精品解析：2026年四川省成都七中育才学道分校中考数学二诊模拟试卷

2026年四川省成都七中育才学道分校中考数学二诊模拟试卷 A卷（100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（ ） A. 安 B. 全 C. 校 D. 园 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（） A. 相等的角是对顶角 B. 三角形的三条高一定交于一点 C. 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作这点到该直线的距离 5. 如图，，下列条件中，添加后仍不能判定△△的是（　　） A. B. C. D. 6. 费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：32，35，29，33，40，35，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 35，35 B. 34，33 C. 34，35 D. 35，34 7. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，剩余2辆车；若每2人共乘一车，剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设共有人，有辆车，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 分解因式：___________. 10. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为______． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 12. 如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为______． 13. 如图，在正方形中，点E在上，于点F，于点G．若，则的面积为________． 三、解答题（5个小题，共48分） 14. 计算与解不等式组 （1） （2） 15. 为弘扬传统文化，某校举办中小学生知识竞赛活动、某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩（x） 人数 m 24 14 10 根据统计图表中的信息解答下列问题： （1）表中m＝______． （2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？ （3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 16. 居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏OB旋转到的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知三点在一条直线上，且（参考数据：）． （1）求散热架底边AC的长； （2）垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少cm？ 17. 如图，是的直径，为延长线上一点，为切线，为切点，于点交于点． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式． （2）如图1，将直线向上平移个单位，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，，如果的面积为，求的值． （3）在（2）的条件下，过点作的平分线的垂线，垂足为，求点的坐标． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为_____． 20. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称这个三位数为“平稳数”，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为_______． 21. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在斜边的中点上，连接，若，则的长为_____． 22. 如图，在中，，是边上的中线，将沿翻折得，连接，， 分别与相交于点O，与相交于点E，与边相交于点F．若，则______． 23. 定义：平面直角坐标系中有点，若点满足且，则称为中心点，点是的“界密点”．例如：对于中心点，满足且的点，都是点的“界密点”，这些环绕点组成的图形是一个边长为的正方形，中心点是正方形的中心，关于的二次函数（是常数）．将它的图象绕原点逆时针旋转得曲线，若上存在的“界密点”，则的取值范围是___． 二、解答题（3个小题，共30分） 24. 近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年沈阳旅游订单（含酒店、景点门票）同比增长超．世界文化遗产——故宫是热门的旅游目的地之一．某故宫文创店积极为旅游热门活动作好宣传与备货工作．已知该文创店销售甲、乙两种文创产品，每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；用400元购进甲种文创和用240元购进乙种文创的数量相同．文创店将每个甲种文创售价定为13元，每个乙种文创售价定为8元． （1）每个甲种文创和每个乙种文创的进价分别是多少？ （2）根据市场调查，文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创共400个，假设这400个文创能够全部卖出，求该文创店获得销售利润最大的进货方案． 25. 如图，在中，，，P是边上的动点（不与点A，B重合），Q是边上的动点（不与点A重合），且，过点B作，交射线于点D，连接，过点A作，交于点E． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，连接，若，求的值； （3）连接，，在点P，Q的运动过程中，对于每个不同的n，线段的长度都存在一个最小值，求此时的值（用含n的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年四川省成都七中育才学道分校中考数学二诊模拟试卷 A卷（100分） 一、选择题（每小题4分，共32分） 1. 国产人工智能大模型DeepSeek横空出世，其以低成本、高性能的显著特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款人工智能大模型的标识，其中文字上方的图案为轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念逐项分析判断即可，轴对称图形的概念：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以不是轴对称图形； 选项C能找到这样的一条直线，使直线两旁的部分能够完全重合的图形，所以是轴对称图形； 故选：C． 2. 如图是正方体的表面展开图，与“共”字相对的字是（ ） A. 安 B. 全 C. 校 D. 园 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图，解题关键是从相对面入手进行分析及解答问题．正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答． 【详解】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形， ∴在此正方体上与“共”字相对的面上的字是“全”． 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、幂的乘方和积的乘方，完全平方公式和平方差公式求出每个式子的值，再判断即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故选项A计算错误，不符合题意； B、，故选项B 计算错误，不符合题意； C、，故选项C计算错误，不符合题意； D、，故选项D计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了整式的相关运算，考查了合并同类项法则、幂的乘方和积的乘方，完全平方公式和平方差公式，熟记相关的运算法则是解本题的关键． 4. 下列说法中，正确的是（） A. 相等的角是对顶角 B. 三角形的三条高一定交于一点 C. 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行 D. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作这点到该直线的距离 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形高的性质，平行公理和点到直线的距离的定义逐一分析各选项即可得到结果． 【详解】解：、相等的角不一定是对顶角，例如角平分线分出的两个角相等但不是对顶角，故该选项说法错误，不符合题意； 、钝角三角形的三条高本身不相交，仅三条高所在的直线交于一点，故该选项说法错误，不符合题意； 、只有过直线外一点才有且仅有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上无法作出平行线，故该选项说法错误，不符合题意； 、选项的描述完全符合点到直线的距离的定义，故该选项说法正确，符合题意． 5. 如图，，下列条件中，添加后仍不能判定△△的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：、、、、．由全等三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由判定△△，故A不符合题意； B、由判定△△，故B不符合题意； C、和分别是和的对角，不能判定△△，故C符合题意； D、由，，得到，由判定△△，故D 不符合题意． 故选：C． 6. 费尔兹奖是国际上享有崇高声誉的一个数学奖项，每四年评选一次，主要授予年轻的数学家．下面数据是部分获奖者获奖时的年龄（单位：岁）：32，35，29，33，40，35，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A. 35，35 B. 34，33 C. 34，35 D. 35，34 【答案】C 【解析】 【分析】这组数据中出现次数最多的数是众数，把这组数据按从小到大的顺序排列最中间的两个数据的平均数是中位数． 【详解】29，32，33，35，35，40， 这组数据的众数：35， 这组数据的中位数：． 故选：C． 【点睛】本题考查了众数和中位数，解决问题的关键是熟练掌握众数和中位数的定义和确定方法． 7. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车九人步，问人与车各几何？其大意是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，剩余2辆车；若每2人共乘一车，剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设共有人，有辆车，根据题意，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，根据题意列出二元一次方程，是解题的关键．设共有人，有辆车，根据每3人共乘一车，剩余2辆车；若每2人共乘一车，剩余9个人无车可乘，列出方程组即可． 【详解】解：设共有人，有辆车，根据题意，可列方程组为： ， 故选：B． 8. 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线，下列结论：（1）；（2）；（3）；（4）若点、点、点在该函数图象上，则；其中正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】A 【解析】 【分析】（1）根据抛物线开口方向定、对称轴位置定、与轴交点定，再判断的符号； （2）利用对称轴公式，变形推导得出； （3）将代入函数，结合图象上该点的函数值小于，通过移项可判断与的大小； （4）依据开口向下的抛物线“离对称轴越远，函数值越小”的性质，比较三点到对称轴的距离来排序． 【详解】解：根据图像可知，， 对称轴为， ， ， ，故（1）错误； 对称轴为， ， ，故（2）正确； 据图可知，当，， 则，即，故（3）错误； 对称轴为直线， 对称轴与点的距离为， 对称轴与点的距离为， 对称轴与点的距离为， 当二次函数图像开口向下，距离对称轴越远函数值越小， ，故（4）错误． 综上，正确的结论有（2），共个． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9. 分解因式：___________. 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】． 故答案为：． 10. 若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为______． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是___________. 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 12. 如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 13. 如图，在正方形中，点E在上，于点F，于点G．若，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形的性质证明，得出相等的边，利用勾股定理求出，再证明，利用相似三角形的性质求出面积． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（5个小题，共48分） 14. 计算与解不等式组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解： 解不等式①： 解不等式②： 不等式组的解集为 15. 为弘扬传统文化，某校举办中小学生知识竞赛活动、某校举办选拔赛后，随机抽取了部分学生的成绩，成绩按百分制分为A、B、C、D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表． 等级 成绩（x） 人数 m 24 14 10 根据统计图表中的信息解答下列问题： （1）表中m＝______． （2）若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有多少人？ （3）现从成绩等级为A的甲、乙、丙、丁4人中随机选出2人参加市级比赛，请通过列表或画树状图的方法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1）12 （2）600 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查统计表和扇形统计图、根据样本所占比估计总量、概率的求解，掌握相关计算公式和概率的求解方法是解题的关键． （1）根据等级的人数以及所占百分比求出抽取的总人数，即可求出的值； （2）用1400乘以成绩为等级的学生人数的占比即可得结果； （3）根据画树状图求概率即可． 【小问1详解】 解：抽取的总人数为（人）， ． 故答案为：12． 【小问2详解】 解：由题意得，（人）， 若全校有3000人参加了此次选拔赛，其中成绩等级为A的学生大约有600人． 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有12种等可能结果，其中甲、乙两人同时被选中的结果有2种， （甲、乙两人同时被选中）． 16. 居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图（1）所示，其侧面示意图如图（2）所示，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏OB旋转到的位置，如图（3）所示，其侧面示意图如图（4）所示．已知三点在一条直线上，且（参考数据：）． （1）求散热架底边AC的长； （2）垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少cm？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用计算即可； （2）过点B作交的延长线于D，先计算，再解，计算，得到，再计算即可得解； 【小问1详解】 ∵， ∴， ∵， ∴， 答：AC的长约为； 【小问2详解】 过点B作交的延长线于D， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 因为 所以显示屏顶部比原来升高了约． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． 17. 如图，是的直径，为延长线上一点，为切线，为切点，于点交于点． （1）求证：； （2）若，，求半径的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用切线性质和直径所对圆周角为直角，推出，再结合等腰三角形性质和，推出，进而证明； （2）先利用和相似三角形求出，再用中位线定理得到，最后通过 求出半径． 【小问1详解】 解：如图，连接， 为直径， ，即， 为切线， ，即， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：设的半径为， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， 为中点， ， ， ，， ， ， ， ， 故半径的长为． 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数的表达式． （2）如图1，将直线向上平移个单位，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，连接，，如果的面积为，求的值． （3）在（2）的条件下，过点作的平分线的垂线，垂足为，求点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先把点代入直线方程，求出得到点的坐标，再将点代入反比例函数，求出系数，得到表达式； （2）先联立直线与反比例函数，求出点的坐标，再利用“平行线间的三角形面积相等”，将的面积转化为的面积，拆分为两个三角形面积之和列方程，解出； （3）先通过“角平分线+垂线”构造全等三角形，证明是的中点，再联立平移后的直线与反比例函数，求出点，进而得到直线的解析式，然后利用求出点的坐标，最后用中点坐标公式，算出的坐标． 【小问1详解】 解：根据题意可知，点位于上， 将代入可得， 解得， 则点的坐标为， 将代入， 解得， 故反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：如图，直线向上平移个单位后与轴交于点， 直线向上平移个单位后的直线解析式为， 令可得， 点的坐标为， ， 将与联立， 可得， 解得或，则或， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 解得． 【小问3详解】 解：如图，过点作的平分线的垂线并延长交的延长线于点， 在和中， ， ， ，， 根据（2）可知直线向上平移单位后的直线解析式为， 将与联立， 可得， 解得或， 点在第一象限， ，则， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 可得， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为， ， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 点的坐标为， 点为的中点， 点的坐标为，即． B卷（50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，若，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据方程有两个不相等的实数根确定的取值范围，再利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式求解，最后舍去不符合范围的解得到结果. 【详解】解： 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，，， ， 解得， 方程的两根为，， ，， ， ， ∴ ， 整理得 ， 因式分解得 ， 解得： ，， ， 不符合题意，舍去， . 20. 如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称这个三位数为“平稳数”，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解． 【详解】解：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数， 可能结果有123，132，213，231，312，321，共六种可能， 只有123，321是“平稳数”， ∴恰好是“平稳数”的概率为． 故答案为：． 21. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在斜边的中点上，连接，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】结合旋转，可得到对应线段，对应角度相等，作，构造直角三角形，然后利用勾股定理以及解直角三角形即可算出答案． 【详解】解：过作交的延长线于点 由旋转可知，，， 是的中点 中， 中，， ， 22. 如图，在中，，是边上的中线，将沿翻折得，连接，， 分别与相交于点O，与相交于点E，与边相交于点F．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由轴对称的性质可证明是的中位线，然后证明，，设，，，证明，，根据相似三角形的性质可列方程①，②，求得，从而得到，证明得，设，则，求得长，利用勾股定理求得长，最后根据三角函数即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， 由翻折可知，垂直平分， ，， O是的中点， 是边上的中线， D是的中点， 是的中位线， ，， ，， ，， 设，，， ，， ，，， ∴①，②， 由①得， 由②得， ， 解得， ，， ∴， ∴， ， 在和中，，， ， ， ， 设，则，， （负值舍去）， ， D是的中点， ， ． 23. 定义：平面直角坐标系中有点，若点满足且，则称为中心点，点是的“界密点”．例如：对于中心点，满足且的点，都是点的“界密点”，这些环绕点组成的图形是一个边长为的正方形，中心点是正方形的中心，关于的二次函数（是常数）．将它的图象绕原点逆时针旋转得曲线，若上存在的“界密点”，则的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义得到的“界密点”的坐标范围，推导原二次函数绕原点逆时针旋转后曲线的方程，转化为存在满足范围的点，进而得到的取值范围. 【详解】解：根据“界密点”的定义，的“界密点”满足： 且， 整理得：，， 设原二次函数图象上任意一点为，满足， 将绕原点逆时针旋转得到上的点，根据坐标旋转变换得： ，， 即，， 将，代入原方程得： ， 整理得， 若上存在的“界密点”，即，， 当，时，取得最小值为； 当，时，取得最大值为； 故的取值范围是. 二、解答题（3个小题，共30分） 24. 近期，全国文化和旅游业呈现出快速复苏的良好势头，据美团、大众点评数据显示，今年沈阳旅游订单（含酒店、景点门票）同比增长超．世界文化遗产——故宫是热门的旅游目的地之一．某故宫文创店积极为旅游热门活动作好宣传与备货工作．已知该文创店销售甲、乙两种文创产品，每个甲种文创的进价比每个乙种文创的进价多4元；用400元购进甲种文创和用240元购进乙种文创的数量相同．文创店将每个甲种文创售价定为13元，每个乙种文创售价定为8元． （1）每个甲种文创和每个乙种文创的进价分别是多少？ （2）根据市场调查，文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创共400个，假设这400个文创能够全部卖出，求该文创店获得销售利润最大的进货方案． 【答案】（1）每个甲种文创的进价是10元，每个乙种文创的进价是6元 （2）该专卖店购进甲种纪念品150个，乙种纪念品250个，获得的销售利润最大 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用， 一元一次不等式的应用，以及一次函数的实际应用． （1）设每个甲种文创的进价是x元，则每个乙种文创的进价是元，根据题意列出方程求解即可． （2）设该文创店购进甲种文创m个，则购进乙种文创个，根据文创店计划用不超过3000元的资金购进甲、乙两种文创共400个列出关于m的一元一次不等式，求出m的取值范围，设销售甲、乙两种文创获得的利润为w元，列出关于m的一次函数，结合一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每个甲种文创的进价是x元，则每个乙种文创的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：每个甲种文创的进价是10元，每个乙种文创的进价是6元； 【小问2详解】 设该文创店购进甲种文创m个，则购进乙种文创个， 由题意得：， 解得：， 设销售甲、乙两种文创获得的利润为w元， 由题意得：， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∵，且m为正整数， ∴m的最大值是150， ∴当时，w取最大值，此时，， 答：该专卖店购进甲种纪念品150个，乙种纪念品250个，获得的销售利润最大． 25. 如图，在中，，，P是边上的动点（不与点A，B重合），Q是边上的动点（不与点A重合），且，过点B作，交射线于点D，连接，过点A作，交于点E． （1）如图1，当时，求证：； （2）如图2，当时，连接，若，求的值； （3）连接，，在点P，Q的运动过程中，对于每个不同的n，线段的长度都存在一个最小值，求此时的值（用含n的代数式表示）． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，点Q与点C重合，证明，即得答案； （2）当时，过点Q作，垂足为H，先证明，并设，求出，同时证明，得出，然后证明，得，进一步得出，由此可求出，，即可求出答案； （3）取的中点O，连接，，可知点B、D、A、Q在以点O为圆心、为直径的圆上，过点B、D、A三点作，连接，，，，证明，因此当n一定时，点Q固定，点也固定，所以当B、E、三点共线时，取最小值，进一步证明，求得，设，求出的值，即得答案． 【小问1详解】 证明：由题意可知，当时，点Q与点C重合， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图1，过点Q作，垂足为H， 则， 在中，，， ， ， 即是等腰直角三角形， ， 设， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ，且， ， 即， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图2，取的中点O，连接，， 则， ， ，， ， 点B、D、A、Q在以点O为圆心、为直径的圆上， 过点B、D、A三点作，连接，，，， 在中， ， ， 在中，同理可得， 由（1）知，， ， ，， ， 在中，， ， ， 即， ，， 当n一定时，点Q固定，点也固定， 对于每个不同的n，线段都存在一个最小值， 当B、E、三点共线时，取最小值，如图3所示， ，， 垂直平分， ，即， ， ， ， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理，得， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数，圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $