河北唐山市玉田县2025-2026学年度第二学期期中质量检测高一年级数学试卷

**基本信息** 高一数学期中卷以五一假期旅客抽样、甲罐乙罐小球抽取等现实情境为载体，融合复数、向量、统计、概率、立体几何等知识，梯度设计合理，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数（1、9）、向量（2）、统计（3）、概率（5、6、10）、立体几何（7、8、11）|第3题分层抽样结合社会热点，第10题概率事件关系考查逻辑推理| |填空题|3题15分|向量夹角（12）、圆锥表面积（13）、扇形内接矩形最值（14）|第14题扇形动点问题，培养空间观念与创新意识| |解答题|5题77分|圆方程（15）、圆锥与圆柱组合体（16）、复数与向量（17）、频率分布直方图（18）、圆柱二面角（19）|18题频率分布直方图分析数据，19题立体几何证明与计算，发展推理能力与空间观念|

玉田县2025-2026学年度第二学期期中质量检测 高一数学参考答案及解析 1.C 【分析】先对复数z进行化简，再求出其共轭复数z,最后利用复数模的公式求解。 1 1-i 【详解】2= 1-i1-i1,i 1+i=(1+0(1-01-F 2=22 221 2 ,故C正确 2 故选：C 2.B 【分析】根据题意，由向量平行与垂直的坐标表示可判断AB；计算出模长判断C;线性坐标运算得 a+2b=(4,-3),即可判断D. 【详解】对于A,:2×(-2)-1×1=-5≠0，a,b不平行，故A错误： 对于B,a.b=(2,1)(1,-2)=2-2=0,a16,故B正确： 对于C,=5,=5,则d=,故c错误： 对于D,a+2b=(2,1)+2(1,-2)=(4,-3)≠0，故D错误。 故选：B. 3.D 【分析】利用分层抽样求得网红城市C和H的人数占比，再根据比例求得结果即可. 【详解】根据题意，网红城市C和H接待的旅客数比例为5：4， 所以应在H城市抽取的人数为360x4=160. 9 故选：D 4.A 【分标】根凝正切角公式5国243片1可化筒可求解 【详解由m45°=am2+33)m2m391 ∴.tan12°+tan33°=1-tan12°.tan33°， ∴.tanl2°+tan33°+tan12°.tan33°=1. 故选：A. 5.C 【分析】根据抽样方法、方差、百分位数、概率等知识对选项进行分析，从而确定正确答案。 【详解】A选项，“全国中学生的视力”总体太大，所以不应该普查，A选项错误， B选项，甲组数据的方差小于乙组数据的方差，所以甲比乙稳定，B选项错误. C选项，数据为6,7,8,8,8,9,10，众数是8， 高一数学参考答案第1页（共9页） 50%分位数，也即中位数是8，所以C选项正确 D选项，掷6次骰子不一定能掷得一次数字3，D选项错误. 故选：C 6.C 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义求解 【详解】A.至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；至少有一个绿球等价于：一个绿 球，一个红球；两个绿球，不互斥. B.至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；与都是红球不互斥 C.恰有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；与恰有两个绿球互斥不对立 D.至少有一个红球等价于：一个红球，一个绿球；两个红球；与都是绿球互斥且对立 故选：C 【点睛】本题主要考查随机事件，还考查了理解辨析的能力，属于基础题 7.D 【分析】通过举反例可判定ABC,利用线面垂直的判定定理及面面平行的判定定理可判定D. 【详解】对于A:当满足a11a,b/1B,a/Ib时，a,B可能相交， 如图：用四边形ABCD代表平面Q,用四边形AEFD代表平面B,故A错误： 对于B:当满足a⊥，b⊥B,a⊥b时，a,B可能相交， 如图：用四边形ABCD代表平面α，用四边形AEFD代表平面B,故B错误； b D 对于C:当满足a/1a,b/1B,a与b相交时，a,B可能相交， 如图：用四边形ABCD代表平面&，用四边形AEFD代表平面B,故C错误； a D 对于D:因为a⊥，a/1b→b⊥a,又b⊥B,所以a/1B, 故a⊥a,b⊥B,a/Ib是x/IB的一个充分条件，故D正确； 故选：D 8.C 【分析】采用补形法将五面体ABC-DEF补成一个棱柱，再利用体积公式求解即可. 高一数学参考答案第2页（共9页） 【详解】如图，用一个完全相同的五面体HI-LN(顶点与五面体ABC-DEF一一对应)与该五面体相 嵌， 则形成的新组合体为一个三棱柱， H B 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形， 侧棱长为1+3=2+2=3+1=4， 故yBc-2r三8c-m=)x)xk1k 1 2 2 故选：C 9.CD 【分析】利用复数的四则运算化简复数z,利用复数的概念可判断A选项：利用复数的几何意义可判断B 选项：利用共轭复数的定义可判断C选项；利用复数模的三角不等式可判断D选项 22 2(-1-i) 【详解】因为02=s0s9=-i,则z=1-晒-1+i1+i)1-i) -上i. 对于A选项，z的虚部为-1，A错： 对于B选项，复数z在复平面内对应的点在第三象限，B错： 对于C选项，z的共轭复数为-1+i,C对； 对于D选项，因为-=1，H=-1+(-1)=2, 由复数模的三角不等式可得=-+s-+日=1+√2， 当且仅当名-2：-551时，等号成立，即l5的最大值是V+,D对 22 故选：CD 10.CD 【分析】计算出所有结果数，分别列举出事件A、B的结果情况，即可判断选项A、B；根据古典概型的概 率计算公式即可判断选项C、D. 【详解】解：由题用（α，b)表示甲罐、乙罐中取小球标号的情况， 则所有的情况有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(2,6)， (3,1),(3,2),(3,3),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),共20种， 其中满足事件A的结果有：(1,5)，1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)， (4,2),（4,3),(4,5),(4,6),共11种， 其中满足事件B的结果有：（2,5)，（2,6)，(3,3)，(3,5)，(3,6)， 高一数学参考答案第3页（共9页） (4,3),(4,5),(4,6),共8种，故选项A错误： 因为事件B的结果均在事件A中包含，故B≤A,故选项B错误： 因为AUB=A,所以AUB的结果数有11种， 11 所以P(4UB)=20,故选项C正确： 因为A∩B=B,所以AOB的结果数有8种， 故P(AnB) 205,故选项D正确 82 故选：CD 11.ABC 【分析】证明直线AC与CQ是异面直线判断A,当Q与D重合时，可判断BD,设DQ=x(0≤x≤1)， 计算出△ACQ的面积的最大值和最小值后从而可得Q到AC的距离的最小值和最大值，从而判断C. 【详解】由AE平面CDD,C∈平面CDD,CC2,C2c平面CDD,∴.直线AC与CP是异面直线， A正确： BC⊥平面CDD,C,CDC平面CDD,C,则BC⊥CD,又CD⊥CD,BC与CD是平面BCDA内两相交直 线，所以CD⊥平面BCDA,又ACC平面BCDA,所以CD⊥AC,即当Q与D重合时，C2⊥AC,B 正确，此时△ACQ是直角三角形，D错： 设D0=x(0≤x≤1)，A0=V1+Q-),C0=V+x,AC=5, cos∠400=4g+Cg-4C=1+0-x3+1+x-3 x2-x 240.C0 2W(2-2x+x2)0+x2)V(2-2x+x2)0+x2) sin 40c--c0s240C=-2+ (x2-x)2 2x2-2x+2 V2-2x+x20+x' 所以sm片40cgm∠4QcV2,+2, =2-2a+22x+ 所以x=2时，m-子=0或1时，w=2,所以S4e的最大值是，最小值是y6 3 记Q到4C的距离为d,4C=V3,因此d的最大值是x2 26,a的最小值是2x日B,cE确 √33 √32 故选：ABC 高一数学参考答案第4页（共9页） A D B B 【分析】由同=1，=2，且ā-2b=3进行平方可得ā.五=1，利用数量积公式即可得解 【详解】对a-2b=3两边平方可得：2-4a6+462=13, 所以ab=1, 由a-b=acos(a,b〉1， 可得cosa)-2 所以类角为等， 故答案为：3 13.3π 【分析】由轴截面是等边三角形求出圆锥底面半径与母线长，再由圆锥表面积公式计算. 【详解】因为圆锥的底面直径为2，它的轴截面是等边三角形 则圆锥的母线长1=2，底面半径r=1, 所以圆锥表面积为S=rl+r2=兀×1×2+π×12=3. 故答案为：3π. 14.√6-√2 【分析】设∠COP=0≤a≤ 6 用表示出的长度，进而用三角函数表示出，结合辅助角公式即可求得最大 值 【详解】设∠COP=a(0≤au≤，扇形oPe的半径为1， AD=BC=OC'xsin a=sin a,OB=OC'x cosa=cosa, tan∠Do4=4D-5,所以40=54D=V5na, A03 所以AB=OB-OA=cosa-V3sina, 所以AB+2AD=cosa-√3sina+2sina (2-3)simn c+cos a=((sin 1 -sin a+ -eos c) 高一数学参考答案第5页（共9页） =6-)inaw-沿+un登=6-jmu+0. 12 因为0sa君所以沿a-沿沿 1212 质以当&4钙即aC时，AB+2AD取得最大值V6-V万 12 故答案为：√6-√互 【点睛】方法点睛：利用三角函数表示线段长，利用三角恒等变换求得最值是常用方法. 15.(1)(x-2)2+(y+1)2=1 o号 「a-b-3=0 【分析】(1)设圆心坐标为C(a,b),由题意 a=2 ,解方程组得圆心，进一步求得半径即可： (2)求出圆心到直线的距离，结合圆的弦长公式求得AB即可得解 【详解】(1)设圆心坐标为C(a,b), 由于圆C的圆心在直线(：x-y-3=0上且圆C与x轴相切于点M(2,0), [a-b-3=0 a=2 可得 a=2 ，解 b=-1即圆心坐标为2，-1)， 由于圆C与x轴相切于点M(2,0),则半径r=-1=1. 所以圆C的方程为(x-2)+(y+1)2=1. (2)依题意，圆心，-)到直线：x+2y-1=0的距离d=2+2x(--1_V5 V12+22 51 因为直线l:x+2y-1=0与圆C相交于A,B两点， 所以弦长4-2F-d-35 55 所以5e4a=455= Γ255=5 16.利下部分体积为m,表面积为2+5 5 96 【分析】求得圆柱的底面半径和高，由此求得剩下几何体的表面积和体积. 【详解】由于0是P0的中点，所以圆柱的高O0=a,且圆柱的底面半径为” 圆锥的体积为二×π× a xa=Ta, 3 2 12 高一数学参考答案第6页（共9页） 圆柱的体积为π× 所以剩下几何体的体积为232 元.π /a3s5 ，6 剩下部分的表面积等于圆锥的面积加上圆柱的侧面积， 424 f118. Z1= -1 17.(1) 77 11,8 of1 【分析】(1)设出，，的代数形式根据复数相等可得答案： (2)求出ā与b的坐标，根据向量夹角为钝角列出t的不等式可得答案. 【详解】(1)不妨设=a+bi(a,b∈R),则3=a-bi, 因为、3满足方程45+(1-i)52=9-5i, 所以4(a+bi)+(1-i)(a-bi)=9-5i, 可得(5a-b)+(3b-ai=9-5i, [5a-b=9 7 所以 3b-a=-5'解得 b= 81 7 118 所以{ =77 -118 (2)设31=1+2i,则2=1-2i, 因为复数、2所对的向量分别是ā与b, 所以a=(1,2),b=(1,-2), 可得a-b=t(1,2)-1,-2)=t-1,2t+2), ā+2b=(1,2)+2(1,-2)=6,-2), 若向量ta-b与a+2五的夹角为钝角， 高一数学参考答案第7页（共9页） a-6a+26）0,且 (a-)(ā+2b) 则 ta-B.a+26 ta-b.a+2 即 3t-3-4t-4 <0,且 3t-3-4t-4+-1, √13V5t2+6t+5 13V5t2+6t+5 1 解得t>-7,t≠- 2 18.(1)x=0.0075 (2)224 【分析】(1)由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为1得到方程，解得即可 (2)首先判断中位数在[220,240)内，再设出未知数，列出方程，解得即可 【详解】(1)由频率分布直方图可得20×(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)=1, 解得：x=0.0075 (2)由于(0.002+0.0095+0.011)×20<0.5，(0.002+0.0095+0.011+0.0125)×20>0.5， 因此理科综合分数的中位数在[220,240)内， 设中位数为a,由(0.002+0.0095+0.011)×20+0.0125×(a-220)=0.5, 解得a=224, ∴.月平均用电量的中位数为224 19.(1)证明见解析： ovs 【分析】(1)先证明线面垂直，通过线面垂直得到线线垂直，再证线面垂直，最后得到面面垂直即可： (2)先作出底面的垂线，再由垂足作两个面的交线的垂线，最后连接交线的垂足与斜足构成二面角的平 面角求解即可. 【详解】(1)因为AB是底面的一条直径，C是下底面圆周上异于A,B的动点， 所以AC⊥BC, 又因为CD是圆柱的一条母线，所以CD⊥底面ACB, 而ACC底面ACB,所以CD⊥AC, 因为CDC平面BCDE,BCC平面BCDE,且CDOBC=C, 所以AC⊥平面BCDE, 又因为AC CACD,所以平面ACD⊥平面BCDE; (2)如图所示， B 过A作圆柱的母线AM,连接DM,EM 因为底面ABC∥上底面DME,所以即求平面ADE与平面DMB所成锐二面角的大小， 高一数学参考答案第8页（共9页） 因为M,E在底面的射影为A,B,且AB为下底面的直径，所以EM为上底面的直径， 因为AM是圆柱的母线，所以AM⊥平面DME, 又因为EM为上底面的直径，所以MD⊥DE,而平面ADE∩DME=DE, 所以∠MDA为平面ADE与平面DME所成的二面角的平面角， 又因为D在底面射影为C,所以DE=BC=3,E=AB=6, 所以DM=√6-32=3√5，又因为母线长为2V3,所以AM=2√5， 又因为AM⊥平面DMB,DMc平面DMB,所以AM⊥MD, 所以AD=V25+35=39, 所以cos∠MDA=D-35-35, AD 39 13 即平面ADE与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为3V3 13 高一数学参考答案第9页（共9页） 玉田县2025-2026学年度第二学期期中质量检测姓名：____________________ 考生号：_____________________________ 高一数学试卷 本试卷共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后。用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，则（    ） A． B． C． D． 3．根据统计，2024年五一假期，网红城市C和H接待的旅客数分别为1亿和8千万，在这两城市用分层随机抽样的方法抽取360名旅客，则应在H城市抽取的人数为（    ） A．80 B．100 C．200 D．160 4．（    ） A．1 B． C． D．2 5．下列说法正确的是（    ） A．为了了解全国中学生的视力情况，应该采用普查的方式 B．若甲组数据的方差，乙组数据的方差，则乙比甲稳定 C．一组数据8，8，7，10，6，8，9的众数和50%分位数都是8 D．某人在玩掷骰子游戏，掷得数字3的概率是，则此人掷6次骰子一定能掷得一次数字3 6．袋中有10个红球和10个绿球，它们除颜色不同外，其它都相同.从袋中随机取2个球，互斥而不对立的事件是（    ） A．至少有一个红球；至少有一个绿球 B．至少有一个红球；都是红球 C．恰有一个红球；恰有两个绿球 D．至少有一个红球；都是绿球 7．设是两个平面，是两条直线，则的一个充分条件是（ ） A． B． C．与相交 D． 8．一个五面体．已知，且两两之间距离为．，，，则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。 9．下面是关于复数（为虚数单位）的命题，其中真命题为（ ） A．的虚部为 B．在复平面内对应的点在第二象限 C．的共轭复数为 D．若，则的最大值是 10．已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两个小球标号之积大于8”，则（    ） A．事件A与事件B的样本点数分别为12，8 B．事件A，B间的关系为 C．事件发生的概率为 D．事件发生的概率为 11．如图，在棱长为1的正方体中，Q是棱上的动点，则下列说法正确的是（    ）    A．不存在点Q，使得 B．存在点Q，使得 C．对于任意点Q，Q到的距离的取值范围为 D．对于任意点Q，都是钝角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，满足，，，则与的夹角为___________. 13．底面直径为2的圆锥，它的轴截面是等边三角形，则该圆锥的表面积为___________． 14．已知是半径为1，圆心角为的扇形，是扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知圆的圆心在直线上且圆与轴相切于点. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆相交于两点，求的面积. 16．（15分）如图，圆锥的底面直径和高均是，过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个圆柱，求剩下几何体的表面积和体积． 17．（15分）已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根. (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 18．（17分）某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以，，，，，，分组的频率分布直方图如图． (1)求直方图中 的值； (2)求理科综合分数的中位数； 19．（17分）如图，已知是圆柱下底面圆的直径，点是下底面圆周上异于的动点，，是圆柱的两条母线． (1)求证：平面； (2)若，，圆柱的母线长为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值． 高一数学 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $