4.卷2 九上第1章 图形的相似 提优验收卷（B卷）-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（湘教版·新教材）

该初中数学单元复习课件聚焦“图形的相似”核心知识，系统梳理相似三角形的判定（AA、SAS）、性质、位似图形及比例线段等内容，通过“上分点拨”总结关键方法，结合典型例题构建知识网络，清晰呈现知识点间的逻辑联系。 其亮点在于融入跨学科问题（如小孔成像的位似应用）、传统文化（《海岛算经》测高问题），培养学生数学思维（推理能力）和数学语言（模型意识），设计分层练习（基础题到综合探究题），助力不同水平学生巩固提升，教师可精准把握学情，提高复习针对性。

数 学 九年级全一册 湘教版 1 2 3 卷2 九上第1章提优验收卷（B卷） 考查内容：图形的相似 4 一、选择题 二、填空题 三、解答题 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 时间： 满分：100分 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四 个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[2026江西宜春月考]已知，则 ( ) B A. B. C. D. 【解析】，， ．故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 6 （第2题图） 2.[2026湖南张家界校级期中]如图，在矩形中，点， 分别 在边，上，，，， ， 则 的长是( ) A A.9 B.15 C. D. 【解析】，.， ， ，， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 7 （第3题图） 3.[2026河北唐山月考]如图，四边形四边形 ，相似比 为，点，，， 在同一条直线上，则下列说法不一定正确的是 ( ) D A. B. C. D. 【解析】四边形四边形，相似比为， ， ，，， 、B、C选项说法正确， D选项说法不一定正确，故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 8 （第4题图） 4.[2026湖南娄底期末]如图是一架人字梯的侧面示意图，已知 ，，，，则 的 长为( ) C A. B. C. D. 【解析】，，，， ， ，， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 9 5.[2026贵州铜仁期中]如图，已知 ，那么添加下列一个条件后，仍 无法判定 的是( ) D （第5题图） A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 10 【解析】， ， .A选项，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定 ，故A不符合题意；B、C选项，由两角分别相等的两个三角形相 似可判定 ，故B、C不符合题意；D选项，两个三角形的两边对应 成比例，但夹角不一定相等，故不能判定 ，故D符合题意．故选D． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 11 上分点拨 相似三角形的判定 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 12 （第6题图） 6.新考法 [2026辽宁沈阳期中]“黄金比例分割法”是启功先生研究 的一套楷书结构法，是将正方形按照黄金分割的比例来分割，形 成“黄金格”（如图，四条与边平行的线的交点都是黄金分割点）， 汉字的笔画至少要穿过两个黄金分割点才美观.若正方形“黄金格” 的边长为 ，以四个黄金分割点为顶点组成的正方形的边长为 ( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 13 【解析】如图.点是的黄金分割点， ， .点是的黄金分割点 ， ， ， ， 以四个黄金分割 点为顶点组成的正方形的边长为 ，故选C． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 14 （第7题图） 7.[2026湖南邵阳调研]如图，是等边三角形，点， 分别在 边，上，且，与相交于点.若 ， ，则 的边长等于( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 15 【解析】是等边三角形，，.在 与 中，， . ，， ， ，.过点作于 . ，， ， ，， .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 16 （第8题图） 8.跨学科问题 [2026河北保定期中，中]如图，这是物理学中的小 孔成像，是物体，遮挡板上的小孔抽象成点， 透过小孔 在光屏上成的像是倒立放大的实像，和 是位似 图形，位似中心为点，遮挡板和光屏的水平距离为 ， ，此时，像的长为，为了使像 的长度变成 的3倍，在物体和光屏 位置不变的情况下，可以将遮挡板 ( ) B A.水平向右移动 B.水平向左移动 C.水平向右移动 D.水平向左移动 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 17 【解析】如图，过点作于点，延长交于点. 和是位似图形，位似中心为点，， ， .和是位似图形， ， ，，即， ， .将遮挡板移动后，设 ，则 .使像的长度变为的3倍， . 又，即，，此时.， 可以将 遮挡板水平向左移动 ，故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 18 （第9题图） 9.传统文化 [2025湖南模拟，偏难]魏晋时期数 学家刘徽所著的《海岛算经》是有关测量的数 学著作，其中第一题是测海岛的高.如图，点 ， ，在水平线上，和 是两个垂直于水 平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高” A A. B. C. D. （记为），称为“表距”（记为），和都称为“表目距”（分别记为 ， ），则海岛的高 为( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 19 【解析】由题意得，， ， ，.，， ， ，. ， . ，，，， .故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 20 10.[2026湖南永州期末，难]如图，在正方形中， 是等边三角形，，的延长线分别交于点， ，连接 ，，与相交于点.给出下列结论： ； ；； ； .其中正确的结论有( ) D A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 21 【解析】为等边三角形， ， .， ， ，.， ， ，.又， ，故① 正确.， ， ， ， 故②正确.，易得， .又 ，不是中点，， ，故 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 22 ④错误.过点作于点，过点作于点 ，如图. ，， ， ，， 易得 ，故③正确. ， ， ，，.又， ， ，故⑤正确.综上所述，正确的结论有4个，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分. （第11题图） 11.[2026湖南邵阳期中]如图，在中，点， 分别为边 ，上的点，且，若，， ，则 的长为___. 9 【解析】，， . ，，. ， ， ，故答案为9． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 24 12.[2026天津和平区期末]在平面直角坐标系中，与 位似，位似中心 是原点.已知与是对应顶点，且，的坐标分别是， ，若 的周长为3，则 的周长为___. 9 【解析】，的坐标分别是，，与 的位似比为 ，与的周长比为.的周长为3， 的周长为9. 故答案为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 25 （第13题图） 13.[2026江西赣州期末]如图，一座正方形城池， 为北门 中点，从点往正北方向走30米到处有一树木， 为西门 中点，从点往正西方向走750米到处正好看到 处的树木， 则正方形城池的边长为_____米. 300 【解析】设正方形城池的边长为米，则米. ， .，， ，即 ， ，即正方形城池的边长为300米.故答案为300. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 26 （第14题图） 14.[2026河南安阳月考，中]如图是用12个相似的直角三 角形组成的图案，若，则 的长度为___. 【解析】 题图中12个直角三角形都相似， ，即直角三角形中较小的锐角为 ．在中，， ， ，即 ，同理 可得，，，， ， ．又， ．故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 27 （第15题图） 15.[2026湖南怀化期中，中]如图，在中， ， ，点从点开始沿边向点以每秒 的速度 移动，点从点开始沿边向点以每秒 的速度移动.如 果点，分别从点，同时出发，经过_ _____秒， 与 相似. 或2 【解析】设经过秒，与相似，则 ， . ，当时，，此时 ，解 得；当时，，此时，解得 .综上所述，经 过秒或2秒，与相似.故答案为 或2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 28 16.新考法 [2026北京海淀区月考，偏难]如图，点在等边三角形的边 上， 连接，线段的垂直平分线分别交边，于点，.当时， 的值为 __ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 29 【解析】如图，连接，. 为等边三角形， ，. 垂直平分 ，，.在和中， ，， . ，. ， ，.设， ，则 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 30 ， . ， ， ， ，，.故答案为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 三、解答题：本题共6小题，共52分.解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤. 17.[2026湖南邵阳期中]（6分）已知，且 . （1）求，， 的值；（3分） 【解】由题可设，，. ， ，，，， .…………（3分） （2）求 的值.（3分） 【解】，， ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 32 18.[2026湖南长沙月考]（8分）如图，在平行四边形 中， 对角线与相交于点，，过点作 交于点 . （1）求证： ；（4分） 【证明】，，四边形是菱形， ， .…………（2分） ，， ， ， .…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 33 （2）若，，求 的长.（4分） 【解】四边形 是菱形， ，， . ，，即 ， .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 34 19.项目式学习 [2026浙江宁波月考]（8分）根据以下材料，完成探究任务.#1 利用相似三角形测高 发 现、 提出 问题 数学老师组织同学们来到湿地公园开展“利用相似三角形测高”的综合实践 活动.如图，在公园某处，他们发现一个简易工具房前有一堵围墙 ，同 学们提出问题如下：围墙 的高度是多少米 _____________________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 35 利用相似三角形测高 分析 问题 结合课本上“利用相似三角形测高”的知识，同学们进行如下操作：①当阳 光恰从围墙最高点经窗户点处射进房间地面点时，测得 ； ②当阳光恰从围墙最高点经窗户点处射进房间地面点 时，测得 .此外，测得窗高，窗户距地面的高度 （点，，， 在一条直线上） 续表 解决问题#1.1.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 请利用上述数据，解决下列问题： （1）求 的长.（6分） 【解】， ， . ， ， ，， .…………（3分） 同理可得， ， ， ，…………（5分） ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 37 （2）求出围墙 的高度（2分） 【解】由（1）知， . 答：围墙的高度为 .…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 38 20.[2026山东烟台期中]（8分）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的 边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上，在网格 中请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图． 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 39 （1）如图（1），以点为位似中心画，使得与 位似，且位 似比为 ．（4分） 图（1） 【解】如图（1）所示，在延长线上取格点，在 延长线上取 格点，使，，连接 ，…………（1分） …………（3分） 则.，，故 即 为所求.…………（4分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 40 （2）如图（2），在边上找一点，使得 ．（4分） 【解】如图（2）所示，在点的下方取格点，使，，连接 交 于点 ，…………（5分） 图（2） …………（7分） 则，，故点 即为所求.…………（8分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 41 21.[2026安徽滁州期末]（10分）如图，中， ， ，点为的中点，连接并延长交于点 ，且有 ，过点作于点 . （1）求证： ；（3分） 【证明】，.， ， .…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 42 （2）求证： ；（3分） 【证明】点为 的中点， . ， . 设，则，.， ， ， . ，， ， ， .…………（6分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 43 （3）［中］若，求 的长.（4分） 【解】由（2）知，， . ，， ， 即， ， .…………（7分） ， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 44 ， ， . 由（2）知，设，则，， ， ，…………（9分） 在中， .…………（10分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 图（1） 22.综合与实践 [2025河南开封第十四中学三模]（12分）综合与实践 在学习“探索三角形相似的条件”的过程中，我们积累了一定的研究经 验.请运用已有经验，对“自相似点”进行研究. 定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在 ， ，中，如果至少有一个三角形与相似，那么称点 是的“自相似点”.例：如图（1），点在 内部， ，，则，故点为 的“自相似点”. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 46 【推理判断】 图（2） （1）［中］如图（2），在中，，，点是 上一点且在的垂直平分线上，判断点是否为 的“自相似点”， 并说明理由.（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 47 【解】点是 的“自相似点”.…………（1分） 理由如下：， ， . 点在的垂直平分线上， ， ， .…………（2分） 又，，点是 的“自相似点”.…………（3分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 48 【初步运用】 图（3） （2）［中］如图（3），若为钝角三角形，点是 的“自相似点”，且点在上，.求证： . （4分） 【证明】为钝角三角形，点是 的“自相似点”，且 点在上，， ，…………（4分） ， ，…………（6分） .…………（7分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 49 【拓展应用】 图（4） （3）［难］如图（4），为锐角三角形，若点是 的“自相 似点”，且相似三角形中，点与点对应，点在的平分线 上. 若，，求 的长.（5分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 50 【解】点是的“自相似点”，点与点是对应点，当 时，，，.平分 ， ， . ， ， ， ， ， ， ， ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 51 ， .…………（10分） 当时，，， . 同理可得， ， .…………（11分） 综上所述，的长为或 .…………（12分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 $