高二数学下学期期末模拟卷01（人教A版，范围：选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部，举一反三）

**基本信息** 以导数与概率统计为核心，结合藏博会销量、智慧课堂应用等真实情境，分层设计试题，适配高二期末综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择|8/40|导数几何意义、二项分布、排列组合|基础概念与运算，如第1题导数求值| |多项选择|3/18|独立性检验、条件概率、函数单调性|辨析性强，如第9题考查统计方法| |填空|3/15|二项式常数项、切线方程、随机游走|简洁综合，如第14题质点移动概率| |解答|5/77|独立性检验（15题）、回归分析与分布列（17题）、导数综合（18题）、概率递推（19题）|情境真实，分层设问，如17题结合诚信用水考回归与期望，体现数学语言表达；18题导数多问递进，培养数学思维；19题交换球模型，展现数学眼光观察规律|

2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷01 【人教A版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：人教A版选择性必修第二册第五章+选择性必修第三册全部； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 2．（5分）已知随机变量，若，则（   ） A．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2 3．（5分）甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．8种 4．（5分）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（5分）假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为和，其列联表为 合计 合计 以下各组数据中，对于同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/万瓶 5.7 4.8 3.8 3.2 2.5 若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．样本中心点为 C．可以预测当时销量约为1.8万瓶 D．线性回归方程中 7．（5分）袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 8．（5分）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法中正确的是（   ） A．对于独立性检验，的值越大，说明两事件相关程度越大 B．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，将其变换后得到，则的值分别是和 C．若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间具有很强的线性相关性，而且是负相关 D．通过经验回归方程及系数可以精确反映变量的取值和变化趋势 10．（6分）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 11．（6分）已知函数，则（   ） A．当函数是单调函数时， B．若，则的最小值为 C．若恰有两个零点，则 D．当时，曲线有且仅有1条过原点的切线 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）在的展开式中，常数项为__________． 13．（5分）已知函数，则曲线在处的切线方程为__________. 14．（5分）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则__________．    四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 城市学校 80 总计 100 160 (1)补全上面的列联表； (2)依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.005 2.706 3.841 7.879 16．（15分）已知. (1)求该二项展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值. 17．（15分）“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 18．（17分）已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 19．（17分）现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为 (1)求； (2)求的概率分布列并求出； (3)证明：. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷01 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知函数的导函数为，若，则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】利用导数的定义计算进行求解. 【解答过程】由， 则. 故选：D. 2．（5分）已知随机变量，若，则（   ） A．0.8 B．0.7 C．0.3 D．0.2 【答案】D 【解题思路】根据题意结合正态分布的对称性运算求解即可. 【解答过程】因为，， 所以 . 故选：D. 3．（5分）甲乙丙等人站在一排，且甲不在两端，乙和丙中间恰好有两人，则不同排法共有（    ） A．24种 B．16种 C．12种 D．8种 【答案】B 【解题思路】由分步乘法计数原理即可求解. 【解答过程】因为甲一定在乙丙之间，否则将在两端，先排乙丙有种排法， 其次选一人在乙丙中间有种排法， 然后乙丙中间排序有种排法， 最后另一人选在排头排尾有种排法， 共种排法. 故选：B. 4．（5分）已知随机事件A，B，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C. 5．（5分）假设有两个分类变量X，Y，它们的可能取值分别为和，其列联表为 合计 合计 以下各组数据中，对于同一样本能说明与有关系的可能性最大的一组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】计算各选项中的值，比较大小，即可得答案. 【解答过程】计算各选项中的值，值越大，说明相应的两个分类变量有关系的可能性越大； 对于A，， 对于B，， 对于C，， 对于D，， 由于， 故选：C. 6．（5分）2023年第5届藏博会在拉萨举行，藏博会上本地核桃油深受大家喜爱，某商家统计了最近5个月销量，如表所示： 时间x 1 2 3 4 5 销售量y/万瓶 5.7 4.8 3.8 3.2 2.5 若y与x线性相关，且线性回归方程为，则下列说法不正确的是（    ） A．由题中数据可知，变量y与x负相关 B．样本中心点为 C．可以预测当时销量约为1.8万瓶 D．线性回归方程中 【答案】C 【解题思路】对于A，利用表中的数据变化情况分析判断，对于B，利用计算平均数即可求出样本中心点，对于C，利用回归方程可求出预测值，对于D，利用回归方程一定过样本中心点即可求解. 【解答过程】对于A，从表中的数据看，随的增大而减小，所以变量负相关，所以A正确， 对于B，，则样本中心点为，所以B正确， 对于C，当时，， 所以可以预测当时销量约为1.6万瓶，所以C错误， 对于D，由选项B可得，得，所以D正确. 故选：C. 7．（5分）袋中装有大小相同的个红球和个白球，每次从中不放回摸出一个球，直到个红球全部摸出后就停止.设随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先确定随机变量的可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式计算. 【解答过程】随机变量表示停止摸球时摸到白球的个数，则的可能取值为，，，. 表示在摸出个红球时停止摸球，没有摸到白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且只摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 表示在摸出个红球时停止摸球，且摸到个白球的概率. 则. 期望. 故选：D. 8．（5分）关于x的不等式对恒成立，实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用同构得到，当时，满足要求，当时，令，则在上恒成立，求导后得到函数单调性，从而得到，构造，求导得到单调性，进而得到，得到答案. 【解答过程】由可得，即， 当时，，不等式在上显然成立； 当时，令，则在上恒成立， 由，在上，所以在上单调递增， 又时，，， 所以只需在上恒成立，即恒成立． 令，则，即在上单调递增， 其中，故，所以此时有． 综上，． 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）下列说法中正确的是（   ） A．对于独立性检验，的值越大，说明两事件相关程度越大 B．以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，将其变换后得到，则的值分别是和 C．若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间具有很强的线性相关性，而且是负相关 D．通过经验回归方程及系数可以精确反映变量的取值和变化趋势 【答案】ABC 【解题思路】根据独立性检验、非线性回归方程以及回归直线方程相关知识逐项进行判断. 【解答过程】对于，根据独立性检验的性质知，的值越大，说明两个事件的相关程度越大，A正确； 对于B，由，两边取自然对数得，设，则， 由，得，则，B正确； 对于C，由变量和间的样本相关系数，得变量和间具有很强的线性相关性，且是负相关，C正确； 对于D，通过经验回归及系数，可以预测变量的取值和变化趋势，D错误. 故选：ABC. 10．（6分）某商场的抽奖区有红、黄、绿三个不透明的盒子，其中红盒内有3个红球、2个黄球和1个绿球，黄盒内有2个红球、1个绿球，绿盒内有1个红球、2个黄球．规定第一次先从红盒内任取1个球，再将取出的球放入与球同色的盒子中，第二次从被放入球的盒子中任取1个球．规定每次抽球均能获得优惠券，抽到红球获得1张优惠券，抽到黄球获得2张优惠券，抽到绿球获得3张优惠券，每张优惠券的金额相同，顾客最终获得的优惠券张数为两次抽球所得的优惠券张数的和，则下列说法正确的是（    ） A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次仍抽到黄球的概率是 B．顾客最终获得6张优惠券的概率是 C．第二次抽到红球的概率是 D．若第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为 【答案】AD 【解题思路】在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，利用古典概率可对A判断；顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，从而可对B判断；利用全概率公式可对C判断求解；结合C项利用贝叶斯公式即可对D判断求解. 【解答过程】A：在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽黄盒中共有4个球，里面黄色的球为1个，所以抽到黄球的概率为，故A正确； B：顾客最终获得6张优惠券顾客需要抽到2个绿球，则第一次抽到绿球的概率为，第二次在绿盒中抽到绿球的概率为，所以顾客最终获得6张优惠券的概率为，故B错误； C：设第一次从红盒中抽到红球为事件，第一次从红盒中抽到黄球为事件，第一次从红盒中抽到绿球为事件， 第二次从红盒抽到红球为事件，第二次从黄盒抽到红球为事件，第二次从绿盒抽到红球为事件，设第二次抽到红球为事件， 则，，，，，， 所以，故C错误； D：第二次抽到红球，则它来自绿盒的概率为，故D正确. 故选：AD. 11．（6分）已知函数，则（   ） A．当函数是单调函数时， B．若，则的最小值为 C．若恰有两个零点，则 D．当时，曲线有且仅有1条过原点的切线 【答案】BCD 【解题思路】求出函数的导数，举例说明判断A；求出最小值判断B；利用导数结合零点个数求出范围判断C；设出切点坐标，利用导数探讨方程解的集数判断D. 【解答过程】函数的定义域为， 求导得， 对于A，当时，，函数是单调函数，A错误； 对于B，当时，， 可得在上单调递减，在上单调递增，，B正确； 对于C，当时，在上递减，函数至多有1个零点，不合题意； 当时，当时，；当时，， 函数在上递减，在上递增，， 由恰有两个零点，得，函数在上单调递增，， 因此，此时，令， 求导得，函数在上单调递增，， 即当时，， ，函数在与上各有1个零点，从而，C正确； 对于D，当时，函数，求导得， 令过点的直线与曲线相切的切点为， 则切线方程为，即有， 整理得，令，求导得， 当时，，令，求导得， 即函数在上单调递增，而，则当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 即方程有唯一解，则曲线有且仅有1条过原点的切线，D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）在的展开式中，常数项为__________． 【答案】 【解题思路】写出的展开式通项公式，求出常数项为. 【解答过程】展开式通项公式为， 令得，所以常数项为. 故答案为：. 13．（5分）已知函数，则曲线在处的切线方程为__________. 【答案】 【解题思路】求出导函数，根据导数的几何意义得出切线的斜率，代入点斜式方程，即可求出切线方程. 【解答过程】由可得，∴. ∵. 所以曲线在处的切线方程为， 即. 故答案为：. 14．（5分）如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则__________．    【答案】 【解题思路】首先设该质点向右移动的次数为，则，然后根据已知找到满足条件的的取值，进而根据二项分布求解概率即可. 【解答过程】设该质点向右移动的次数为，则，， 若，则满足条件的的值为，对应的取值分别为. 所以 . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）为了推动智慧课堂的普及和应用，市现对全市中小学智慧课堂的应用情况进行抽样调查，统计数据如下表： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 城市学校 80 总计 100 160 (1)补全上面的列联表； (2)依据小概率的独立性检验，能否判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响？ 附：，其中. 0.100 0.050 0.005 2.706 3.841 7.879 【答案】(1)答案见解析 (2)学校所在区域对智慧课堂的应用有影响. 【解题思路】（1）根据表格数据直接计算即可； （2）利用卡方公式计算出卡方值，再对比表格数据即可. 【解答过程】（1）补全的列联表如下： 经常应用 偶尔应用或者不应用 总计 农村学校 40 40 80 城市学校 60 20 80 总计 100 60 160 （2）零假设：学校所在区域对智慧课堂的应用无影响. 根据列联表中的数据，经计算得到 根据小概率的独立性检验，我们推断不成立，因此能判断学校所在区域对智慧课堂的应用有影响. 16．（15分）已知. (1)求该二项展开式中二项式系数最大的项； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题知，结合二项式系数最大项为中间项，从而可求解. （2）利用赋值法分别令和即可求解. 【解答过程】（1）由二项式通项公式可得：， 因为为偶数，所以二项式系数最大项为中间项，即第项， 所以， 综上：二项式系数最大项为. （2）由题可得令，则， 令，则， 所以. 17．（15分）“爱国、敬业、诚信、友善”是社会主义核心价值观个人层面的价值准则.某学校为加强对学生的教育，倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱，现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表： 售出水量 （单位：箱） 7 6 6 5 6 收益 （单位：元） 165 142 148 125 150 (1)求收益y关于售出水量x的回归直线方程，并计算每天售出8箱水时预计收益是多少元？ (2)期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级从第201名到500名的同学，获二等奖学金300元；考入年级501名及以后的特困生不获得奖学金．甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.如果已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X的分布列及数学期望 附： 【答案】(1)，186 (2)分布列见解析，600 【解题思路】（1）求出、，从而求出回归方程，将代入求出即可； （2）计算对应的概率的值，求出其分布列和期望值即可． 【解答过程】（1）， ， ， 当时，（元）， 即某天售出8箱水的预计收益是186元. （2）X的取值可能为0，300，500，600，800，1000， ，， ，， ，， 即X的分布列为 X 0 300 500 600 800 1000 P X的数学期望 （元）. 18．（17分）已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3) 【解题思路】（1）在定义域内单调递增等价于恒成立，分离参数转化为最值问题求解； （2）由，构造同构函数，利用的单调性求解； （3）由极值点得双变量之间关系，将通过变量代换转化为关于的函数，利用导数判断单调性求其最值情况即可求解. 【解答过程】（1）由题的定义域为， 在恒成立，且的解不连续， 则， 所以的取值范围是； （2）当时，不等式可化为，变形为， 令，求导得，所以在上是增函数， 故，即，即， 所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以，即满足不等式的实数的取值范围为， 所以的最小值为1； （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得是方程的两根， 所以，且，， 所以，故， 又由可得， 而， 令， 则， ∵，∴，即， 则，所以在区间上单调递减， 所以有，即， 所以实数取值范围. 19．（17分）现有甲乙两个盒子，甲盒中装有除颜色外其他都一样的1个红球和2个黑球，乙盒中装有除颜色外其他都一样的2个红球和1个黑球.现从这两个盒子中各任取一个球，交换之后放入另一个盒子中去，称为1次球的交换的操作，如此重复次这样的操作后乙盒子中红球的个数记为 (1)求； (2)求的概率分布列并求出； (3)证明：. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【解题思路】（1）事件“”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球； （2）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，分别求其概率，然后写出分布列，再求数学期望即可； （3）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，分别求其概率，再根据和数学期望计算化简即可. 【解答过程】（1）事件“”即经过1次交换后乙盒子中只有一个红球； 则需从甲盒子中取出1个黑球放入乙盒中，且从乙盒子中取出1个红球放入甲盒中， 则； （2）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，，； ， ， ， ，    ， 所以的分布列如下表： 0 1 2 3 P 所以 . （3）依题意可知的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， ， ，                        ， ， . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $