斜抛运动 培优讲义-2027届高考物理一轮复习

该高中物理培优专题讲义聚焦斜抛运动高考核心考点，以“基本分解思路—核心结论—对称性分析”构建知识体系，整合易错点辨析、四种分解方法及包络线应用，通过考点梳理、方法指导与16道典型例题训练，帮助学生系统突破运动分解、射程极值等难点，体现复习的系统性与针对性。 讲义创新采用“分解方式对比表”和“大招口诀”策略，如“时间半对称分割法”“等效g类斜抛解法”，培养学生科学思维与模型建构能力。设置单选、多选、计算题分层例题，结合易错点纠正（如最高点速度不为零），确保高效突破考点，助力学生提升解题速度与准确率，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

高中物理培优专题讲义：斜抛运动 一、 核心知识 ✯1. 一个基本思路 初速度 ，抛射角 ，取向上为正 水平方向： 匀速直线， ， 竖直方向： 竖直上抛， ， ✯2. 五个核心结论 物理量 公式 备注 上升时间 到最高点 总时间（飞行时间） 对称性：上升=下降 射高（最大高度） 竖直分速度减为0 射程（水平距离） 当 时最大， 轨迹方程 抛物线 ✯3. 对称性 时间对称： 从抛出点到最高点的时间 = 从最高点落回同一水平面的时间 速度对称： 同一高度上，速度大小相等，方向与水平面夹角相同（一上一下） 轨迹对称： 过最高点后左右对称 ✯4. 一般位置的速度与夹角 任意时刻 ：合速度 速度方向与水平夹角 ： 二、 易错点 易错点1：混淆“射程”与“水平位移” 错误： 认为射程公式 总是成立。 纠正： 该公式仅适用于抛出点和落地点在同一水平面。若落地点比抛出点低（如从山坡上斜抛），必须用 代入方程求解，不能用射程公式。 易错点2：忽略斜抛运动的时间对称性应用场景 错误： 遇到从抛出点到最高点的时间，依然用竖直上抛公式分段计算，繁琐易错。 纠正： 牢记 ，总时间 ，直接秒杀选择填空题。 易错点3：对“最高点”的速度认识不清 错误： 认为最高点速度为零。 纠正： 斜抛最高点竖直分速度为零，水平分速度仍为 ，因此最高点速度不为零，且此时速度最小（但不为0）。 易错点4：处理“类斜抛”（如电场、斜面）时胡乱套公式 错误： 在电场力与重力合成等效重力场中，直接使用原斜抛公式。 纠正： 应先求出等效重力加速度 和等效抛射角 ，再代入标准斜抛公式。 易错点5：求射程极值时忽略自变量的定义域 错误： 令 得 即认为最大射程。 纠正： 当落点与抛出点有高度差时，最大射程对应的抛射角不是45°（通常小于45°）。需用函数求导或代数方法求极值。 三、解题方法 （一）四种分解方式 分解1：水平方向（匀速） + 竖直方向（上抛） 【标准分解，最常用】 适用： 求射程、射高、飞行时间、落点不等高。 口诀： “水平匀速竖上抛，时间只由竖分量。” 分解2：沿初速度方向（匀速） + 竖直向下（自由落体） 【伽利略分解，物理意义最清晰】 核心思想： 斜抛运动可以看作两个独立运动的合成： ✯1. 以初速度 沿抛射角 方向的匀速直线运动（如果不受重力）； ✯2. 从静止开始的自由落体运动（竖直向下）。 数学表达： 设沿初速度方向的位移： 自由落体位移： （ 竖直向下） 合位移： 坐标形式（以抛出点为原点，x水平，y竖直）： 结果与分解1完全一样，但理解角度不同。 优点： 直接揭示了抛体运动的矢量合成本质：匀速 + 匀加速（自由落体）。 特别适合解决相对运动问题（如从运动平台上斜抛，或在加速参考系中）。 简化“打移动靶”问题：将重力视为背景，只考虑相对匀速运动。 典型应用： 在匀速上升的电梯中斜抛一个小球，以电梯为参考系时，小球做“标准斜抛”；以地面为参考系时，则需加上电梯的匀速。用本分解可快速求得合运动。 分解3：沿初速度方向（匀减速） + 垂直初速度方向（匀加速） 【基于重力分解，用于包络线推导】 将重力加速度分解为沿初速度方向和垂直初速度方向。 沿初速度方向：初速度 ，加速度 垂直初速度方向：初速度 0，加速度 （向下） 方程（沿初速度方向为 x’ 轴，垂直向下为 y’ 轴）： 用途： 推导包络线、分析曲率半径、研究轨迹相对于初速度方向的对称性。 分解4：沿斜面方向 + 垂直斜面方向（斜面斜抛） 【用于斜面抛体】 建轴： 沿斜面向下， 垂直斜面向上。 将 和 分解到两轴，两方向均为匀变速直线运动。 令 解得飞行时间，代入 得沿斜面射程。 （二） 四种分解方式对比表 分解方式 坐标轴 运动性质 最佳用途 核心公式 水平+竖直 水平， 竖直 :匀速； :上抛 常规计算（射程、时间、高度） 初速方向匀速+自由落体 沿初速方向(匀速)竖直向下(自由落体) 匀速 + 自由落体 矢量合成、相对运动、平台抛体 沿初速方向+垂直初速方向 沿 垂直 向下 :匀减速 :初速0匀加速 包络线推导、曲率半径 沿斜面+垂直斜面 沿斜面 垂斜面 两方向匀变速 斜面抛体（落回斜面） 令 解 ，再求 （三）包络线（安全抛物线） ✯1. 定义 从某一点以相同速率 、不同角度 抛出的所有抛物线轨迹，存在一条包络线。所有轨迹均位于包络线下方（或内侧），包络线上的点代表该方向能打到的最高（最远）边界。 ✯2. 方程（以抛出点为原点） 直角坐标形式： 或者 ✯3. 意义 这是一个开口向下的抛物线，顶点在 （即竖直上抛的最大高度）。 与 轴的交点为 ，即水平抛出的最远射程的两倍。 物理含义： 对于给定的 ，若该点在包络线下方（），则存在两个抛射角可以击中该点（高抛和低抛）；若点在包络线上，则只有一个抛射角（相切）；若点在包络线上方，则无法击中。 应用场景 抛体安全范围： 炮弹能否越过山坡？检查山坡最高点是否在包络线下方。 求最大覆盖区域： 所有轨迹覆盖的区域即为包络线与 轴之间的部分。 求最小抛速： 要击中某个目标点 ，所需最小初速度满足 等（由包络线反推）。 （四）重要结论 1.“时间半”——对称分割法 口诀： “斜抛想时间，只看竖分量；落地总时间，两倍升到顶。” 套路： 凡是要求从抛出到落回同一水平面的时间、速度、位移问题，一律先求上升时间 ，然后： 总时间 最大高度 （其实等于 ） 落回水平面时速度大小 ，方向与水平夹角 2.“平抛反演”——逆向思维 适用： 已知斜抛轨迹上一段（如从最高点到落地点），求初速度或角度。 操作： 从最高点开始到落地点的过程，可视为平抛运动（初速度 ，高度 ）。 优势： 利用平抛公式快速求时间、水平位移，避免联立方程。 3.“等效g”——类斜抛统一解法 适用： 带电粒子在匀强电场中的斜抛、在斜面上的斜抛、有恒定风力的情况。 步骤： 找出恒力合力 （如重力与电场力合力、重力和风力合力）。 计算等效重力加速度 。 确定等效竖直方向（合力方向）和等效水平方向（垂直合力方向）。 将初速度分解为沿 方向和垂直 方向。 套用斜抛公式（用 代替 ，用新角度代替 ）。 4.“中点代换”——轨迹方程秒求偏转 适用： 已知轨迹上两点坐标，求初速度或角度。 套路： 斜抛轨迹方程 中的系数可记忆为： 如果题目给出两个点（非原点），可以直接代入解方程组。若已知最大高度和射程，则轨迹方程可写为： 四、例题精析 例 1．（单选）下列说法正确的是（　　） A．所受合外力方向与速度方向不在一条直线上的物体，肯定做变加速曲线运动 B．物体做匀速率曲线运动时，其所受合外力的方向不一定与速度方向垂直 C．平抛运动的飞行时间由初速度和高度共同决定 D．斜抛运动的水平射程与初速度和抛射角度都有关 【答案】D 【解析】A．若物体所受合外力为恒力，且合外力方向与速度方向不在同一直线时，物体做匀变速曲线运动（如平抛运动），并非一定做变加速曲线运动，故A错误； B．匀速率曲线运动的速率不变，说明合外力不做功，因此合外力方向一定与速度方向垂直，故B错误； C．平抛运动竖直方向为自由落体运动，由 得飞行时间，仅由下落高度决定，与初速度无关，故C错误； D．设斜抛运动初速度为，抛射角为，则运动总时间 水平射程 可知水平射程与初速度、抛射角度都有关，故D正确。 故选D。 例 2．（单选）如图所示，点在点正下方，小球甲从点平抛，同时小球乙从点斜向上抛出，两球恰好在与点等高的点相遇。相遇时甲、乙两球速度的水平分量分别为、，竖直分量分别为、。不计空气阻力，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】AB． 在点正下方，因此甲（从出发）、乙（从出发）到点的水平位移大小相等；两球同时出发到相遇，运动时间相等。由水平位移公式，可得因此A正确，B错误。 CD．设到的竖直高度为，甲做平抛运动，竖直方向下落 相遇时甲的竖直速度分量 乙从出发，与等高，因此乙竖直方向总位移为0，设乙竖直初分量为，由位移公式 得 相遇时乙竖直分量大小 即 故CD错误； 故选 A。 例 3．（单选）如图所示，某同学将两颗谷粒从O点同时分别以速度v1、v2抛出（其中v1水平），不计空气阻力，两只小鸟先后在空中的P点接到谷粒。两谷粒的运动轨迹在同一竖直平面内，则（　　） A．谷粒1后被鸟接到 B．谷粒1从O到P平均速度大于谷粒2 C．谷粒2在最高点的速度等于v1 D．谷粒1加速度大于谷粒2的加速度 【答案】B 【解析】A．分析竖直分运动，谷粒1做自由落体运动，谷粒2做竖直上抛运动，则谷粒1比谷粒2下落的时间短，先被鸟接到，A错误。 B．两谷粒位移相同，由得谷粒1从O到P平均速度大，B正确。 C．谷粒2在最高点的速度等于水平速度，而在水平方向由x＝vxt得v1＞v2x，C错误。 D．两谷粒都只受重力，加速度相等，D错误。 故选B。 例 4．（单选）如图所示，小球从斜面上A点以大小相等的初速度分别水平向右（图甲）和垂直斜面向上（图乙）抛出，随后小球均与斜面发生一次弹性碰撞并反弹（小球垂直斜面的速度大小不变、方向反向，沿斜面方向的速度大小和方向均不变，碰撞时间极短），之后分别落回斜面上的C、D两点。设小球从A到B、B到C的运动时间依次为t1、t2，位移依次为x1、x2；小球从A到E、E到D的运动时间依次为t3、t4，位移依次为x3、x4，不计空气阻力。下列说法正确的是（     ） A．t1<t2 B．t1=t3 C．x1∶x2=1∶3 D．x3∶x4=1∶3 【答案】D 【解析】AB．斜面倾角相同，可知平行斜面方向的加速度均为 垂直斜面方向上的加速度均为 小球在平行斜面方向都做匀加速直线运动，在垂直斜面方向上，都做相同的类竖直上抛运动。小球与斜面发生弹性碰撞并反弹（小球垂直斜面的速度大小不变、方向反向，沿斜面方向的速度大小和方向均不变，碰撞时间极短），对图甲可知从A到B、B到C的运动时间相等，均为；同理对图乙 可得 ，故AB错误； CD．对图甲：小球从A到B、B到C的位移依次为x1、x2，有， 可得 可得 对图乙：小球从A到E、E到D的位移依次为x3、x4，有， 可得，故C错误，D正确。 故选D。 例 5．（单选）如图所示，一固定斜面倾角为，斜面足够长。将小球从斜面顶端以速率向右抛出，小球最终落在斜面上，不计空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A．若小球水平向右抛出，小球抛出时的速率越大，小球落在斜面瞬间速度方向与水平方向的夹角变大 B．若小球水平向右抛出，则当时，小球距斜面的距离最远 C．若小球垂直斜面抛出，则当小球离斜面最远时，小球的位移大小为 D．若小球垂直斜面抛出，则小球落到斜面时的位移大小为 【答案】D 【解析】A．由平抛运动的推论可知，小球速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，即，故只要小球落在斜面上，则小球落在斜面瞬时速度方向不变，A错误； B．将小球的重力加速度和速度均沿垂直斜面和沿斜面方向分解，则小球的运动可分解为垂直斜面方向的类竖直上抛运动和沿斜面方向的匀加速运动，由运动的分解可知垂直斜面方向的加速度和沿斜面方向的加速度大小分别为，，当小球垂直斜面方向的速度等于零时，小球离斜面最远，若小球水平向右抛出，则，B错误； C．若小球垂直斜面抛出，则，则当小球离斜面最远时，小球垂直斜面方向的位移大小为，沿斜面方向的位移大小，则小球的总位移大小为，C错误； D．由类竖直上抛的对称性，小球落到斜面时的位移大小，D正确。 故选 D。 例 6．（单选）多个相同小球从地面上同一点，沿不同方向以相同速率抛出，在同一个竖直面内运动，小球最终落回到地面上。不计空气阻力，则小球运动经过的区域可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设抛出点为原点，初速度为，抛射角为θ。则有 解得 因为 令 联立整理得 对 u 求极值，可得 可知图像是一个开口向下的抛物线。 故选B。 例 7．（单选）如图所示，某运动员在点将篮球斜向上抛出，篮球在空中划过一道弧线后，到达点。已知篮球抛出时速度方向与水平方向的夹角为，速度大小为，、两点的连线与水平方向的夹角为。若不计空气阻力，篮球视为质点，重力加速度大小为，则篮球由点运动到点的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 抛出时水平方向分速度 竖直方向分速度：​​ 设运动时间为，水平位移 竖直位移 题意可知 解得运动时间： 故选B 。 例 8．（单选）某同学课间踢毽子，毽子运动轨迹如图实线所示，为轨迹上三点，为轨迹最高点。已知直线、直线与水平方向夹角分别为和。不计空气阻力，毽子从运动到与从运动到的时间之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设毽子在最高点的速度为，方向水平，与轨迹上任一点连线与水平方向的夹角为，从到该点，，， 得 从到可视为从到平抛运动的逆运动，故 故选B。 例 9．（单选）如图所示为俯视图，在水平面内有一个圆，一质点以一定初速度由圆周上点沿着切线方向发射，运动一段时间后，恰好沿着圆周切线方向经过圆周上的点且速度大小也为。已知质点在运动过程中水平方向仅受到一个大小恒定、方向不变的力作用，则质点从运动至的过程中，下列说法中正确的是（    ） A．质点可能做圆周运动 B．根据题中信息无法确定恒力的方向 C．质点在相同的时间内速率的变化量总是相等的 D．质点的速率先减小后增大 【答案】D 【解析】A．圆周运动需要向心力方向时刻指向圆心，而质点受恒力F，方向恒定，无法提供时刻变化的向心力，因此不可能做圆周运动，故A错误； BD．质点初、末速率均为，方向为圆上A、B两点的切线方向。根据力和运动的合成与分解，恒力F方向应与初速度、末速度所在直线均成45°，质点做类斜抛运动，速率先减小后增大，故D正确，B错误； C．质点受恒力F，加速度恒定（大小、方向均不变）。根据加速度的定义式 在相同的时间内，速度的变化量的大小和方向都相等，速度是矢量，速率是标量，质点做曲线运动，在相同的时间内，速度变化量相同，速率变化量不一定相同，故C错误。 故选D。 例 10．（单选）如图所示，在同一高度处将四个小球以相同的速率同时抛出：甲水平抛出、乙斜向上抛出、丙斜向下抛出、丁竖直向下抛出。不计空气阻力，则最先落地的小球是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【解析】设抛出点离地高度为，初速度大小为，取竖直向下为正方向。四个小球在竖直方向上均只受重力作用，加速度均为。 根据竖直方向的位移时间公式： 可知，在和相同的情况下，竖直向下的初速度分量越大，落地时间越短。 分析四个小球竖直方向的初速度分量： 甲球做平抛运动，初速度水平，竖直分速度 乙球斜向上抛出，初速度有竖直向上的分量，即 丙球斜向下抛出，设速度与水平方向夹角为 ，则竖直分速度 ，由于 ，故 丁球竖直向下抛出，初速度竖直向下，竖直分速度 综上所述，竖直向下的初速度分量大小关系为： 因此，丁球的落地时间最短，最先落地。故选D。 例 11．（单选）如图所示，建筑工人向房顶抛投建筑材料，初速度大小为，与水平方向的夹角为53°，抛出点和落点的连线与水平方向夹角为45°，重力加速度大小为，，忽略空气阻力。则点到点的时间是（　　） A． B．0.6s C． D． 【答案】B 【解析】由几何关系可知，物体的水平位移x与竖直位移y相等，而， 解得 故选B。 例 12．（多选）投掷铅球时，铅球的出手高度h、出手速度v0的大小和方向（用出手速度方向与水平方向的夹角θ表示，也叫抛出角）都对成绩有影响。如图所示，一同学在练习投掷铅球（可视为质点）时，另一同学用手机的连拍功能记录了铅球在空中的运动位置。已知手机连拍的时间间隔为T=0.2s，图中1位置为铅球刚出手时的位置，4位置为铅球运动中的最高点，8位置为铅球刚要落地时的位置，测得水平射程x=11.2m。不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，下列说法正确的是（　　） A．出手速度v0的大小为8m/s B．抛出角θ=37° C．铅球离地面的最大高度为1.8m D．落地速度的大小为 【答案】BD 【解析】A．相邻位置时间间隔，从出手（位置1）到最高点（位置4）共 最高点竖直速度为0，因此竖直初速度 从出手到落地（位置8）总时间，水平总位移 水平分速度 出手速度大小，A错误； B．抛出角 ，得，B正确； C．小球从最高点位置4到落地点位置8共用时 最大高度，C错误； D．落地时水平速度，竖直速度 因此落地速度大小，D正确。 故选 BD。 例 13．（多选）如图所示，某同学正在练习投篮，虚线ABC为篮球在空中的运动轨迹，B点为轨迹最高点，C点在篮筐的中心，忽略空气的阻力，关于该过程下列说法正确的是（　　） A．篮球的加速度是恒定的 B．篮球的速度是变化的 C．相同时间内篮球速度变化量不相等 D．篮球在B点速度为零 【答案】AB 【解析】AC．篮球在空中运动过程中只受到重力，加速度不变始终等于重力加速度，相等时间内速度的变化量相同，故A正确，C错误； B．篮球做曲线运动，篮球在运动过程中，速度的大小和方向不断变化，故B正确； D．篮球在最高点的速度是水平的，不为零，故D错误。 故选AB。 例 14．如图所示，两小球A、B同时以的速度从O点分别斜向下、斜向上射出，A、B两小球的速度方向均与水平方向成夹角，当小球A落地时，小球B恰好运动到最高点，重力加速度g取，，，求： (1)O点到水平地面的高度H； (2)小球B从抛出到落地的过程中的水平位移x。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）小球B从抛出到最高点所用时间 小球A竖直方向的初速度大小 O点到水平地面的高度 （2）小球B从抛出到最高点的高度 小球B从最高点到落地所用时间 小球B的水平位移 例 15．如图，将小球从空中点以一定的初速度斜向右上抛出，抛出时的初速度与水平方向的夹角，经过一段时间，小球运动到点，小球在点的速度与水平方向的夹角，重力加速度取，，，不计空气阻力。求： (1)小球从点抛出时的速度大小； (2)、两点间的水平距离和竖直距离。 【答案】(1) (2)， 【解析】（1）小球在点的水平分速度大小等于在点的水平分速度大小，即 小球在点的竖直分速度大小为 小球在点的竖直分速度大小为 根据运动学规律得 解得， （2）根据抛体运动的规律可得、两点间的水平距离 代入数据解得 竖直距离 解得 例 16．一位同学在水平面上进行跳远训练，该同学以与水平面成大小为的速度离开地面腾空如图所示，不计空气阻力，取，该同学可视为质点。则该同学到达最高点时的速度大小为___________ ，在空中运动的时间为___________s，跳远成绩为__________m。（，） 【答案】 4 0.6 2.4 【解析】[1]由题可知，该同学做斜抛运动，即竖直方向做匀减速直线运动，水平方向做匀速直线运动。在最高点时竖直方向的速度为零，则该同学到达最高点时的速度等于水平速度大小，即为 [2]该同学在竖直方向的分速度为 则该同学从开始运动到最高点的时间为 根据对称性可知，该同学在空中运动的时间为0.6s [3]该同学的跳远成绩为 学科网（北京）股份有限公司 $