专题02 不等式的基本性质及区间（讲义）-2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题02 不等式的基本性质及区间 【复习目标】 1.不等式的基本性质 （1）理解不等式的基本性质，掌握对称性、传递性、加法法则、乘法法则及其推论。 （2）会用作差法比较两个实数或代数式的大小。 （3）能运用不等式的基本性质解决简单的推理和范围问题。 2.区间的概念与表示 （1）理解区间的概念，掌握开区间、闭区间、半开半闭区间（左闭右开、左开右闭）的表示方法。 （2）能用区间表示连续的实数集，会用区间表示不等式的解集。 （3）掌握无穷区间的表示方法，能用区间表示形如x≥a、x>a、x≤b、x<b的实数范围。 （4）能在数轴上正确画出区间，理解实心点与空心点的区别，会进行区间的交、并、补集运算。 考点1 不等式的基本性质 1.实数的大小与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2.比较大小的常用方法 作差法：一般步骤是：①作差；② ；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用 等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 3.不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒_ ； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c _b＋c；a>b，c>d⇒a＋c _b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac _bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an_ _bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 【即时训练】 1．已知实数a，b，且，下列结论中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 2．设、、、，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 3．已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 4．若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 5．已知，，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 6．已知是非零实数，且是任意实数，则（ ） A． B． C． D． 7．若且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8．“”是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 9．已知，则下列结论中不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 11．若，则中最大的是_______ 12．已知，则________（用或填空） 13．若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 14．（1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 考点2 区间及有关概念 1.一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 2.特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 【即时训练】 15．区间可用以下集合表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 16．某药品的说明书上标明保存温度是，则该药品适宜保存的温度（单位：）范围是（   ） A． B． C． D． 17．集合写成区间的形式是（   ） A． B． C． D． 18．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 19．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 20．已知集合，全集，则（ ） A． B． C． D． 1.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第1题）气温高于，低于，下列表示正确的是（ ） A. B. C. D. 2.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第6题）关于的不等式的解集用区间表示为（ ） A. B. C. D. 3.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第2题）已知．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年福建省（学业水平考试）《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年福建省（学业水平考试） 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题02 不等式的基本性质及区间 【复习目标】 1.不等式的基本性质 （1）理解不等式的基本性质，掌握对称性、传递性、加法法则、乘法法则及其推论。 （2）会用作差法比较两个实数或代数式的大小。 （3）能运用不等式的基本性质解决简单的推理和范围问题。 2.区间的概念与表示 （1）理解区间的概念，掌握开区间、闭区间、半开半闭区间（左闭右开、左开右闭）的表示方法。 （2）能用区间表示连续的实数集，会用区间表示不等式的解集。 （3）掌握无穷区间的表示方法，能用区间表示形如x≥a、x>a、x≤b、x<b的实数范围。 （4）能在数轴上正确画出区间，理解实心点与空心点的区别，会进行区间的交、并、补集运算。 考点1 不等式的基本性质 1.实数的大小与运算性质的关系 (1)a>b⇔a－b>0； (2)a＝b⇔a－b＝0； (3)a<b⇔a－b<0. 2.比较大小的常用方法 作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论． 其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，也可以先平方再作差． 3.不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒_a>c__； (3)同向可加性：a>b⇔a＋c>__b＋c；a>b，c>d⇒a＋c>__b＋d； (4)同向同正可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<__bc；a>b>0，c>d>0⇒ac>bd； (5)可乘方性：a>b>0⇒an_>__bn(n∈N，n≥2)； (6)可开方性：a>b>0⇒>(n∈N，n≥2)． 【即时训练】 1．已知实数a，b，且，下列结论中一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用不等式的性质易得A正确；通过举反例可逐一排除B，C，D项. 对于A，由和不等式的性质，可得，，故A符合题意； 对于B，由不能判断的大小，故无法推得成立，例如，满足，但，故B不合题意； 对于C，由也无法推得成立，例如满足，但，故C不合题意； 对于D，由也无法推得成立，例如满足，但，即此时.故D不合题意. 故选：A. 2．设、、、，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用特殊值法可判断AD选项；利用指数函数的单调性可判断B选项；利用不等式的基本性质可判断C选项. 对于A选项，取，则，A错； 对于B选项，因为指数函数在上为减函数， 因为，则，B错； 对于C选项，若且，则，由不等式的基本性质得，C对； 对于D选项，取，，则，D错. 故选：C. 3．已知，则下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的性质和举反例验证的方法进行判断即可. 当时，，，则A，B均不符合题意． 因为，所以，所以，C符合题意． 当，，时，，D不符合题意． 4．若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质，逐一分析各个选项，即可得答案. 若，则，故A错误，B正确； 因为，所以，则，故C错误； 因为，所以，故D错误. 5．已知，，则下列结论一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，根据不等式性质可得，结合，利用同向不等式相加的性质，得到． 因为，所以． 又，所以． 故选：B． 6．已知是非零实数，且是任意实数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】ACD选项举反例说明，B选项根据作差法说明. 对于A，不妨取，此时，即A错误； 对于B，由题意可知，所以，因此，即B正确； 对于C，当时，，可得C错误； 对于D，当时，可得，即D错误． 故选：B 7．若且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，当时，由，得，故A错误； 对于B，当时，有，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，若，，则，不满足，故D错误. 8．“”是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可． 充分性：若，根据不等式基本性质可得，充分性成立； 必要性：若，根据不等式基本性质可得，必要性成立； 因此“”是的充要条件， 故选：C. 9．已知，则下列结论中不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 10．已知，，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简，再应用不等式性质计算求解. 原式的分子和分母同时除以，得， 由条件得，，所以，即， 所以， 所以，则则的取值范围是. 故选：D. 11．若，则中最大的是_______ 【答案】 【分析】利用不等式的性质即可得解. 【详解】因为， 所以，，即， 所以中最大的是. 故答案为：. 12．已知，则________（用或填空） 【答案】 【分析】根据不等式的性质判断即可； 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：< 13．若，，，比较与的值的大小，并说明理由. 【答案】，理由见解析 【分析】利用不等式的基本性质，直接判断两式的大小关系. ，理由如下： 由得：. 因为，所以 所以. 又因为，所以. 14．（1）已知，求的最小值． （2）已知正数满足，求的最小值． 【答案】（1）； （2） 【分析】（1）运用基本不等式进行求解即可； （2）用整体代换，结合基本不等式进行求解即可. （1）因为，则， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为正数满足， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 考点2 区间及有关概念 1.一般区间的表示． 设a，b∈R，且a＜b，规定如下： 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a＜x＜b} 开区间 (a，b) {x|a≤x＜b} 半开半 闭区间 [a，b) {x|a＜x≤b} 半开半 闭区间 (a，b] 2.特殊区间的表示． 定义 R {x|x≥a} {x|x＞a} {x|x≤a} {x|x＜a} 符号 (－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a) 【即时训练】 15．区间可用以下集合表示，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据区间表示法即可解答. 【详解】区间是闭区间，包含端点 2 和 4， 可用集合表示为， 故选：A. 16．某药品的说明书上标明保存温度是，则该药品适宜保存的温度（单位：）范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据区间的表示即可求解. 【详解】已知某药品保存温度是， 因为，， 所以该药品适宜保存的温度范围是. 故选：D. 17．集合写成区间的形式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据区间的概念求解即可. 【详解】集合写成区间为. 故选：B. 18．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出集合，再根据集合的运算求解即可. 【详解】不等式，解得，故集合. 不等式，解得，故集合. 因此，进而. 故选：B. 19．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据x的取值范围可求解的范围，进而可求解的范围，再由区间表示即可. 【详解】∵，即， ∴，则， 则的取值范围是. 故选：D. 20．已知集合，全集，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，再根据补集的概念即可求出. 由题意得，，解得或，故集合或， 又全集，. 故选：C. 1.（2025年福建省中等职业学校学业水平考试第1题）气温高于，低于，下列表示正确是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据区间的定义即可得解. 【详解】气温高于，低于，用区间表示为， 故选：. 2.（2022年福建省中等职业学校学业水平考试第6题）关于的不等式的解集用区间表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】解出不等式，再将结果化为区间的形式即可. 【详解】由，解得. 从而可用区间表示为. 故选：B. 3.（2021年福建省中等职业学校学业水平考试第2题）已知．下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用不等式的性质进行判断. 【详解】因，所以，故选项A错误； 因为，所以，故选项B错误； 因为，所以,故选项C正确，选项D错误. 故选：C. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $