6.1.1 平方根 课件 2025-2026学年沪科版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“平方根”课题，核心涵盖平方根与算术平方根的概念、性质、表示方法及开平方与乘方的互逆关系。课堂通过“正方形场地边长”“地砖面积”等实际问题导入，衔接乘方运算，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生逐步理解知识脉络。 其亮点在于以数学眼光观察现实（如从面积问题抽象平方根概念），用数学思维推理性质（通过合作探究归纳正负平方根关系），借数学语言规范表达（如√a与±√a的符号使用）。采用实例导入、对比总结（如平方根与算术平方根的区别联系表）等方法，助力学生深化理解，教师可高效开展概念教学与能力培养。

第6章 实数 课题：平方根 沪科版 七年级 数学（下） 学习目标 1. 了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根、算术平方根; 2.了解开方与乘方是互逆运算，会利用这种互逆关系求百以内整数的平方根、算术平方根，会进行简单的开平方运算; 3.通过探索平方根与算术平方根的区别与联系，学会利用算术平方根解决平方根的问题; 4.通过对平方根的学习，培养学生从多方面、多角度分析解决问题的思想意识，养成全面分析问题的习惯. 重点 难点 一级标题：黑体， 2 为了趣味接力比赛,要在运动场上圈出一个面积为100平方米的正方形场地,这个正方形场地的边长为多少? 10米 因为 请你说一说解决问题的思路． 新知导入 如果一个数的平方等于 ，这个数是多少？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 答：或 由于( )²=，那么这个数也可以是 根据上面的研究过程填表： x2 1 16 36 49 x 1或1 4或4 6或6 7或7   一级标题：黑体， 4 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 总结探究 平方根概念： 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么 这个数叫做 a 的平方根或二次方根. 这就是说，如果 x2=a，那么 x 叫做 a 的平方根. 例如，由于10²=100，(10)²=100，所以100的平方根是10和10. 注意：一个正数有两个平方根，不要丢掉负的平方根. “2”往往省略不写 一级标题：黑体， 5 问题1、装修房屋，选用了某种型号的正方形地砖，这种地砖4块正好铺1，如图，问这种地砖一块的边长是多少？ 设一块正方形地砖的边长为xm，根据题意，有 怎么求x呢？ 新知讲解 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫做二次方根. 例如，由于102=100，（ -10）2=100，所以100的平方根是+10和-10（可以合写为±10）. 新知讲解 1. 16 的平方根是什么? 2. 0 的平方根是什么? 3. －9 有没有平方根? 0 的平方根 0 . 负数没有平方根. ±4. 平方根的个数和这个数的正负性有什么关系? ① 一个正数有两个平方根，它们互为相反数； ② 0的平方根是0； ③ 负数没有平方根. 什么是平方根？举例说明． 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，也叫作a的二次方根． 例如，因为102＝100，(－10)2＝100，所以100的平方根是＋10与－10(可以合写为±10). 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 9 探究新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 创设情境 典型例题 例1 判断下列各数的平方根? (1) 1; (2) 81; (3) ; (4)(-3)2 解: (1)因为(±1)²= 1，所以1的平方根是±1; (2) 因为(±9) ²= 81，所以81的平方根是±9; (3) 因为(± ) ²= ，所以 的平方根是± ; (4)因为(±3)²=9，所以9的平方根是±3， 也就是(-3)2的平方根是±3， 巩固新知 课堂小结 布置作业 创设情境 想一想 1.正数有两个平方根，它们互为相反数. 2. 0 的平方根还是0. 3. 负数没有平方根. 正数的平方根有什么特点？ 0 的平方根是多少？ 负数有平方根吗？ 应用新知 探究新知 平方根的性质 1.16的平方根是什么？ 2.0的平方根是什么？ 3.-9有没有平方根？ 交流 因为，所以16的平方根是 因为，所以0的平方根是 因为不存在一个数的平方等于-9，所以-9没有平方根 新知讲解 让我们一起来表示一个数的平方根 正的平方根用来表示，（读做“根号a”） 即：正数a的平方根表示为±（读做“正、负根号a” ） 如：49的平方根表示为 ， 即= ±7 对于正数a 负的平方根用 “-”表示（读做“负根号a” ） 其中a叫做被开方数。 新知讲解 一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数. 一个正数a的正平方根 一个正数a的负平方根 一个正数a的平方根 记作: 记作: - 记作: ± 读作: 根号a 读作: 负根号a 读作: 正、负根号a 被开方数 根指数 根号 (通常省略不写) (a为非负数) 正数a的算术平方根 注意:0的平方根和算术平方根都是0 . x2 x 开平方 1 4 9 求一个数的平方根的运算叫作开平方. 平方与开平方互为逆运算. x x2 平方 +1 -1 +2 -2 +3 -3 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 根据这种关系，我们可以求出一些数的平方根. 巩固新知 课堂小结 布置作业 创设情境 正数 a 的平方根 表示正数 a 的算术平方根  表示正数 a 的负的平方根  a≥0 应用新知 探究新知 一个正数有两个平方根，它们互为相反数，我们用 表示a的正平方根读作“根号a”或“二次根号a”，其中a叫作被开方数。   “2”往往省略不写 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 求一个数的平方的运算，叫做平方运算. x2 x x 平 方 开 平 方 +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 1 4 9 1 -1 2 -2 3 -3 反之，求一个数的平方根的运算，叫做开平方。两者互为逆运算. 一级标题：黑体， 17 (1) 25 (2) (3) 0.0169 (4) -64 例1 判断下列各数是否有平方根？为什么？ 解：因为正数和0都有平方根，负数没有平方根，所以25， ，0.0169都有平方根，-64没有平方根。 例题解析 正数的平方根有两个，同学们能发现这两个数之间的关系吗？ 正数的两个平方根互为相反数， 例：a的一个平方根是5，则另一个平方根是　　，a= .其中______ 是算术平方根. -5 25 我们把正数的正的平方根叫做算术平方根. 5 新知讲解 范例1. 16的平方根是什么？0的平方根是什么？－9有没有平方根？ 解：因为(±4)2＝16，所以16的平方根是±4. 因为02＝0，所以0的平方根是0. 因为没有数的平方根为负数，所以－9没有平方根． 归纳： 一个正数a的平方根有两个，它们互为相反数； 0的平方根是0； 负数没有平方根． 探究新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 创设情境 典型例题 例2 求下列各数的平方根和算术平方根? (1) 1; (2) 81; (3) ; (4)(-3)2 解: (1)因为(±1)²= 1，所以1的平方根是±1，1的算术平方根是+1 (2) 因为(±9) ²= 81，所以81的平方根是±9，81的算术平方根是9 (3) 因为(± ) ²= ，所以 的平方根是± ， 算术平方根是 (4)因为(±3)²=9，所以9的平方根是±3， 也就是(-3)2的平方根是±3，(-3)2的算术平方根是3. 探究新知 应用新知 课堂小结 布置作业 巩固新知 创设情境 归纳 你能总结一下平方根与算术平方根的概念的区别与联系吗？ 算术平方根 平方根 区别 表示方法 个数 取值范围 联系 包含关系 存在条件 特殊值0   1个 2个 一定是非负数 一正一负，互为相反数 平方根包含着算术平方根 只有非负数才有平方根和算术平方根，即a≥0 0的平方根与算术平方根均为0. 双重非负数   一个正数x的平方等于a,即　x2＝ a，这个正数x叫做a的算术平方根. a的算术平方根记为，读作“根号a” x2 = a　(x为正数) 规定0的算术平方根是0，记作 也就是说，非负数的“算术”平方根是非负数；负数不存在算术平方根， 即当a<0时，无意义. 新知讲解 例2 求下列各数的平方根和算术平方根。 (1) 1 (2) 81 (3) 64 (4) (-3)2 解：(1) ∵（±1）²=1 (2) ∵（±9）²=81 ∴1的平方根是，即，1的算术平方根是1 ∴81的平方根是，即，81的算术平方根是±9 新知讲解 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 概念： 平方根 性质： 正数有两个平方根，两个平方根互为相反数. 一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根或二次方根. 这就是说，如果 x2=a，那么 x 叫做 a 的平方根. 0 的平方根还是0. 负数没有平方根. 一级标题：黑体， 26 $