专题06 空间直线、平面的垂直（4大题型42题）（期末真题汇编，河南专用）高一数学下学期

专题06空间直线、平面的垂直 4大题型概览 题型01直线、平面垂直的判断 题型02直线、平面垂直的证明 题型03线面角与二面角 题型04空间距离 ( 题型 01 直线、平面垂直的判断 ) 1．（24-25高一下·河南省商丘市百师联盟·期末）已知是两条不同的直线,表示平面,且,则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】若,则存在,使得,又,所以,可得,故“”是“”的充分条件；若,且,则可能在平面内,得不到,故“”不是“”的必要条件． 综上,“”是“”的充分不必要条件．故选A． 2．（24-25高一下·河南省郑州市中牟县·期末）已知为两个不同的平面,为不同的直线,下列说法正确的是（   ） A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 【答案】B 【解析】为两个不同的平面,为不同的直线,若,则、异面或相交,故A错误；若,则,故B正确；若,则或,故C错误； 若,则可以成立,故D错误.故选B. 3．（24-25高一下·河南省驻马店市青桐鸣·期末）已知,表示两条不同的直线,表示平面,则下列命题错误的是（    ） A．若,,则,可能平行、异面或者相交 B．若,,则与可能平行、相交或者 C．若,,则 D．若,,则 【答案】C 【解析】若,则可能平行､异面或者相交,故A正确；若,则与可能平行､相交或者,故B正确；若,则与可能平行,也可能,故C错误；若,由线面垂直的性质定理可知,故D正确.故选C. 4．（24-25高一下·河南省南阳市新未来联考·期末）已知是不重合的三个平面,是直线,则下列说法错误的是（   ） A．若与不垂直,,则 B．若,,点,,则 C．若,,则 D．若,,,则 【答案】B 【解析】对于A,若,,则,与题目条件“与不垂直”矛盾,故, A正确； 对于B,若,则不一定成立,从而不一定成立,B错误；对于C,因,,即平面与成直角,故平面与也成直角,即,C正确； 对于D,如图,因,,设,过平面内一点在平面内作, 由可知,则,因,故,即D正确.故选B. 5．（多选）（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）下列说法正确的是（    ） A．经过3个点的平面有且只有一个 B．若直线平面,则平面内有无数条直线与a平行 C．若平面满足,,则 D．若直线满足,则 【答案】BC 【解析】对于A,经过同一条直线上的3个点的平面有无数个,A错误；对于B,直线平面,经过直线有无数个平面与平面相交,每条交线都与平行,B正确；对于C,令,在平面内作直线,则,过直线作平面,而,则,,因此,C正确； 对于D,直三棱柱的侧棱垂直于底面三角形两条边所在直线,而底面的这两条边所在直线相交,D错误. 故选BC. ( 题型 0 2 直线、平面垂直的证明 ) 1.（24-25高一下·河南省安阳市滑县部分学校·期末）如图,在四棱锥中,,,,平面． (1)证明：平面平面； (2)若是棱的中点,且平面,求异面直线与所成角的余弦值． 【解析】（1）因为平面,平面,所以, 又因为,即, 而,平面,平面,所以平面, 又因为平面,所以平面平面． （2）如图,取的中点,记为,连接, 因为为的中点,所以,所以为与所成角（或补角）． 因为平面,平面,所以平面, 又因为平面,,平面,平面, 所以平面平面, 又平面平面,平面平面,所以, 由（1）知,平面,所以平面, 又平面,所以, ,,, 所以, 所以异面直线与所成角的余弦值为． 2.（24-25高一下·河南省许昌市·期末）如图,四面体ABCD中,,,,,E为AC的中点,点F在BD上． (1)证明：； (2)求直线BD与平面ACD所成角的正弦值； (3)当的面积最小时,求三棱锥的体积． 【解析】（1）因为,E是AC的中点,所以． 因为,所以, 所以,所以, 因为,DE,平面BED, 所以平面BED, 因为平面BED,所以． （2）因为,, 所以是等腰直角三角形,所以,． 依题意,所以, 则,所以, 又因为,,AC,平面ACD,所以平面ACD． 所以即为直线BD与平面ACD所成的角． 在中,, 所以直线BD与平面ACD所成角的正弦值为． （3）因为,,且,AC,平面ABC, 所以平面ABC． 由（1）已证,所以, 因为所以, 所以,E是AC的中点,所以, 因为,所以当EF最短时,的面积最小． 当时,EF最短,过E作,垂足为F, 在中,,解得, 所以,,所以． 过F作,垂足为H,则, 所以平面ABC,且,所以, 所以． 3.（24-25高一下·河南省濮阳·期末）如图,在四棱锥中,底面是正方形,平面,,与交于点O． (1)证明：平面平面； (2)若M是棱的中点,求二面角的正切值； (3)若P,Q分别是线段上的点,且,设与所成的角为,与所成的角为,求的最大值． 【解析】（1）因为平面,所以, 因为底面是正方形,所以, 因为,所以平面, 又平面,所以平面平面． （2）分别取的中点E,的中点F,连接,如图． 易得,又平面,所以平面,所以． 因为,所以,又,所以平面, 又平面,所以, 所以是二面角的平面角． 设,则, 所以,即二面角的正切值为2． （3）作,与交于点R,连接,如图． 因为,所以． 又,所以,所以． 由（1）可得,所以,则,且, 所以, 当时,取得最大值为． 4.（24-25高一下·河南省驻马店市·期末）如图,菱形所在的平面与矩形所在的平面相互垂直. (1)证明：直线平面； (2)若平面平面,求的值； (3)在（2）条件下,求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）因为四边形为矩形,则, 因为平面,平面,所以平面, 又因为四边形为菱形,则, 因为平面,平面,所以平面, 又因为,且平面,所以平面平面, 因为平面,所以平面. （2）由菱形所在的平面与矩形所在的平面相互垂直, 且平面平面,,,平面, 所以面,面, 因为平面,所以,, 则,, 又由,则. 同理可得：. 取中点为,记,则且, 所以,,所以为二面角的平面角, 因为平面平面,则,且,所以, 可得. （3）记面面, 因为,平面,所以平面, 且平面,所以,则, 因为,从而,, 所以即为平面与平面所成的角, 在（2）条件下,,所以为等腰直角三角形,所以, 可得,即平面与平面夹角的余弦值为. 5.（24-25高一下·河南省三门峡市三·期末）如图,在四棱锥中,底面是菱形,,,,底面,,点E在棱上． (1)求证：平面平面； (2)若平面,求； (3)当取得最小值时,求二面角的余弦值． 【解析】（1）因为平面,平面,所以. 因为四边形为菱形,所以. 又因为,平面,平面,所以平面, 又因为平面,所以平面平面． （2）连接,如图所示： 因为平面,平面,平面平面, 所以. 因为O是中点,所以E是中点． 因为平面,, 所以E到平面的距离． 因为在菱形中,,, 所以, 所以． （3）由（1）知：平面, 因为平面,平面,平面, 得,,, 故即为二面角的平面角． 当取得最小值时,有, 又因为,所以平面, 又因为平面,所以. 又因为在菱形中,,, 所以,, 又因为, 所以, 又因为在中,, 所以． 则在中,, 所以二面角的余弦值为． 6.（24-25高一下·河南省开封市·期末）如图,在正四棱柱中,E为的中点. (1)证明：平面； (2)判断平面是否成立,并证明. 【解析】（1）连接BD与AC交于点O,连接EO,  E,O分别是与的中点,所以, 又平面,平面,所以平面, （2）平面不成立. 记,,若平面,平面,则, 因为,,, 由于,所以不成立, 所以平面不成立. 7.（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）如图,在正三棱柱中,是棱AC的中点,是线段上的动点. (1)证明：平面平面； (2)证明三棱锥的体积为定值,并求出该定值. 【解析】（1）由题意知为等边三角形,是棱AC的中点,所以 因为三棱柱为正三棱柱,所以平面ABC, 又平面ABC,所以, 因为平面,所以平面, 又平面,所以平面平面 （2）如图,连接,与相交于点,连接. 因为四边形为矩形,所以为的中点, 又因为为AC的中点,所以, 因为平面平面,所以平面 又因为是上的动点,所以点到平面的距离为定值, 所以三棱锥的体积为定值. 点到平面的距离等于点到平面的距离, 所以 8.（24-25高一下·南阳市六校·期末）如图,在七面体中,底面是菱形,四边形是矩形． (1)证明：平面平面． (2)若,平面平面,求 【解析】（1）平面是菱形,则, 又平面,平面,所以平面, 因为四边形是矩形,则, 又平面,平面,则平面, 又,平面,平面, 所以平面平面. （2）如图,设,取的中,连接, 因为,,又,面,所以面, 又面,所以, 又,则面,又面,则, 在和中,, 所以,则,∵是的中点,所以, 平面平面,平面平面,平面, 因为平面,∴, 又是的中点,∴, 又易知,,所以. 9.（24-25高一下·河南省新未来·期末）如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,四边形ABCD是梯形,,,,E是棱PC上的一点,且． (1)求证：平面； (2)若是锐角三角形,且,求证：． 【解析】（1）连接AC,交BD于点F,连接EF,如图所示． 因为,所以,所以, 又,所以,所以, 又平面BDE,平面BDE,所以平面BDE； （2）在中,过点P作DC的垂线,垂足为O,如图所示． 因为平面平面ABCD,, ,平面PDC,所以平面ABCD, 又平面ABCD,所以,又,,PO,平面PDC,所以平面PDC, 又平面PDC,所以, 又,,PB,平面PBC,所以平面PBC． 10.（24-25高一下·河南省南阳市·期末）如图,在正三棱柱中,为棱的中点. (1)求证：平面 (2)若满足 ①求证：平面平面 ②是否存在实数,使得三棱锥的体积为？若存在求出的值,若不存在,请说明理由. 【解析】（1）如图,连接,与交于点,由正三棱柱性质得四边形是矩形, 由矩形的性质得为的中点,连接, 因为为的中点,为棱的中点,所以是的中位线, 故由中位线定理得, 因为面,面,所以平面. （2）①由正三棱柱性质得面,面, 因为底面平面,所以, 又为棱的中点,,所以, 因为平面, 所以平面,而平面,故, 因为, 所以,又, 在Rt和Rt中,, 所以,即, 得到,又, 平面,故平面, 因为面,所以平面平面. ②由题意得,因为, 且为棱的中点,所以,由勾股定理得, 因为,所以, 而面,面,故, 由三角形面积公式得, 如图,找中点,连接,由正三棱柱性质得,, 而,面,则面, 即面,且,可得到面的距离为, 因为三棱锥的体积为,所以, 解得,故的值存在,且为. 11.（24-25高一下·南阳市新未来联考·期末）如图1,四边形为矩形,四边形为直角梯形,,且.将四边形沿向上折起,如图2,连接,得到几何体EFABCD. (1)求证：平面平面,平面平面； (2)在折起的过程中连接BE,求几何体的体积的最大值. 【解析】（1）由题意,几何体中, ,,, 是平面内的两条相交直线, 平面, 平面,平面, 平面平面,平面平面. （2） ,, 平面,平面,, 平面,平面,, 平面平面,且. 由（1）知平面,平面. 设, 则到平面的距离为. ,平面,平面, 平面, 故到平面的距离等于到平面的距离,即. 连接, 则. ,, 当时,几何体的体积取得最大值. ( 题型 0 3 线面角与二面角 ) 1.（24-25高一下·河南省洛阳市·期末）已知正四棱台的体积为,,且其侧面与底面所成二面角的正切值为,则该正四棱台的高为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【解析】如图,连接,记上、下底面的中心分别为,由正四棱台性质及,可得,过作,垂足为,即为正四棱台的高,则,且,作,垂足为,连接,因,平面,所以平面,又平面,所以,所以就是侧面与底面所成二面角因为侧面与底面所成角正切值为,所以,且, 所以设,所以, 则该正四棱台的体积,解得,所以,即该正四棱台的高为,故C正确.故选C. 2．（多选）（24-25高一下·河南省鹤壁市·期末）如图,在圆锥中,轴截面是边长为4的正三角形,点C在底面圆周上,且,则（   ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．二面角的余弦值为 D．异面直线AB与所成角的余弦值为 【答案】AD 【解析】对于A,因为圆锥的轴截面是边长为4的正三角形,所以,所以该圆锥的体积为,故A正确；对于B,圆锥的侧面积为,故B错误； 对于C,连接BC,由题知就是要求二面角的平面角,由,可得,所以,即二面角的余弦值为,故C错误；对于D,分别取,,,的中点D,E,F,G,如图所示,所以, 则或其补角就是异面直线AB与所成的角,,,,所以,故D正确. 故选AD. 3．（多选）（24-25高一下·河南省创新发展联盟·期末）在四面体中,平面平面,则（   ） A．四面体的体积为 B．与平面所成的角为 C．四面体外接球的表面积为 D．与平面所成角的正弦值为 【答案】BCD 【解析】取的中点E,连接．因为,所以．又平面平面,平面平面,所以平面．因为,所以．又, 所以,所以四面体的体积为,A错误．因为,所以四面体外接球的球心为点E,半径为,所以四面体外接球的表面积为,C正确．因为平面,所以与平面所成的角为．因为,所以与平面所成的角为,B正确．过点B作,垂足为F,连接． 因为平面平面,平面平面,所以平面,所以与平面所成的角为,且．因为, 所以,D正确．故选BCD. 4．（多选）（24-25高一下·河南省平顶山市·期末）如图,已知梯形ABCD是圆台的轴截面,,,P,Q分别是弧AB和母线BC的中点,.则下列结论正确的有（   ） A．圆台的体积为 B．异面直线DP与BC所成角的正弦值为 C． D．平面DPQ与平面ABP所成二面角的正切值为 【答案】ABD 【解析】对于A,因为P是弧的中点,所以是等腰直角三角形,所以,.作圆台的轴截面如图所示,作得到四边形为矩形.所以,圆台的高,因为上底面圆的面积为,下底面圆的面积为,则圆台的体积为,故A正确； 对于B,取中点,连接,,由为弧中点可得,过点作,连接, 则,且,且,则四边形为平行四边形,所以,则异面直线和所成的角为与所成角,即为,又,, 所以,在中,,,,则,则,故B正确； 对于C,连接点并延长,与圆交于另一点,连接,,由,可得或其补角即是异面直线和所成的角．又由, 有,,故C不正确； 对于D,延长交的延长线于点F,连接与圆台的底面圆周的交点为,过、分别作、,垂足分别为、,连接,由选项A,B知,, 因为是的中点,则,,,,所以 .由,是的中点,得.所以即为平面DPQ与平面ABP所成二面角的平面角..故D正确,故选ABD. 5.（多选）（24-25高一下·河南省许昌市·期末）已知圆锥SO的底面半径为6cm,其母线SA长24cm,底面圆周上有一动点B,下列说法正确的有（    ） A．截面SAB最大面积为cm2 B．若,则直线SB与平面SOA所成角的正弦值为 C．当三棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为612πcm2 D．若点,且cm,一只小蚂蚁从A点出发绕侧面一周到达C点,先上坡后下坡,当它爬行的路程最短时,下坡路段长为cm 【答案】ACD 【解析】选项A.圆锥底面半径cm,母线,高,因为,易知为锐角,所以当最大,即为底面直径时,截面SAB面积最大,,A正确； 选项B.过点B作,交于点D连接,底面,且底面 ,又, ,平面,平面,为直线SB与平面SOA所成角,由题意知为等腰直角三角形,, 又,,B错误,选项C.三棱锥的体积, 当时,最大为18,体积也最大,此时其外接球半径为：,,C正确选项D. 侧面展开图圆心角满足,解得：,为四分之一圆,如图所示,AC为直线时最短, 过S作,则即为下坡路段, 又与相似,,D正确,故选ACD. 6.（24-25高一下·河南省开封市·期末）如图,在三棱柱中,． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【解析】（1）连接,如图所示．在三棱柱中,, 所以四边形是菱形, 所以,又,平面, 所以平面, 又平面,所以, 在中,,所以,所以, 又平面,所以平面, 又平面,所以平面平面． （2）取的中点,连接,又, 所以, 由（1）知平面平面,平面平面平面, 所以平面, 又平面,所以． 在中,,所以, 所以． 因为平面平面,所以平面, 所以到平面的距离和到平面的距离相等, 由（1）知平面,又平面,所以, 则, 在中,易得, 由余弦定理得, 所以, 所以． 设点到平面的距离为,又, 所以,解得, 设直线与平面所成角的大小为,所以, 即直线与平面所成角的正弦值为． 7.（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）如图,在三棱锥中,平面,,,,,分别为棱,,的中点. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若直线与平面所成角的正弦值为,求平面和平面所成角（锐角）的正切值. 【解析】（1）∵,分别为棱,的中点,∴. ∵平面,平面,∴平面. （2） 取的中点,连接,. ∵,分别为棱,的中点,∴. ∵平面,∴平面.∵平面,∴. ∵,分别为棱,的中点,∴.∵,∴. ∵,,平面,∴平面. ∵平面,∴. （3）∵平面,平面,∴. ∵,,,平面,∴平面, ∴即为直线与平面所成的角,∴. 设,则,,. 如图,连接.易得平面和平面的交线为.过点作,交的延长线于点,连接. ∵平面,平面,平面,∴,. ∵,,,平面,∴平面. 又平面,∴,∴即为平面和平面所成的角. 过点作于点. ∵,,,∴与全等,∴. 由可得,∴. ∴, 即平面和平面所成的角的正切值为. 8.（24-25高一下·河南省商丘市百师联盟·期末）如图,在四棱锥中,四边形是平行四边形,平面平面,,点是棱上的一点． (1)记平面与平面的交线为,求证：； (2)若,求二面角的正弦值； (3)若直线与平面所成角的余弦值为,求线段的长． 【解析】（1）因为四边形是平行四边形,所以, 又平面,平面,所以平面, 又平面平面,平面,所以； （2）分别取的中点,连接,如图所示． 因为,所以, 又,由余弦定理得 , 又,所以, , 所以,即,即． 又平面平面,平面平面, 平面,所以平面,又平面, 所以,,因为分别为的中点, 所以,,又,所以, 又,,平面,所以平面, 又平面,所以, 所以为二面角的平面角． 因为,, 所以, 所以, 即二面角的正弦值为； （3）连接,如图所示,因为, 点为的中点,所以,, 又平面平面, 平面平面,平面, 所以平面,又平面,所以, 在中,由余弦定理得 , 所以,又, 所以． 显然点E不与点A重合,设, 所以 ． 设到平面的距离为h,则,解得, 又直线与平面所成角的余弦值为, 所以, 所以．在中,, 则, 在中,, 即, 整理得,解得或（舍）, 所以． 9.（24-25高一下·信阳市·期末）如图,四棱锥中,平面平面,是边长为6的等边三角形,,,点在棱上,且． (1)求证：∥平面； (2)已知． ①若二面角的正切值为2,求三棱锥的体积； ②若,设直线与平面所成的角为,若,求的取值范围． 【解析】（1）连接交于点,连接, ,,由相似三角形的性质,可得, 又,所以, 平面,平面, 平面． （2）①取的中点,取的中点,连接,,, 则,, ,, ∵是边长为6的等边三角形,则,, 又平面平面,平面平面,平面, 平面,平面,． 又,平面,平面, ∵平面,,所以为二面角的平面角． 在中,． 在中,, , ． ②过作交于,连接,由于平面, 所以平面, 则为与平面所成角,即,． 点在棱上,且． 由,,, 由余弦定理得 , ,,,, 故的取值范围为． 10.（24-25高一下·河南省平顶山市·期末）如图,在三棱锥中,平面平面,,,M,N,E分别为BC,AC,PC的中点. (1)证明：平面平面； (2)若,,三棱锥的外接球为球O. （ⅰ）证明：A,B,C,O四点共面； （ⅱ）求直线PO与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）因为M,N,E分别为BC,AC,PC的中点, 所以,因为在平面外,平面, 所以平面,平面,又,所以平面平面； （2）（ⅰ）证明：取中点,连接,因为,,所以, 因为平面平面,平面平面,平面, 所以平面,且, 设外接圆圆心为,半径为,则, 所以,所以, 所以Q点即为球心O,所以A,B,C,O四点共面； （ⅱ）由（ⅰ）可得, 在中,, 在中, 在中,,故, 设到平面的距离为,则, 又, 所以, 设直线与平面所成的角为,故. ( 题型 0 4 空间距离 ) 1.（多选）（24-25高一下·河南省洛阳市·期末）在三棱柱中,,,,,为线段的中点,为线段上的动点,则下列说法中正确的是（   ） A．四边形是矩形 B．若是的中点,则平面 C．点到平面的距离为1 D．的最小值为 【答案】BCD 【解析】如图, 在三棱柱中,为平行四边形,因为为线段的中点,所以为线段的中点,若是的中点,则在中,因为平面,平面,所以平面,所以B正确；因为,,,所以,, 所以,,因为平面,平面,,所以平面,所以点到平面的距离为,所以C正确；由上可知,,又,,, ,所以与不垂直,所以A错误；,所以 ,所以,设,, 则在中,由余弦定理知,所以,在中,由余弦定理知,所以, 将平面沿着展开,使平面与共面,如图： 在四边形中,则,, 的最小值为,在中,余弦定理得, 所以的最小值为,所以D正确.故选BCD. 2.（多选）（24-25高一下·河南省驻马店市·期末）正三棱台中,,D为棱AB的中点,则（   ） A． B．直线与BC夹角的余弦值为 C．A到平面的距离为 D．棱台的体积为 【答案】ACD 【解析】将正三棱台补成三棱锥,根据,可知,则三棱锥为正四面体,对于A：由于为棱AB的中点,故,又是的中点,故,A正确,对于B,由于,故或其补角即为直线与BC夹角,由于,, 故,故B错误,对于C,三棱锥的高为,因此A到平面的距离为,C正确, 对于D,因为,,故棱台的体积为,D正确,故选ACD. 3.（24-25高一下·河南省安阳市滑县部分学校·期末）已知等边的边长为1,平面,且,则点到平面的距离为______． 【答案】 【解析】如图,因为平面,所以为三棱锥的高,则,由平面,平面,得, 在直角中,,同理,则等腰的底边上的高为, 则,设点到平面的距离为,则, 得． 4.（24-25高一下·河南省鹤壁市·期末）如图,在直三棱柱中,,,,点在线段上. (1)若为的中点. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求点到平面的距离. (2)若,的延长线与直线相交于点,证明：平面平面,并求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】（1）（ⅰ）如图,连接,与相交于点D,则D为的中点,连接DP, 因为P为的中点,所以, 因为平面,平面,所以平面. （ⅱ）因为P为的中点, 所以点B到平面的距离与点到平面的距离相等,设为h. 因为三棱柱为直三棱柱,所以, 又,,平面,所以平面, 所以点P到平面的距离为, 所以, 又,,, 所以等腰的面积为, 所以,由,得,解得. 所以,点B到平面的距离为. （2）如图,易得,, 因为,,平面,所以平面, 因为平面,所以, 因为,且,,平面, 所以平面. 因为平面,所以平面平面. 因为,所以, 因为,所以, 又,所以, 所以,即,得, 所以, 又点E到平面的距离为, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5.（24-25高一下·河南省郑州市·期末）如图,在直三棱柱中,,,,M是的中点．求： (1)求直三棱柱外接球球O的表面积； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 【解析】（1）由题设,易知是等边三角形． 设三角形,三角形的外心分别是、, 直三棱柱的外接球半径是R, 由题意知,,, ∴, ∴直三棱柱外接球的表面积为． （2）由题意知,,, ∴,, 设点到平面的距离为d,且点到平面的距离为3, ∴, ∴, ∴． （3）在平面中,延长、,使得,连接, ∵直三棱柱中,M为的中点, ∴, ∴． 又直三棱柱中,平面, ∴即为平面与平面所成的角． 在中,,, ∴, 平面与平面所成角的余弦值是． 6.（24-25高一下·河南省郑州市中牟县·期末）如图,在四棱锥中,底面是等腰梯形,,平面平面,,为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若,求到平面的距离． 【解析】（1）如图,设是的中点,连接． ∵为的中点,是的中点, ∴； 由题意,, ∴, ∴四边形是平行四边形,则, 又平面,平面, ∴平面． （2）平面平面,且交线为,平面,, ∴平面,又平面, ∴． 在等腰梯形中,过点作于,连接, 设, 则, ∴,∴,∴． 又∵平面, ∴平面,又平面, ∴． （3）由（2）知平面,又平面, ∴平面平面, 在平面中过作于,则平面． 由平面,平面,可得． 在中,,则,∴． ∵为的中点, ∴到平面的距离为． 17 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06空间直线、平面的垂直 4大题型概览 题型01直线、平面垂直的判断 题型02直线、平面垂直的证明 题型03线面角与二面角 题型04空间距离 ( 题型 01 直线、平面垂直的判断 ) 1．（24-25高一下·河南省商丘市百师联盟·期末）已知是两条不同的直线,表示平面,且,则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．（24-25高一下·河南省郑州市中牟县·期末）已知为两个不同的平面,为不同的直线,下列说法正确的是（   ） A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 3．（24-25高一下·河南省驻马店市青桐鸣·期末）已知,表示两条不同的直线,表示平面,则下列命题错误的是（    ） A．若,,则,可能平行、异面或者相交 B．若,,则与可能平行、相交或者 C．若,,则 D．若,,则 4．（24-25高一下·河南省南阳市新未来联考·期末）已知是不重合的三个平面,是直线,则下列说法错误的是（   ） A．若与不垂直,,则 B．若,,点,,则 C．若,,则 D．若,,,则 5．（多选）（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）下列说法正确的是（    ） A．经过3个点的平面有且只有一个 B．若直线平面,则平面内有无数条直线与a平行 C．若平面满足,,则 D．若直线满足,则 ( 题型 0 2 直线、平面垂直的证明 ) 1.（24-25高一下·河南省安阳市滑县部分学校·期末）如图,在四棱锥中,,,,平面． (1)证明：平面平面； (2)若是棱的中点,且平面,求异面直线与所成角的余弦值． 2.（24-25高一下·河南省许昌市·期末）如图,四面体ABCD中,,,,,E为AC的中点,点F在BD上． (1)证明：； (2)求直线BD与平面ACD所成角的正弦值； (3)当的面积最小时,求三棱锥的体积． 3.（24-25高一下·河南省濮阳·期末）如图,在四棱锥中,底面是正方形,平面,,与交于点O． (1)证明：平面平面； (2)若M是棱的中点,求二面角的正切值； (3)若P,Q分别是线段上的点,且,设与所成的角为,与所成的角为,求的最大值． 4.（24-25高一下·河南省驻马店市·期末）如图,菱形所在的平面与矩形所在的平面相互垂直. (1)证明：直线平面； (2)若平面平面,求的值； (3)在（2）条件下,求平面与平面夹角的余弦值. 5.（24-25高一下·河南省三门峡市三·期末）如图,在四棱锥中,底面是菱形,,,,底面,,点E在棱上． (1)求证：平面平面； (2)若平面,求； (3)当取得最小值时,求二面角的余弦值． 6.（24-25高一下·河南省开封市·期末）如图,在正四棱柱中,E为的中点. (1)证明：平面； (2)判断平面是否成立,并证明. 7.（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）如图,在正三棱柱中,是棱AC的中点,是线段上的动点. (1)证明：平面平面； (2)证明三棱锥的体积为定值,并求出该定值. 8.（24-25高一下·南阳市六校·期末）如图,在七面体中,底面是菱形,四边形是矩形． (1)证明：平面平面． (2)若,平面平面,求 9.（24-25高一下·河南省新未来·期末）如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,四边形ABCD是梯形,,,,E是棱PC上的一点,且． (1)求证：平面； (2)若是锐角三角形,且,求证：． 10.（24-25高一下·河南省南阳市·期末）如图,在正三棱柱中,为棱的中点. (1)求证：平面 (2)若满足 ①求证：平面平面 ②是否存在实数,使得三棱锥的体积为？若存在求出的值,若不存在,请说明理由. 11.（24-25高一下·南阳市新未来联考·期末）如图1,四边形为矩形,四边形为直角梯形,,且.将四边形沿向上折起,如图2,连接,得到几何体EFABCD. (1)求证：平面平面,平面平面； (2)在折起的过程中连接BE,求几何体的体积的最大值. ( 题型 0 3 线面角与二面角 ) 1.（24-25高一下·河南省洛阳市·期末）已知正四棱台的体积为,,且其侧面与底面所成二面角的正切值为,则该正四棱台的高为（   ） A． B． C．3 D． 2．（多选）（24-25高一下·河南省鹤壁市·期末）如图,在圆锥中,轴截面是边长为4的正三角形,点C在底面圆周上,且,则（   ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．二面角的余弦值为 D．异面直线AB与所成角的余弦值为 3．（多选）（24-25高一下·河南省创新发展联盟·期末）在四面体中,平面平面,则（   ） A．四面体的体积为 B．与平面所成的角为 C．四面体外接球的表面积为 D．与平面所成角的正弦值为 4．（多选）（24-25高一下·河南省平顶山市·期末）如图,已知梯形ABCD是圆台的轴截面,,,P,Q分别是弧AB和母线BC的中点,.则下列结论正确的有（   ） A．圆台的体积为 B．异面直线DP与BC所成角的正弦值为 C． D．平面DPQ与平面ABP所成二面角的正切值为 5.（多选）（24-25高一下·河南省许昌市·期末）已知圆锥SO的底面半径为6cm,其母线SA长24cm,底面圆周上有一动点B,下列说法正确的有（    ） A．截面SAB最大面积为cm2 B．若,则直线SB与平面SOA所成角的正弦值为 C．当三棱锥的体积最大时,其外接球的表面积为612πcm2 D．若点,且cm,一只小蚂蚁从A点出发绕侧面一周到达C点,先上坡后下坡,当它爬行的路程最短时,下坡路段长为cm 6.（24-25高一下·河南省开封市·期末）如图,在三棱柱中,． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 7.（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）如图,在三棱锥中,平面,,,,,分别为棱,,的中点. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)若直线与平面所成角的正弦值为,求平面和平面所成角（锐角）的正切值. 8.（24-25高一下·河南省商丘市百师联盟·期末）如图,在四棱锥中,四边形是平行四边形,平面平面,,点是棱上的一点． (1)记平面与平面的交线为,求证：； (2)若,求二面角的正弦值； (3)若直线与平面所成角的余弦值为,求线段的长． 9.（24-25高一下·信阳市·期末）如图,四棱锥中,平面平面,是边长为6的等边三角形,,,点在棱上,且． (1)求证：∥平面； (2)已知． ①若二面角的正切值为2,求三棱锥的体积； ②若,设直线与平面所成的角为,若,求的取值范围． 10.（24-25高一下·河南省平顶山市·期末）如图,在三棱锥中,平面平面,,,M,N,E分别为BC,AC,PC的中点. (1)证明：平面平面； (2)若,,三棱锥的外接球为球O. （ⅰ）证明：A,B,C,O四点共面； （ⅱ）求直线PO与平面所成角的正弦值. ( 题型 0 4 空间距离 ) 1.（多选）（24-25高一下·河南省洛阳市·期末）在三棱柱中,,,,,为线段的中点,为线段上的动点,则下列说法中正确的是（   ） A．四边形是矩形 B．若是的中点,则平面 C．点到平面的距离为1 D．的最小值为 2.（多选）（24-25高一下·河南省驻马店市·期末）正三棱台中,,D为棱AB的中点,则（   ） A． B．直线与BC夹角的余弦值为 C．A到平面的距离为 D．棱台的体积为 3.（24-25高一下·河南省安阳市滑县部分学校·期末）已知等边的边长为1,平面,且,则点到平面的距离为______． 4.（24-25高一下·河南省鹤壁市·期末）如图,在直三棱柱中,,,,点在线段上. (1)若为的中点. （ⅰ）求证：平面； （ⅱ）求点到平面的距离. (2)若,的延长线与直线相交于点,证明：平面平面,并求直线与平面所成角的正弦值. 5.（24-25高一下·河南省郑州市·期末）如图,在直三棱柱中,,,,M是的中点．求： (1)求直三棱柱外接球球O的表面积； (2)求点到平面的距离； (3)求平面与平面所成角的余弦值． 6.（24-25高一下·河南省郑州市中牟县·期末）如图,在四棱锥中,底面是等腰梯形,,平面平面,,为的中点． (1)求证：平面； (2)求证：； (3)若,求到平面的距离． 17 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06空间直线、平面的垂直 4大题型概览 题型01直线、平面垂直的判断 题型02直线、平面垂直的证明 题型03线面角与二面角 题型04空间距离 ( 题型 01 直线、平面垂直的判断 ) 1 2 3 4 5 A B C B BC ( 题型 0 2 直线、平面垂直的证明 ) 1.【解析】（1）因为平面,平面,所以, 又因为,即, 而,平面,平面,所以平面, 又因为平面,所以平面平面． （2）如图,取的中点,记为,连接, 因为为的中点,所以,所以为与所成角（或补角）． 因为平面,平面,所以平面, 又因为平面,,平面,平面, 所以平面平面, 又平面平面,平面平面,所以, 由（1）知,平面,所以平面, 又平面,所以, ,,, 所以, 所以异面直线与所成角的余弦值为． 2.【解析】（1）因为,E是AC的中点,所以． 因为,所以, 所以,所以, 因为,DE,平面BED, 所以平面BED, 因为平面BED,所以． （2）因为,, 所以是等腰直角三角形,所以,． 依题意,所以, 则,所以, 又因为,,AC,平面ACD,所以平面ACD． 所以即为直线BD与平面ACD所成的角． 在中,, 所以直线BD与平面ACD所成角的正弦值为． （3）因为,,且,AC,平面ABC, 所以平面ABC． 由（1）已证,所以, 因为所以, 所以,E是AC的中点,所以, 因为,所以当EF最短时,的面积最小． 当时,EF最短,过E作,垂足为F, 在中,,解得, 所以,,所以． 过F作,垂足为H,则, 所以平面ABC,且,所以, 所以． 3.【解析】（1）因为平面,所以, 因为底面是正方形,所以, 因为,所以平面, 又平面,所以平面平面． （2）分别取的中点E,的中点F,连接,如图． 易得,又平面,所以平面,所以． 因为,所以,又,所以平面, 又平面,所以, 所以是二面角的平面角． 设,则, 所以,即二面角的正切值为2． （3）作,与交于点R,连接,如图． 因为,所以． 又,所以,所以． 由（1）可得,所以,则,且, 所以, 当时,取得最大值为． 4.【解析】（1）因为四边形为矩形,则, 因为平面,平面,所以平面, 又因为四边形为菱形,则, 因为平面,平面,所以平面, 又因为,且平面,所以平面平面, 因为平面,所以平面. （2）由菱形所在的平面与矩形所在的平面相互垂直, 且平面平面,,,平面, 所以面,面, 因为平面,所以,, 则,, 又由,则. 同理可得：. 取中点为,记,则且, 所以,,所以为二面角的平面角, 因为平面平面,则,且,所以, 可得. （3）记面面, 因为,平面,所以平面, 且平面,所以,则, 因为,从而,, 所以即为平面与平面所成的角, 在（2）条件下,,所以为等腰直角三角形,所以, 可得,即平面与平面夹角的余弦值为. 5.【解析】（1）因为平面,平面,所以. 因为四边形为菱形,所以. 又因为,平面,平面,所以平面, 又因为平面,所以平面平面． （2）连接,如图所示： 因为平面,平面,平面平面, 所以. 因为O是中点,所以E是中点． 因为平面,, 所以E到平面的距离． 因为在菱形中,,, 所以, 所以． （3）由（1）知：平面, 因为平面,平面,平面, 得,,, 故即为二面角的平面角． 当取得最小值时,有, 又因为,所以平面, 又因为平面,所以. 又因为在菱形中,,, 所以,, 又因为, 所以, 又因为在中,, 所以． 则在中,, 所以二面角的余弦值为． 6.【解析】（1）连接BD与AC交于点O,连接EO,  E,O分别是与的中点,所以, 又平面,平面,所以平面, （2）平面不成立. 记,,若平面,平面,则, 因为,,, 由于,所以不成立, 所以平面不成立. 7.【解析】（1）由题意知为等边三角形,是棱AC的中点,所以 因为三棱柱为正三棱柱,所以平面ABC, 又平面ABC,所以, 因为平面,所以平面, 又平面,所以平面平面 （2）如图,连接,与相交于点,连接. 因为四边形为矩形,所以为的中点, 又因为为AC的中点,所以, 因为平面平面,所以平面 又因为是上的动点,所以点到平面的距离为定值, 所以三棱锥的体积为定值. 点到平面的距离等于点到平面的距离, 所以 8. 【解析】（1）平面是菱形,则, 又平面,平面,所以平面, 因为四边形是矩形,则, 又平面,平面,则平面, 又,平面,平面, 所以平面平面. （2）如图,设,取的中,连接, 因为,,又,面,所以面, 又面,所以, 又,则面,又面,则, 在和中,, 所以,则,∵是的中点,所以, 平面平面,平面平面,平面, 因为平面,∴, 又是的中点,∴, 又易知,,所以. 9.【解析】（1）连接AC,交BD于点F,连接EF,如图所示． 因为,所以,所以, 又,所以,所以, 又平面BDE,平面BDE,所以平面BDE； （2）在中,过点P作DC的垂线,垂足为O,如图所示． 因为平面平面ABCD,, ,平面PDC,所以平面ABCD, 又平面ABCD,所以,又,,PO,平面PDC,所以平面PDC, 又平面PDC,所以, 又,,PB,平面PBC,所以平面PBC． 10.【解析】（1）如图,连接,与交于点,由正三棱柱性质得四边形是矩形, 由矩形的性质得为的中点,连接, 因为为的中点,为棱的中点,所以是的中位线, 故由中位线定理得, 因为面,面,所以平面. （2）①由正三棱柱性质得面,面, 因为底面平面,所以, 又为棱的中点,,所以, 因为平面, 所以平面,而平面,故, 因为, 所以,又, 在Rt和Rt中,, 所以,即, 得到,又, 平面,故平面, 因为面,所以平面平面. ②由题意得,因为, 且为棱的中点,所以,由勾股定理得, 因为,所以, 而面,面,故, 由三角形面积公式得, 如图,找中点,连接,由正三棱柱性质得,, 而,面,则面, 即面,且,可得到面的距离为, 因为三棱锥的体积为,所以, 解得,故的值存在,且为. 11.【解析】（1）由题意,几何体中, ,,, 是平面内的两条相交直线, 平面, 平面,平面, 平面平面,平面平面. （2） ,, 平面,平面,, 平面,平面,, 平面平面,且. 由（1）知平面,平面. 设, 则到平面的距离为. ,平面,平面, 平面, 故到平面的距离等于到平面的距离,即. 连接, 则. ,, 当时,几何体的体积取得最大值. ( 题型 0 3 线面角与二面角 ) 1 2 3 4 5 C AD BCD ABD ACD 6.【解析】（1）连接,如图所示．在三棱柱中,, 所以四边形是菱形, 所以,又,平面, 所以平面, 又平面,所以, 在中,,所以,所以, 又平面,所以平面, 又平面,所以平面平面． （2）取的中点,连接,又, 所以, 由（1）知平面平面,平面平面平面, 所以平面, 又平面,所以． 在中,,所以, 所以． 因为平面平面,所以平面, 所以到平面的距离和到平面的距离相等, 由（1）知平面,又平面,所以, 则, 在中,易得, 由余弦定理得, 所以, 所以． 设点到平面的距离为,又, 所以,解得, 设直线与平面所成角的大小为,所以, 即直线与平面所成角的正弦值为． 7.【解析】（1）∵,分别为棱,的中点,∴. ∵平面,平面,∴平面. （2） 取的中点,连接,. ∵,分别为棱,的中点,∴. ∵平面,∴平面.∵平面,∴. ∵,分别为棱,的中点,∴.∵,∴. ∵,,平面,∴平面. ∵平面,∴. （3）∵平面,平面,∴. ∵,,,平面,∴平面, ∴即为直线与平面所成的角,∴. 设,则,,. 如图,连接.易得平面和平面的交线为.过点作,交的延长线于点,连接. ∵平面,平面,平面,∴,. ∵,,,平面,∴平面. 又平面,∴,∴即为平面和平面所成的角. 过点作于点. ∵,,,∴与全等,∴. 由可得,∴. ∴, 即平面和平面所成的角的正切值为. 8.【解析】（1）因为四边形是平行四边形,所以, 又平面,平面,所以平面, 又平面平面,平面,所以； （2）分别取的中点,连接,如图所示． 因为,所以, 又,由余弦定理得 , 又,所以, , 所以,即,即． 又平面平面,平面平面, 平面,所以平面,又平面, 所以,,因为分别为的中点, 所以,,又,所以, 又,,平面,所以平面, 又平面,所以, 所以为二面角的平面角． 因为,, 所以, 所以, 即二面角的正弦值为； （3）连接,如图所示,因为, 点为的中点,所以,, 又平面平面, 平面平面,平面, 所以平面,又平面,所以, 在中,由余弦定理得 , 所以,又, 所以． 显然点E不与点A重合,设, 所以 ． 设到平面的距离为h,则,解得, 又直线与平面所成角的余弦值为, 所以, 所以．在中,, 则, 在中,, 即, 整理得,解得或（舍）, 所以． 9.【解析】（1）连接交于点,连接, ,,由相似三角形的性质,可得, 又,所以, 平面,平面, 平面． （2）①取的中点,取的中点,连接,,, 则,, ,, ∵是边长为6的等边三角形,则,, 又平面平面,平面平面,平面, 平面,平面,． 又,平面,平面, ∵平面,,所以为二面角的平面角． 在中,． 在中,, , ． ②过作交于,连接,由于平面, 所以平面, 则为与平面所成角,即,． 点在棱上,且． 由,,, 由余弦定理得 , ,,,, 故的取值范围为． 10.【解析】（1）因为M,N,E分别为BC,AC,PC的中点, 所以,因为在平面外,平面, 所以平面,平面,又,所以平面平面； （2）（ⅰ）证明：取中点,连接,因为,,所以, 因为平面平面,平面平面,平面, 所以平面,且, 设外接圆圆心为,半径为,则, 所以,所以, 所以Q点即为球心O,所以A,B,C,O四点共面； （ⅱ）由（ⅰ）可得, 在中,, 在中, 在中,,故, 设到平面的距离为,则, 又, 所以, 设直线与平面所成的角为,故. ( 题型 0 4 空间距离 ) 一、选择题 1.BCD 2. ACD 3. 4.【解析】（1）（ⅰ）如图,连接,与相交于点D,则D为的中点,连接DP, 因为P为的中点,所以, 因为平面,平面,所以平面. （ⅱ）因为P为的中点, 所以点B到平面的距离与点到平面的距离相等,设为h. 因为三棱柱为直三棱柱,所以, 又,,平面,所以平面, 所以点P到平面的距离为, 所以, 又,,, 所以等腰的面积为, 所以,由,得,解得. 所以,点B到平面的距离为. （2）如图,易得,, 因为,,平面,所以平面, 因为平面,所以, 因为,且,,平面, 所以平面. 因为平面,所以平面平面. 因为,所以, 因为,所以, 又,所以, 所以,即,得, 所以, 又点E到平面的距离为, 所以直线与平面所成角的正弦值为. 5.【解析】（1）由题设,易知是等边三角形． 设三角形,三角形的外心分别是、, 直三棱柱的外接球半径是R, 由题意知,,, ∴, ∴直三棱柱外接球的表面积为． （2）由题意知,,, ∴,, 设点到平面的距离为d,且点到平面的距离为3, ∴, ∴, ∴． （3）在平面中,延长、,使得,连接, ∵直三棱柱中,M为的中点, ∴, ∴． 又直三棱柱中,平面, ∴即为平面与平面所成的角． 在中,,, ∴, 平面与平面所成角的余弦值是． 6.【解析】（1）如图,设是的中点,连接． ∵为的中点,是的中点, ∴； 由题意,, ∴, ∴四边形是平行四边形,则, 又平面,平面, ∴平面． （2）平面平面,且交线为,平面,, ∴平面,又平面, ∴． 在等腰梯形中,过点作于,连接, 设, 则, ∴,∴,∴． 又∵平面, ∴平面,又平面, ∴． （3）由（2）知平面,又平面, ∴平面平面, 在平面中过作于,则平面． 由平面,平面,可得． 在中,,则,∴． ∵为的中点, ∴到平面的距离为． 17 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $