二次函数与幂函数 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“二次函数与幂函数”核心考点，依据高考评价体系梳理了二次函数解析式、图象性质、闭区间最值及幂函数定义、图象性质等考查要求，通过对比表归纳、分类讨论等方式对接高频考点，构建完整知识体系。 课件亮点在于“真题典例+方法总结+变式训练”的实战策略，如二次函数根的分布问题采用“端点函数值+判别式+对称轴”三步法解析，培养学生数学思维；幂函数定义强调“系数为1”关键，提升数学语言表达能力。方法总结与易错点分析帮助学生掌握答题技巧，教师可据此高效指导复习。

2.4 二次函数与幂函数 返回目录 知识清单 知识点1　二次函数 1.二次函数解析式的三种形式 一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0); 顶点式:f(x)=a(x-h)2+k(a≠0); 零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). 返回目录 2.二次函数的图象和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) 图象     定义域 R 值域     递增区间     递减区间     对称性 函数的图象关于直线x=- 对称 返回目录 知识拓展　二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在闭区间[m,n]上的最大(小)值 1.当- ≤m时,最小值为f(m),最大值为f(n); 2.当m<- ≤ 时,最小值为f ,最大值为f(n); 3.当 <- ≤n时,最小值为f ,最大值为f(m); 4.当- >n时,最小值为f(n),最大值为f(m). 返回目录 知识点2　幂函数 1.幂函数的概念:一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数. 2.几个常用幂函数的图象和性质 函数 y=x y=x2 y=x3 y=  y=x-1 图象   返回目录 定义域 R R R {x|x≥0} {x|x≠0} 值域 R {y|y≥0} R {y|y≥0} {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 在R上单调递增 在(-∞,0)上单调 递减,在(0,+∞)上 单调递增 在R上单调递增 在[0,+∞)上单调 递增 在(-∞,0)和(0,+ ∞)上单调递减 返回目录 a>0,b>0 a>0,b<0 图象     定义域 {x|x∈R,x≠0} 值域 (-∞,-2 ] ∪[2 ,+∞) R 奇偶性 奇函数 知识拓展　函数y=ax+ (ab≠0)的图象与性质 返回目录 单调性 在 ,  ,+∞ 上单调递增; 在 , 上单调递减 在(-∞,0),(0,+∞)上单调递增 返回目录 即练即清 1.判断正误.(对的打“√”,错的打“✕”) (1)幂函数的图象在四个象限均有可能出现. ( ) (2)当幂指数α=-1时,幂函数y=xα是减函数.( ) (3)当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数. ( ) (4)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0,x∈R)不可能是偶函数. ( )     ✕         √         ✕         ✕     返回目录 2.若f(x)=(m2-3m-3)xm+2是幂函数,则m的值为_________. 　-1或4     返回目录 3.已知二次函数y=x2-(m-4)x+2m-3,当m=_______时,函数图象的顶点在y轴上;当m=________ ____时,函数图象的顶点在x轴上;当m=_________时,函数图象经过原点.     2或14     4     返回目录 4.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,4]上是减函数,则实数a的取值范围是___________.     (-∞,-3]     返回目录 考点清单 考点1　二次函数 角度1　二次函数的图象与解析式 典例1    (2025届江西南昌模拟,6)在同一平面直角坐标系中,二次函数y=ax2与一次函数y =bx+c的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象可能是 ( )    　     　     　          D     返回目录 解析　根据一次函数y=bx+c的图象判断b>0,c<0, 根据二次函数y=ax2的图象判断a>0, 则y=ax2+bx+c的图象开口向上,对称轴为直线x=- <0.故选D. 解题技巧    1.研究二次函数图象的关键点:(1)二次项系数的符号;(2)图象的对称轴;(3) 图象经过的特殊点(如图象与x,y轴的交点,图象的最高点或最低点). 2.求二次函数的解析式常用待定系数法,先设后求. 返回目录 变式训练 1.(情境模型变式)(多选)下列结论正确的是( ) A.若二次函数的图象过点(1,-4),(-1,0),(-2,5),则二次函数的解析式为y=x2-2x-3 B.若抛物线的顶点为(-2,3),且过点(-1,5),则此抛物线方程为y=2x2+8x+11 C.若二次函数的图象与x轴交于点(-2,0)和(4,0),且过点 ,则二次函数的解析式为y= - x2-x-4 D.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,3),(12,3),其顶点的纵坐标为6,则这个抛物线的方程为y = x2+x+3     AB     返回目录 解析　选项A,设y=ax2+bx+c(a≠0),将(1,-4),(-1,0),(-2,5)代入y=ax2+bx+c,得  解得  所以二次函数的解析式为y=x2-2x-3,A正确; 选项B,设y=a(x+2)2+3(a≠0),因为抛物线过点(-1,5), 所以a+3=5,解得a=2,所以抛物线方程为y=2(x+2)2+3=2x2+8x+11,故B正确; 对于C,将x=1代入y=- x2-x-4,得y=- ≠- ,故C错误; 对于D,将x=12代入y= x2+x+3,得y=27≠3,故D错误.故选AB. 返回目录 角度2　二次函数的性质 典例2    (2025届陕西榆林月考,13)已知关于x的方程x2-(m+1)x+4m2=0的两根分别在区间 (0,1),(1,2)内,则实数m的取值范围为_________. 解析　令f(x)=x2-(m+1)x+4m2,根据题意得 即  解得0<m< , 则m的取值范围为 . 返回目录 典例3    (多选)(2026届贵州六盘水月考,7)已知函数f(x)= 在区间(m,m+1)上 单调递增,则m的取值范围是 ( ) A.(-∞,0]　　    B.[0,1] C.[-1,0]　　     D.(-∞,-1]∪[1,+∞)     D     解析　函数f(x)= 的图象如图, f(x)的单调递增区间为(-∞,0],[1,+∞).若函 数f(x)在区间(m,m+1)上单调递增,则m+1≤0或m≥1,解得m≤-1或m≥1,故选D.   返回目录 方法总结    1.一元二次方程根的分布问题的解法 (1)一元二次方程在某开区间内有一根(或两根分别在两个开区间内),结合图象只需考 虑端点处函数值的符号. (2)一元二次方程在某开区间内有两根,结合图象不仅要考虑端点处函数值的符号,还要 考虑判别式,以及对称轴在开区间内部. 2.二次函数在某区间上的单调性关键是看对称轴与区间的位置关系,当含有参数时,要 依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 返回目录 变式训练 2.(关键元素变式)若方程x2-(2-a)x+5-a=0的两根都大于2,则实数a的取值范围是______ _________. (-5,-4]     解析　令f(x)=x2-(2-a)x+5-a,可得  即  解得-5<a≤-4. 返回目录 3.(关键元素变式)已知函数y=x2-3x-4的定义域是[-1,m],值域为 ,则m的取值范 围是 ( ) A.(0,4]　　    B. 　　    C. 　　    D.      B     解析　令y=x2-3x-4=0,得x=4或x=-1,当x= 时,y=- ,所以m∈ .故选B. 返回目录 考点2　幂函数 角度1　幂函数的图象 典例4　已知函数f(x)= 则y=-f(x)的图象大致为 ( )  　     　     　          C     返回目录 解析　当x<0时, f(x)=x-2= 在(-∞,0)上单调递增; 当x≥0时, f(x)= = 在[0,+∞)上单调递增. 因此函数f(x)= 的图象如图所示.   y=-f(x)的图象只需将y=f(x)在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方(点(0,0)保持不变)即 可.故选C. 返回目录 解题技巧    1.作幂函数的图象时应注意三点: (1)函数的定义域; (2)函数的奇偶性; (3)第一象限内的图象. 2.在区间(0,1)上,幂函数的指数越大,其函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”);在区 间(1,+∞)上,幂函数的指数越大,其函数图象越远离x轴. 返回目录 变式训练 4.(关键元素变式)图中曲线C1,C2,C3,C4是幂函数y=xa中a取不同值时对应的部分图象, 已知a分别取 ,4,-4,- 这四个值,则与曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次为 ( )   A.4, ,- ,-4　　    B.-4,- , ,4 C.- ,4,-4, 　　    D.4, ,-4,-      A     返回目录 解析　因为在直线x=1右侧的图象自下而上所对应的幂函数的幂指数依次增大, 所以与C1,C2,C3,C4对应的a的值依次减小,故选A. 返回目录 角度2　幂函数的性质 典例5    (多选)已知函数f(x)=(m2-m-1)· 是幂函数,对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2, 满足 >0.若a,b∈R,且f(a)+f(b)的值为负值,则下列结论可能成立的有  ( ) A.a+b>0,ab<0　　     B.a+b<0,ab>0 C.a+b<0,ab<0　　     D.a+b>0,ab>0 BC     返回目录 解析　∵函数f(x)=(m2-m-1)· 为幂函数,∴m2-m-1=1,解得m=-1或m=2. 当m=-1时, f(x)= ; 当m=2时, f(x)=x3. ∵对任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,满足 >0, ∴函数y=f(x)在(0,+∞)上单调递增, 故f(x)=x3. 易得f(-x)=-f(x),从而函数f(x)=x3是定义在R上的单调递增的奇函数. 因为f(a)+f(b)<0,即f(a)<-f(b)=f(-b),所以a<-b,所以a+b<0,排除A,D. 返回目录 ①当a=0时,b<0,故ab=0; ②当a>0时,0<a<-b,故b<0,故ab<0; ③当a<0时,由a<-b知,b<-a,故b<0或b=0或b>0,即ab>0或ab=0或ab<0. 综上可知,a+b<0,且ab>0或ab=0或ab<0.故选BC. 返回目录 解题技巧    1.幂函数y=xα在第一象限的单调性 (1)当α>0时,幂函数y=xα在第一象限单调递增; (2)当α<0时,幂函数y=xα在第一象限单调递减. 2.形如f(x)= (其中m∈N*,n∈Z,m与n互质)的幂函数的奇偶性: (1)当n为偶数时,f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称; (2)当m,n都为奇数时,f(x)为奇函数,其图象关于原点对称; (3)当m为偶数时,x>0(或x≥0), f(x)是非奇非偶函数,图象只在第一象限(或第一象限及原 点处). 返回目录 变式训练 5.(情境模型变式)(2025届重庆育才中学开学考,4)已知幂函数f(x)=(3m2-7m-5)xm-1是定 义域上的奇函数,则m= ( ) A.- 或3　　    B.3　　     C. 　　     D.-      D     返回目录 解析　由函数f(x)=(3m2-7m-5)xm-1是幂函数,得3m2-7m-5=1,解得m=3或m=- , 当m=3时, f(x)=x2是R上的偶函数,不符合题意; 当m=- 时, f(x)= = 是(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数【奇×偶=奇】,符合题意,所以 m=- . 故选D. 返回目录 6.(关键元素变式)(多选)已知函数f(x)=xα的图象过点 ,则 ( ) A. f(x)的图象过点  B. f(x)在(0,+∞)内的值域为(0,+∞) C. f(x)在定义域上单调递减 D. f(x)的图象关于y轴对称     AB     返回目录 解析　因为f(x)的图象过点 ,所以 =3α,解得α=-1,则f(x)= . 对于A,当x=9时, f(9)= ,所以f(x)的图象过点 ,A正确. 根据幂函数的图象与性质可知f(x)= 是奇函数,图象关于原点对称,在定义域上不具有 单调性,在(0,+∞)内的值域为(0,+∞),故CD错误,B正确.故选AB. 返回目录 $