专题01 平面向量及其应用（期末真题汇编，浙江专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 平面向量专题汇编，整合浙江多地高一下期末真题，覆盖线性运算、共线垂直求参、数量积及几何应用四大考点，基础题与综合题分层设计，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约25题|含三角形重心表示、三点共线求参、投影向量计算等|立足教材基础，如向量线性运算化简题；结合浙江期末考情，如宁波、嘉兴等地真题| |解答题|约15题|涉及动态几何（如动点最值）、跨学科情境（莱洛三角形工业应用）|注重综合应用，如正六边形向量关系证明；体现数学建模，如蚂蚁爬行路径中的向量问题|

专题01 平面向量及其应用 高频考点概览 考点01平面向量的线性运算 考点02平面向量共线与垂直求参 考点03平面向量的数量积及其应用 考点04 平面向量的在平面几何中的应用 ( 考点01 平面向量的线性运算 ) 1．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)化简（    ） A．0 B． C． D． 2．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)化简（    ） A．0 B． C． D． 3．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)在中，，记，则（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)在中，，点平分线段．设，，则（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·浙江衢州·期末)已知点为的重心（三条中线的交点），记，则（   ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知平面向量，，则（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)已知，为两个不共线的向量，，，则_______（用，表示） 8．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)如图，在中，，为的中点，过点的直线分别与边，交于点，（不含端点）.若，，. (1)用，表示（请写出具体推理步骤）； (2)求的值. ( 考点02 平面向量共线与垂直求参 ) 1．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)已知，，若，则______． 2．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)已知向量，，若，则k的值为（   ） A． B． C．-3 D．3 3．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)已知三点共线，则（   ） A．1 B．3 C． D． 4．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 5．(24-25高一下·浙江丽水·期末)已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)已知，且，则实数的值为（       ） A． B．0 C．1 D．5 7．(24-25高一下·浙江温州·期末)已知向量，若与垂直，则实数的值是（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 8．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)已知向量，，，若，则_____. 9．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)设，，. (1)若，求. (2)若与共线，求m的值. 10．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)已知向量满足. (1)若，求的坐标； (2)若，求与的夹角的余弦值. 11．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知平面向量，，与的夹角为． (1)求的值； (2)当实数k为何值时，． 12．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)已知向量、满足，，且. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角. 13．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)已知向量，满足，，且与的夹角为. (1)分别求与的值； (2)若，求的值. 14．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)已知向量、满足：， (1)求； (2)求与夹角的余弦值； (3)若向量与共线，求实数的值. ( 考点0 3 平面向量的数量积及其应用 ) 1．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)已知平面向量满足，，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)已知向量，它们的夹角为，则（    ） A．4 B．12 C．2 D． 3．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)若，，与的夹角为，则（   ） A． B． C．2 D．28 4．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)已知，，，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 5．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)已知是两个垂直的单位向量．若，设向量的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)已知向量，，那么向量在向量上的投影向量为（   ） A．1 B． C． D． 7．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)已知，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 8．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)已知向量，，则在上的投影向量的坐标是________． 9．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知平面向量，且与的夹角为，若，则的最小值为_______. 10．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是________． 11．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)（多选）已知点，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量是 12．(24-25高一下·浙江衢州·期末)已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为2 D．若，则在上的投影向量为 13．(24-25高一下·浙江温州·期末)在等边中，分别是和的中点，，设． (1)用向量表示，并求； (2)求向量与的夹角的余弦值． 14．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”． (1)若，，是的“迷你向量”，求实数x的取值范围； (2)一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i次后停留的位置记为，设．记事件“蚂蚁经过的路径中至少有n个使得是的迷你向量”．（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的） ①写出从坐标原点沿最短路径爬行到点的所有路线（如：右右右上）一般地，总数n步中恰有m步向上走其余各步向右走的方法总数为： ②当时，求； ③证明：． ( 考点0 4 平面向量的在平面几何中的应用 )1．(24-25高一下·浙江温州·期末)已知点是平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，若点满足，垂足为，则（    ） A． B．是锐角 C．点的坐标为 D． 2．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)如图，在中，，D在边AB上，，，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)（多选）在中，内角所对的边分别为，若在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)已知O为△ABC外心，，，若，其中，，则的最小值为__________. 5．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是________． 6．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)已知为圆上的三个点，且为正三角形，则的最小值为（       ） A． B． C．11 D． 7．(24-25高一下·浙江山海高中·期末)如图，是正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 8．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)一艘船由A地向东方向航行12海里到达B地，然后由B地向东偏南60°方向航行了4海里到达C地，再从C地向南偏西30°方向航行12海里到达D地，则此时D地距离A地__________海里. 10．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛.如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.若该等边三角形的边长为4，为弧上的一个动点，则的最小值为_____. 11．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)如图，在平面四边形中，交于点，且为的中点.，，，. (1)求的长； (2)求. 12．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 13．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)（1）过的重心G作直线l，若l与边平行，与分别交于D，E两点，求与的面积比； （2）在中，若，其中，过O作直线l，与线段分别交于D，E两点，求证：； （3）在等腰直角中，，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，在二面角处于过程中，作的角平分线交于点M，记与平面的交点为N，过N作直线l，与线段分别交于P，Q两点，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为V，求的最小值． 14．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. (1)求角B的大小; (2)若，求的值； (3)若点G是三角形的重心，求 的最小值. 15．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)平面直角坐标系内有2027个点，，…，满足：①；②，.设. (1)若，，求的最小值； (2)若，，求的最小值； (3)若，，求的最小值. 16．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)克罗狄斯托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号如图，半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，且三角形为正三角形.   (1)当时，求四边形的周长； (2)当多大时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； (3)若与相交于点D，则当线段的长取最大值时，求的值. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 平面向量及其应用 高频考点概览 考点01平面向量的线性运算 考点02平面向量共线与垂直求参 考点03平面向量的数量积及其应用 考点04 平面向量的在平面几何中的应用 ( 考点01 平面向量的线性运算 ) 1．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)化简（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】,故选：B 2．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)化简（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【详解】,故选：B 3．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)在中，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以为线段的三等分点，如图所示， .故选：A 4．(24-25高一下·浙江杭州上城区等5地·期末)在中，，点平分线段．设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，即，又点平分线段，， 所以.故选：D. 5．(24-25高一下·浙江衢州·期末)已知点为的重心（三条中线的交点），记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：因为是的重心，所以.故选：B. 6．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知平面向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量，，所以，故选：C 7．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)已知，为两个不共线的向量，，，则_______（用，表示） 【答案】 【详解】因为，所以.故答案为：. 8．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)如图，在中，，为的中点，过点的直线分别与边，交于点，（不含端点）.若，，. (1)用，表示（请写出具体推理步骤）； (2)求的值. 【详解】（1） （2）， ，，三点共线，，. ( 考点02 平面向量共线与垂直求参 ) 1．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)已知，，若，则______． 【答案】 【详解】由，得，解得.故答案为：. 2．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)已知向量，，若，则k的值为（   ） A． B． C．-3 D．3 【答案】A 【详解】由可知，，得.故选：A. 3．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)已知三点共线，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，且，则，所以.故选：A 4．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)已知非零向量，，若A，B，C三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．1或2 D．无解 【答案】A 【详解】根据A，B，C三点共线可知存在实数满足，可知且，解得，此时，满足题意.故选：A 5．(24-25高一下·浙江丽水·期末)已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，解得.故选：D. 6．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)已知，且，则实数的值为（       ） A． B．0 C．1 D．5 【答案】C 【详解】因为，，所以，解得.故选：C. 7．(24-25高一下·浙江温州·期末)已知向量，若与垂直，则实数的值是（    ） A．-1 B．1 C．-2 D．2 【答案】C 【详解】，且，所以，解得.故选：. 8．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)已知向量，，，若，则_____. 【答案】 【详解】∵，，∴，∵，∴,得.故答案为：. 9．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)设，，. (1)若，求. (2)若与共线，求m的值 【详解】（1）当时，，. （2），又与共线，.解得：. 10．(24-25高一下·浙江嘉兴·期末)已知向量满足. (1)若，求的坐标； (2)若，求与的夹角的余弦值. 【详解】（1）设，因为，所以， 因为，所以，解得或， 所以或. （2）因为，所以， 所以，代入得，， 所以，所以与的夹角的余弦值为. 11．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知平面向量，，与的夹角为． (1)求的值； (2)当实数k为何值时，． 【详解】（1），所以 （2）由，则， 所以． 12．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)已知向量、满足，，且. (1)若，求实数的值； (2)求与的夹角. 【详解】（1）因为向量、满足，，且， 即，解得， 因为，即,解得. （2）因为，， 因此. 因为，因此，即与的夹角为. 13．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)已知向量，满足，，且与的夹角为. (1)分别求与的值； (2)若，求的值. 【详解】（1）. . （2）因为， 所以，解得. 14．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)已知向量、满足：， (1)求； (2)求与夹角的余弦值； (3)若向量与共线，求实数的值. 【详解】（1），,， （2），，，. （3）、不共线，因为与共线，所以存在实数，使得， 即，所以，解得. ( 考点0 3 平面向量的数量积及其应用 ) 1．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)已知平面向量满足，，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】因为，，，所以，即，则，解得， .故选：C. 2．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)已知向量，它们的夹角为，则（    ） A．4 B．12 C．2 D． 【答案】C 【详解】因为向量，它们的夹角为，所以， 所以.故选：C. 3．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)若，，与的夹角为，则（   ） A． B． C．2 D．28 【答案】A 【详解】.故选：A. 4．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)已知，，，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，，，所以，即，可得，则，所以.故选：C. 5．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)已知是两个垂直的单位向量．若，设向量的夹角为，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是两个垂直的单位向量，所以.因为， 所以.而，. 所以.故选：D. 6．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)已知向量，，那么向量在向量上的投影向量为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】向量在向量上的投影向量模长为，因为，所以向量在向量上的投影向量与向量方向相反，则投影向量为，故选：C. 7．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)已知，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】向量在向量上的投影向量为，故选：A. 8．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)已知向量，，则在上的投影向量的坐标是________． 【答案】 【详解】在方向上的投影向量为.故答案为： 9．(24-25高一下·浙江台州·期末)已知平面向量，且与的夹角为，若，则的最小值为_______. 【答案】 【详解】根据题意，， 故当时，的取最小值.故答案为： 10．(24-25高一下·浙江金华第一中学·期末)在平面直角坐标系中，，．设，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】因为，，由平方可得，，所以． ，，所以， 又，即， 所以，即，故答案为：. 11．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)（多选）已知点，则以下说法正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量是 【答案】BCD 【详解】因为，所以.因为，故A错误； 因为，， 所以，所以，故B正确； 因为，故C正确；因为，所以在上的投影向量为 .故D正确.故选：BCD 12．(24-25高一下·浙江衢州·期末)已知向量，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．的最大值为2 D．若，则在上的投影向量为 【答案】AB 【详解】对于A：若，所以，故A正确； 对于B：若，所以，故B正确； 对于C：由，所以的最大值为，故C错误； 对于D：若，，所以在上的投影向量为，故D错误. 故选：AB. 13．(24-25高一下·浙江温州·期末)在等边中，分别是和的中点，，设． (1)用向量表示，并求； (2)求向量与的夹角的余弦值． 【详解】（1）如图所示，. 所以. （2）如图，因为. 由（1）知，. 所以. 而， 所以. 14．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)对于两个平面向量，，如果有，则称向量是向量的“迷你向量”． (1)若，，是的“迷你向量”，求实数x的取值范围； (2)一只蚂蚁从坐标原点沿最短路径爬行到点处（且）．蚂蚁每次只能沿平行或垂直于坐标轴的方向爬行一个单位长度，爬完第i次后停留的位置记为，设．记事件“蚂蚁经过的路径中至少有n个使得是的迷你向量”．（假设蚂蚁选择每条路径都是等可能的） ①写出从坐标原点沿最短路径爬行到点的所有路线（如：右右右上）一般地，总数n步中恰有m步向上走其余各步向右走的方法总数为： ②当时，求； ③证明：． 【详解】（1）是的“迷你向量”，，解得． （2）①从坐标原点沿最短路径爬行到点的所有路线： 右右右上、右右上右、右上右右、上右右右． ②如图，当时，能使得是的迷你向量的共有四个，即，，，N， 要想使得经过的路线中至少有其中3个点，则路径必经过点 故只需要考虑所有最短路径中经过点的条数即可． 先考虑总共最短路径条数：最短路径一共6步，其中三步向上，三步向右，也即是在6步中选择三步向上， 其余三步向右故可以用这样的样本点组成的样本空间描述最短路径的走法： “123”代表前三步向上，剩下三步向右； “246”表示第二、第四、第六步向上，其余三步向右； ， 总共的最短路径条数，； ，故经过包含的路径条数为4，， 因为选择每条路径都是等可能的，故试验为古典概型，． ③同理，总共的最短路径条数为，经过包含的路径条数为，试验为古典概型，． ( 考点0 4 平面向量的在平面几何中的应用 )1．(24-25高一下·浙江温州·期末)已知点是平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，若点满足，垂足为，则（    ） A． B．是锐角 C．点的坐标为 D． 【答案】ABD 【详解】因为点，点，则，故，故A正确；，，则，若，即，可得，此方程无解，所以与不共线，所以是锐角，故B正确；设点的坐标为，则，，因为，所以，解得，故，所以C错误； 因为，设，则，由于，所以，即，解得，所以，故D正确.故选：ABD. 2．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)如图，在中，，D在边AB上，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，则，．在中，由正弦定理，得；在中，由正弦定理，得．又因为，， 所以，所以，即．又因为． 所以，故．所以．故选：B． 3．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)（多选）在中，内角所对的边分别为，若在上的投影向量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为在上的投影向量为，所以，故，A正确；因为且，所以，故.又， 所以，即，所以，故，B正确；由题意得， ，C错误； ，D错误.故选：AB. 4．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)已知O为△ABC外心，，，若，其中，，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】设，则，如下图所示：取线段的中点，连接，由垂径定理可知，所以，，同理，，因为，则，即，所以，，① ，即，所以，，② 联立①②可得，所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案为：. 5．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)在直角梯形中，已知，，，点是边上的中点，点是边上一个动点．则的取值范围是________． 【答案】 【详解】以为原点，，所在的直线为分别为轴建立，如图所示的平面直角坐标系， 则， 设，，，， 所以，因为，所以. 故答案为：. 6．(24-25高一下·浙江宁波镇海中学·期末)已知为圆上的三个点，且为正三角形，则的最小值为（       ） A． B． C．11 D． 【答案】A 【详解】由题，，，所以 ，同理，， 由向量三角不等式，， 又，， 当且仅当与共线反向时，取等号，所以的最小值为.故选A. 7．(24-25高一下·浙江山海高中·期末)如图，是正六边形的中心，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 【答案】ACD 【详解】根据题意，结合平面向量的线性运算法则，可得：对于选项A：根据平面向量的减法运算法则可得：，故选项A正确；对于选项B：因为，所以，故选项B不正确； 对于选项C：设正六边形的边长为，因为，， 所以，故选项C正确；对于选项D：如图所示：连接，则. 因为，所以在向量上的投影向量为，故选项D正确.故选：ACD. 8．(24-25高一下·浙江宁波奉化区·期末)中国文化中的太极八卦图蕴含了现代哲学中的矛盾对立统一规律，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形，其中，若点P是其内部任意一点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由八卦图的对称性可得， 故. 设到的距离为，则，解得. 又. 又即在上的投影，其最大值为，最小值为.故， 即.故选： C 9．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)一艘船由A地向东方向航行12海里到达B地，然后由B地向东偏南60°方向航行了4海里到达C地，再从C地向南偏西30°方向航行12海里到达D地，则此时D地距离A地__________海里. 【答案】 【详解】以A为原点，以AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图所示： 则，所以， 所以，故答案为： 10．(24-25高一下·浙江山海高中共富联盟·期末)德国机械学家莱洛设计的莱洛三角形在工业领域应用广泛.如图，分别以等边三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形.若该等边三角形的边长为4，为弧上的一个动点，则的最小值为_____. 【答案】 【详解】由已知，弧是以为圆心，4为半径的圆的一部分，以为原点，所在直线为轴，过与直线垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系， 则由已知，，，由任意角的三角函数的定义，设，， 则，，，， ，令，， 当时，，，，存，使，即， 当时，的最小值为.故答案为：. 11．(24-25高一下·浙江宁波余姚·期末)如图，在平面四边形中，交于点，且为的中点.，，，. (1)求的长； (2)求. 【详解】（1）在中，用余弦定理，， 得，. （2）由（1）得，，∴，∴， 又∵，∴，.， ∴， 在中，由余弦定理得，∴， ∴为等腰三角形，. 又∵，， . 12．(24-25高一下·浙江慈溪·期末)如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 【详解】（1）因为，， 所以， 又三点共线，所以，即. （2）（ⅰ）因为为的中点，所以，由（1）知，，则，即为的重心． 建立如图所示的平面直角坐标系，则，所以， 所以，所以， 所以. （ⅱ）建立与（ⅰ）相同的平面直角坐标系，则， 所以，所以， 所以，则， 所以 ，即，所以，即或， 因为，所以，又因为，所以，则． 13．(24-25高一下·浙江金华十校·期末)（1）过的重心G作直线l，若l与边平行，与分别交于D，E两点，求与的面积比； （2）在中，若，其中，过O作直线l，与线段分别交于D，E两点，求证：； （3）在等腰直角中，，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，在二面角处于过程中，作的角平分线交于点M，记与平面的交点为N，过N作直线l，与线段分别交于P，Q两点，记四棱锥的体积为，四棱锥的体积为V，求的最小值． 【详解】（1）不妨设过重心的直线l与平行，且与分别交于D，E两点，则，所以. （2）证明：由 因为D，O，E三点共线，所以，即 （3）不妨设等腰直角两条直角边长为2，则， 因为，分别为的中点，所以，， 所以为二面角的平面角，记二面角的所成角为．则， 因为，平面，，所以平面，平面， 所以平面平面，平面平面， 过点作所在直线的垂线，垂足为T，则 因为平面，所以平面，平面， 所以，所以， 由是的平分线，所以， 所以， 设，即 连接和，记，则，连接，则面面 又记与平面的交点为N，即N为面与面的公共点，所以N在上，设， 由（2）可知：，， 设，则，即， 因为，所以，所以，， 因为，所以点到平面的距离是点到平面的距离的倍， 点到平面的距离是点到平面的距离的倍， 所以，， 所以， ，又， 当且仅当时等号成立，所以 因为，所以，所以， 即，设，，，函数在单调递增， 所以当时，函数，取最大值，最大值为，所以， 当且仅当时，等号成立 14．(24-25高一下·浙江宁波荣安实验中学·期末)三角形中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知 ，点D 是的中点，点E 在线段上，且，线段与线段交于点M. (1)求角B的大小; (2)若，求的值； (3)若点G是三角形的重心，求 的最小值. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理可得，整理得，故， 因为，所以. （2）如图，由题意可得， 因为三点共线，故可设 ， 又因三点共线，故， 所以，故. （3）因为 所以， 因为，所以，于是，两边平方化简得： ，当且仅当时取等号，所以，即. 所以的最小值为. 15．(24-25高一下·浙江宁波九校·期末)平面直角坐标系内有2027个点，，…，满足：①；②，.设. (1)若，，求的最小值； (2)若，，求的最小值； (3)若，，求的最小值. 【详解】（1）设，则， ，当且仅当时取等， ，则其最小值为2. （2）设，则， 设方向单位向量为方向单位向量为， ， ，当且仅当时取等，.则其最小值为. （3）设方向单位向量为方向单位向量为， 当时，为周期函数，周期为3， 设，则， 故是以6为周期的函数， ， ， 对于前336个周期中，令第个周期中的，第个周期中的， 则 ， 令， 此时，所以最小值为0． 16．(24-25高一下·浙江宁波三锋教研联盟·期末)克罗狄斯托勒密（Ptolemy）是古希腊天文学家、地理学家、数学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号如图，半圆O的直径为4cm，A为直径延长线上的点，，B为半圆上任意一点，且三角形为正三角形.   (1)当时，求四边形的周长； (2)当多大时，四边形的面积最大，并求出面积的最大值； (3)若与相交于点D，则当线段的长取最大值时，求的值. 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ，所以. 所以四边形的周长为. （2）设，在中，由余弦定理得， 四边形的面积为 ， 当即时，四边形的面积取到最大值为. （3）解法一：由题意，且为正三角形， ，，，即的最大值为6，取等号时，，则. 不妨设，则，得，即，故， 在中，由余弦定理得，故为的角平分线， 由角平分线性质可得，，故，. 下证角平分线性质： 已知中，是的角平分线，交于，求证：. 证明：在中， ，在中，， 因为是的角平分线，所以，又，所以. 由，A，C，B四点共圆，由相交弦定理，得，或（舍去）. 在中，，所以. 解法二：由题意，且为正三角形， ，，，即的最大值为6，取等号时，，则. 不妨设，则，得，即，故， 在中，由余弦定理得，故为的角平分线， 由角平分线性质可得，，故，. 由A，O，B，C四点共圆知，平分，所以， 故. 于是. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $