北京市北京理工大学附属中学2025-2026学年高三下学期考前自测数学试题

理工附2026数学三模试卷 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.己知集合P=xx2≤1，M={a},若P∩M=M,则实数a的取值范围是（) A.(-0,-l] B.[-l,] C.[l,to∞) D.（-o,-l小U[l,+o∞) 2.已知向量a=(,),3=(,-),若(a+)1(a+b),则() A.2+H=1 B.2+H=-1 C.2u=1 D.2u=-1 3.已知 的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（) A.-240 B.240 C.60 D.-60 4.己知x,y∈R,且x>y,则（) A. 1_1<0 B.tan x-tan y>0 D.Inx-In|y>0 x y 5.已知函数(x)= 「-1，x<0 则不等式xf(x-1)≤1的解集为(). 1,x≥0 A.[-l,+∞) B.（-∞，1] C.[1,2] D.[-1,] 6.已知A(-l,0),B(1,0),若点P满足PA⊥PB,则点P到直线1：m(x-√5)+y-1)=0的距离的最大值为() A.1 B.2 C.3 D.4 7.一位速算大师事前贴出的广告说，他能当着大家的面在几秒钟之内把一个几十位数的几十次方根迅速算出来.当然， 涉及的全体数都是整数某个观众准备的题目是“计算一个35位正整数的31次方根”，速算大师很快就给出正确答案. 事实上速算大师仅用了部分数的常用对数近似值（如下表）· 11 12 13 14 15 16 17 18 lga 1.04 1.08 1.11 1.15 1.18 1.20 1.23 1.26 那么，观众准各的题目的正确答案为( A.13 B.14 C.15 D.16 8.已知数列{an}为无穷等比数列，Sn为其前n项和，“存在M,>0,对于任意的n∈N',an<M,”是“存在M2>0, 对于任意的n∈N,Sn<M2”的() A充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 设msR.定又点兮-小1-湘牛货合为a水-叫sl-m-s,中为正实数给 出以下两个命题： ①若m=0,则其1-相伴集合Ap-1所对应平面图形的面积为2： @设，>0，若对任激实数m及任意1≤，集合4，所对应平面图形与抛物线2-2y均无公共点，则。< 12 则正确的选项是（) A.①是真命题，②是真命题 B.①是假命题，②是假命题 C.①是真命题，②是假命题 D.①是假命题，②是真命题 10.已知数列{an}的各项均为正数，且满足a21-an=1(1是常数，n=1,2,3,…),则下列四个结论中正确的是 A.若2=0，则数列{lnan}是等比数列 B.若入>0，则数列{an}是递增数列 C若数列o,}是常数列，则2之-月 D.若数列{an}是周期数列，则最小正周期可能为2 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 1,若2+i是纯虚数，则实数a的值为 1-ai 12.使lga+lgb=lg(a+b)成立的一组a,b的值为a= ,b= 13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线与x轴的交点为A,点B在C上.若|FB=2,则直线AB的方程为 14.海水受日月引力会产生潮汐，以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低，现测得某港口某天不同 时间的水深情况如下表所示(31时即为凌晨3点06分)： 时间x/时 03.162 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深y/米 5.07.45.02.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 根据以上数据，可以用函数y=Asin(ωx+p)+b(ω>0，p<)来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，则 这个函数的解析式为 若某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米，根据安全条例规定， 船只在本港口进港和在港口停靠时，船底至少高于海底平面2米，这条货船一天中可以在港口中停靠的最长时长 为。 15.我国南北朝时期的数学家祖暅提出体积的计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积 不容异”·"势”即是几何体的高，“幂”是截面积，意思是：如果两等高的几何体在同高 处的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等.己知双曲线C的焦点在x轴上，离 心率为、5，且过点(2,25)，则双曲线的渐近线方程为一·若直线y=0与y=6在 第一象限内与双曲线及其渐近线围成如图阴影部分所示的图形，则该图形绕y轴旋转 一周所得几何体的体积为 三、解答题共6小题，共85分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 图，四边形ABCD为菱形，∠ABC-,AB=2,把eABC沿者BC折起，使A到 (1)证明：BC⊥AA,: (2)若AA,=√6，求直线DA与平面ABA所成角的正弦值： D (3)在(2)的条件下，求点D到平面ABA,的距离. 17.已知函数f(x)=2V3 sin wxcos wx+2cos2ox,(w>0)的最小正周期为T. (1)求0的值： π (2)在锐角eABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知c为f(x)在0，二上的最大值，再从条件①、 2 条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求a-b的取值范围. 条件①：a cos B+bcosA=2 ccos C: 条件②：2 asin Acos B+bsin2A=V5a: 条件@：eABC的面积为3，且S-5(0+2-c) 4 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个条件计分. 18.教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时.为了提升学生体质，养 成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”， 运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”.现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人) 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率. ()从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率： (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设X为“运动达标”的人数，求X的分布列和数学期望： (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为Y.求使概率P(Y=k)取得最大值时的k的值.（直接写出 结论) 9已知椭圆C,+a>b>0的左石焦点分别为，B,以线段飞为直径的圆过c的上下顶点，点化©置 C上，其中e为C的离心率 (1)求椭圆C的方程和短轴长： (2)点A,B在C上，且在x轴的上方，满足AF∥BF,AF=2BF,直线AF与直线BF的交点为P,求△PFF的 面积. 20.已知函数)=“u∈R)的最大值为。，设函数)y=)的图象在点P心m,m》处的切线为1. (1)求1的值： (2)证明：当m>2时，切线l与函数y=(x)的图象有另一交点(，()，且n<m. 21.给定正整数n≥2，设数列{an}:41,a2,,an是1,2，，n的一个排列.从数列{an}中选取第i1项、第i2项、、 第im项（i<i2<…<im),a,<a,<…<an，则称新数列4，4，…an为{an}的长度为m的递增子列.若 a。>a.>…>an,则称新数列4，4，，4n为{an}的递减子列.对i∈{1,2，，n,x表示以a,为首项的递增子列的 最大长度，y表示以4，为首项的递减子列的最大长度 (1)若n=4,4=1,42=4,4=2,a4=3,求x1和y2: (2)求证：ie山2n-,（x-y+(-1≠0： (3)求∑x-圳的最小值.