江苏南通市区、通州区、启东市区2025-2026学年高二下学期期中学业质量监测数学试卷

2025-2026学年（下)高二学业质量监测 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.对于x,y两个变量的四组样本数据，分别算得线性相关系数片=075,5=0.70， 5=0.85,,=0.80,则线性相关性最强的是 A.n B.5 C.5 D.r 2. 已知随机变量X服从正态分布N(4,o2）),P(4-1KX≤4+1)=0.4，则P(X≤μ+)= A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.2 3.已知函数f(x)=3血x-f'(1)x2,则f'()= A.3 B.1 C.0 D.-1 4.在(x-4°的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则n= A.14 B.13 C.12 D.11 5.投掷一枚质地均匀的硬币，直到连续两次正面向上时结束投掷，记X为结束时投掷的 次数，则P(X=4)= A.日 B.4 C. D.6 6.(x)=e*(sinx+cosx),(x)=fo(x),f(x)=f(x),(x)=f2(x),.., fn(x)=f'n(x),n∈N,则fo(O)= A.0 B.2 C.16 D.32 7.某市公交公司统计了二月份到六月份使用支付宝或微信扫码支付乘车的人次，用x表示 月份，y表示每月使用扫码支付的人次（单位：千人次），已知变量y与变量x的关系 可以用模型y=ae“（a,b为常数)拟合，设z=ny,变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 根据模型预测七月份使用扫码支付的乘客约有7.675千人次，则a= (参考数据：ln7.675≈2.038) A.0.596 B.e0.596 C.-6.92 D.e6.92 数学试卷第1页（共4页） 8.定义“特性数列”{an}如下：{an}共有m项，每一项ae{0,1}(其中i=1,2,,m, m∈N)，且对任意的k≤m,a,4,,a4中0的个数不少于1的个数.若m=5, 则不同的“特性数列”的个数为 A.3 B.9 C.10 D.16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列求导运算正确的是 A.(3x-1)'=2 c.=左 D.(e2x-1)=2e2x-1 10.下列说法正确的是 A.用决定系数2刻画回归效果，R2越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 B.由独立性检验推断有95%的把握认为“吸烟与患肺病有关”，说明吸烟者有95%的 可能患有肺病 2026 C.使∑(：-x最小的实数x为，五，，06的平均数 D.若0<P(A)<1,且P(BA)=P(B),则事件A,B相互独立 11.从正整数数列{n}的前m(m≥3)项中任取3项，记3项和为偶数的概率为pm,则 A.B5= B.存在m(m≥3)，使Pm< C.存在无数多个m(m≥3列，使p.= D.对任意正整数m(m≥3)，Pn+pm1>1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.现安排甲、乙、丙三名同学到A,B两家企业实习，每名同学只能选择一家企业，每家 企业不限制实习生名额，则不同的安排方法有 种 13.若(1+x)+(1+x)}2+…+(1+x)°=a+a4x+a2x2++ax3,则42=_ 14.己知直线1与曲线f(x)=e*和g(x)=血(x+2)均相切，则直线1的方程是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为考察某种药物X对预防疾病Y的效果，进行了动物试验，根据300个样本的数据， 得到如下列联表： 单位：只 疾病Y 药物X 合计 未患病 患病 未服用 80 40 120 服用 150 30 180 合计 230 70 300 (1)从该样本中任选1个，记“该动物未服用药物X”为事件A,记“该动物患疾病 y”为事件B.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计P(B4),P(B4,并由此直观 判断药物X对预防疾病Y是否有效，简要说明理由； (2)能否有99%的把握认为药物X对预防疾病Y有效？ 附：X n(ad-be)2 (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)' P(x'zk) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16.(15分) 已知 的展开式中各项的二项式系数之和为64. (1)求展开式中的第5项： (2)求展开式中系数最大的项. 数学试卷第3页（共4页） 17.(15分) 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋 装有3个红球，2个白球。 (1)若从甲袋中连续抽取3次，每次取1个球，抽取后放回，设取到红球的次数为X, 求X的分布列及均值： (2)若从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，设从乙袋中取出的 红球个数为Y,求Y的分布列 18.(17分) 设函数f(x)=(x-)(x-),曲线y=f(x)在x=3处的切线与y轴垂直. (1)求实数1的值： (2)我们知道，函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函 数y=f(x+)-b为奇函数.证明：函数y=f(x)的图象是中心对称图形； (3)证明：曲线y=f(x)在点(，∫(x》(:≠2)处的切线与该曲线恒有两个公共点. 19.(17分) 箱中有形状、大小完全相同的N个球，编号分别为1,2，…，N.从箱中取出n个球， 记录其编号分别为X,X2,…,X(N>n,记M=mx{X,X2,,Xn},即取出的n个球中的 最大号码.现考虑用概率统计的方法利用随机模拟取出的球编号信息估计总数N 甲同学准备采用样本均值7-+X++X来估计总体均值，即京=+N,故认 为N的估计N=2X-1.但乙同学认为这种方法可能出现N<M的无意义结果.例如，当 N=4,n=3时，若X=1,X=2,X=4,则M=4,此时0=2x1+2+4-1=<M. 3 3 (1)若N=5,n=3,求事件N<M发生的概率： (2)甲同学的方法有缺陷，故乙同学提出用M来作为N的估计值，即N=M,由于 样本均值会稳定于期望E(),丙同学凭直觉判断E(<N，认为乙同学的方法也不科 学.请研究丙同学的判断E)<N是否正确，并证明： (3)丙同学改进了乙同学的方法，对于给定的正整数n(n<N),用aM+b来作为N 的估计值，即N=aM+b.试求实数a,b的值，使得E()=N. 数学试卷第4页（共4页） 2025-2026学年（下）高二学业质量监测 数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.对于x,y两个变量的四组样本数据，分别算得线性相关系数5=-0.75,5=0.70， 5=-0.85,,=0.80,则线性相关性最强的是 A.5 B.3 C.5 D.4 【答案】C 2.已知随机变量x服从正态分布N(,o2),P(u-1长X≤u+1)=0.4,则P(X≤u+1)= A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.2 【答案】A 3.己知函数f(x)=3nx-f'(①)x2,则f'(1)= A.3 B.1 C.0 D.-1 【答案】B 4.在(x-4)”的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则n= A.14 B.13 C.12 D.11 【答案】C 5.投掷一枚质地均匀的硬币，直到连续两次正面向上时结束投掷，记X为结束时投掷的 次数，则P(X=4)= A日 B. C. D.1o 【答案】A 6.f(x)=e"(sinx+cosx),f(x)=f'o(x),f(x)=f(x),f3(x)=f'2(x),., f (x)=f'(x),nEN,f(0)= A.0 B.2 C.16 D.32 【答案】D 7.某市公交公司统计了二月份到六月份使用支付宝或微信扫码支付乘车的人次，用x表示 月份，y表示每月使用扫码支付的人次（单位：千人次）.已知变量y与变量x的关系 数学答案第1页（共11页） 可以用模型y=aer（a,b为常数)拟合，设z=ny,变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 根据模型预测七月份使用扫码支付的乘客约有7.675千人次，则a= (参考数据：n7.675≈2.038) A.0.596 B.e0-596 C.-6.92 D.e6.92 【答案】B 8.定义“特性数列”{an}如下：{an}共有m项，每一项a,∈0，}（其中i=1,2…,m, m∈N),且对任意的k≤m,41,4,…,a中0的个数不少于1的个数.若m=5, 则不同的“特性数列”的个数为 A.3 B.9 C.10 D.16 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列求导运算正确的是 A.(3x-1)'=2 B.(= c.左 D.(e2-）=2e2 【答案】BD 10.下列说法正确的是 A.用决定系数R2刻画回归效果，R2越接近1，说明回归模型的拟合效果越好 B.由独立性检验推断有95%的把握认为“吸烟与患肺病有关”，说明吸烟者有95%的 可能患有肺病 2026 C.使∑（：-x)最小的实数x为，，，x6的平均数 D.若0<P(A)<1,且P(BA)=P(B),则事件A,B相互独立 【答案】ACD 数学答案第2页（共11页） 11.从正整数数列{n}的前m(m≥3)项中任取3项，记3项和为偶数的概率为p,m,则 A.仍=月 B.存在m(m≥)，使pn<号 C.存在无数多个m(m≥3)，使pn=号 D.对任意正整数m(m≥3)，Pm+Pm+H>1 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.现安排甲、乙、丙三名同学到A,B两家企业实习，每名同学只能选择一家企业，每家 企业不限制实习生名额，则不同的安排方法有 种. 【答案】8 13.若(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)°=a。+ax+a2x2+…+ax8,则a2= 【答案】84 14.已知直线l与曲线f(x)=e*和g(x)=ln(x+2)均相切，则直线1的方程是」 【答案】x-y+1=0或x-ey+2=0,亦可写成y=x+1或y=上x+2 e 12 （写对x-y+1=0(即y=x+1)得2分，写对x-y+2=0(即y=-x+二)得3分) ee 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 为考察某种药物X对预防疾病Y的效果，进行了动物试验，根据300个样本的数据， 得到如下列联表： 单位：只 疾病Y 药物X 合计 未患病 患病 未服用 80 40 120 服用 150 30 180 合计 230 70 300 (1)从该样本中任选1个，记“该动物未服用药物X”为事件A,记“该动物患疾病 数学答案第3页（共11页） Y”为事件B.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计P(BA),P(BA),并由此直观 判断药物X对预防疾病Y是否有效，简要说明理由： (2)能否有99%的把握认为药物X对预防疾病Y有效？ 附：X2= n(ad-be) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) P(X≥) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【解】(1)在A(未服用药物X)条件下，患疾病Y的频率为铝=号，用领率估计概率， 得P(A)方 …2分 在石（服用药物X)条件下，志疾病Y的频率为0=石，用频率估计概率，得 P叫B同合， …4分 未服用药物X的动物患疾病Y的概率约为}，而服用药物X的动物患疾病Y的概率约为石， 两者有较大差异 因此直观判断，药物X对预防疾病Y有效.… …6分 (2)零假设H。:药物X对预防疾病Y无效， 由列联表得到x=a+bc+aa+ob+d n(ad-be)2 300×(80×30-40×150)2 .8分 120×180×230×70 (2400-6000)2.36×3600 4×18×230×704×18×23×7 =-1800≈11.180>6.635， 161 .10分 所以有99%的把握认为药物X对预防疾病Y有效. …13分 注意：第1问中间无步骤，直接写P(A)≈号，P(A)名，扣2分。 第2问零假设H。可以不写，若写错扣1分： 计算部分：将数值正确代入公式就能得2分.直接抄公式，不代数值，结果正确也给2分： 1800和11.180两者取一即可，若没有计算结果，直接与6.635比较，则扣2分： 161 数学答案第4页（共11页） 分式对，小数错，扣1；分式不写，小数错，扣2分；不计算出精确结果，利用放缩若正确 也得分。 原理部分：计算错误，但比较正确(>6.635得结论“有效”)，得3分：未比较，0分。 >有效，得3分：>无效，得0分：<有效，得0分：<无效，得1分。 16.(15分) 已知 的展开式中各项的二项式系数之和为64. (1)求展开式中的第5项： (2)求展开式中系数最大的项. 【解】法一：由二项式系数的性质得2"=64，故=6. .2分 6-1 由二项式定理得 子+展开式的第r+1项为=C( 3r-6 x=C626-x2.5分 (1)展开式中的第5项为T=C4×22×x3=60x3. .8分 [C626-r≥C。127-, (2)设第r+1项的系数最大，则 lC2-≥Cg2-, .10分 2 所以2 1 ,解得3，因为reN,所以r=2, .13分 ,>r+1 故展开式中系数最大项为T3=C%24=240. .....15分 法二：由二项式系数的性质得2”=64，故n=6. 2分 由二项式定理得 2+x 展开式的第r+1项为7=C(子) =c2岁.5分 【+-c29+c2+c2+2c2+g2c2 =64x3+192x2+240+160x2+60+12x2+x5. 9 ……10分 (1)由分析得展开式中的第5项为I=Cg×22×x3=60x3..12分 (2)由分析得展开式中的系数最大项为T3=240. .15分 数学答案第5页（共11页） 17.(15分) 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球：乙袋 装有3个红球，2个白球. (1)若从甲袋中连续抽取3次，每次取1个球，抽取后放回，设取到红球的次数为X, 求X的分布列及均值： (2)若从甲袋中随机取1个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，设从乙袋中取出的 红球个数为Y,求Y的分布列. 【解】(1)由题意，X的可能取值为0,1,2,3， 所以P(x=0)-c(()-品，P(x==c()(=器 P(x-2)-c)()=,P(x=3)=c()(得= 5分 所以X的分布列为： 0 2 3 P 多 赞 盖 E(x)=0x品+1×赞+2×总+3x盘=器=g. 或由题意X-B3,引，所以E(X)=3×号号 .7分 (2②设“从甲袋中取到红球”为事件A,则P(A)=号，P(A)-号， 9分 则由题意Y的可能取值为0,1,2， P(Y=0)=P(A)P(Y=01A)+P(A)P(Y=01A) 餐餐-居芳 .11分 P(Y=1)=P(A)P(Y=1A)+P(A)P(Y=11A) 13分 P(Y=2)=P(A)P(Y=21A)+P(A)P(Y=21A) 等警-层贵层 C2 ....15分 所以Y的分布列为： 数学答案第6页（共11页） 0 1 2 努 玉 15分 18.(17分) 设函数f(x)=(x-)(x-t),曲线y=f(x)在x=3处的切线与y轴垂直. (1)求实数t的值： (2)我们知道，函数y=f(x)的图象关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函 数y=f(x+a)-b为奇函数.证明：函数y=f(x)的图象是中心对称图形： (3)证明：曲线y=f(x:)在点(x,f(x)(:≠2)处的切线与该曲线恒有两个公共点. 【解】(1)f'(x)=2(x-1x-t)+(x-1)2, 所以f'(3)=4(3-)+4=0,故1=4. 3分 (2)由(1)得f(x)=(x-1)2(x-4), 法一：令g(x)=f(x+2)+2=(x+1)2(x-2)+2=x3-3x, .5分 所以g(-x)=-x3+3x=-g(x),所以g(x)=f(x+2)+2为奇函数， 故y=f(x)关于(2，-2)对称，所以函数y=f(x)的图象是中心对称图形..8分 法二：因为f(x)=(x-1)2(x-4)=x3-6x2+9x-4, 设g(x)=f(x+a)-b=(x+a)3-6(x+a)2+9(x+a）-4-b =x3+(3a-6)x2+(3a2-12a+9x+a3-6a2+9a-4-b, 5分 若g(x)为奇函数，则g(x)=-g(-x), 所以3a-6=0 a3-6a2+9a-4-b=0. 解得a=2, b=-2.1 故y=f(x)关于(2，-2)对称，所以函数y=f(x)的图象是中心对称图形.8分 (3)因为f(x)=(x-1)2(x-4)=x3-6x2+9x-4, 数学答案第7页（共11页） 切点(，(-1)(-4)，切线斜率f()=3(x-Xx-3), 故f(x)在点(o,f(0)》处的切线方程为 y-(x-1)2(x-4)=3(x-1Xx-3)(x-x),.10分 联立得y-(-)-4)=3(-X6-3(x-), y=(x-1)2(x-4) 即(x-1)2(x-4)-(x-1)2(x0-4)=3(-1(x-3)(x-x), 所以(x-1)2(x-4)-(0-1)2(x-4)=x3-6.x2+9x-4-+6x-9+4 =(x-)(x2+xx+x7-6x-6x+9列)=3(x-1以x0-3)(x-6), 所以(x-0)儿x2+x0x+后-6x-6,+9-3(-1以0-3]=0， 13分 所以(x-x)(x2+0x-2x-6x+6x0)=0,即(x-)'(x+2x0-6)=0, 所以x=0,或x=6-20: .15分 因为6-20-6=6-3x≠0，即6-2x≠： 所以曲线y=f(x)在点(x,f(x)(x≠2)处的切线与该曲线恒有两个公共点.17分 19.(17分) 箱中有形状、大小完全相同的N个球，编号分别为1,2，…，N.从箱中取出n个球， 记录其编号分别为X,X2,,Xn(W>n),记M=max{X1,X2,,Xn},即取出的n个球中的 最大号码.现考虑用概率统计的方法利用随机模拟取出的球编号信息估计总数N. 甲同学准备采用样本均值文=X+X,十+义来估计总体均值，即又女生，故认 为N的估计N=2X-1.但乙同学认为这种方法可能出现N<M的无意义结果.例如，当 N=4,n=3时，若X=1,X,=2,X,=4,则M=4,此时N=2x1+2+4-1=」 3 (1)若N=5,n=3,求事件N<M发生的概率： 数学答案第8页（共11页） (2)甲同学的方法有缺陷，故乙同学提出用M来作为N的估计值，即N=M,由于 样本均值会稳定于期望E(N),丙同学凭直觉判断E(N)<N,认为乙同学的方法也不科 学.请研究丙同学的判断E(N)<N是否正确，并证明： (3)丙同学改进了乙同学的方法，对于给定的正整数n(n<N),用aM+b来作为N 的估计值，即N=aM+b.试求实数a,b的值，使得E(N=N. 【解】(1)设取到的3个球编号为a,b,c,不妨设1≤a<b<c≤5， N=2X-1-2x4+b+c-1<M=c, 3 .2分 即c>2a+2b-3, 法一： 当a=1,b=2时，c>3,共2种情况： 当a=1,b≥3时，c>5,不符合题意： 当a≥2时，c>2b+1≥7，不符合题意. 所以事件内≤“发生的餐率为名后- …5分 法二： 当c=5时，a+b<4,共1种情况： 当c=4时，a+b≤3，共1种情况： 当c=3时，a+b<3,不符合题意. 所以事件N<M发生的概率为名品号 .5分 (2)由题意N=n,n+1,n+2,…,N, 所以N的分布列为： N n n+1 n+2 N P(N=n) P(N=n+1) P(N=n+2】 P(N=N) 法一： 故E(N）=nP(N=n)+(n+1)P(=n+1）+(+2)P(N=n+2++NP(N=N）…6分 数学答案第9页（共11页） <NP(N=n)+NP(N=n+1)+NP(N=n+2+..+NP(N=N)=N. 因此E(<N,故丙同学论断正确； .9分 法二： 故E(N)=nP(N=n)+(n+1)PN=n++(n+2)P(N=n+2++NP(N=N）.6分 -a+0器++2会+4尝（四为- C S+C1+nC+…+nCS_aC+C+c++c】 CN C (N+1)!n!(N-n)!_n(N+1)=nN+n<nN+N=N. ="m+(N-n n+1 n+1 n+1 因此E(N<N,故丙同学论断正确： .9分 (3)解法一：若M=k,表示n个数中，最大的为k,则其余n-1个数均比k要小，故 0,0<k<n, P(M=k)=C ，en，所以M)-交w==之C黑，…1分 C k=n CN k(k-1)！ 因为cn-G, nk！ G+Ga产-W=装t-c18分 k！ (k-n+1)k+nk!(k+1)k!。(k+1) 所sw)-2答总c+c+c+ =C+C+C++C)-“=n (N+1)！nW-n!n(V+1, C%(n+1)HW-n)!×N！ n+1 .15分 放E()=E(aM+b)=aE(M)+h=a”N+b=mN++b=N恒成立， n+1 n+l n+l 所以 l,故a=时，EN-N …17分 +b=0 b=-1, 0. 0<k<n, 解法二：P(M<k)表示取出的n个数中最大数不超过k,故P(M<k)= k≥n, 数学答案第10页（共11页） 所以r-小号安·Pw--Pw 以EM)=P(M=k=PM=m+∑kPM<)-PM<k- k=n c+分kC-cnc+c-c, a .11分 nC k =(k-n+k+k:=&+k!=k+1g 因为c+c'=a网*a-明装+-nn-Cw 以w念会答等 .13分 下同解法一· 数学答案第11页（共11页）