第二章 函数的基本性质 测试卷-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数定义域、单调性、奇偶性、周期性等核心性质，通过选择、填空、解答题梯度设计，强化数学抽象与逻辑推理，构建从概念到综合应用的知识网络。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定义域与解析式|选择2、解答15|抽象函数定义域、解析式求法|从函数定义出发，衔接复合函数定义域与方程思想| |单调性|选择5、填空13、解答16(2)、18(2)|单调区间判断、参数范围、定义证明|以图像观察为基础，深化导数与定义法的应用逻辑| |奇偶性|选择8、多选9A、解答16(1)、18(1)|奇偶性判断、性质应用|结合图像对称性，强化定义验证与参数求解的推理链| |周期性与对称性|选择7、11，填空12|周期计算、对称性质综合|从周期定义延伸至奇偶性与对称性的交叉应用|

2027年一轮复习第二章 函数的基本性质 高三数学测试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 2．若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 4．当时，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 5．函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 7．函数是周期为2的周期函数，当时，则的值为（     ） A．1 B． C．0 D．2026 8．已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（    ） A． B． C．2 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选题）已知函数与的图象如图所示，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 10．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 11．已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时， D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______． 13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______. 14．已知函数.若的定义域为，则实数的取值范围为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 16．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明． 17．已知函数 (1)若为一次函数，且满足，求； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，求使的取值范围. 18．已知函数，函数为奇函数． (1)求实数的值及的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使的实数的取值范围． 19．已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年一轮复习第二章 函数的基本性质 高三数学测试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D． 【答案】C 【详解】由已知， 所以. 2．若函数定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 3．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，且，则， 可得， 所以. 4．当时，函数的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，结合时，的符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，因为，由可得且， 故函数的定义域为，排除AC， 当时，，排除D. 5．函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的定义域、单调性以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】函数有意义，则，解得. 令，开口向下，对称轴为. 则函数在上单调递增，在上单调递减. 函数关于是单调递减，根据复合函数"同增异减"，要求原函数的增区间，等价于求内层 的减区间， 即. 6．已知函数，若，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性定义可得函数为奇函数，结合其单调性可得，再利用基本不等式计算即可得解. 【详解】由恒成立，故定义域为， ， 由在上单调递增， 且在上单调递增，则在上单调递减， 有， 则， 故函数为奇函数，则在上单调递减， 则由可得， 即，则， 则， 当且仅当时，等号成立，即的最小值为. 7．函数是周期为2的周期函数，当时，则的值为（     ） A．1 B． C．0 D．2026 【答案】C 【详解】. 8．已知是定义在上的奇函数，函数的图象关于点对称，且满足 ，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】先根据的对称性得出，结合奇偶性得出4是的一个周期，再结合周期性可得，即可得结果. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 则，即， 当时，则， 且，可知对任意恒成立， 又因为是定义在上的奇函数，则，， 可得，即， 则，得，可知4是的一个周期， ，， 所以， 所以， 又因为，即，可得， 所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（多选题）已知函数与的图象如图所示，则（    ） A．为奇函数 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】根据函数奇偶性的定义可判断A；通过举反例排除B；根据复合函数的单调性可判断C； 通过函数的变化趋势可判断D. 【详解】由图象知定义域为，是偶函数，在上单调递增，在上单调递减； 定义域为，是奇函数，在上单调递增，在上单调递增； 对于A，定义域为， 又因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，令，则， ，但，，，故B错误； 对于C，， 由图象知， 因为在上单调递增，所以， 又因为在上单调递减，所以， 即在上单调递减，故C正确； 对于D，记与轴交于点，与轴交于点， 由图可知，当从趋近于时，的函数值从0趋近于， 的函数值从一个定值趋近于， 所以的值从0趋近于， 即的值可以取到， 又为奇函数， 所以的值域为，故D正确. 10．（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 【答案】CD 【详解】将函数去掉绝对值得， 画出函数的图象，如图，观察图象可知， 函数的图象关于原点对称， 故函数为奇函数，且在上单调递减，在上单调递增，故CD正确． 11．已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时， D． 【答案】AC 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】由可得得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得， 因此，图象关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，，所以， 从而的值域为，在此区间上，所以， 故恒成立，选项D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则______． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质及得是周期为6的函数，再应用周期性和奇函数的性质求函数值. 【详解】由题设， 用代替，则，故， 所以，即是周期为6的函数， 所以. 13．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】根据分段函数在R上单调递增列出不等式组，解此不等式组即可作答. 【详解】由题意可得，解得. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 14．已知函数.若的定义域为，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】将问题转化为在上恒成立，分、讨论，并结合一元二次函数的性质求解. 【详解】由题意可知， 在上恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得， 综上，实数的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（1），求的解析式; （2）已知，求; （3）已知（且），求. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用代入法可得出的解析式； （2）利用换元法可求出函数的解析式； （3）由得出，结合方程组法可得出函数的解析式. 【详解】（1）因为，所以； （2）因为，令，则， 所以，故； （3）因为①（且），所以②， 联立①②可得. 16．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)求函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明． 【答案】(1) (2)函数在上单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据奇函数的性质以及题干中的已知点，建立方程组，可得答案； （2）根据函数单调性的定义，利用作差法，可得答案. 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，则，即， 由，则，解得， 所以. （2）取，设，， 由，则，，即，所以， 即，所以函数在上单调递增. 17．已知函数 (1)若为一次函数，且满足，求； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)已知，求使的取值范围. 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）设，利用待定系数法求出即可； （2）将参数分离，利用基本不等式求出表达式的最小值可得结果； （3）将函数改写成关于的一次函数，利用一次函数单调性解不等式可求出的取值范围为. 【详解】（1）设， 由可得， 即，所以， 解得或， 因此或 （2）由题可知不等式在时恒成立， 显然当时，为任意值时都满足题意， 当时，不等式可化为在时恒成立， 易知， 当且仅当，即时，等号成立； 因此，所以； 即实数的取值范围为 （3）令，； 因为，所以； 由于是关于的一次函数，要使在上恒成立，则； 即，解得，也即； 因此使的取值范围为. 18．已知函数，函数为奇函数． (1)求实数的值及的解析式； (2)判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论； (3)求使的实数的取值范围． 【答案】(1)，，定义域为． (2)在单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）利用奇函数的性质求解参数，进而求出的解析式即可. （2）利用定义法求解函数的单调性即可. （3）对给定的不等式合理变形，进而求解的取值范围即可. 【详解】（1）记， 由条件知对任意成立， 可得，解得， 则， 故，定义域为． （2）在单调递增，证明如下： 任取，且， 则 ， 因为，所以， 所以，即，故在区间上单调递增． （3）由，解得， 可得， 而， 则等价于， 故实数的取值范围是． 19．已知是定义在上的函数，且满足，又当时，． (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)求证：在区间上单调递减； (3)若，解不等式． 【答案】(1)为奇函数，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求得，再令，得到，即可证得为奇函数； （2）由（1）得到，令且，根据题意，证得，即可得证； （3）由（2）求得，根据题意，把不等式转化为，得到不等式，求解即得. 【详解】（1）函数为奇函数，理由如下： 因函数的定义域为，关于原点对称， 令，则，可得． 令，则，即， 用代换，可得，所以为奇函数． （2）由（1）知，则，即， 令，且，则且， 可得， 因为当时，，所以，即， 所以函数在上单调递减，所以函数在区间上单调递减． （3）由（2）知，可得， 由题设，可得，又，故原不等式可化为， 由（2）函数在上单调递减，可得，解得， 故不等式的解集为． 2 / 12 1 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $