河南省信阳高级中学新校(贤岭校区)2025-2026学年高三下学期第三次测试(A)数学试题

**基本信息** 高三三模数学试卷以真实情境与能力梯度为特色，如全国人大会议人员分配（第13题）、病毒筛查优化（第18题）等题，考查数学眼光观察现实世界与逻辑推理能力，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合、复数、概率、函数性质|结合正态分布与二项式定理（第5题），考查充分必要条件| |多选题|3/18|椭圆、三角函数、立体几何|椭圆焦点三角形性质（第9题），考查空间想象与推理| |填空题|3/15|圆方程、排列组合、不等式恒成立|会议人员分配（第13题），体现数据意识与应用| |解答题|5/77|数列、导数、立体几何、统计、抛物线|病毒筛查优化（第18题）、抛物线定点问题（第19题），综合考查数学思维与表达|

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期三模测试（A） 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C C B A C A B ACD AC ABD 1 学科网（北京）股份有限公司 12． 13． 14．/ 15．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系求解；（2）利用裂项相消法求和即可证明. 【详解】（1）时，， 时， 经验证时 ∴ （2）时      时，， ，      ∴． 16．(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，再分和两种情况讨论函数的单调性； （2）首先根据（1）的结果可知且，再结合零点存在性定理，即可证明. 【详解】（1）根据条件则 当时，在定义域内恒成立，因此在递减； 当时，由，解得；，解得 因此：当时，的单调减区间为，无增区间； 时，的单调减区间为，增区间为； 注：区间端点处可以是闭的 （2）若有两个零点，有（1）可知且 则必有 即，解得 又因， 即， 当时，恒成立，即在单调递减， 可得， 也即得在恒成立， 从而可得在，区间上各有一个零点， 综上所述，若有两个零点实数a的范围为 17．(1) (2) 【分析】（1）由题意，利用三棱锥体积的最大值求出的半径，建系后，写出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得； （2）利用（1）的坐标系，设，表示出相关点和向量的坐标，利用点到直线距离的向量公式求出点到直线的距离的表达式，利用二次函数的性质求出其最大值即得的面积的最大值，以及此时的值. 【详解】（1）设的半径为，则，， 因平面，故当三棱锥体积取得最大值时，中边上的高最大，即为半径长， 故有，解得. 如图以点为原点，所在直线分别为轴，以平面上过点的的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 因，易得，则， 又， 设平面的法向量为， 则，令，取， 易得平面的一个法向量为， 则， 设二面角的平面角为，则， 即二面角的正弦值为；    （2）由（1）可得，设，则，， ，则， 所以，则与同方向的单位向量为， 于是点到直线的距离为 ， 因的面积为，， 故当且仅当 时，的面积最大，此时. 18．(1)混合化验能减少化验的次数，大约减少5738次 (2)当时，最小，大约化验：2742次. 【分析】（1）根据题意求出5人一组需要验血次数X的均值，然后求出总共需要多少次，再根据题中数据作差即可求解； （2）假设个人一组，设每个人需要化验的次数为，先求出每个人需要化验的次数的分布列，然后求出均值的表达式，再利用函数的单调性即可求解. 【详解】（1）5人一组需要验血次数X的所有可能取值为1，6. ∴， ∴的分布列为： 1 6 ∴ ∴共需要化验次数大约为：（次） 大约减少（次） ∴混合化验能减少化验的次数，大约减少5738次. （2）假设个人一组，设每个人需要化验的次数为， 若混合血样呈阴性，则，若混合血样呈阳性，则 ∴的分布列为： ∴ ∵先减后增， ，∴ ，∴ ∴当时，最小，最小值为：， 此时大约化验：次. 19．(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【分析】（1）由点在抛物线上及焦半径公式列出等式求解即可； （2）（i）法一：设直线的方程为，联立抛物线方程，由韦达定理，结合，求得或即可；法二：设，由，结合直线BD的方程为，代入化简得到即可求证；（ii）设，设直线的方程为，直线的方程为，结合弦长公式及三角形面积公式，进而可求解； 【详解】（1）解：因为点在C上， 所以. 因为，所以， 则，解得， 所以的方程为. （2） （i）证明：法一：由题意知直线的斜率存在，. 设直线的方程为， 联立）得， 则， ， ， 所以， 解得或. 当时，直线的方程为，过点，不符合题意，舍去； 当时，直线的方程为，恒过点. 综上，直线BD过定点. 法二：由题意知，设， 则， 同理可得. 由，得， 整理得①. 直线BD的方程为， ， 两式相加得， 即， 即. 由①得，故直线BD过点. （ii）解：设，易知直线和的斜率均存在且不为0，设直线的方程为，直线的方程为， 此时， 则. 由，得. 联立得， 由，得， 同理，所以， 则， 同理可得， 所以， ， 由题意得 . 因为在和上均单调递增， 所以， 又， 即16， 所以. $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三下期三模测试（A） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知集合，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（    ） A． B． C．1 D． 3．设，是两个随机事件，且发生必定发生，，，给出下列各式，其中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若函数且为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 5．已知ξ服从正态分布，a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分又不必要条件 D．充要条件 6．已知直线与抛物线交于两点，且交于，点的坐标为，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（    ） A．29，19 B．31，18 C．29，20 D．27，19 8．在中，已知，，，，边上的两条中线，相交于点P，则的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9．椭圆的左、右焦点为，，P为上的动点，下列说法正确的是（    ） A．的周长为12 B．存在点，使 C．的最大值为12 D．到的距离的最大值为4 10．函数，则（ ） A．的值域为 B．的周期 C．若，当取得最大时， D．当为奇函数时， 11．在三棱锥中，，，平面，则（     ） A．外接圆直径为 B． C．当时，三棱锥的体积取得最大值 D．三棱锥的外接球半径的取值范围是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．圆心在直线y＝－2x上，并且经过点，与直线x＋y＝1相切的圆C的方程是______. 13．十四届全国人大一次会议于2023年3月5日在北京召开．会议期间，会议筹备组将包含甲、乙在内的5名工作人员分配到3个会议厅负责进场引导工作，每个会议厅至少1人．每人只负责一个会议厅，则甲、乙两人不分配到同一个会议厅的不同安排方法共有______种．（用数字作答） 14．若不等式对恒成立，则的最大值为___________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）已知是数列的前n项和，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，是的前项和，证明：． 16．（15分）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围. 17．（15分）为的直径，垂直于所在的平面，是圆周上不同于的任意一点，，三棱锥体积的最大值为．    (1)当时，求二面角的正弦值； (2)当的面积最大时，求． 18．（17分）某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占0.05，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次，统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5人全部阴性；如果混合呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.（每一小组都要按要求独立完成） (1)按照这种化验方法能减少化验次数吗?如果能减少化验次数，大约能减少多少? (2)如果携带病毒的人只占0.02，按照个人一组，取多大时化验次数最少?此时大约化验多少次? 说明：，先减后增 0.8858 0.8681 0.8508 0.8337 19．（17分）已知抛物线的焦点为为上一点，且. (1)求的方程； (2)过点作两条相互垂直的直线分别与交于两点. （i）证明：直线过定点； （ii）若直线分别与轴交于两点，记的面积分别为，当时，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $