3.上分专题（一） 相似三角形中的基本模型-【初中上分卷】2026-2027学年九年级全一册数学配套课件（湘教版·新教材）

该初中数学课件聚焦九年级相似三角形基本模型，系统梳理A字型、8字型、子母型、一线三等角型及“手拉手”旋转模型五大类型，通过母题学方法、上分总结构建知识框架，串联模型特征与判定方法，帮助学生形成完整的相似三角形模型认知体系。 其亮点在于采用“母题引领-变式训练”模式，如A字型通过公共角条件推导相似判定，一线三等角型结合垂直条件培养推理能力，子题融入中考真题变式，发展几何直观与模型意识。分层设计满足不同学生需求，助力教师精准复习，提升知识应用与迁移能力。

数 学 九年级全一册 湘教版 1 2 3 上分专题（一） 相似三角形中的基本模型 重难上分 攻克难点 4 类型1 A字型 类型2 8字型 类型3 子母型 类型4 一线三等角型 类型5 “手拉手”旋转模型 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 5 类型1 A字型 母题学方法 上分攻略 此类题目的图形中的两个三角形有一个公共角，只要再找一对相等的角或夹这个 公共角的两边成比例，就可证明这两个三角形相似. （第1题图） 1.[2025浙江绍兴校级月考]如图，在中，点， 分别在边 ，上，下列条件中不能判定和 相似的是( ) C A. B. C. D. 【解析】A选项，由，可判定 ， 故A选项不符合题意；B选项，由，可判定 ， 故B选项不符合题意；C选项，由，不能判定与 相似， 故C选项符合题意；D选项，由，可判定 ，故D选 项不符合题意．故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 上分总结 A字型 A字型分两种：①正A字型，②斜A字型.注意两种A字型的边角对应关系不同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 子题练变式 （第2题图） 2.[2026湖南衡阳期末]中国古代数学家刘徽在《九章算术注》 中，用“出入相补”法证明了三角形面积公式.如图，在 中，点，分别是，的中点，作于点 ，沿虚 线分割再重新拼接（无重叠、无缝隙）成四边形 .若 ，，则四边形 的面积为____. 18 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 【解析】， 点，分别是 ， 的中点，是的中位线，， ， ，，， ， ， ，故答案 为18． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 类型2 8字型 母题学方法 上分攻略 此类题目的图形中的两个三角形有一个公共顶点，且有一组对顶角相等，只要再 证另一组对应角相等或夹互为对顶角的两边成比例，就可证明这两个三角形相似. （第3题图） 3.[2026湖南湘潭校级月考]如图，在的正方形网格中，线段 与交于点，连接,,若每个小正方形的边长均为1，则 的 长为( ) D A.2 B. C. D. 【解析】根据题意，可知， ， ，，， ， ，， .故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 上分总结 8字型 8字型有两种：①正8字型，②斜8字型（蝴蝶型）.注意两种8字型的边角对应关系不同. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 13 子题练变式 （第4题图） 4.[2026黑龙江佳木斯期中]如图，矩形中， ， ，点在对角线上，且，连接 并延长， 交的延长线于点，连接，则 的长为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 14 【解析】 四边形为矩形，， ， ， ， 四边形为矩形， , ，，，即 ， ，.在中，， ， ，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 15 类型3 子母型 母题学方法 上分攻略 如图（1），直角三角形被斜边上的高 分成两个直角三角形,这两个直角三角形与 相似，即 .正方 形、矩形中常出现子母型，如图（2）.复杂图 形中如有图（1）、图（2）中的基本模型，可 尝试应用该模型证明三角形相似. （第5题图） 5.[2026陕西西安月考]如图，在中， ， ，，过点作于点，以 为顶点作一个直 角，其两边分别与边，交于点，，点不与点 重合，则 __. 【解析】， ， ，， ， .， .又 ，，.故答案为 ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 17 上分警示 子母型 子母型相似可看成由斜A字型相似变化而来，子母型相似的对应关系比较容易写错， 为了避免出错可采用两种书写习惯：①仿照A字型写法，从公共点写起；②按角的 大小排序来写. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 18 子题练变式 6.[2026湖南永州期中]如图，在矩形中，，，点在边 上， 点，分别在边，上，且，则 __. （第6题图） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 19 【解析】如图，过点作于点 四边形为矩形， ， ， ， ， 四边形 为矩形， ，， , .又 ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 类型4 一线三等角型 母题学方法 上分攻略 此类题目的图形中一条直线上有三个相等的角，找出两个三角形中的两组角对应 相等就可以证明两个三角形相似. 7.[2025江苏扬州期中]如图，，，点是线段 上的一点，且 .已知，，，则线段 的长为___. 3 【解析】，，， ， ， ， ， ，，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 22 上分总结 一线三等角型 通常通过等量关系找到对应角，进而得到相似三角形.注意不要找错相对应的角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 23 子题练变式 8.[2026湖南永州期末]如图（1），为等边三角形，，点为 边 上的动点（点不与点，重合），点在边上，且 . 图（1） 图（2） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 24 （1）求证： ； 【证明】为等边三角形， ， ， ， ， . （2）［中］如图（2），当运动到的中点时，求线段 的长. 【解】同（1）可得， . 为等边三角形， . 点为的中点，，， ． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 25 类型5 “手拉手”旋转模型 母题学方法 上分攻略 此类题目中的两个三角形共顶点，两组边对应成比例且夹角相等. 9.[2026湖南株洲期末]如图，， ， ， ，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中， 的 最小值是___. 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 26 【解析】，， ， ，， . ，， ， ， ， ， ， ，，， 的值最小 时，的值最小，此时的值最小.根据垂线段最短可知，当时， 的 值最小，此时根据三角形面积可得， ， 的最小值为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 27 子题练变式 10.如图（1），在钝角三角形中， ，，点为边 的中 点，点为边的中点.将绕点按逆时针方向旋转 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 （1）［中］如图（2），连接，.求证： . 【证明】如题图（1）， 点为边的中点，点为边 的中点， ，.如题图（2），根据旋转的性质，可知 依然成立，且 ,， . （2）［难］如图（3），与相交于点，直线，交于点 .在旋转过程中， 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出这个角的度数. 【解】的大小不发生变化.由（1）易得 ， ， ，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 29 $