的结果就是代数式的值。 一、选择题 1．如图，三角形a边上的高为b，c边上的高为d。根据这些信息，判断下面式子中错误的是（    ）。 A．d∶a＝b∶c B．a∶c＝b∶d C．a∶c＝d∶b D．c∶a＝b∶d 2．表示x和y成正比例的式子是（    ）。 A．x＝3y B．x＋y＝3 C． 3．如图，幸福村计划修一条路，求剩下的还要修多少天，列式正确的是（    ）。 A．a÷b－6 B．a÷（b÷6） C．6 D．a－6 4．如图，密闭容器中装着有高5分米的液体，容器的盖子是高为3分米的圆锥体软木塞。若将这个容器倒置过来，这时液体的高度为（    ）分米。 A．4 B．6 C．7 D．8 5．一个长方形操场原来的长和宽分别是80米和50米，如果长、宽各增加米，那么它的面积就增加（    ）平方米。 A． B． C． D． 6．一根电线长30米，第一次用去4.7米，第二次用去b米，这时电线比原来短了（    ）米。 A． B． C． D． 7．买8面小鼓共用去元，买1面大鼓用去元，一面小鼓比一面大鼓便宜（    ）元。 A． B． C． D． 8．一个圆柱形容器，从里面量底面半径是，里面盛有一些水。把一个铁制圆锥完全浸没在水中，水面上升了1cm（水未溢出）。这个圆锥的体积是（    ）cm3。 A． B． C． D．无法计算 9．李军去风景区旅游，去时的速度是m千米/时，回来时的速度是n千米/时，来回的平均速度是（    ）。 A． B． C． D． 10．小马虎把4x＋8错写成了4（x＋8），结果比原来（    ）。 A．多4 B．少4 C．多24 D．少24 11．一件商品的原价是m元，先打九折，再涨价10%，现价为n元，那么m、n的大小关系是（    ）。 A． B． C． D．无法确定 12．在学习用字母表示数时，老师出了一道题：一个数比x的2倍少3，当x＝5时，这个数是（    ）。 A．7 B．8 C．9 D．10 13．实验小学在开展书香家庭活动中，小明的妈妈一共读了25本书，比小明读的本数的4倍还多一本，小明一共读了多少本书？下列有关这个问题的数量关系表示错误的是（    ）。 A．小明读的本数×4＋1＝25 B．小明读的本数×4－1＝25 C．25－小明读的本数×4＝1 D．小明读的本数×4＝25－1 二、填空题 14．按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为（ ）个；第（ ）堆三角形的个数为122个。 15．一套西服促销，打四五折后现价是a元，这件西服原价是（ ）元。 16．为了鼓励居民节约用电，某地规定的电费计费方法是：每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费，每月用电超过100千瓦时，超过部分按每千瓦时0.6元收费。假如李叔叔家11月份用电量超过部分用a千瓦时表示，用含有字母的式子表示他家11月份应缴纳的电费为（ ）元；当a＝15时，李叔叔家11月份缴纳电费（ ）元。 17．在比例6∶18＝30∶90中，如果把从左数起第一项增加2，要使比例成立，可以把30增加（ ），也可以把90减少（ ）。 18．我国明代文学家徐渭游西湖时即兴写下一首“藏头诗”（如图），其中的两个“藏字”用数对表示分别是（1，4）和（1，3），剩下的两个“藏字”用数对表示分别是（ ）和（ ）。如果用一个含有字母的数对表示这首诗中所有“藏字”所在的位置，可以表示为（ ）。 19．小贝今年a岁，爸爸的年龄比小贝的3倍还大2岁，爸爸今年（ ）岁；若小贝今年12岁，则爸爸今年（ ）岁。 20．如果a和b互为倒数，且a∶4＝c∶b，那么c＝（ ）；如果（a，b均不为0），那么a∶b＝（ ）。（填最简整数比） 21．如果，那么（ ）。 22．用●按规律摆成下列图案，第（ ）个图案中有25个●。第n个图案中有（ ）个●。 23．认真观察下图涂色部分正中间的数与其他四个数的关系。 （1）设中间的数是x，则左边的数是（ ），下边的数是（ ）。 （2）当中间的数是a时，这5个数的和是（ ），若5个数的和是105，则这5个数分别是（ ）。 24．将小棒按如下图方式摆图形。 （1）第5个图形需要（ ）根小棒。 （2）第n个图形需要（ ）根小棒。 25．古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是数是宇宙万物的要素，他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子排列的形状把整数进行分类。例如排列成如图系列图形，点子数分别是4，7，10…照这样的排列规律，第5个图形的点子数是（ ）；第n个图形的点子数是（ ）。 26．蓝田核桃生产历史悠久，先后引进了河北露仁核桃、新疆薄皮核桃等品种，经过精心栽培管理，选育了适宜当地栽培的优良品种——北仓湾803，并通过省级评定。某农户要将一批核桃装箱，每箱装的质量与可以装的箱数如下表。 每箱装的质量/千克 12 20 25 30 可以装的箱数/箱 50 30 24 20 （1）如果每箱装的质量用表示，可以装的箱数用表示。用式子表示出、和核桃总质量之间的关系：（ ）。与成（ ）比例关系。 （2）如果这批核桃每箱装15千克，可以装（ ）箱。 三、解答题 27．一个圆锥的底面半径和高都与一个正方体的棱长相等，已知正方体的体积是60立方厘米，圆锥的体积是多少立方厘米？ 28．李老师在体育用品店购买了m个足球，购买篮球的个数是足球的2.2倍。 （1）李老师两种球一共买了（ ）个。（用含有字母的式子表示） （2）当m＝15时，买来的足球比篮球少多少个？ 29．用小棒摆五边形，如下图所示。 （1）填表。 五边形个数 1 2 3 4 … n 小棒根数 5 5＋4 5＋4＋4 … （2）照这样摆120个五边形，需要多少根小棒？ 30．某中学六年级1班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两种品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元。经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠，该班需球拍5副，乒乓球盒（≥5）。 （1）请问在甲店购买应付多少元？在乙店购买应付多少元？（用含有的代数式表示） （2）若＝20，去哪家购买更划算？请说明理由。 31．鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位。 厘米 22 22.5 23 23.5 24.5 25 ____ 27 … 码数 34 35 36 37 ____ 40 41 44 … （1）找出其中的规律，把上述表格填写完整。 （2）如果用表示厘米数，表示码数，请用含有字母的式子表示它们之间的关系。 32．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等，若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如123的“团结数”为12＋13＋21＋23＋31＋32＝132。 （1）请求出427的“团结数”； （2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。 33．“空中的士”能够像出租车一样提供点对点的快速通勤服务。2024年11月，全国六个城市率先开展了“空中的士”的试点。“空中的士”起飞与降落需要特定的场地，图1是“空中的士”的起降位。 数学学习小组的同学们查阅资料后，设计了如图2所示的起降位（由操作区与安全区两部分构成的大正方形），其中安全区（涂色部分）的宽度固定为3米。操作区的边长需根据机身长度，按一定的规律进行相应调整。 机身长度/米 6 7 8 9 操作区边长/米 9 10.5 12 13.5 （1）如果机身长度是10米，操作区的边长是多少米？ （2）如果机身长度为a米，操作区的边长如何表示？ （3）如果机身长度是12米，起降位的面积是多少平方米？ 34．聪聪将“圆”的知识应用到圆柱中。她先把一个圆柱展开并将展开图中的两个圆切开，如图2.再将两个圆拼接成一个近似的长方形，并与侧面展开后的长方形拼成一个大长方形，如图3.由此得到圆柱表面积的另一种算法。 （1）分析：拼成的大长方形的长＝（ ），宽＝（ ）。（用含有字母的式子表示） （2）归纳：圆柱的表面积就等于拼成的大长方形的面积＝长×宽＝（ ）×（ ）。（用含有字母的式子表示） （3）应用：当r＝4厘米，h＝10厘米时，请你用上面的方法计算圆柱的表面积是多少平方厘米？ 35．如果一个四位数满足千位数字和十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，那么称M为“跳跃数”。若一个四位“跳跃数”M的千位数字与个位数字的2倍的和记作P（M），百位数字与十位数字的和记作Q（M），那么为整数时，则称M为“跳跃整数”。 例如：8614满足8＋1＝9，6－4＝2，且P（8614）＝8＋8＝16，Q（8614）＝6＋1＝7，即不是整数，故8614不是“跳跃整数”。 又如：9503满足9＋0＝9，5－3＝2，且P（9503）＝9＋6＝15，Q（9503）＝5＋0＝5，即是整数，故9503是“跳跃整数”。 （1）判断：5745（    ）“跳跃整数”，5341（    ）“跳跃整数”；（填“是”或“不是”） （2）证明：任意一个四位“跳跃数”与其百位数字的2倍之差能被11整除； （3）若M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9且a、b、c、d均为整数）是“跳跃整数”，直接写出满足条件的所有M的值。 36．奥地利数学家皮克（Pick）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系。 （1）观察图形，补全表格。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 ______ b 6 10 6 6 ______ S 2 6 4 ______ 12 （2）观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______。 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______。 根据上述发现，可得：S＝______。（用含i和b的式子表示） （3）根据你发现的结论计算图形的面积。 学科网（北京）股份有限公司 $2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训 编者的话 你们好！ 当你们翻开这本书时，意味着你们已正式踏上了小学阶段的最后一程，也即将迎接人生中第一次重要的学业跨越。小升初，是结束，更是开始；是检验，更是启航。如何让孩子在有限的时间内，既掌握知识，又提升思维，还能从容面对挑战，是我们共同关心的问题。这份《2026年六年级备战小升初数学核心考点通关秘籍·能力特训》的诞生，正是为了回应这份期待。 我们深知，真正的数学学习，是建立知识之间的联系，构建自己的思维体系，并能在实际问题中灵活运用。为此，本书以“关系”为纲，以“应用”为要，围绕 “能力清单—核心精要—实战演练”三大模块精心设计，力求为您提供一条清晰、高效、扎实的学习路径。 第一部分：能力清单——看清目标，明确方向。 我们首先为您列出本讲具体、可衡量、可达成的能力目标。这不是抽象的要求，而是您学习后能真实做到的事。例如： 能准确说出轴对称图形与平移的本质区别； 能运用平移法，三步内求解复杂图形的周长； 能根据题意，快速判断鸡兔同笼问题该用“假设法”还是“分组法”。 在开始前阅读它，能帮助您建立清晰的学习预期；在学习后回顾它，将成为您检验自己是否真正掌握的标尺。 第二部分：核心精要——打通脉络，抓住本质 这是全书的骨架与灵魂。我们摒弃零散的碎片，致力于为您呈现： 知识的内在联系：以逻辑图、对比表等形式，揭示概念之间的层级、关联与区别，助您构建整体认知。 关键结论与模型：提炼出必须掌握的公式、定理和典型问题模型。 本部分的目标，是帮您从“知道是什么”走向“明白为什么”，最终“记住怎么用”，实现知识的深度内化。 第三部分：实战演练——固化能力，迈向自如 能力的最终证明，是在面对新问题时的从容不迫。为此，我们设计了层次分明的实战演练： 对应核心知识点，确保根基牢固。 侧重知识综合与思维进阶，挑战您对核心精要的灵活运用。 对接真实考试与生活应用，训练您在复杂情境中识别模型、解决问题的能力。 与前面的“能力清单”和“核心精要”精准对应，让您的每一次练习都目标明确、反馈清晰。 致读者： 学习之旅，贵在得法。我们希望您能以“能力清单”为罗盘，以“核心精要”为地图，以“实战演练”为航程，一步步完成从知识积累到能力生成，再到应用自如的跨越。数学之美，在于其严密的逻辑与和谐的联系。愿您能通过本书，不仅收获分数，更收获思维的乐趣、探索的勇气和解决问题的自信。 愿我们共同开启这段富有成效的学习旅程。 2026年5月 专题13 用字母表示数（能力清单+核心精要+实战演练） 1、能清晰说出用字母表示数的定义、意义，明确字母可表示数、数量关系、运算定律及公式，理解其在整数、小数、分数运算中的通用性，掌握字母表示数与具体数运算的关联与区别。 2、能熟练运用字母表示常见的数量关系、运算定律及图形公式，比如用字母表示路程、总价、工作效率等关系，长方形周长、圆的面积等公式，能准确对应字母与所代表的量，避免混淆。 3、能熟练进行含有字母的式子的化简与求值，掌握字母式子的书写规则，比如数字与字母相乘的省略规则、带分数化假分数的要求等，能根据给定字母的数值，准确计算式子的值。 4、能根据不同题目要求，灵活选用“直接代入法”“公式推导法”“情境分析法”解决相关问题，比如复杂情境下先梳理数量关系再代入字母，符合公式特征的直接套用公式表示。 5、进行字母表示数相关操作前，会习惯性确定“字母代表的量”与“数量关系逻辑”，明确每个字母和式子对应的实际意义，避免机械套用规则而忽略其本质，同时关注字母取值的合理性。 6、能分辨“基础表示类/公式应用类/实际问题类”问题，抓住“字母含义、数量关系、公式对应”这一关键，熟练运用字母表示数的知识解决实际问题，比如年龄问题、行程问题、购物账单计算等场景。 7、做题时，能圈出题目中的“字母”“表示”“公式”“求值”“关系”等关键词，快速定位解题方向，明确题目要求与问题类型。 8、能熟练进行字母表示数相关知识的验算，掌握代入验证、公式核对、反向推导等方法，能准确检查字母对应错误、式子化简错误、求值计算错误等问题，养成良好的验算习惯。 9、能清晰梳理用字母表示数相关概念的逻辑关联，构建完整的知识体系，比如明确具体数运算、数量关系、运算定律、图形公式与字母表示数之间的内在联系。 10、能熟练运用字母表示数进行算式的转化与变形，理解式子在不同情境下的等价表达，比如将复杂的数量关系转化为简洁的字母式子，根据需求对式子进行合理改写。 11、能结合生活实际理解用字母表示数的意义，比如用字母表示家庭每月的水电费、商品的单价与总价关系等生活场景中的数量，能准确进行相关表示和分析，体会数学在生活中的应用价值。 一、用字母表示数。 从特殊的、具体的、明确的数到一般的、抽象的、不确定的字母或含有字母的式 子。 二、用字母表示数量关系。 （1）路程、速度和时间分别用字母s、v、t表示;三者之间的关系:s=vt,，。 （2）工作总量、工作效率和工作时间分别用字母c、a、t 表示;三者之间的关系:c=at，，。 （3）收入、支出和结余分别用字母a、b、c表示;三者之间关系:c=a-b,a=b+c,b=a-c。 三、用字母表示运算定律和性质。 加法运算律 （1）交换律:a+b=b+a （2）结合律:（a+b）+c=a+（b+c） 乘法运算律 （1）交换律:a×b=b×a （2）结合律:（a×b）×c=a×（b×c） （3）分配律:（a±b）×c=a×c±6×c 运算性质 （1）减法性质:a-b-c=a-（b+c） （2）除法性质:a÷b÷c=a÷（b×c） 四、用字母表示计算公式。 几何图形的周长、面积、表面积、体积的计算公式也常用字母表示。 五、代数式和代数式的值。 （1）用加、减、乘、除等运算符号,把数和表示的字母连接而成的式子叫代数式,代数式也就是含有字母的式子。 （2）当字母的数值确定时,把它代入原式中进行计算,所得的结果就是代数式的值。 一、选择题 1．如图，三角形a边上的高为b，c边上的高为d。根据这些信息，判断下面式子中错误的是（    ）。 A．d∶a＝b∶c B．a∶c＝b∶d C．a∶c＝d∶b D．c∶a＝b∶d 【答案】B 【分析】三角形面积＝底×高÷2，所以a×b÷2＝c×d÷2，即ab＝cd；根据比例的基本性质：比例的两个外项之积等于两个内项之积，即可找到成立的比例式。 【解答】a×b÷2＝c×d÷2，即ab＝cd。 A．d∶a＝b∶c，ab＝cd，成立。 B．a∶c＝b∶d，ad＝cb，不成立。 C．a∶c＝d∶b，ab＝cd，成立。 D．c∶a＝b∶d，ab＝cd，成立。 错误的是a∶c＝b∶d。 2．表示x和y成正比例的式子是（    ）。 A．x＝3y B．x＋y＝3 C． 【答案】A 【分析】两种相关联的量，如果它们的比值（商）一定，这两种量就成正比例关系。将每个选项变形，看x和y的比值是否固定不变。 【解答】A．x＝3y，等式两边同时÷y（y≠0），得到x÷y＝3，x和y的比值是3，固定不变，所以x和y成正比例关系。 B．x＋y＝3，x和y是和一定，不是比值一定，所以不成正比例关系。 C．x＝，等式两边同时乘y，得到x×y＝3，x和y的乘积是3，固定不变，所以x和y成反比例关系，不是正比例关系。 3．如图，幸福村计划修一条路，求剩下的还要修多少天，列式正确的是（    ）。 A．a÷b－6 B．a÷（b÷6） C．6 D．a－6 【答案】A 【分析】根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”用a÷b计算出总天数，再用总天数减去已修的6天即可得到剩下的天数。 【解答】用“a÷b－6”即可求出剩下的天数。 4．如图，密闭容器中装着有高5分米的液体，容器的盖子是高为3分米的圆锥体软木塞。若将这个容器倒置过来，这时液体的高度为（    ）分米。 A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由图形可知，容器是一个圆柱体，和圆锥体软木塞的底面积是相等的，现在液体的高是5分米，圆锥体的高是3分米，根据圆柱的体积公式V＝，液体的容积是5S立方分米，根据圆锥的体积公式V＝，圆锥体软木塞的体积为×S×3，等于S立方分米，容器倒置过来，液体的体积不变，底面积不变，圆锥体木塞要占据容器底部空间，所以总体积等于液体体积加软木塞的体积，用总体积除以底面积即可。 【解答】假设容器和圆锥体软木塞的底面积是S平方分米， 液体的体积： S×5＝5S（立方分米） 软木塞的体积： ×S×3＝S（立方分米） 倒置后总体积： 5S＋S＝6S（立方分米） 6S÷S＝6（分米） 所以若将这个容器倒置过来，这时液体的高度为6分米。 5．一个长方形操场原来的长和宽分别是80米和50米，如果长、宽各增加米，那么它的面积就增加（    ）平方米。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 ，如图所示，将长和宽各增加a米用图表示出来，实际增加的是两个长方形和一个正方形的面积，根据长方形和正方形的面积公式分别求出增加部分的面积，然后相加，即可求出总面积增加了多少。 【解答】80×a＋50×a＋a×a ＝80a＋50a＋a2 ＝（130a＋a2）平方米 所以面积增加了（130a＋a2）平方米。 6．一根电线长30米，第一次用去4.7米，第二次用去b米，这时电线比原来短了（    ）米。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可知，把两次电线用去的长度相加，就是比原来短的长度。 【解答】一根电线长30米，第一次用去4.7米，第二次用去b米，这时电线比原来短了（4.7＋b）米。 7．买8面小鼓共用去元，买1面大鼓用去元，一面小鼓比一面大鼓便宜（    ）元。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】买小鼓用去的钱数÷买的小鼓数量＝1面小鼓的钱数，1面大鼓的钱数－1面小鼓的钱数＝1面小鼓比1面大鼓便宜的钱数，据此用字母表示出1面小鼓比1面大鼓便宜的钱数。 【解答】买8面小鼓共用去b元 则买1面小鼓的钱数＝（b÷8）元 买1面大鼓用去a元 一面小鼓比一面大鼓便宜a－b÷8元。 8．一个圆柱形容器，从里面量底面半径是，里面盛有一些水。把一个铁制圆锥完全浸没在水中，水面上升了1cm（水未溢出）。这个圆锥的体积是（    ）cm3。 A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】根据排水法原理，当物体完全浸没在水中且水未溢出时，物体的体积等于水面上升部分水的体积。本题中圆锥完全浸没，因此圆锥的体积等于圆柱形容器内上升部分水的体积。利用圆柱体积公式，代入底面半径和水面上升高度即可计算。 【解答】π×52×1 ＝25π×1 ＝25π（cm3） 这个圆锥的体积是25πcm3。 9．李军去风景区旅游，去时的速度是m千米/时，回来时的速度是n千米/时，来回的平均速度是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】去风景区的路程作单位“1”，总路程用“2”表示；因为去时的速度是m千米/时，所以去时的时间为；因为回来时的速度是n千米/时，所以回来的时间为；时间相加即为总时间。最后根据平均速度＝总路程÷总时间，计算即可。 【解答】平均速度： 10．小马虎把4x＋8错写成了4（x＋8），结果比原来（    ）。 A．多4 B．少4 C．多24 D．少24 【答案】C 【分析】先根据乘法分配律把写错的式子展开，再和原式作差，就能看出结果的变化。 【解答】4（x＋8）＝4x＋32 （4x＋32）－（4x＋8） ＝4x＋32－4x－8 ＝32－8 ＝24 说明“4（x＋8）”结果比原来多24。 11．一件商品的原价是m元，先打九折，再涨价10%，现价为n元，那么m、n的大小关系是（    ）。 A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】第一次打九折，表示打折后的价格是原价的90%，是以原价m为单位“1”，据此先求出打折后的价格；第二次涨价10%，是在打折后价格的基础上增加到原来的（1＋10%），此时是以打折后的价格为单位“1”，再据此求出现价，通过计算得出现价 n关于m的表达式，再根据“一个数（0除外）乘小于1（0除外）的数，结果比原数小”比较得出m与n的大小关系。 【解答】已知商品原价是 m元。 打九折后的价格：m×90%＝m×0.9＝0.9m（元） 现价：0.9m×（1＋10%）＝0.9m×110%＝0.9m×1.1＝0.99m（元） 因此现价 n＝0.99m，m表示商品价格，所以 m＞0。 因为1＞0.99，所以m＞0.99m，即m＞n。 12．在学习用字母表示数时，老师出了一道题：一个数比x的2倍少3，当x＝5时，这个数是（    ）。 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，比一个数少几就减几，据此用字母表示出这个数；求值时，要先看字母等于几，再写出原式，最后把数值代入式子计算。 【解答】2x－3 ＝2×5－3 ＝10－3 ＝7 这个数是7。 13．实验小学在开展书香家庭活动中，小明的妈妈一共读了25本书，比小明读的本数的4倍还多一本，小明一共读了多少本书？下列有关这个问题的数量关系表示错误的是（    ）。 A．小明读的本数×4＋1＝25 B．小明读的本数×4－1＝25 C．25－小明读的本数×4＝1 D．小明读的本数×4＝25－1 【答案】B 【分析】等量关系式：小明读的本数×4＋1本＝小明的妈妈读的本数，由此找出数量关系不符合题意的选项。 【解答】A．分析可知，小明读的本数×4＋1＝25，符合题意； B．分析可知，小明读的本数×4－1≠25，不符合题意； C．分析可知，小明的妈妈读的本数－小明读的本数×4＝1本，则25－小明读的本数×4＝1，符合题意； D．分析可知，小明读的本数×4＝小明的妈妈读的本数－1本，则小明读的本数×4＝25－1，符合题意。 数量关系表示错误的是：小明读的本数×4－1＝25。 二、填空题 14．按如图所示的规律摆放三角形，第五堆三角形的个数为（ ）个；第（ ）堆三角形的个数为122个。 【答案】17 40 【分析】由题图可知第一个图有5个三角形，后面的每个图形均比前一个多3个三角形，则第n个图有[5＋3（n－1）]个三角形，代入5，可求得第五堆有几个三角形；令式子等于122，解得方程，即可确定第几堆三角形的个数为122个。 【解答】5＋3×（5－1） ＝5＋3×4 ＝5＋12 ＝17（个） 所以第五堆三角形的个数为17个。 5＋3（n－1）＝122 解：5＋3（n－1）－5＝122－5 3（n－1）＝117 3（n－1）÷3＝117÷3 n－1＝39 n－1＋1＝39＋1 n＝40 所以第40堆三角形的个数为122个。 【点睛】本题难点在于找到三角形增加的规律，通过观察前三个图，可知道每个图比上一个图多了3个三角形，列出式子，代入或解方程即可解得此题。 15．一套西服促销，打四五折后现价是a元，这件西服原价是（ ）元。 【答案】a 【分析】已知现价＝原价折扣，据此得到原价＝现价折扣，而四五折＝，据此计算即可。 【解答】（元） 16．为了鼓励居民节约用电，某地规定的电费计费方法是：每月用电不超过100千瓦时，按每千瓦时0.52元收费，每月用电超过100千瓦时，超过部分按每千瓦时0.6元收费。假如李叔叔家11月份用电量超过部分用a千瓦时表示，用含有字母的式子表示他家11月份应缴纳的电费为（ ）元；当a＝15时，李叔叔家11月份缴纳电费（ ）元。 【答案】 52＋0.6a 61 【分析】根据总价＝单价×数量，先用0.52×100，求出100千瓦时应缴纳的电费；再用0.6×超出100千瓦时的用电量，求出超出部分应缴纳的电费，再把它们相加，即可求出11月份应缴纳的电费；当a＝15时，代入求出的含有字母的式子，即可解答。 【解答】0.52×100＋0.6×a ＝（52＋0.6a）元 当a＝15时： 52＋0.6×15 ＝52＋9 ＝61（元） 17．在比例6∶18＝30∶90中，如果把从左数起第一项增加2，要使比例成立，可以把30增加（ ），也可以把90减少（ ）。 【答案】 10 22.5 【分析】本题考查比例的基本性质，两个外项的积等于两个内项的积。第一项由6增加2变为8，要使比例仍然成立，分别计算在第二项不变的情况下，第三项应变为多少，或第四项应变为多少，最后求出增加或减少的具体数值。 【解答】在比例6∶18＝30∶90中，第一项增加2，变为：6＋2＝8，此时比例左边为 8∶18，若保持第二项18和第四项90不变，令新的第三项为 a。8×90＝18×a，720＝18×a，a＝720÷18，a＝40；第三项需要增加：40－30＝10，若保持第二项18和第三项30不变，令新的第四项为 b，8×b＝18×30，8×b＝540，b＝540÷8，b＝67.5，第四项需要减少：90－67.5＝22.5。 18．我国明代文学家徐渭游西湖时即兴写下一首“藏头诗”（如图），其中的两个“藏字”用数对表示分别是（1，4）和（1，3），剩下的两个“藏字”用数对表示分别是（ ）和（ ）。如果用一个含有字母的数对表示这首诗中所有“藏字”所在的位置，可以表示为（ ）。 【答案】 （1，2） （1，1） （1，a） 【分析】用数对表示位置时，先表示第几列，再表示第几行，结合题意以及图示去解答。 【解答】剩下的第一个“藏字”在第1列第2行，用数对表示为（1，2） 剩下的第二个“藏字”在第1列第1行，用数对表示为（1，1） 如果用一个含有字母的数对表示这首诗中所有“藏字”所在的位置，用数对可以表示为（1，a）。 19．小贝今年a岁，爸爸的年龄比小贝的3倍还大2岁，爸爸今年（ ）岁；若小贝今年12岁，则爸爸今年（ ）岁。 【答案】 3a＋2/2＋3a 38 【分析】小贝年龄的3倍，用3a表示；还大2岁，就是在3倍的基础上加2，所以爸爸今年3a＋2岁。小贝今年12岁，就是a＝12，把a＝12代入求值。 【解答】小贝今年a岁，爸爸的年龄比小贝的3倍还大2岁，爸爸今年3a＋2岁。 a＝12，3a＋2＝3×12＋2＝36＋2＝38。 20．如果a和b互为倒数，且a∶4＝c∶b，那么c＝（ ）；如果（a，b均不为0），那么a∶b＝（ ）。（填最简整数比） 【答案】 /0.25 1∶10 【分析】第一小空：和互为倒数，则；根据比例的基本性质：，可得，。 第二小空：假设，就得到和，计算出、后，再把组成的比化简成最简整数比即可。 【解答】 , , , , 21．如果，那么（ ）。 【答案】30 【分析】根据比例的基本性质，把比例化为算出x与y的乘积，再把x与y的乘积代入即可求解。 【解答】 把代入 22．用●按规律摆成下列图案，第（ ）个图案中有25个●。第n个图案中有（ ）个●。 【答案】 5 n2 【分析】观察图形可知，第1个、2个、3个、4个图案中有1个、4个、9个、16个●，据此发现：1＝12，4＝22，9＝32，16＝42，按此规律解答。 【解答】第1个图案中有1个●，1＝12； 第2个图案中有4个●，4＝22； 第3个图案中有9个●，9＝32； 第4个图案中有16个●，16＝42； …… 规律：第n个图案中有n2个●。 n2＝25 因为25＝52，所以n＝5。 23．认真观察下图涂色部分正中间的数与其他四个数的关系。 （1）设中间的数是x，则左边的数是（ ），下边的数是（ ）。 （2）当中间的数是a时，这5个数的和是（ ），若5个数的和是105，则这5个数分别是（ ）。 【答案】（1） x－1 x＋7 （2） 5a 14、20、21、22、28 【分析】（1）如图所示，表格为大月的日历，观察可知：每行的数从左到右依次增大，相邻两数之差是1；每一列的数从上到下依次增大，相邻两数之差是7，据此求解。 （2）当中间数是a时，用a表示出与它相邻的4个数，再将这5个数求和，用含有字母a的式子表示出来。根据5个数的和是105可以求出a的值，进一步求出与它相邻的数。 【解答】（1）设中间的数是x，则左边的数是（x－1），下边的数是（x＋7）。 （2）当中间的数是a时，与它相邻的数分别是：（a－1）、（a＋1）、（a－7）、（a＋7）。 （a－1）＋（a＋1）＋a＋（a－7）＋（a＋7） ＝（a－1＋a＋1）＋a＋（a－7＋a＋7） ＝2a＋a＋2a ＝5a 这5个数的和是（5a）。 当5a＝105时 a＝105÷5＝21 a－1＝21－1＝20；a＋1＝21＋1＝22；a－7＝21－7＝14；a＋7＝21＋7＝28 这5个数分别是14、20、21、22、28。 24．将小棒按如下图方式摆图形。 （1）第5个图形需要（ ）根小棒。 （2）第n个图形需要（ ）根小棒。 【答案】（1）21 （2）4n＋1 【分析】观察图形可知，摆第一个图形需要5根小棒，第二个需要9根小棒，以后每多一个五边形，就多用4根小棒； 根据图形发现，第1个图形需要5根小棒，可以写成：4×1＋1； 第2个图形需要9根小棒，可以写成：4×2＋1； 第3个图形需要13根小棒，可以写成：4×3＋1；据此解答。 【解答】（1）4×5＋1 ＝20＋1 ＝21 第5个图形需要21根小棒。 （2）当第n个图形需要的小棒可写成：（4n＋1）根。 25．古希腊毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”，意思是数是宇宙万物的要素，他们常把数描绘成沙滩上的点子或小石子，根据点子或小石子排列的形状把整数进行分类。例如排列成如图系列图形，点子数分别是4，7，10…照这样的排列规律，第5个图形的点子数是（ ）；第n个图形的点子数是（ ）。 【答案】 16 3n＋1/1＋3n 【分析】观察图形：第1个、第2个、第3个图形的点子数分别是4、7、10，发现每个图形的点子数比前一个图形多3个，由此得出规律，并按规律解答。 【解答】观察图形发现： 第1个图形的点子数是4，4＝1×3＋1； 第2个图形的点子数是4＋3＝7，7＝2×3＋1； 第3个图形的点子数是4＋3×2＝10，10＝3×3＋1； …… 第n个图形的点子数是（3n＋1）。 当n＝5时 3n＋1 ＝3×5＋1 ＝15＋1 ＝16 26．蓝田核桃生产历史悠久，先后引进了河北露仁核桃、新疆薄皮核桃等品种，经过精心栽培管理，选育了适宜当地栽培的优良品种——北仓湾803，并通过省级评定。某农户要将一批核桃装箱，每箱装的质量与可以装的箱数如下表。 每箱装的质量/千克 12 20 25 30 可以装的箱数/箱 50 30 24 20 （1）如果每箱装的质量用表示，可以装的箱数用表示。用式子表示出、和核桃总质量之间的关系：（ ）。与成（ ）比例关系。 （2）如果这批核桃每箱装15千克，可以装（ ）箱。 【答案】（1） 反 （2）40 【分析】（1）根据“总质量＝每箱装的质量×装的箱数”，计算可得这批核桃总质量， 两个相关联的量，乘积一定时，成反比例关系，因此与成反比例。 （2）已知总质量为600千克，每箱装15千克，箱数＝总质量÷每箱质量，求出箱数。 【解答】（1），这批核桃总质量固定为600千克，因此三者关系为。 两个相关联的量，乘积一定时，成反比例关系，因此与成反比例。 （2）（箱） 三、解答题 27．一个圆锥的底面半径和高都与一个正方体的棱长相等，已知正方体的体积是60立方厘米，圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】62.8立方厘米 【分析】根据题意，圆锥的底面半径和高都等于正方体的棱长，由正方体的体积＝棱长3、圆锥的体积＝可知，设正方体的棱长为，则正方体的体积为，圆锥的体积为，即。已知正方体体积 ，将其整体代入圆锥体积公式中即可求解。 【解答】设正方体的棱长为。 已知正方体的体积是 60 立方厘米，即 因为圆锥的底面半径和高都与正方体的棱长相等， 所以圆锥的底面半径，高。 将 代入上式，得： （立方厘米） 答：圆锥的体积是 62.8 立方厘米。 28．李老师在体育用品店购买了m个足球，购买篮球的个数是足球的2.2倍。 （1）李老师两种球一共买了（ ）个。（用含有字母的式子表示） （2）当m＝15时，买来的足球比篮球少多少个？ 【答案】（1） 3.2m （2） 18个 【分析】（1）求一个数的几倍是多少，用乘法计算。篮球个数＝足球个数×倍数；两种球的总个数＝足球个数＋篮球个数。 （2）代入m值求出篮球个数；足球比篮球少的个数＝篮球个数－足球个数 【解答】（1）m＋m×2.2 ＝m＋2.2m ＝3.2m（个） （2）15×2.2－15 ＝33－15 ＝18（个） 答：买来的足球比篮球少18个。 29．用小棒摆五边形，如下图所示。 （1）填表。 五边形个数 1 2 3 4 … n 小棒根数 5 5＋4 5＋4＋4 … （2）照这样摆120个五边形，需要多少根小棒？ 【答案】（1）5＋4＋4＋4；4n＋1； （2）481根 【分析】（1）观察图形可知，摆1个五边形需要5根小棒，摆2个五边形需要（5＋4）根小棒，摆3个五边形需要（5＋4＋4）根小棒，摆4个五边形需要（5＋4＋4＋4）根小棒……则摆n个五边形需要[5＋4×（n－1）]根小棒，据此解答即可； （2）把n＝120代入（1）中所得出的规律中求值即可解答。 【解答】（1）5＋4×（n－1） ＝5＋4n－4 ＝（4n＋1）根 填表如下： 五边形个数 1 2 3 4 … n 小棒根数 5 5＋4 5＋4＋4 5＋4＋4＋4 … 4n＋1 （2）4×120＋1 ＝480＋1 ＝481（根） 答：需要481根小棒。 30．某中学六年级1班计划买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两种品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价100元，乒乓球每盒定价25元。经洽谈后，甲店每买一副球拍赠送一盒乒乓球，乙店全部按定价的九折优惠，该班需球拍5副，乒乓球盒（≥5）。 （1）请问在甲店购买应付多少元？在乙店购买应付多少元？（用含有的代数式表示） （2）若＝20，去哪家购买更划算？请说明理由。 【答案】（1）甲店：（375＋25）元；乙店：（450＋22.5）元 （2）甲店；理由见详解 【分析】（1）甲店：每买一副球拍赠送一盒乒乓球，购买5副球拍赠送5盒乒乓球，还需额外购买（－5）盒乒乓球，则在甲店购买应付钱数＝每副球拍的定价×球拍数量＋每盒乒乓球定价×还需购买的盒数，据此用含字母的式子表示数量关系。 乙店：全部按定价的九折优惠，即总费用为球拍和乒乓球的总金额乘90%；则在乙店购买应付钱数＝（每副球拍的定价×5＋每盒乒乓球定价×盒数）×90%，据此用含字母的式子表示数量关系。 （2）把若＝20代入上一题在甲店、乙店购买应付钱数的式子中，分别计算出得数，再比较，得出去哪家购买更划算。 【解答】（1）甲店：100×5＋25（－5）＝500＋25－125＝（375＋25）元 乙店：（100×5＋25）×90%＝（500＋25）×0.9＝（450＋22.5）元 答：在甲店购买应付（375＋25）元，在乙店购买应付（450＋22.5）元。 （2）当＝20时 375＋25 ＝375＋25×20 ＝375＋500 ＝875（元） 450＋22.5 ＝450＋22.5×20 ＝450＋450 ＝900（元） 875＜900 答：去甲店购买更划算。因为在甲店购买需875元，在乙店购买需900元，甲店的费用更低。 31．鞋的尺码是指鞋底的长度，通常用“码”或“厘米”作单位。 厘米 22 22.5 23 23.5 24.5 25 ____ 27 … 码数 34 35 36 37 ____ 40 41 44 … （1）找出其中的规律，把上述表格填写完整。 （2）如果用表示厘米数，表示码数，请用含有字母的式子表示它们之间的关系。 【答案】（1）见详解 （2）y＝2x－10 【分析】（1）观察已知数据：当厘米数为22时，码数为34，22×2－10＝44－10＝34；当厘米数为22.5时，码数为35，22.5×2－10＝45－10＝35；当厘米数为23时，码数为36，23×2－10＝46－10＝36；当厘米数为23.5时，码数为37，23.5×2－10＝47－10＝37。由此可得出规律：码数＝2×厘米数－10，则厘米数＝（码数＋10）÷2。当厘米数为24.5时，码数为2×24.5－10＝49－10＝39。当码数为41时，厘米数为（41＋10）÷2＝51÷2＝25.5。 （2）由（1）中分析可知，码数＝2×厘米数－10，用表示厘米数，表示码数代入可得：y＝2x－10。 【解答】（1）由分析可得规律为：码数＝2×厘米数－10 厘米数24.5时，码数为： 2×24.5－10 ＝49－10 ＝39 码数为41时，厘米数为： （41＋10）÷2 ＝51÷2 ＝25.5 填表如下： 厘米 22 22.5 23 23.5 24.5 25 25.5 27 … 码数 34 35 36 37 39 40 41 44 … （2）码数＝2×厘米数－10 用表示厘米数，表示码数代入可得： y＝2x－10 答：用含有字母的式子表示为：y＝2x－10。 32．一个三位正整数M，其各位数字均不为零且互不相等，若从M的百位数字、十位数字、个位数字中任选两个组成一个新的两位数，并将得到的所有两位数求和，我们称这个和为M的“团结数”，如123的“团结数”为12＋13＋21＋23＋31＋32＝132。 （1）请求出427的“团结数”； （2）若一个三位正整数N，其百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，且各位数字互不相等（a≠0，b≠0），若N的“团结数”与N之差为24，求N的值。 【答案】（1）286 （2）284或218 【分析】（1）根据“团结数”的描述，写出4、2、7两两组合组成的所有两位数，相加即可。 （2）写出2、a、b两两组合组成的所有两位数，分别表示出每个数的值，相加并化简，根据团结数与N的差为24建立方程，再确定符合条件的a和b的值即可。 【解答】（1）42＋47＋24＋27＋74＋72＝286 427的“团结数”是286。 （2）百位数字为2，十位数字为a，个位数字为b，三位数N其值为200＋10a＋b。组成的所有两位数分别是20＋a、20＋b、10a＋2、10a＋b、10b＋2、10b＋a。 N的“团结数”表示为：（20＋a）＋（20＋b）＋（10a＋2）＋（10a＋b）＋（10b＋2）＋（10b＋a）＝44＋22a＋22b （44＋22a＋22b）－（200＋10a＋b）＝24 解：44＋22a＋22b－200－10a－b＝24 12a＋21b－156＝24 12a＋21b－156＋156＝24＋156 12a＋21b＝180 （12a＋21b）÷3＝180÷3 4a＋7b＝60 当a＝8时，有 4×8＋7b＝60 解：32＋7b－32＝60－32 7b＝28 7b÷7＝28÷7 b＝4 此时N＝200＋80＋4＝284； 当a＝1时，有 4×1＋7b＝60 解：4＋7b－4＝60－4 7b＝56 7b÷7＝56÷7 b＝8 此时N＝200＋10＋8＝218。 答：N的值是284或218。 【点睛】关键是看懂“团结数”的描述，准确表示出每个数的值，通过化简字母表示数的算式，找到符合的值。 33．“空中的士”能够像出租车一样提供点对点的快速通勤服务。2024年11月，全国六个城市率先开展了“空中的士”的试点。“空中的士”起飞与降落需要特定的场地，图1是“空中的士”的起降位。 数学学习小组的同学们查阅资料后，设计了如图2所示的起降位（由操作区与安全区两部分构成的大正方形），其中安全区（涂色部分）的宽度固定为3米。操作区的边长需根据机身长度，按一定的规律进行相应调整。 机身长度/米 6 7 8 9 操作区边长/米 9 10.5 12 13.5 （1）如果机身长度是10米，操作区的边长是多少米？ （2）如果机身长度为a米，操作区的边长如何表示？ （3）如果机身长度是12米，起降位的面积是多少平方米？ 【答案】（1）15米 （2）1.5a米 （3）576平方米 【分析】（1）对于操作区边长与机身长度的关系，9÷6＝1.5，10.5÷7＝1.5，12÷8＝1.5，13.5÷9＝1.5，可以发现规律，可以发现操作区边长与机身长度的关系。操作区边长＝机身长度×1.5。 （2）根据（1）的规律：用机身的长度乘1.5即可解答； （3）根据（1）的规律可知：如果机身长度是12米，则操作区边长＝12×1.5，再用操作区的长度加上2个3米就是起降位的边长，根据正方形的面积＝边长×边长解答即可。 【解答】（1）9÷6＝1.5，10.5÷7＝1.5，12÷8＝1.5，13.5÷9＝1.5 10×1.5＝15（米） 答：操作区的边长是15米。 （2）a×1.5＝1.5a（米） 答：如果机身长度为a米，操作区的边长是1.5a米。 （3）12×1.5＋3×2 ＝18＋6 ＝24（米） 24×24＝576（平方米） 答：起降位的面积是576平方米。 34．聪聪将“圆”的知识应用到圆柱中。她先把一个圆柱展开并将展开图中的两个圆切开，如图2.再将两个圆拼接成一个近似的长方形，并与侧面展开后的长方形拼成一个大长方形，如图3.由此得到圆柱表面积的另一种算法。 （1）分析：拼成的大长方形的长＝（ ），宽＝（ ）。（用含有字母的式子表示） （2）归纳：圆柱的表面积就等于拼成的大长方形的面积＝长×宽＝（ ）×（ ）。（用含有字母的式子表示） （3）应用：当r＝4厘米，h＝10厘米时，请你用上面的方法计算圆柱的表面积是多少平方厘米？ 【答案】（1） 2πr h＋r （2） 2πr h＋r （3）351.68平方厘米 【分析】（1）观察图形可知，拼成的长方形的长是圆柱的底面周长，根据圆的周长＝2πr，表示出长方形的长；拼成的长方形的宽是圆柱的高加上圆柱底面半径，即h＋r，据此解答。 （2）根据拼成长方形的长和宽，利用长方形面积＝长×宽，用字母表示圆柱的表面积。 （3）当r＝4厘米，h＝10厘米时，代入求出的含有字母的式子，即可解答。 【解答】（1）长＝2πr，宽＝h＋r （2）（2πr）×（h＋r） （3）当r＝4厘米，h＝10厘米时： （2×3.14×4）×（10＋4） ＝（6.28×4）×14 ＝25.12×14 ＝351.68（平方厘米） 答：圆柱的表面积是351.68平方厘米。 35．如果一个四位数满足千位数字和十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，那么称M为“跳跃数”。若一个四位“跳跃数”M的千位数字与个位数字的2倍的和记作P（M），百位数字与十位数字的和记作Q（M），那么为整数时，则称M为“跳跃整数”。 例如：8614满足8＋1＝9，6－4＝2，且P（8614）＝8＋8＝16，Q（8614）＝6＋1＝7，即不是整数，故8614不是“跳跃整数”。 又如：9503满足9＋0＝9，5－3＝2，且P（9503）＝9＋6＝15，Q（9503）＝5＋0＝5，即是整数，故9503是“跳跃整数”。 （1）判断：5745（    ）“跳跃整数”，5341（    ）“跳跃整数”；（填“是”或“不是”） （2）证明：任意一个四位“跳跃数”与其百位数字的2倍之差能被11整除； （3）若M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d（其中1≤a≤4，2≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9且a、b、c、d均为整数）是“跳跃整数”，直接写出满足条件的所有M的值。 【答案】（1）不是；是 （2）见解析； （3）3765，5341，9503 【分析】（1）先根据一个四位数满足千位数字和十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，判断一个四位数是不是“跳跃数”，再根据条件若一个四位“跳跃数”M的千位数字与个位数字的2倍的和记作P（M），百位数字与十位数字的和记作Q（M），是否为整数时，判断这个“跳跃数”是不是“跳跃整数”。（2）一个四位数可以设为表示的大小是，据此解答这个数是否能被11整除。（3）运用“跳跃整数”的特点来找出满足条件的所有M的值。 【解答】（1）5745的千位数字和十位数字的和为：5＋4＝9，百位数字与个位数字的差为：7－5＝2，即5745是“跳跃数”， P（M）＝5＋5×2＝15，Q（M）＝7＋4＝11，，不是整数，则5745不是“跳跃整数”。 5341的千位数字和十位数字的和为：5＋4＝9，百位数字与个位数字的差为：3－1＝2，即5341是“跳跃数”，P（M）＝5＋1×2＝7，Q（M）＝3＋4＝7，1，1是整数，则5341是“跳跃整数”。则 5745不是“跳跃整数”，5341是“跳跃整数”。 （2）设一个四位“跳跃数”为，则： 千位数字和十位数字的和为：a＋c＝9 百位数字与个位数字的差为：b－d＝2，即d＝b－2 2b ＝1000a＋100b＋10c＋d－2b ＝990a＋10a＋98b＋10c＋d ＝990a＋10（a＋c）＋98b＋（b－2） ＝990a＋10×9＋98b＋b－2 ＝990a＋99b＋88 ＝11×（90a＋9b＋8） 则11×（90a＋9b＋8）一定是11的倍数， 即任意一个四位“跳跃数”与其百位数字的2倍之差能被11整除。 （3）因为M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d＝1000（2a＋1）＋100b＋10c＋d且M是“跳跃整数”， 所以M的千位数字为（2a＋1），百位数字为b，十位数字c，个位数字为d，则： 2a＋1＋c＝9，b－d＝2， 所以2a＋c＝8，b－d＝2， 即c＝8－2a，d＝b－2， 所以P（M）＝2a＋1＋2d＝2a＋2d＋1，Q（M）＝b＋c 即 因为1≤a≤4，2≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9且a、b、c、d均为整数，所以： 当a＝1时，F（M） 当b＝7时，F（M）1 此时：d＝b－2＝7－2＝5 c＝8－2a＝8－2×1＝8－2＝6 所以M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d＝2000×1＋1000＋100×7＋10×6＋5＝3765 当a＝2时，F（M） 当b＝3时，F（M）1 此时：d＝b－2＝3－2＝1 c＝8－2a＝8－2×2＝4 所以M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d＝2000×2＋1000＋100×3＋10×4＋1＝5341 当a＝3时，F（M），不管b为何值，F（M）都不是整数，不合题意。 当a＝4时，F（M） 当b＝5时，F（M）＝22＋1＝3 此时：d＝b－2＝5－2＝3 c＝8－2a＝8－2×4＝0 所以M＝2000a＋1000＋100b＋10c＋d＝2000×4＋1000＋100×5＋10×0＋3＝9503 答：满足条件的所有M的值为：3765，5341，9503。 【点睛】根据一个四位数满足千位数字和十位数字的和为9，百位数字与个位数字的差为2，判断一个四位数是不是“跳跃数”，再根据条件若一个四位“跳跃数”M的千位数字与个位数字的2倍的和记作P（M），百位数字与十位数字的和记作Q（M），是否为整数时，判断这个“跳跃数”是不是“跳跃整数”。一个四位数可以设为表示的大小是，据此解答这个数是否能被11整除。 36．奥地利数学家皮克（Pick）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系。 （1）观察图形，补全表格。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 ______ b 6 10 6 6 ______ S 2 6 4 ______ 12 （2）观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______。 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______。 根据上述发现，可得：S＝______。（用含i和b的式子表示） （3）根据你发现的结论计算图形的面积。 【答案】（1）见详解 （2） 1 /0.5 i＋b－1 （3）21 【分析】（1）先观察图形⑤，数出内部格点数i和边界格点数b；观察前几个图形，可以把图形④当作是两个相等的梯形，上底是1，下底是3，高是2，计算图形④的面积S。 （2）对比①、③、④的i和S的变化量，得出每增加i时面积的变化值；对比②和③、④和⑤的b和S的变化量，得出b每增加1时面积的变化值；再结合这两个变化规律，推导S关于i和b的表达式。 （3）先确定目标图形的内部格点数i和边界格点数b，再代入（2）中推导的公式计算面积。 【解答】（1） 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 6 b 6 10 6 6 14 S 2 6 4 8 12 （2）①：图形①、③、④的边界格点b都是6，每增加i，面积对应增加1； 即观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加1。 ②：图形②和③的内部格点i都是2，b增加4时面积增加2，因此b每增加1，面积增加​； 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加。 ③：2＝0＋×6－1＝3－1 6＝2＋×10－1＝2＋5－1 12＝6＋×14－1＝6＋7－1 根据上述发现，可得：S＝i＋b－1。 （3）由图可知i＝15，b＝14： S＝15＋×14－1 ＝15＋7－1 ＝21 答：图形的面积为21。 学科网（北京）股份有限公司 $