专题04 空间点线面的位置关系（3大题型27题）（期末真题汇编，河南专用）高一数学下学期

**基本信息** 聚焦空间点线面位置关系，汇编河南省多地市期末及名校试题，覆盖平面性质、异面直线角、截面与距离三大核心题型，注重空间想象与逻辑推理能力分层考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|19题|平面基本性质（如共面判断）、异面直线角（如正三棱柱中角计算）、截面形状（如正方体截面判断）|多选结合动态问题（如动点轨迹），匹配高考空间几何命题趋势| |填空|3题|异面直线角余弦值、距离最值|融入正四棱台侧面积等综合条件，考查运算能力| |解答|2题|共点共线共面证明、体积计算|多问设计（如证明四点共面+三线共点），体现逻辑推理与空间想象的综合应用|

专题04 空间点线面的位置关系 3大题型概览 题型01平面基本性质及共点、共线、共面问题 题型02异面直线所成角 题型03截面问题与距离最值问题 ( 题型 01 平面基本性质 及共点、共线、共面问题 ) 1 2 3 4 5 6 C D D D BD AC 7.【解析】（1）证明：在中，∵为的中点， ∴． 在中，∵， ∴，∴， ∴四点共面． （2）∵，，， ∴平面，平面， 又平面平面， ∴直线．∴三点共线． 8.【解析】（1）因为， 所以正四棱锥的高， 所以正四棱锥的体积； （2）证明：连接， 因为点分别为的中点， 所以， 又点分别为棱上的一点，且， 所以， 所以，所以四点共面； （3）证明：由（2）知， 所以直线相交，记交点为， 所以，又平面， 所以平面， 同理可得平面， 又平面平面， 所以，即直线三条直线交于一点. ( 题型 0 2 异面直线所成角 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 D A B A D B ACD BC 9. 10． ( 题型 0 3 截面问题 与 距离最值问题 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 C B B A A D AD ACD 9. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 空间点线面的位置关系 3大题型概览 题型01平面基本性质及共点、共线、共面问题 题型02异面直线所成角 题型03截面问题与距离最值问题 ( 题型 01 平面基本性质 及共点、共线、共面问题 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·河南省洛阳市·期末）三个平面可将空间分成部分,则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【解析】由于两个平面最多将空间分成4个部分,故三个平面最多可将空间分成8个部分,如下图示, 故选C. 2．（24-25高一下·河南省南阳市·期末）检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内,下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上,趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上,取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上,用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上,用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 【答案】D 【解析】对于A,当地面不平整时,每条桌腿和地面之间都无缝隙,也不能说明4条腿的下端在同一平面内,A不是；对于B,最多能说明桌面是否平整,不能说明4条腿的下端在同一平面内,B不是；对于C,只能检查每条腿的下端是否平整,不能说明4条腿的下端在同一平面内,C不是；对于D,两根细线相交,可得两根细线所在直线确定一个平面,两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内,能说明4条腿的下端在同一平面内,D是.故选D 3．（24-25高一下·河南省百师联盟·期末）下列命题正确的是（   ） A．过三个点有且只有一个平面 B．如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线不一定共面 C．四边形为平面图形 D．如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 【答案】D 【解析】根据公理知,过不共线的三点确定一个平面,故A错误；因为两条平行直线确定一个平面,而两个交点都在这个平面内,故这条直线也在这个平面内,所以三条直线共面,故B错误；由空间四边形不是平面图形可知,C错误；由公理知,两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线,故D正确.故选D. 4.（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）3．（24-25高一下·河南省三门峡市·期末）如图正方体或四面体,分别是棱的中点,这四个点不共面的图是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A,如图,是的中点,连接,连接,因为,所以,所以共面； 对于B,如图,因为是的中点,取的中点,连接,可得,所以,即四点共面,因为,所以,即四点共面,因为过的平面有且只有1个, 所以四点共面； 对于C,如图,三棱锥中连接,因为是的中点,则,,所以,即四点共面； 对于D,如图,连接,平面,即四点不共面. 故选D. 5．（多选）（24-25高一下·河南省中牟县·期末）下列关于平面的说法正确的是（   ） A．平面面积可以为 B． C．三点确定一个平面 D．两条平行直线只能确定一个平面 【答案】BD 【解析】根据平面的定义,平面是向四周无限延展的,故无法确定平面面积,A错误；由基本事实2,如果一条直线上的两个点在一个平面上,那么这条直线在这个平面内,可得若,则,B正确；当三点共线时,过此三点的平面有无数个,C错误；由推论,经过两条平行直线,有且仅有一个平面可得D正确；故选BD. 6．（多选）（24-25高一下·河南省安阳市·期末）如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体之后,下列结论正确的有（   ） A． B．与异面 C．与异面 D． 【答案】AC 【解析】根据正方体的展开图画出正方体如图所示： 可以看出：,与相交,与异面,相交.故选AC. 二、解答题 7.（24-25高一下·河南省周口·期末）如图,空间四边形中,分别是的中点,分别在上,且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点,求证：三点共线． 【解析】（1）证明：在中,∵为的中点, ∴． 在中,∵, ∴,∴, ∴四点共面． （2）∵,,, ∴平面,平面, 又平面平面, ∴直线．∴三点共线． 8.（24-25高一下·TOP二十名校·期末）如图,在正四棱锥中,点E,F分别为PD,PB的中点,点G,H分别为棱AD,AB上的一点,且． (1)若,求四棱锥的体积； (2)求证：四点共面； (3)求证：直线三条直线交于一点． 【解析】（1）因为, 所以正四棱锥的高, 所以正四棱锥的体积； （2）证明：连接, 因为点分别为的中点, 所以, 又点分别为棱上的一点,且, 所以, 所以,所以四点共面； （3）证明：由（2）知, 所以直线相交,记交点为, 所以,又平面, 所以平面, 同理可得平面, 又平面平面, 所以,即直线三条直线交于一点. ( 题型 0 2 异面直线所成角 ) 一、选择题 1.（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）在正三棱柱中,,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在正三棱柱中,,则（或其补角）为异面直线与所成的角． 设,在中,,, 由余弦定理得故选D. 2．（24-25高一下·河南省焦作市九师联盟·期末）如图,三棱锥的所有棱都相等,是棱的中点,则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】取的中点,连接,,则,即为异面直线和所成的角或其补角．不妨设,则,,在中,由余弦定理,得．故选A． 3．（24-25高一下·河南省南阳市·期末）如图,α∥β,A,C∈α,B,D∈β,AC与BD为异面直线,AC=6,BD=8,AB=CD=10,AB与CD成60°的角,则异面直线AC与BD夹角的大小是（    ） A．60° B．90° C．45°或60° D．60°或90° 【答案】B 【解析】过点作的平行线交平面于点,连接,.,平面,平面,四边形为平行四边形,又与成60°的角,故或,当时,又为等边三角形,故当时,,又,不合题意；综上,在中,, 所以（或其补角）为异面直线与所成的角,故异面直线与所成的角为.故选B. 4.（24-25高一下·河南省驻马店市·期末）如图,在底面为等边三角形的直三棱柱中,分别为棱的中点,为棱上的动点,且线段的长度最小值为,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于三棱柱为直三棱柱,所以底面, 底面,所以, 故,故当时,此时最小,线段的长度最小值, 由于线段的最小值为,故此时,为中点,故,连接,则,故为其补角即为异面直线与所成角,, ,故异面直线与所成角的余弦值为,故选A. 5．（24-25高一下·河南省濮阳市部分名校·期末）如图,在正四棱柱中,是棱的中点,则直线与BE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图,连接,在正四棱柱中,设,, 则,又是棱的中点,所以,所以, 又在正四棱柱中,,所以四边形为平行四边形,则, 所以（或其补角）即为直线与BE所成的角,由,则, 又,在中,由余弦定理得 .故选D. 6.（24-25高一下·河南省TOP二十名校·期末）在正四棱台中,,高为1,则直线与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在正四棱台中,,所以, 又高为,所以, 过点作的垂线,垂足为,可得, 所以,同理可得, 因为,所以为直线与所成角或补角,在中,,由余弦定理得, 即直线与AC所成角的余弦值为.故选B. 7．（多选）（24-25高一下·河南省驻马店市·期末）正三棱台中,,D为棱AB的中点,则（   ） A． B．直线与BC夹角的余弦值为 C．A到平面的距离为 D．棱台的体积为 【答案】ACD 【解析】将正三棱台补成三棱锥,根据,可知,则三棱锥为正四面体, 对于A：由于为棱AB的中点,故,又是的中点,故,A正确, 对于B,由于,故或其补角即为直线与BC夹角,由于,, 故,故B错误, 对于C,三棱锥的高为,因此A到平面的距离为,C正确, 对于D,因为,, 故棱台的体积为,D正确,故选ACD 8．（多选）（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）如图,在正方体中,M,N分别为棱的中点,,则（   ） A． B．异面直线MN与AC所成的角为 C．四边形的面积为 D．沿正方体的表面从点到点的最短路线的长度为 【答案】BC 【解析】对于A,取的中点,连接AE,如图（1）,由正方体的性质可知, 若,则,显然这与AE,AM相交于点矛盾,故A错误； 对于B,连接,如图（1）,可得,所以为异面直线MN与AC所成的角,而, 所以异面直线MN与AC所成的角为,故B正确；对于C,易知四边形为等腰梯形, 且,则等腰梯形的高为, 因此,故C正确；对于D,如图（2）,若将正方体的表面展开至面与面共面,则,若将正方体的表面展开至面ABCD与面共面,则,故D错误.故选BC. 二、填空题 9.（24-25高一下·河南省新乡市·期末）在正四棱台中,分别是棱的中点,若正四棱台的侧面积为,则异面直线与EF所成角的余弦值是______． 【答案】 【解析】取棱AB的中点H,连接,易证四边形为平行四边形,则, 因为E,F分别是棱的中点,所以,则是异面直线与EF所成的角或其补角．作,垂足为G,则,因为正四棱台的侧面积为,所以,所以,则, 因为,所以,即所求值为． 10．（24-25高一下·河南省商丘市·期末）在棱长为的正方体中,点E是棱的中点,则直线与所成角的余弦值为______；点P是正方体表面上的一动点,且满足,则动点P的轨迹长度是______． 【答案】 【解析】①连接,易得,所以为直线与AC所成的角或其补角．又,由余弦定理得,即直线与AC所成角的余弦值为． ②分别取,AB,AD的中点F,G,M,N,H,连接EF,FG,GM,MN,NH,HE,, 因为且,所以四边形是平行四边形,所以,因为F,M,N分别是,AB的中点,所以,所以,同理可得, 所以E,F,G,M,N,H六点共面,且六边形EFGMNH为边长为的正六边形,因为平面,平面,所以BD,又,平面,所以平面,又平面,所以,因为N,H分别为AB,AD的中点,所以, ,同理可得,又,平面,所以平面,因为,所以点的轨迹是六边形,所以点P的轨迹长度为． ( 题型 0 3 截面问题 与 距离最值问题 ) 一、选择题 1.（24-25高一下·河南省郑州市·期末）已知正方体,点E是上底面上任意一点,过A,C,E三点作平面截正方体,则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 【答案】C 【解析】如下图,当在上,截面形状为矩形,当与重合,截面形状为等边三角形,当在除上述两种情况外的其它位置,截面形状为等腰梯形.故选C. 2.（24-25高一下·河南省新未来联考·期末）如图,直三棱柱的底面为直角三角形,,,,是上一动点,则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接,沿将翻折至与在同一个平面内,如图,连接,则的长度即的最小值.由题设可知,又,面, 平面,因平面,故.在平面图形中,因,,则,,,由余弦定理,可得.故选B. 3.（24-25高一下·河南省多校联考·期末）如图,正四面体的棱长均为2,是棱的中点,是棱上一动点,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】将与展开至位于同一平面内且位于直线的两侧,连接,与交于点, 则此时最小.在中,由余弦定理可得,所以,故的最小值为.故选B. 4.（24-25高一下·河南省安阳市滑县·期末）如图,正方体的棱长为3,分别在上,且,,过三点的平面截该正方体,则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如图,延长交于点,则,即为的一个三等分点,连接,取的中点为,连接,则,所以四点共面,故梯形即为截面图形,显然为最长边,长度为．故选B. 5.（24-25高一下·河南省三门峡市·期末）在正四棱柱中,,分别是的中点,则平面截该四棱柱所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】直线分别与相交于点,连接,分别与交于点, 连接,故五边形即为平面截该四棱柱所得截面,其中分别是的中点,故,,故,由勾股定理得, ,同理可得,又,故, 故平面截该四棱柱所得截面的周长为.故选A. 6.（24-25高一下·河南省平顶山市·期末）如图,在棱长为的正方体中,点是平面内的一个动点,当时,点的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设平面,连接,,,,因为,, 所以三棱锥为正三棱锥,因为平面,平面,所以, 因为,,所以平面,又平面,所以, 同理可证,又,平面,所以平面,则为正三角形的中心,则,所以,因为,所以, 因为平面,平面,所以,即,,因为,即,因为,解得,所以点的轨迹是半径为的圆, 所以点的轨迹长度是.故选. 7. （多选）（24-25高一下·河南省信阳·期末）如图所示,在棱长为2的正方体中,分别为棱的中点,则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线与是平行直线 C．直线与是相交直线 D．平面截正方体所得的截面面积为 【答案】AD 【解析】面,面,,所以直线与是异面直线,故A正确； 面,面,,所以直线与是异面直线,即直线与是异面直线,故B错误；面,面,,所以直线与是异面直线,故C错误；明显,故四边形为平面截正方体所得的截面, ,四边形是等腰梯形,则梯形的高是,所以梯形的面积,故D正确．故选AD． 8.（多选）（24-25高一下·河南省郑州市中牟县·期末）如图,棱长为2的正方体中,点分别是棱的中点,点是棱上的动点（不含端点）,则下列说法正确的有（   ） A．直线与直线共面 B．可能垂直于 C．三棱锥的体积为定值 D．若为的中点,则过点且垂直于的平面截正方体的截面面积为 【答案】ACD 【解析】连接,因点分别是棱的中点,则,又,则,则四点共面,故A正确；连接,因平面,平面,则, 又为正方形,则,又平面,则平面, 又平面,则,若,则由平面,有平面,因平面,则,则,显然不成立,故B错误；由平面可知,点到平面的距离为,则,故C正确； 取线段的中点,连接,因,则四点共面,因平面,平面,则,又,平面,则平面,又平面,则, 因,则,因,则,则,因是的中点,则,则平面, 又平面,则,又平面,则平面, 又平面,则平面,故截面为等腰梯形, 上底,下底,腰,则梯形的高为,则,故D正确.故选ACD 二、填空题 9.（24-25高一下·河南省鹤壁市·期末）如图,在棱长为4的正方体中,点E,F分别为棱,的中点,过点F作与DE垂直的平面,则截正方体所得截面的周长为__________． 【答案】 【解析】如图,取的中点G,连接EG,GD,过点F作GD的垂线,与相交于点M, 即,,且,平面EGD,则平面EGD,又平面EGD,所以,且,所以．连接,过点M作的垂线,交CD于点H,因为,,且,平面,则平面,又平面EGD,所以, 又,平面,所以平面,所以平面就是平面,且, 所以,,即所得截面的周长为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 空间点线面的位置关系 3大题型概览 题型01平面基本性质及共点、共线、共面问题 题型02异面直线所成角 题型03截面与距离最值问题 ( 题型 01 平面基本性质 及共点、共线、共面问题 ) 一、选择题 1．（24-25高一下·河南省洛阳市·期末）三个平面可将空间分成部分,则的最大值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25高一下·河南省南阳市·期末）检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内,下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上,趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上,取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上,用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上,用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 3．（24-25高一下·河南省百师联盟·期末）下列命题正确的是（   ） A．过三个点有且只有一个平面 B．如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线不一定共面 C．四边形为平面图形 D．如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 4.（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）3．（24-25高一下·河南省三门峡市·期末）如图正方体或四面体,分别是棱的中点,这四个点不共面的图是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）（24-25高一下·河南省中牟县·期末）下列关于平面的说法正确的是（   ） A．平面面积可以为 B． C．三点确定一个平面 D．两条平行直线只能确定一个平面 6．（多选）（24-25高一下·河南省安阳市·期末）如图是一个正方体的展开图,如果将它还原为正方体之后,下列结论正确的有（   ） A． B．与异面 C．与异面 D． 二、解答题 7.（24-25高一下·河南省周口·期末）如图,空间四边形中,分别是的中点,分别在上,且． (1)求证：四点共面； (2)设与交于点,求证：三点共线． 8.（24-25高一下·TOP二十名校·期末）如图,在正四棱锥中,点E,F分别为PD,PB的中点,点G,H分别为棱AD,AB上的一点,且． (1)若,求四棱锥的体积； (2)求证：四点共面； (3)求证：直线三条直线交于一点． ( 题型 0 2 异面直线所成角 ) 一、选择题 1.（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）在正三棱柱中,,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南省焦作市九师联盟·期末）如图,三棱锥的所有棱都相等,是棱的中点,则异面直线和所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南省南阳市·期末）如图,α∥β,A,C∈α,B,D∈β,AC与BD为异面直线,AC=6,BD=8,AB=CD=10,AB与CD成60°的角,则异面直线AC与BD夹角的大小是（    ） A．60° B．90° C．45°或60° D．60°或90° 4.（24-25高一下·河南省驻马店市·期末）如图,在底面为等边三角形的直三棱柱中,分别为棱的中点,为棱上的动点,且线段的长度最小值为,则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南省濮阳市部分名校·期末）如图,在正四棱柱中,是棱的中点,则直线与BE所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高一下·河南省TOP二十名校·期末）在正四棱台中,,高为1,则直线与AC所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一下·河南省驻马店市·期末）正三棱台中,,D为棱AB的中点,则（   ） A． B．直线与BC夹角的余弦值为 C．A到平面的距离为 D．棱台的体积为 8．（多选）（24-25高一下·河南省南阳市六校·期末）如图,在正方体中,M,N分别为棱的中点,,则（   ） A． B．异面直线MN与AC所成的角为 C．四边形的面积为 D．沿正方体的表面从点到点的最短路线的长度为 二、填空题 9.（24-25高一下·河南省新乡市·期末）在正四棱台中,分别是棱的中点,若正四棱台的侧面积为,则异面直线与EF所成角的余弦值是______． 10．（24-25高一下·河南省商丘市·期末）在棱长为的正方体中,点E是棱的中点,则直线与所成角的余弦值为______；点P是正方体表面上的一动点,且满足,则动点P的轨迹长度是______． ( 题型 0 3 截面问题 与 距离最值问题 ) 一、选择题 1.（24-25高一下·河南省郑州市·期末）已知正方体,点E是上底面上任意一点,过A,C,E三点作平面截正方体,则截面形状不可能是（    ）． A．等边三角形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 2.（24-25高一下·河南省新未来联考·期末）如图,直三棱柱的底面为直角三角形,,,,是上一动点,则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3.（24-25高一下·河南省多校联考·期末）如图,正四面体的棱长均为2,是棱的中点,是棱上一动点,则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4.（24-25高一下·河南省安阳市滑县·期末）如图,正方体的棱长为3,分别在上,且,,过三点的平面截该正方体,则所截得的截面的最长边的边长为（    ） A． B． C． D． 5.（24-25高一下·河南省三门峡市·期末）在正四棱柱中,,分别是的中点,则平面截该四棱柱所得截面的周长为（    ） A． B． C． D． 6.（24-25高一下·河南省平顶山市·期末）如图,在棱长为的正方体中,点是平面内的一个动点,当时,点的轨迹长度是（   ） A． B． C． D． 7. （多选）（24-25高一下·河南省信阳·期末）如图所示,在棱长为2的正方体中,分别为棱的中点,则下列结论正确的是（    ） A．直线与是异面直线 B．直线与是平行直线 C．直线与是相交直线 D．平面截正方体所得的截面面积为 8.（多选）（24-25高一下·河南省郑州市中牟县·期末）如图,棱长为2的正方体中,点分别是棱的中点,点是棱上的动点（不含端点）,则下列说法正确的有（   ） A．直线与直线共面 B．可能垂直于 C．三棱锥的体积为定值 D．若为的中点,则过点且垂直于的平面截正方体的截面面积为 二、填空题 9.（24-25高一下·河南省鹤壁市·期末）如图,在棱长为4的正方体中,点E,F分别为棱,的中点,过点F作与DE垂直的平面,则截正方体所得截面的周长为__________． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $