数学-2-【大数据押题】2026年全国高考专家押题卷

绝密★启用前 2026届全国高考专家押题卷（二） 数学 (120分钟 150分) 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。】 1.已知全集U=R,集合A={x|x2-7x+6<0},CvB={x|x>4},则A∩B= () A.{x|2<x<3 B.{x|2<x<4} C.{x|4<x<6 D.{x|1<x≤4} 2.若2(2+i=3+i,则之-文= () A.-2 B.2i C.-2i D.2 3.设a,b,c分别是△ABC中角A,B,C的对边，则直线-ax+by十c=0与sinA·x-sinB ·y-sinC=0的位置关系是 () A.平行 B.重合 C.垂直 D.无法确定 Sm=3n+4」 4.已知S,T.分别为等差数列a,6,的前n项和，元-”十3，设点A是直线BC外- 点，点P是直线BC上一点，A户=A店+AC,则入的值为 () a2十a6 A号 B号 3 C.一 D.、2 9 5.已知函数f(x)及导函数f'(x)的定义域均为R.若f(2x十1)为偶函数，且为周期为2的周 期函数，则下列说法正确的是 () A.2是f(x)的周期 B.x=2是f(x)的对称轴 C.f'(x)是奇函数 D.f'(x)关于点(1,0)中心对称 6.中心极限定理是概率论中的一个重要定理.根据该定理，若随机变量~B(,p),则当np >5且n(1一p)>5时，可以由服从正态分布的随机变量？近似替代，且5的期望与方差分 别与7的均值与方差近似相等某运动员投篮命中概率为号，若该运动员投篮450次，利用 正态分布估算进球次数的次数大于280的概率为（参考数据：P(u一2。<x<u+2。)≈0. 9545) ( A.0.99865 B.0.97725 C.0.84135 D.0.65865 7.如图所示，已知椭圆中心在原点，F是焦点，A为顶点，准线1交x轴于点 B,点P,Q在椭圆上，且PD⊥l于D,QF⊥AO,下面哪个不是椭圆的离 心率 ( A.BOT PF B.PD QF AF C.BF D.BF 数学第1页（共4页） 21 8.已知a=si 2i,b=ln20c=e5-1,则下列关系式正确的是 () A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分。) 9.已知等比数列{am},a1=3,q=2,则 A.数列{1og2an}是等差数列 B.数列{1log3am}的前10项和是45log32 C.数列{a,}是等比数列 D.数列{(an)2}的前10项和是3(220一1) 10.如图，在棱长为1的正方体ABCD一A1B,C1D1中，E为线段DD1的 D 中点，F为线段BB1的中点 B )A. A.C1F∥平面AB1E B平面AB,E与平面ABCD所成角的余弦值为 3 C.直线C,F到平面AB,E的距离为 1 D.三棱锥C-AB,E的体积为 已知F,F,分别是双由线C名1Q>0,b>0的左石焦点，P为双曲线右支上 点，PF2的最小值为1，且当PF2⊥x轴时，PF2=3,下列说法正确的是 () A.双曲线的方程是？一y、7 B.当点P不在x轴上时，△PFF2的内切圆圆心G始终在x=1上运动 C.当点P不在x轴上时，过点P作∠FPF2的角平分线，交x轴于点Q,若点Q坐标为 (侵0小，则点P到x辅的距离为 2 双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为M,,则亚 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.曲线f(x)=axln(ex)+在点(1，)处的切线方程为5x-y-1=0,则a-b 13.设互不共线的三个平面向量a,b,c满足：a|=2,b|=c|,b⊥c,a一b|=1,a一c= √5，则b的值是 14.在二进制中，所有数字只由“0”和“1”构成，例如二进制数字“010”代表十进制数字“2”，现电 脑随机生成一个6位数的二进制数字，满足每个“0”之前“1”的个数多于“0”的个数条件的 二进制数字中“1”的个数的期望为 数学第2页（共4页） 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 15.(本小题满分13分) 2025年江苏省城市足球联赛（即“苏超”）在江苏各区市举行，为了研究观看“苏超”与经常 参与足球运动的关系，在城市社区随机调查了1200人，得到如下的列联表： 观看“苏超” 不观看“苏超” 经常参与足球运动 650 50 不经常参与足球运动 150 350 (1)求经常参与足球运动观看苏超的概率的估计值； (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验，分析观看“苏超”是否与经常参与足球运动有 关 n(ad-bc)2 附：X2=a+b)c+d)(a+c)b+d) P(X2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=sin不x 6x·cosT 2 cos 3x,fx)的所有大于0的零点构成递增数列 {am}. (1)写出数列{an}的通项公式； (2)记数列{an}的所有偶数项构成数列{bn}(即bn=a2n),所有奇数项构成数列{cm},设tn =(bn十1)·(2).-2，求数列{tn}的前n项和Sn. 17.(本小题满分15分) 如图在直角三角形△APD中，∠A=90°，BC为△APD的中位线，将△PBC沿BC向上 翻折，E为PD的中点，如图所示. 数学第3页（共4页） (1)证明：在翻折过程中，CE∥平面PAB; (2)已知AP=4,AD=2 (ⅰ)若将△PBC翻折至△PAB为等边三角形，求直线CE与平面PAC所成角a的正 弦值 (iⅱ)在△PBC翻折过程中，二面角P一AC一E的余弦值的最大值 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ax2+(a一2)x-lnx,a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围； (3)若函数gx)=alnx-3x+是)+2x+lnx),若g(x)存在两个极值点1z,(x, <x2),g(x1)>mx2恒成立，求m的取值范围， 19.(本小题满分17分) 比利时数学家丹德林用一个双球模型证明用平面截圆锥面，可以截出椭圆、双曲线、抛物 线 (1)如图1，在圆锥内放两个大小不同的小球，使它们分别与圆锥的侧面、底面及截面相切， 截面分别与球O1,球O2切于点E,F,则E,F是截口椭圆T的焦点.设图中球O1,球 O2的半径分别为1和4，球心距O1O2|=√34， (i)求EF|: (ⅱ)求出截出椭圆的离心率； (2)如图2，两个对顶圆锥的轴线与母线成角为01，在两个圆锥中，各有一个球，两球球心分 别为O1,O2,记O1O2=s,两球半径分别为r1,r2且与圆锥侧面相切，两个对顶圆锥 的轴线与平面α所成角为02(02<01)且平面α与两球相切于A,B两点，则平面a与圆 锥侧面的交线为双曲线一部分，根据以上信息求出双曲线的离心率. 图1 图2 数学第4页（共4页）数学 1.D已知全集U=R,集合A={x|1<x<6}, CuB={xx>4},则B={xx≤4}，A∩B ={x|1<x≤4}.故选D. 2.C因为2(+) =3+i,所以2x+2i=3之十 i.即得1+i)之=2i,所以：=1 2i 2i(1-i) (1+i)(1-i) =1+i,所以之-之=1-i一 (1+i)=-2i,故选C. 3.B由正弦定理Q b "sin A sin B=sin C=2R, 得a=2 Rsin A,b=2 Rsin B,c=2 Rsin C,又 直线的方程分别为-ax十by十c=0,即一 2 Rsin A·x+2 Rsin B·y+2 Rsin C=0,即 sinA·x-sinB·y-sinC=0,所以两直线 重合.故选B. 4.A由题意可知B,C,P三点共线，且A户= b十λ= b4AB+入AC,故士入=2a、 a2十a61 a2十a6 1,由于 Sn = 3+4 S2m1一 +3,可得了 (2-1)(a1十a2m-1） 2 (2n-1)(b1十b2m-1) 2 b:b:21 a:+a62a,=2X5=5,故5 +A=1,得入=号故选A. 5.D由f(2x+1)为偶函数可知f(2x+1)= f(-2x+1),所以f(x+1)=f(-x+1),即 f(x)关于直线x=1对称；由f(2x+1)周期 为2可知f(2(x+2)+1)=f(2x+1),所以 f(2x+5)=f(2x+1),即f(x+5)=f(x+ 1),周期为4，故A错误；f(x十1)=f(一x十 1)=f(x十5)，可以判断x=3为f(x)的对 称轴，故B错误；因为f(x十1)=f(一x十 1),所以f'(x+1)=-f'(-x+1),即f (x)关于(1,0)点对称，故C错误，D正确.故 选D. 6.B该运动员投篮450次，设投中的次数为 X,则X~B(450,号)E(X)=p=450·号 -30.DX)-np1-p)=450x号×号 100,由于1p=300>5且n(1-p)=150>5, 数 (二) 由中心极限定理可知X~N(u,o2),且u=E (X)=300,o2=D(X)=100=102,因为P(u -2g<x<u+2g)≈0.9545，故P (300一20≤X≤300+20)≈0.9545，所以利用 正态分布估算投中次数大于280的概率为P （X>280)=P(X>300-20)≈0.9545+0.5 2 =0.97725.故选B. 7.D对于选项A,因为1x=名则A0=a B01-8,所以0-2 A0-g=C=e,故A正 a 确；对于选项B,根据椭圆的第二定义有 P PD=e,故B正确：对于选项C,QF= b2 名，B1=兰-6所以 QF BF= a c b2 b2 =g=二=e,故C正确：对于选项D, a2-c-6=a c c 由AF1=a-C,BF=g-C,所以AF c BF =a-c-a-c- c(a-c) a2-c2=(a+c)(a-c)a十c e,故D错误，故选D. 8.D设函数f(.x)=e-1一x,(x>0),则f (x)=e-1.当x>0时，f'(x)>0,所以f (x)在(0，+∞)上单调递增，故f(x)>f (0)=0,即e-1>x,所以c=e.05-1>0.05 20设函数g(x)=ln(x十1)-x(x>0), 1千<0，所以g 则g'(x)=1 (x)在(0，十∞)上单调递减，当x>0时，g (x)<g(0)=0,故当x>0时，ln(x+1)< 211 x,即6=ln20<20,所以c>b.设h(x)=ln r+)=sin千x>0,则(z)= x+1 1 1 0s+·+1)x+11-77cos cos 学答案 千)，当>0时h'(x)>0,所以A红)在 (0,十∞)上单调递增，故当x>0时，h(x)> h(0)=0,即ln(x+1)>sin x+7,所以b= 1 21、 20 1 In >sin- 20 ,1 1十20 sin2i=a,则b>a,即c >b>a.故选D. 9.AD由题意可知an=3·2”-1,对于选项A, 1og2am=log2(3·2"-1)=n-1+log23,是公 差为1，首项为1og23的等差数列，故A正确； 对于选项B,由log3am=log3(3·2"-1)=1十 (n-1)log32,是公差为log32,首项为1的等 差数列，可得前10项和为S10三 10(1+1+91og2)=10+451og2,故B错误； 2 对于选项C,数列a,2=3·2m-1,可得该数列 前3项a,2=3,a2=3·23,a=3·28,不符 合等比数列的性质，故C错误；对于选项D, 数列(an)2=(3·2-1)2=9·4”-1,仍为等比 数列，首项为9，公比为4，故前10项和为S10 =9-9.40 1-4=3(4°-1)=3(20-1)，故D正 确.故选AD. 10.AC对于选项A,.AE∥FC1,FC1丈平面 AB,E,AEC平面AB,E,∴.FC1∥平面 AB1E,故A正确；对于选项B,如图，以D 点为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC 所在的直线为y轴，DD1所在的直线为之 轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),B1 1110.E00.AE=(-1,0, AB1=(0,1,1),设平面AB1E的一个法向 量为n=(x,y,之)，则 n,A应=-x+2之=0，令2=2，则n= 1 n·AB,=y+之=0 (1,一2,2)，平面ABCD的一个法向量m= (0,0,1).平面AB1E与平面ABCD所成角 2 的余弦值为cos〈m,n〉= 1·√/1+4+4 、,故B错误；对于选项C,由选项A可知直 线FC1到平面AB,E的距离等于点C1到平 面AB1E的距离，则C1B1=(1,0,0),设点 C1到平面ABE的距离为d,则d= |n·CB1= n 3,故直线FC,到平面AB,E 数学 的距离为3故C正确：对于选项D,如图连 接AC,BD相交于点O,连接OE,OB1,由题 意可知AC⊥BD,AC⊥DD,,故AC⊥平面 OB1E,所以Vc-AB,E=VA-B,E+Vc-0B,E 在平面BBD,D内，Sm,E=巨-×号× 誓-日×恒×号日x1×号-8，所以 1 VC-AB.E VA-OB E VC-OBE=3X2 3+号×号×8号=放D错误放选 8 +3x2 AC. D D B 1,BCD对于选项A,由题意可知c一a=1·2 =3,所以a=1,b=√3，c=2,双曲线的方程 是x2-二=1，故A错误；对于选项B,过G 3 作GE⊥PF1,GD⊥F,F2,GF⊥PF2,所以| PE=PF,EF=DF,,FF2= DF2I.由双曲线的定义可得|PF|一 PF2=2a,PE+EF- (|PF|+IFF2|)=2a,所以EF,- |FF2|=2a,得|DF1|-|DF2|=2a.又因 为|DF1|+IDF2|=2c,所以|DF,I=|EF1 =a+c,DF2=FF2|=c-a,D(1, 0),所以圆心G的横坐标恒为1，故B正确； 对于选项C,因为PQ为∠FPF2的平分 PF,QF, 线，所以由角平分线定理得PF,=QF2 2+2 2 =2,而P为C右支上一点，可得 2 |PF:-PF2|=2,所以|PF1=4, |PF2=2,因为|FF2|=4,在△PF:F2 中，可用等面积法求解点P到x轴的距离； 因为|PF1=|F1F2=4,△PF1F2为等腰 三角形，底PF2上的高h=√4-1=√15， ×2×5=×4，所以 S△PF,F,=2 答案 点P到：轴的距离1-西，放C正确， 对于选项D,双曲线的渐近线方程为y=土 V3x,假设点P(xo,yo),则|PM|= =3x+l,PN1=3x,+,则 2 2 1PM1.1PN1==3zg+8l=3 ；在 △PMN中，∠MPN=5,由余弦定理可知， cos ∠MPN = PM2+PN=MNE,则MN2= 2PM·PN IPM|2+|PN|2-|PM·|PN≥2 PM·PN-IPM·PN|= IPM·PN1-,当PM=PNI- 时成立此时P(1,0),Mw/=日 ,故D 正确.故选BCD F 12.2因为f(x)=axln(ex)+6,所以f(1) =aln e+b=a+b=4,f'(x)=a n(ex)+1D二2，f(1)=2a-b=5,求得 份-10-6=2.故答案为2. 13.√5依题意，设a=(2cos0,2sin0),b=(t, 0),c=(0,t),t∈R,则a一b=(2cos0-t, 2sin8）,由a-b|=1,则 √(2cos0-t)2+(2sin0)2=1,整理得t2+ 3=4tcos0,由|a-c|=√5，则 √/(2cos0)2+(2sin0-t)=√5，整理得t2 数学 一1=4tsin0,显然t≠0，否则b=(0,0)=0, a一b|=a|=2,与已知矛盾.由上面两式 可得c0s0=+3、 二，sin0=1，上，由(cosB)2 +(m6=1,可得结)+)= 1,即2t+4t2+10=16t2,故t4-6t2+5= 0,则(t2-1)(t2-5)=0,解得|t|=1或 |t|=5,当|t|=1时，cos0=1,sin0=0,a =(2,0),此时a与b共线，舍去；当|t|=√5 时，cos0=2 5’sin0=5 5，a= 传5,2)敌1a1的值是5 4.4根据题意，6位数的二进制数字有2=64 (种)，要满足“每个‘0’之前‘1的个数多于 ‘0’的个数”，首先‘1’的个数要大于等于‘0 的个数，下面分以下几种情况进行讨论：①3 个‘1’，3个‘0’，由列举法可知共5种二进制 数字满足条件“111000”，“110100”， “110010”,“101100”,“101010”,其中1的个 数为3.②4个‘1’，2个‘0’，若二进制数字为 “11****”的形式，则剩余两个‘1’，两个 ‘0’可随机排列，共C=6种情况，即 “111100”,“111010”,“111001”,“110110”, “110101”,“110011”.若二进制数字为“10* ***”的形式，则第三位必为1’，剩余两 个1’，一个‘0’可随机排列，共C=3种情 况，即“101110”，“101101”，“101011”，该情 况共9种二进制数字，1的个数为4，③5个 ‘1’,1个‘0’，由题意可知，只要第一位为 ‘1’,剩余4个‘1’，1个‘0’可随机排列共C =5种情况，分别为“111110”，“111101”， “111011”,“110111”,“101111”,该情况共5 种二进制数字，其中1的个数为5.④6个 ‘1’,0个‘0’，不存在‘0’，不满足题意，故不 讨论；由上述讨论可列出分布列 X 3 4 5 n 5 9 5 力 5 9 5 19 19 19 9 E(X)= ×3+19×4+9×5=4,故答案 19 为4. 15.(1)根据表格可知，经常参加足球运动的700 人中有650人观看“苏超”， 65013 所以所求概率的估计值为700一4 …5分 答案 (2)零假设为H。:观看“苏超”与经常参与足 球运动无关， 根据题中表格： 观看“苏超” 不观看“苏超” 合计 经常参与足球运动 650 50 700 不经常参与足球运动 150 350 500 合计 800 400 1200 代 公 式 得： 1200×(650×350-50×150)2 700×500×800×400 =518.57> 10.828, 根据小概率值α=0.001的独立性检验，可 推断H。不成立， 即观看“苏超”与经常参与足球运动有关， ……13分 16.(1)由题意f(x)=sin 6x·cos 6+ 2 1 2c⊙sx-sin (x+) 由fx)=0得sim(x+）=0,所以x 十=k元 3 即x=3k一1，k∈Z,取其中的正数构成数列 {am},所以数列{an}为首项为2，公差为3的 等差数列，故其通项公式为am=3n一1.… ……6分 (2)由(1)知bn=a2n=6n-1,所以cm=a2m-1 =6n-4. 所以t。=(b.+1)·(2)。- (6n-1+1)(2)5m-6=6n·4"-1= 3 2n·4. 所以S.=2(1·4+2·42+3…4+44 3 十…十n·4")① 3 所以4S。=21·4+2·4+3·4+4· 45+…十n·4"+1)②. ①-②，得-3S,=4+4+4+4十十 4-1·4+)=341二4)-n·4-) 2 1-4 =1-3n.4+1-2. 2 所以s.=2+3m-1.41. 3 6 …15分 17.(1)如图所示，取PA的中点F,连接BF, 数学 EF. 由E,F分别为PD,PA的中点，则EF∥ AD,AD=2EF, 且因为BC为△APD的中位线，AD∥BC, AD=2BC,所以EF∥BC,EF=BC, 即四边形BCEF为平行四边形，故CE∥ BF, 而BFC平面PAB,CE￠平面PAB,故CE /平面PAB.…4分 D (2)(1)在△PBC翻折过程中，BC⊥AB, BC⊥PB,所以BC⊥平面PAB,如图，以点 B为原点BC,BA为x轴、y轴建立如图所 示的空间直角坐标系. 当△PAB为等边三角形时，则P(0,1,W3), A(0.2,0),C(1,0,0),D(2,2,0),E(1,2 2 则PA=(0,1,-√3)，AC=(1,-2,0),CE =6》 设平面PAC的一个法向量为m=(a,b,c), 则{D·m=0即6-5c三0，取c=1,得 AC.m=0' a-2b=0 m=(2√3，W3,1), 则直线CE与平面PAC所成角的正弦值为 sin a=cos (m,CE> 3 |m·cE + 2 -×1 |m·CE 913 ,×√12+3+1 4 231 3X42 则直线CE与平面PAC所成角的正弦值为 答案 2… …9分 (iⅱ)在△PBC翻折过程中，假设∠PBA= 0, P(0,2cos0,2sin0),A(0,2,0),C(1,0,0), D(2,2,0),E(1,cos0+1,sin0) PA (0,2-2cos 0,-2sin 0),AC (1,-2,0),CE=(0,cos0+1,sin0) 设平面PAC的一个法向量为s=(a,b,c), |PA·s=0 则s一0。 即2260》6-2an=0,取(=1，得s =(29g0ng sin 设平面ACE的一个法向量为t=(a,b,c), 则 C2·t=0,即cos0+1)b+sin6c=0 AC.t=0' 'a-2b=0 取c=1,得t=（一 o0+c0s91小， 2sin 0 -sin 0 二面角P一AC一E的余弦值为cos〈s,t) 一 4sin20 -sin20 +1 1-c0s20 1-cos20 5sin20 5sin20 (1 cos9+1)(a+cos0+1） -4 25sin日 √1-cga+s0n+5mo(a-s (1+cos0)2) +1 -4 25sin'0 10sin0(1+cos20) V(1-cos28)2 +1 (1-c0s20)2 -4 10(sin20+2cos20) 26+ N sin20 -4 20cos20 /36+ sin20 在翻折过程中二面角P一AC一E为锐角， 4 所以其余弦值为 20cos20 W 36+ sin20 当cos0=0,即∠PBA=- 时，余弦值 4 最大，所以三面角P三 20cos0 36+ sin20 数学 AC-E的余弦值最大为 2 。…15分 8.(1)由题意，x>0,a∈R, 在f(x)=ax2+(a-2)x-lnx中，f 1 (x)=2ax十(a-2)- (ax-1)(2x+1) ①当a≤0时，f'(x)<0,函数f(x)在 (0,十∞)上单调递减； ②当0>0时，令了红)=0，解得x=日， 当x∈(0，)时，f(x)<0,函数f(x)单调 递减； 当x∈（日，+∞）时，/x)>0,函数f (x)单调递增， 所以当a≤0时，函数f(x)在(0，十∞)上单 调递减； 当a>0时，函数fx)在(o,言)上单调递 减，在（任，十∞）上单调递增。……5分 (2)由题意及(1)可知，f(x)有两个零点， ∴a>0,函数f(x)在0，)上单调递减，在 (合，+∞)上单词递增， y 当x=二时，f(x)取得最小值，最小值为f a (日）=1-2+na. 当x→十∞时，f(x)→十∞；x→0时，f (x)→十∞， .要函数f(x)有两个零点，当且仅当f (日）o. 设Aa)=laa-日+1，则ke)=亡+月 a >0, ∴.函数h(a)在(0，十∞)上单调递增. .h(1)=0, ∴.当h(a)<0时，0<a<1, ∴.a的取值范围是(0,1).…10分 (3)由题意可知，g(x)=alnx-3x+ a (f(x)+2x+In x)=aln x+x2-2x, g'(x)=2+2x-2=2x2-2x+a 因为g(x)存在两个极值点x1,x2,且x1,x2 答案 ∈(0，十∞)， 所以x1,x2是方程2x2-2x十a=0的两根， 所以△=4-8a>0,x1十x:=1x1:=号 所以0<名，名0，<， 1 又由g(x1)>mx2,可得m<8) 而8x）=x号-2x,十alnx1=2x1x,lnx T2 +-21=2x,lnx,-x,+1 1 1-x1 x1一1 1 令9(x)=2xlnx+1-x+ x-ix∈ ,》 1 则g'(x)=2+2lnx-1- (x-1)2=2lnx 1 -1)+1, “x∈(0,2)∴x-1∈(-1，-2)即 x-1∈(1,4)，lnx<0, 1 则9'x)=1-a)+2r<0,所以g (x)在区间0，)上单调递减， 所以g)>p(份)=++ 1 21 -h2-2,即s-3 x2 2-ln2, 3 厅以实数m取值范围为（一∞，一2 -ln21. ……17分 19.(1)依题意，作出圆锥的轴截面及球O1,球 O2的截面大圆，如图所示，连接O1E,O2F, O1A,O2B,点A,B分别为圆O1,圆O2与 圆锥轴截面等腰三角形一腰相切的切点，线 段MN是椭圆的长轴. (ⅰ)过O1作O2F延长线的垂线交于点C, 显然四边形CFEO1为矩形，椭圆焦距2c= 数学 |EF|=|0,C|=√TO,O22-02Cz= √(W34)2-52=3;…4分 (i)椭圆长轴长2a=|MN=|MF+ FN=MF+ME=MB+MA= AB, 过O1作O1D⊥O2B交于点D,显然四边形 ABDO1为矩形，又O2B=4,O1A=1, |O,O2=√34，则2a=AB|=O1D= √T0102-02D下=√(/34)2-3=5， 2c3 所以椭圆T的离心率e一2a=5…8分 (2)在双曲线上选一点P,过点P做球O1的 切线，切点分别为A与M,且M在球O1与 圆锥的交线上，且PM过圆锥的顶点，同理， 过点P做球O2的切线，切点分别为B与 N,且N在球O2与圆锥的交线上，且PN过 圆锥的顶点，所以P,M,N以及圆锥的顶点 共线，所以PA-PB|=|PM-PN= MN为定值. X 0 设圆锥的一条母线与球O1,O2相切与点 X1,X2,则|MN|=|X,X2=2a, 连接O1X1,O2X2,则O1X1⊥X1X2,O2X ⊥X,X2,设圆锥顶点为K,则在四边形 O1X1O2X2中，X1K=O1Kcos01,X2K= O2Kcos01,所以X1X2=X1K+X2K= OKcos 01+02Kcos 01=0102cos 0;. …13分 02 B 过O1,O2分别往A,B作垂线，作O2T垂 直于AT于T,易得O2T=AB,∠O1O2T= 02,所以AB=O2T=O1O2c0s02, 由上述可得，双曲线2c=AB=O1O2c0s02, 2a=X,X2=O1O2cos01,所以双曲线离心 率为e=C=cos0, ……17分 a cos 答案