湖北黄冈市黄梅县第一中学2025-2026学年高二下学期数学测试题5.26

**基本信息** 2026年5月26日高中数学周测试卷，以文明校园排班、路灯节能、蛋糕销售等现实情境为载体，覆盖排列组合、函数导数、概率统计等核心知识，通过基础题到综合应用题的梯度设计，考查数学建模与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|排列组合（第1题文明校园排班）、函数导数（第3题恒成立求参）|情境贴近校园生活，注重知识应用| |多选题|3题|正态分布（第9题篮球质量）、统计特征（第10题极差方差）|选项设计区分概念辨析与计算能力| |填空题|3题|二项式定理（第12题系数计算）、概率期望（第14题红球抽取）|强化基础公式应用与数据处理| |解答题|5题|函数极值与零点（第15题）、概率分布与数列（第16题红球抽取）、统计与决策（第19题蛋糕销售）|综合考查数学建模（如第19题销售获利计算）与逻辑推理（如第16题等比数列证明），体现“用数学语言表达现实世界”素养|

2026年5月26日高中数学试题 一、单选题 1．为贯彻文明校园，东湖中学每周安排5名学生志愿者参加文明监督岗工作，若每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班，则不同的排班种类为（    ） A．12 B．45 C．60 D．90 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．已知当时，恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．的展开式中所有二次项（即含，，的项）的系数和为（    ） A． B． C．0 D．40 5．若是函数的极小值点，则的极大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数在处取得极大值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．已知，，，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．某校银杏大道上共有20盏路灯排成一列，为了节约用电，学校打算关掉3盏路灯，头尾两盏路灯不能关闭，关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，则不同的方案种数是（    ） A．324 B．364 C．560 D．680 二、多选题 9．某体育器材厂生产一批篮球，单个篮球的质量（单位：克）服从正态分布，则（    ） A． B．越小，越大 C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．已知数据的极差为6，方差为2，则数据的极差和方差分别为， B．一组数的平均数为，若再插入一个数，则这个数的方差变大 C．若随机变量，则 D．若随机变量，且，则 11．已知函数，的定义域为，是的导函数，且，，若为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．的展开式中，含项的系数是______. 13．函数，若，则的最小值为______. 14．袋中有4个红球，个黄球，个绿球．所有球除颜色不同外，形状，大小，质量完全一样．现从中任取两个球，若取出的两个球都是红球的概率为，记取出的红球数为，则_________． 四、解答题 15．若函数，当时，函数有极值. (1)求函数的极值； (2)若关于的方程有三个零点，求实数的取值范围. 16．在活动中，初始的袋子中有5个除颜色外其余都相同的小球，其中3个白球，2个红球.每次随机抽取一个小球后放回.规则如下：若抽到白球，放回后把袋中的一个白球替换为红球；若抽到红球，则把该红球放回袋中.记经过次抽取后，袋中红球的个数为. (1)求的分布列与期望； (2)证明为等比数列，并求关于的表达式. 17．为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱． (1)如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率； (2)如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率． 18．已知函数． (1)当时，以点为切点作曲线的切线，求切线方程； (2)证明：函数有3个零点； (3)若在区间上有最小值，求的取值范围． 19．为更好保障消费者的食品安全，某蛋糕总店开发了、两种不同口味的生态戚风蛋糕，制作主料均为生态有机原料.已知蛋糕的成本为元/个，蛋糕的成本为元/个，两种蛋糕的售价均为元/个，两种蛋糕的保质期均为一天，一旦过了保质期，则销毁处理.为更好了解市场的需求情况，、两种蛋糕分别在甲、乙两个分店同时进行了为期一个月（天）的试销，假设两种蛋糕的日销量相互独立，统计得到如下统计表. 蛋糕的销售量（个） 天数 蛋糕的销售量（个） 天数 (1)以销售频率为概率，求这两种蛋糕的日销量之和不低于个的概率； (2)若每日生产、两种蛋糕各个，根据以上数据计算，试问当与时，哪种情况下两种蛋糕的获利之和最大？ 《2026年5月26日高中数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A A B D C B ABC AD 题号 11 答案 ABD 1．C【分析】根据题意得，从5个人中选出3人进行排列，即可求出值班当天不同的排班种类. 【详解】5名志愿者参加文明监督岗工作，每周只值3天班，每班1人，每人每周最多值一班， 则不同的排班种类为：.故选：C. 2．D【分析】令，解得，对函数求导，令，解得，即可求得.【详解】令，得，解得， 所以，令，得，解得， 所以，所以，所以.故选：D 3．A【分析】由当时，恒成立，则，先利用导数工具研究函数的单调性，从而求出函数的值域为，进而构造函数，求出函数的最小值即为，进而即可得解. 【详解】令，则， 所以当时，，单调递减；时，，单调递增， 所以，又，所以的值域为， 令，则， 所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 又当时，恒成立，所以， 故实数a的取值范围为.故选：A. 【点睛】思路点睛：恒成立求参问题通常转化为最值问题，对“时，恒成立”可转化为“”，利用导数工具可求得函数的值域，从而函数的最小值即为，故只需求出函数的最小值即可得解. 4．A【分析】利用二项式定理将看作展开，然后找到含，，的项即可求解.【详解】根据二项式定理，则. 当时，的展开式中不含，，的项. 当时，，这部分含，，的项系数分别为，，. 将含，，的项系数相加，即. 则的展开式中所有二次项的系数和为.故选：A. 5．B【分析】先对函数求导，因为是极小值点，所以， 求出a的值，再由a的取值和单调性即可求出取得极大值，即可求的结果. 【详解】因为，所以. 又是函数的极小值点，所以，解得或. 当时，恒成立，函数单调递增，不符合题意，舍去. 当时，，所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 是的极小值点，所以，. 由以上分析知，当时，取得极大值，且.故选：B. 6．D【分析】求得，对和的大小进行分类讨论，利用函数的极值点与导数的关系可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，，因为函数在处取得极大值，则， 当时，则，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 故当时，函数在处取得极小值，不合乎题意；当时，则，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 故当时，函数在处取得极大值，合乎题意.综上所述，.故选：D. 7．C【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数判断单调性即可得解. 【详解】令函数，求导得， 因此函数在上单调递增，则，， 所以.故选：C 8．B【分析】利用插空法及组合数求闭灯方案数. 【详解】将路灯分2盏(为保证关闭路灯之间至少有两盏亮)、15盏、3盏(需关闭的路灯)， 首先15盏亮的路灯先排成一排，把3盏关掉的路灯插空，而头尾两盏路灯不能关闭， 所以是除头尾之外的14个位置上插入三盏关掉的灯，共种， 在每两盏关掉的路灯之间再各放入一盏路灯且路灯无差异，保证关掉的相邻两盏路灯之间至少有两盏亮的路灯，只有1种方法.综上，共有种方案数.故选：B 9．ABC【分析】由正态分布的对称性即可判断. 【详解】由条件可知，由正太密度曲线的对称性可知： ，，， 越小，说明数据越集中，故越大，故选：ABC 10．AD【分析】利用极差和方差的性质可判断A选项；利用平均数和方差的计算公式可判断B；利用独立重复试验的概率公式可判断C选项；利用正态密度曲线的对称性可判断D选项. 【详解】对于A选项，数据的极差为6，则数据的极差为， 数据的方差为2，则数据的方差为，故A正确； 对于B选项，由题意可知，若再插入一个数，则平均数变为，即平均数不变， 而原来的数据的方差为， 同理可算得新数据的方差为，所以方差会变小，故B错误；对于C选项，若随机变量，则，故C错误；对于D选项，若随机变量，且， 则，故D正确.故选：AD. 11．ABD【分析】根据题意，分析可得是奇函数，由此分析可得的周期为4，在已知条件式中对自变量赋值，由此求解判断各选项. 【详解】因为，令，则①， ，令，则②，联立①②可得，故A正确； 由题可知，又因为是偶函数，所以是奇函数， 由可得，所以的周期为4， 又∵，故，，故，故B正确； 因为，由得， 故，又，，若，则， 可得，即，而不一定等于0，故C错误； 因为，得，在中，令，可得，又， 故，又的周期为4， 所以，故D正确.故选：ABD. 12．116【分析】利用二项展开式的通项公式，找出含有的项，即可求得项的系数. 【详解】因为的二项展开式的通项公式为， 在的展开式中， 令，则含项的系数为.故答案为： 13．【分析】利用导数判断函数在为增函数，计算求得，从而得到，由基本不等式即可求得答案.【详解】因为的定义域为， ，所以在为增函数， ，所以， 又，在为增函数，所以，即， 因为，，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为.故答案为： 14．【分析】根据题意，由可得，然后分别计算，再由期望的公式代入计算，即可求解. 【详解】由题意可得，即， 解得，且的可能取值为， 则，，， 所以.故答案为： 15．(1)极大值，极小值； (2) 【分析】（1）对函数进行求导，利用，解方程组即可得解析式； 对函数求导，令，并解导数不等式，分类讨论即可得答案； （2）作出函数的图象，直线与函数图象需有3个交点，即可得答案； 【详解】（1），由题意知，解得， 故所求的解析式为；， 令，得或，列表如下： 极大值 极小值 当时，有极大值，当时，有极小值； （2）由（1）知，得到当或时，为增函数；当时，为减函数， ∴函数的图象大致如图， 由图可知当时，与有三个交点，有三个零点，所以实数的取值范围为． 16．(1)分布列见解析， (2)证明见解析， 【分析】（1）由的可能取值，计算相应的概率，列出分布列，利用公式计算期望； （2）由第次取出来的球的颜色，讨论红球的个数和相应的概率，得与的关系式，通过构造证明为等比数列，利用等比数列的通项求关于的表达式. 【详解】（1）的可能取值为2，3，4. ， ， ， 则的分布列为 2 3 4 故. （2）①若第次取出来的是红球，由于每次红球和白球的总个数是5， 则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为； ②若第次取出来的是白球，则这种情况发生的概率是，此时红球的个数为. 故， ， 则，所以是公比为的等比数列. 故， 即. 17．(1) (2) 【分析】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”，分别求出概率，根据全概率公式计算即可； （2）先设事件 ，然后求出相关概率，再根据全概率公式计算即可. 【详解】（1）设表示“第次从甲箱中抽到概念叙述题”， 则，， 所以第二题抽到的是概念叙述题的概率 （2）设事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题，事件表示同学甲从甲箱中取出的两道题都是计算题，事件表示同学甲从甲箱中取出1个概念叙述题1个计算题，事件表示B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题， ，， ，， 18．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）求出函数的导函数，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，最后由点斜式求出切线方程；（2）利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，再结合零点存在性定理证明即可； （3）结合（2）中函数的极小值点及极小值， 令求出所对应的，从而得到，解得即可. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以切线方程为，即； （2）因为定义域为， 又，因为，所以， 由，解得或，由，解得； 则函数在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 所以，， 又，， 且当时，当时， 即，所以在上存在唯一零点， 由，所以在上存在唯一零点， 由，所以在上存在唯一零点， 所以在和上均不存在零点， 所以函数有且仅有个零点． （3）由（2）可知的极小值点为，极大值点为，且， 当时，即，则， 解得或， 因为在区间上有最小值， 所以最小值为函数的极小值，即，解得， 所以的取值范围为． 19．(1) (2)当时，两种蛋糕的获利之和最大 【分析】（1）设这两种蛋糕的日销量之和为，计算出、、，相加可得所求事件的概率； （2）计算出与时两种蛋糕所获利润的期望值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）解：设这两种蛋糕的日销量之和为， 则， ， . 所以这两种蛋糕的日销量之和不低于个的概率为 . （2）解：当时，两种蛋糕获利之和为 元； 当时，两种蛋糕获利之和为 元， 因为，所以当时，两种蛋糕的获利之和最大. 学科网（北京）股份有限公司 $