由频率分布直方图估计总体、分层样本的平均数与方差、平均数与方差的和差倍分性质专项训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 聚焦统计核心素养，通过频率分布直方图估计总体、分层样本与数字特征性质三大模块，构建"图表识别-数据处理-性质应用"的完整训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由频率分布直方图估计总体|5例+5变式|含单选多选填空，覆盖参数计算、数字特征估计、百分位数求解|从图表读取到数据推断，培养数据观念与几何直观| |分层样本的平均数与方差|4例+4变式|以实际场景为背景，强化分层数据合并计算|体现样本估计总体思想，发展运算能力与推理意识| |平均数与方差的和差倍分性质|6例+6变式|多考线性变换对数字特征的影响，结合选择填空|深化统计量性质理解，培养逻辑推理与数学表达能力|

由频率分布直方图估计总体、分层样本的平均数与方差、平均数与方差的和差倍分性质专项训练 由频率分布直方图估计总体、分层样本的平均数与方差、平均数与方差的和差倍分性质专项训练 考点目录 由频率分布直方图估计总体 分层样本的平均数与方差 平均数与方差的和差倍分性质 考点一 由频率分布直方图估计总体 例1．（2026·辽宁·三模）某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.4 D．0.6 【答案】C 【详解】从频率分布条形图中可得：阅读课外书为4本的频率是， 阅读课外书为5本的频率是. 每月阅读课外书数量不少于4本，包含阅读4本和阅读5本两种情况. 总频率为. 由频率估计概率，可知该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为. 例2．（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 【答案】D 【分析】A选项利用矩形的面积之和为1列方程求解，B选项根据众数的定义以及直方图中最高的矩形条来判断，C选项根据平均值的公式计算，D选项判断样本数据在的频率和的频率，可得到70百分位数的范围. 【详解】设对应矩形的高度为，则，解得，A选项正确； 由图可知，的数据最多，众数的估计值为，B选项正确； 平均值为：，C选项正确； 样本数据的频率为， 样本数据的频率为， 故样本成绩的第70百分位数落在内，所以D选项错误. 例3．（2026·陕西渭南·模拟预测·多选）某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值为0.015 B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 D．估计总体中成绩落在内的学生人数90 【答案】ABD 【分析】对A ，利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，列方程求解的值；对 B，众数为最高矩形底边中点的横坐标，取区间[70,80)的中点 75；对C ，根据前几组频率和确定第 80 百分位数所在区间，再根据百分位数的计算公式求解即可；对D ，先算[80,90)的频率，再乘以总体 300 得到估计人数. 【详解】对于A：由，解得，A正确； 对于B：因为直方图中最高矩形对应区间为，所以估计这40名学生数学考试成绩的众数为，B正确； 对于C：前三组的频率和为，第四组的频率为， 因为，所以第百分位数落在区间内， 由，即估计这名学生数学考试成绩的第百分位数约为，C错误； 对于D：区间对应的频率为，， 所以估计总体中成绩落在的学生人数为，D正确； 例4．（2026·陕西咸阳·三模·多选）某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．的值为0.025 B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C．参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 【答案】ACD 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，成绩在的频率分别为，则成绩的中位数， ，解得，B错误； 对于C，成绩在的频率为， 由，得成绩在区间的学生有104人，C正确； 对于D，成绩的平均数，D正确. 例5．（2026·湖南怀化·模拟预测）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一.某村统计了一合作社最近100天通过直播带货销售农产品的日销售额x（单位：万元），并绘制成下面的频率分布直方图，则______；x的第80百分位数为______. 【答案】 【详解】由图知，解得， 设销售额的第80百分位数为m，又， ，且，解得. 变式1．（2026·吉林长春·二模）某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】C 【分析】在频率分布表中，小矩形的面积等于这一组的频率，所以面积和为1，建立等量关系求出，进而求出长度在内的频率． 【详解】由题意知，，整理得，解得. 所以任取一个垫片为合格品的概率为：. 变式2．（2026·青海西宁·一模）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（   ）    A． B．估计评分的平均数为76.5 C．估计评分的第25百分位数为65 D．评分在的人数约为20 【答案】C 【分析】根据频率之和为1列式计算可判断A；根据频率分布直方图平均数的求法计算可判断B；根据百分位数的概念计算可判断C；根据频率与频数的关系计算可判断D. 【详解】对A，由频率之和为1得，解得，故A正确； 对B，平均数为，故B正确； 对C，评分在的频率为，评分在的频率为， 评分的第25百分位数对应累计频率为，落在组内， 故第25百分位数为，故C错误； 对D，评分在的频率为，则其中人数约为 ，故D正确. 变式3．（2026·甘肃兰州·模拟预测·多选）2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 【答案】ACD 【详解】对于A，由题可得，解得，故A正确： 对于B，由频率分布直方图可知，年龄位于区间的频率最大，故所调查市民年龄众数的估计值为，故B错误； 对于C，设第75百分位数为，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为，故第75百分位数在第4组，所以，解得，所以所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5，故C正确； 对于D，所调查市民的平均年龄约为岁，故D正确. 变式4．（2026·甘肃嘉峪关·三模·多选）为评估某款“端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入长度（）的条件下，对200个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单位：）．测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列结论正确的是（   ） A．样本中延迟在内的模型个数为60 B．估计样本的中位数落在区间内 C．估计样本的平均数约为 D．该分布呈现出右边“拖尾”形态，说明大部分模型的延迟时间较短 【答案】AD 【分析】求出各组频率判断A；利用中位数的定义计算判断B；估计平均数判断C；结合频率分布直方图分析判断D. 【详解】由频率分布直方图知，数据落在各分组区间的频率依次为：， 对于A，样本中延迟在内的模型个数为，A正确； 对于B，由，，得估计样本的中位数落在区间内，B错误； 对于C，样本的平均数约为，C错误； 对于D，该分布峰值在左侧低延迟区间，仅少数模型延迟较高，频率随延迟增大逐渐降低， 因此呈现右拖尾形态，说明大部分模型的延迟较低，D正确. 变式5．（2025·辽宁·模拟预测）某水产单位对其投放的网箱产量（单位：）进行了样本统计，得到样本数据的频率分布直方图如下图所示，请根据频率分布直方图估计该水产单位所有网箱产量的上四分位数为__________. 【答案】49.375 【分析】根据给定的频率分布直方图，利用上四分位数的定义计算得解. 【详解】上四分位数即为分位数，网箱产量在的频率分别为， 因此分位数，由，解得49.375， 所以所有网箱产量的上四分位数为49.375. 故答案为：49.375 考点二 分层样本的平均数与方差 例1．（2026·安徽·模拟预测）已知一组样本数据，，，，，的平均数为20，方差为16，另一组样本数据，，，的平均数为，方差为16，由两组数据构成的新样本数据，，，，，，，，，的平均数为24，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】∵，， ∴，则； 则新的样本数据的方差为， 故，. 例2．（2026·四川广元·三模）某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（   ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A．45.8 B．140.8 C．176 D．183.2 【答案】B 【分析】求出平均数后，利用所给方差公式计算即可得. 【详解】这50个苹果的平均数， 则方差 . 例3．（2026·湖南岳阳·三模）采用分层随机抽样抽取某校高一10人、高二20人、高三20人的数学成绩样本．已知高一、高二、高三的样本平均分分别为80、85、90，样本方差分别为5、6、9，则估计该校全体学生数学成绩的方差为______．（方差计算公式：，其中为总样本容量，为分层的层数，为第层的样本容量，为第层的样本方差；为第层的样本均值，为所有样本的总均值） 【答案】21 【详解】依题意，总的样本容量，总样本均值， 代入公式计算： ． 故方差为21． 例4．（2026·辽宁·模拟预测）大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____ 【答案】 33岁 10 【分析】利用平均数的意义可求总体平均数；利用由部分方差求总体方差的公式求解即可. 【详解】由题意得，该高中高三备课组老师的平均年龄为岁， 则该高中高三备课组老师的方差 . 故答案为：33岁；10. 变式1．（2025·河北邯郸·一模）已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 【答案】B 【分析】首先计算总体平均数，再代入总体方差公式，即可求解. 【详解】由条件可知，总体平均数， 设组数据的平均数为，方差为，组数据的平均数是，方差是， 所以所有数据的总体方差， . 故选：B 变式2．（2025·浙江温州·二模）某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分层随机抽样的平均数和方差公式即可算出答案. 【详解】， 故选：D 变式3．（2025·河南·三模）在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高三年级学生体重的方差为______． 【答案】36 【分析】根据分层随机抽样样本平均数公式和方差公式即可算出答案. 【详解】由分层随机抽样样本平均数公式可得， 根据分层随机抽样样本方差公式． 故答案为：36. 变式4．（2025·河南安阳·一模）某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为______________. 【答案】0.76/ 【分析】利用分层抽样的平均数和方差公式即可. 【详解】设一级教师的平均工资和方差为、，高级教师的平均工资和方差为、，因一级教师的占比，高级教师的占比， 则全校教师的平均工资为(千元)， 则教师工资的方差为 . 故答案为：0.76 考点三 平均数与方差的和差倍分性质 例1．（2026·江苏·模拟预测）已知五个数的极差为4，方差为2，则的（    ） A．极差为4，方差为2 B．极差为4，方差为4 C．极差为8，方差为4 D．极差为8，方差为8 【答案】D 【详解】设原数据的最大值为，最小值为，方差为， 则原极差，原方差； 新数据的最大值为，最小值为， 则极差为， 根据方差的性质可得，新数据方差为； 故新数据的极差为8，方差为8. 例2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知样本数据，，……，的平均数为2，方差为3，设，，……，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为样本数据，，……，的平均数为2， 所以，，……，的平均数为，因此选项AB均不正确. 因为样本数据，，……，的方差为3， 所以，，……，的方差为，因此选项C不正确，选项D正确. 例3．（2026·安徽淮南·二模·多选）已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（   ） A．平均数为 B．方差为 C．标准差为 D．极差为 【答案】AB 【分析】根据平均数，方差，标准差，极差的定义及性质可得答案. 【详解】因为一组大小不等的数据的平均数为，而，所以数据的平均数为，所以A正确； 数据的方差为，由方差的性质可得数据的方差为，所以B正确； 标准差为方差的算术平方根，取非负数，所以数据的标准差为，所以C错误； 极差为最大值减最小值，所以原数据极差，新数据的极差应为，所以D错误. 例4．（2026·四川成都·二模·多选）已知数据的平均数为M，中位数为N，方差为P，极差为Q，设，得到新数据，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（    ） A．平均数是3M B．中位数是 C．方差是9P D．极差是 【答案】BC 【分析】根据题意，结合数据的平均数、中位数、方差和极差的定义与计算方法，结合，逐项求解判断，即可得到答案. 【详解】对于A，由数据的平均数为，可得， 新数据的平均数为 ，所以A错误； 对于B，由数据的中位数为， 将新数据从小到大排序，因为，所以新数据的排序和原数据的排序相同， 所以新数据的中位数为，所以B正确； 对于C，由数据的方差为， 设新数据的方差为，因为新数据满足，可得，所以C正确； 对于D，由原数据的极差为，可得， 因为新数据满足，则新数据的极差为，所以D错误. 例5．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）若数据的极差为3，方差为4，则数据的极差为__________，方差为__________. 【答案】 6 16 【分析】利用极差和方差的性质直接计算求解即可. 【详解】因为的极差为3，方差为4， 所以数据的极差为，方差为， 故答案为：6；16 例6．（2025·广东·一模）若样本数据的平均数为的平均数为22，则样本数据的方差为__________. 【答案】20 【分析】根据给定条件，利用平均数的定义、方差的性质列式计算得解. 【详解】由样本数据的平均数为4，得的平均数为4， 由的平均数为22，得， 则的平均数为， 因此的方差为，所以的方差为. 故答案为：20 变式1．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知一组样本数据的方差为1，则由生成一组新的数据的标准差为（   ） A．9 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】根据方差的性质计算可得. 【详解】因为一组样本数据的方差为1， 则由生成一组新的数据的方差为， 则其标准差为. 故选：B 变式2．（2026·陕西榆林·二模）已知一组样本数据的方差为2，则数据的方差为（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用方差和平均数的概念和性质，结合已知条件计算求解． 【详解】样本数据的方差为，设样本平均数为， ， 数据的平均数为 ， ，故D正确． 故选：D． 变式3．（2026·河北沧州·一模·多选）已知一组数据，，…，的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是，，，，对该组数据作线性处理得到另一组数据，，…，，记该组数据的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于，则，A正确； 对于，则，B不正确； 对于，第75百分位数位置不变，即，C正确； 对于，最大数和最小数的位置不变，故，即，D正确. 变式4．（2026·河南濮阳·模拟预测·多选）下列说法正确的是（   ） A．数据5，7，8，8，9，10，13，14，16，16的80%分位数是14 B．若数据的平均数为4，则数据的平均数为16 C．若数据的平均数为6，方差为9，现又加入3个数据5，6，7，则这10个数据的方差为6.5 D．若数据的平均数为，则的方差为 【答案】BCD 【详解】对于A项，因为，所以 80% 分位数为，故 A 错误； 对于B项，因为数据的平均数为4， 则数据的平均数为，故B正确； 对于C项，原7个数据：，方差， 加入数据 5,6,7 后，新平均数为：， ，故C正确， 对于D项，因为，则方差为，故D正确. 变式5．（2026·福建福州·模拟预测）若，，…，的平均数为3，方差为4，且，，则新数据，，…，的平均数和标准差分别为_________，_______． 【答案】 6 【分析】根据平均数和方差的性质即可求解. 【详解】，，…，的平均数为3，，所以，，…，的平均数为， ，，…，的方差为4，，所以，，…，的方差为，故标准差为6， 故答案为：，6 变式6．（2026·河南南阳·模拟预测）若一组数据的中位数为16，方差为64，则另一组数据的中位数为__________，方差为__________. 【答案】 【分析】根据中位数和方差的关系求值. 【详解】因为数据的中位数为16，方差为64， 所以数据的中位数为4，方差为， 所以数据的中位数为，方差为4. 故答案为：3；4. 2 学科网（北京）股份有限公司 $由频率分布直方图估计总体、分层样本的平均数与方差、平均数与方差的和差倍分性质专项训练 由频率分布直方图估计总体、分层样本的平均数与方差、平均数与方差的和差倍分性质专项训练 考点目录 由频率分布直方图估计总体 分层样本的平均数与方差 平均数与方差的和差倍分性质 考点一 由频率分布直方图估计总体 例1．（2026·辽宁·三模）某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课外书数量不少于4本的概率为（    ） A．0.15 B．0.25 C．0.4 D．0.6 例2．（25-26高三下·江西·阶段检测）为了解某校学生的某次数学测试情况，随机抽取部分学生成绩（最低分为50分，满分100分），得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论不正确的是（   ） A．对应矩形的高度为0.016 B．样本众数估计值为75 C．样本平均数估计值为77.4 D．样本成绩的第70百分位数落在内 例3．（2026·陕西渭南·模拟预测·多选）某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的值为0.015 B．估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C．估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 D．估计总体中成绩落在内的学生人数90 例4．（2026·陕西咸阳·三模·多选）某校组织学生参加全市一项比赛，现将参加考核的160名学生的成绩分为5个小组，绘制如图所示的频率分布直方图，则下列说法正确的是（每组数据以区间的中点值为代表）（    ） A．的值为0.025 B．参加考核学生成绩的中位数约为71.4 C．参加考核学生成绩在区间的学生有104人 D．估计参加考核学生成绩的平均数约为69.5 例5．（2026·湖南怀化·模拟预测）直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一.某村统计了一合作社最近100天通过直播带货销售农产品的日销售额x（单位：万元），并绘制成下面的频率分布直方图，则______；x的第80百分位数为______. 变式1．（2026·吉林长春·二模）某精密仪器厂生产一种标准长度为的金属垫片．现随机抽取200个垫片测量其实际长度（单位：），按长度分组并绘制出如图所示的频率分布直方图．若规定长度在区间内的垫片为合格品，用样本频率估计总体的概率，则任取一个垫片为合格品的概率为（   ）    A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 变式2．（2026·青海西宁·一模）某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是（   ）    A． B．估计评分的平均数为76.5 C．估计评分的第25百分位数为65 D．评分在的人数约为20 变式3．（2026·甘肃兰州·模拟预测·多选）2026年1月，重庆合川区女孩“呆呆”（网名）在社交平台发布求助视频，邀请网友帮忙“按猪”，承诺以刨猪汤答谢，结果意外走红.合川区某机构为了解各年龄层对这次“重庆呆呆刨猪汤”的关注程度，随机选取了100名年龄在内的市民进行调查，并绘制出如图所示的频率分布直方图，则（每组数据以区间的中点值为代表）（   ） A． B．所调查市民年龄众数的估计值为40 C．所调查市民年龄的第75百分位数的估计值为42.5 D．所调查市民的平均年龄约为34.5岁 变式4．（2026·甘肃嘉峪关·三模·多选）为评估某款“端侧AI芯片”在不同模型架构下的推理延迟表现，研发团队在固定输入长度（）的条件下，对200个公开的深度学习模型进行了单次推理延迟测试（单位：）．测试结果经异常值剔除后，得到如图所示的频率分布直方图，其中分组区间为，，，，，则下列结论正确的是（   ） A．样本中延迟在内的模型个数为60 B．估计样本的中位数落在区间内 C．估计样本的平均数约为 D．该分布呈现出右边“拖尾”形态，说明大部分模型的延迟时间较短 变式5．（2025·辽宁·模拟预测）某水产单位对其投放的网箱产量（单位：）进行了样本统计，得到样本数据的频率分布直方图如下图所示，请根据频率分布直方图估计该水产单位所有网箱产量的上四分位数为__________. 考点二 分层样本的平均数与方差 例1．（2026·安徽·模拟预测）已知一组样本数据，，，，，的平均数为20，方差为16，另一组样本数据，，，的平均数为，方差为16，由两组数据构成的新样本数据，，，，，，，，，的平均数为24，方差为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 例2．（2026·四川广元·三模）某果园为检测两试验园苹果的质量，现从试验园抽取30个苹果，其平均质量为，方差为48，从试验园抽取20个苹果，其平均质量为，方差为40，则抽取的这50个苹果的方差为（   ） （参考公式：样本分为2层，各层的容量、平均数和方差分别为，，，，，，记样本的平均数为，方差为，则.） A．45.8 B．140.8 C．176 D．183.2 例3．（2026·湖南岳阳·三模）采用分层随机抽样抽取某校高一10人、高二20人、高三20人的数学成绩样本．已知高一、高二、高三的样本平均分分别为80、85、90，样本方差分别为5、6、9，则估计该校全体学生数学成绩的方差为______．（方差计算公式：，其中为总样本容量，为分层的层数，为第层的样本容量，为第层的样本方差；为第层的样本均值，为所有样本的总均值） 例4．（2026·辽宁·模拟预测）大连某高中高三备课组有男老师60人，女老师40人，其中男老师平均年龄为35岁，方差为6；女老师平均年龄为30岁，方差是1，则所有高三备课组老师的平均年龄为_____，方差为_____ 变式1．（2025·河北邯郸·一模）已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 变式2．（2025·浙江温州·二模）某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（    ） A． B． C． D． 变式3．（2025·河南·三模）在对某中学高三年级学生体重（单位：kg）的调查中，按男、女生人数比例用分层随机抽样的方法抽取部分学生进行测量，已知抽取的男生有50人，其体重的平均数和方差分别为54，20，抽取的女生有40人，其体重的平均数和方差分别为45，11，则估计该校高三年级学生体重的方差为______． 变式4．（2025·河南安阳·一模）某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况，其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人，平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差为______________. 考点三 平均数与方差的和差倍分性质 例1．（2026·江苏·模拟预测）已知五个数的极差为4，方差为2，则的（    ） A．极差为4，方差为2 B．极差为4，方差为4 C．极差为8，方差为4 D．极差为8，方差为8 例2．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知样本数据，，……，的平均数为2，方差为3，设，，……，的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 例3．（2026·安徽淮南·二模·多选）已知一组大小不等的数据的平均数为，方差为，标准差为，极差为，若，则下列关于数据的结论正确的是（   ） A．平均数为 B．方差为 C．标准差为 D．极差为 例4．（2026·四川成都·二模·多选）已知数据的平均数为M，中位数为N，方差为P，极差为Q，设，得到新数据，则对于所得新数据，下列说法一定正确的是（    ） A．平均数是3M B．中位数是 C．方差是9P D．极差是 例5．（24-25高三下·福建宁德·开学考试）若数据的极差为3，方差为4，则数据的极差为__________，方差为__________. 例6．（2025·广东·一模）若样本数据的平均数为的平均数为22，则样本数据的方差为__________. 变式1．（25-26高三上·湖北武汉·期末）已知一组样本数据的方差为1，则由生成一组新的数据的标准差为（   ） A．9 B．3 C． D．1 变式2．（2026·陕西榆林·二模）已知一组样本数据的方差为2，则数据的方差为（    ） A．0 B．2 C． D． 变式3．（2026·河北沧州·一模·多选）已知一组数据，，…，的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是，，，，对该组数据作线性处理得到另一组数据，，…，，记该组数据的平均数、方差、第75百分位数、极差分别是，，，，则（   ） A． B． C． D． 变式4．（2026·河南濮阳·模拟预测·多选）下列说法正确的是（   ） A．数据5，7，8，8，9，10，13，14，16，16的80%分位数是14 B．若数据的平均数为4，则数据的平均数为16 C．若数据的平均数为6，方差为9，现又加入3个数据5，6，7，则这10个数据的方差为6.5 D．若数据的平均数为，则的方差为 变式5．（2026·福建福州·模拟预测）若，，…，的平均数为3，方差为4，且，，则新数据，，…，的平均数和标准差分别为_________，_______． 变式6．（2026·河南南阳·模拟预测）若一组数据的中位数为16，方差为64，则另一组数据的中位数为__________，方差为__________. 2 学科网（北京）股份有限公司 $