高考尖子生培优专题01：集合、常用逻辑用语与不等式讲义-2027届高考数学一轮复习(全国通用)

该高中数学高考复习讲义聚焦集合、常用逻辑用语与不等式三大核心模块，按基础概念（如集合运算、量词命题）到进阶技巧（如糖水不等式、权方和不等式）的逻辑架构整合考点，通过思维导图梳理知识网络，解题技巧提炼方法规律，真题例题与变式训练结合，帮助学生系统突破高频难点。 讲义突出数学思维与数学语言的培养，如用“小充分大必要”口诀简化充分条件判断，结合函数图像解析基本不等式应用，设置分层练习（基础变式到综合提升）。通过经典真题重现与技巧秒杀策略，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题01：集合、常用逻辑用语与不等式 解题技巧一 集合 4 解题技巧二 常用逻辑用语 6 解题技巧三 不等式与基本不等式 8 解题技巧四 糖水不等式、对数糖水不等式 11 解题技巧五 权方和不等式与柯西不等式 14 思维导图 1.常用数集符号：正整数集或，自然数集(包含0)，整数集，有理数集，实数集，复数集 2.集合的运算： (1)； (2)； (3) 3.摩根定理： (1) (2) 4.包含关系的各种等价表示：如图， (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 解题时，要注意空集的特殊性，如研究，常分与两种情形求解 5.集合的子集个数：含有个元素的集合的子集个数是，真子集个数是，非空子集个数是，非空真子集个数是.(针对，进行减1、减我) 6.充分条件与必要条件（充分性、必要性）： (1)如果“若,则”为真命题，则记作 则称 (2)若，则是的充分必要条件，简称充要条件 前充分,后必要；小充分,大必要；小范围大范围 7.全称量词命题： ；其否定为： 存在量词命题： ；其否定为： 全称量词命题与存在量词命题的否定：改量词，否结论（写补集） 8.基本不等式：（平方和不等式、均值不等式） ，当且仅当时等号成立【一正、二定、三相等】 变式（更常用）： (1)(常用于求积的最大值) (2)，变式 (3) 相关的“勾号函数”与“飘带函数” 9.一元二次方程的求根公式与韦达定理： (1)求根公式： (2)韦达定理： 10.解一元二次不等式：（） 11.分数不等式：分类讨论，转化整式不等式 如：等价于；也可以等价于 12.指对不等式：化同底利用单调性 13.权方和不等式的二维形式 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 14.柯西不等式 二维形式的柯西不等式 当且仅当 时，等号成立.) 二维形式的柯西不等式的变式 (1) , 当且仅当 时，等号成立.) (2) , 当且仅当 时，等号成立.) (3) , 当且仅当 时，等号成立.) 扩展： 经典重现+解题技巧 解题技巧一 集合 1.摩根定理： (1) (2) 2.包含关系的各种等价表示：如图， (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 解题时，要注意空集的特殊性，如研究，常分与两种情形求解 3.集合的子集个数：含有个元素的集合的子集个数是，真子集个数是，非空子集个数是，非空真子集个数是.(针对，进行减1、减我) 【例1】（2026·重庆·二模）已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不等式，即，即， 解得，故， 不等式可化为，即， 解得，故， 所以. 【变式1-1】（2026·甘肃兰州·一模）集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设全集为，由图可知阴影部分可表示为， 可知，则 【变式1-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，，则的非空子集的个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】由题设，， 所以，则其非空子集的个数有个. 【变式1-3】（2026·河北邢台·一模）已知集合，．若集合仅有1个元素，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【详解】集合A中的元素表示直线上的点， 集合B中的元素表示圆上的点， 中有且仅有一个元素，表示直线和圆相切， 故圆心到直线的距离等于圆的半径1， 即，解得. 解题技巧二 常用逻辑用语 1.充分条件与必要条件（充分性、必要性）： (1)如果“若,则”为真命题，则记作 则称 (2)若，则是的充分必要条件，简称充要条件 前充分,后必要；小充分,大必要；小范围大范围 2.全称量词命题： ；其否定为： 存在量词命题： ；其否定为： 全称量词命题与存在量词命题的否定：改量词，否结论（写补集） 【例2】（2026·河北衡水·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先由对数函数和幂函数的单调性得到a和b的关系，即可判断出答案. 【详解】因为在定义域上是单调递增函数， 所以由等价于， 由可知且， 又因为函数在上是单调递减函数， 所以等价于， 因此，“”是“”的充要条件. 【变式2-1】（2026·辽宁辽阳·二模）已知，把的图象向右平移个单位得到的图象，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】应用三角函数平移及奇偶性结合充分必要条件定义判断. 【详解】把的图象向右平移个单位得到， 当为偶函数，则，即得，不能得出， 当时，则为偶函数， 所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件. 【变式2-2】（25-26高三上·江苏南通·期中）设函数的定义域为R，对于任意的，，且，则“”是“是增函数”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合函数单调性的定义，即可判断选项. 【详解】若，则，则当时，，所以单调递增， 反过来，若函数单调递增，则当时，，即，但不能推出， 所以“”是“是增函数”的充分不必要条件. 故选：B 【变式2-3】（2026·山东菏泽·一模）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】取，，则，但，， 此时，，， 所以不是的充分条件， 取，，则，， 故，但， 所以不是的必要条件， 所以是的既不充分也不必要条件 解题技巧三 不等式与基本不等式 一.重要不等式串： 即（背下来考试很好用）,当且仅当 时，所有等号成立。 调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数(注意等号成立的条件). 二.几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：（同号）. 三.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件. （2）连续使用不等式要注意取得一致. 【例3】（25-26高三上·新疆·月考）已知，，函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得且是函数的一个零点，则由，再借助基本不等式中“1”的活用计算即可得. 【详解】， 则，且是函数的一个零点，即， ， 当且仅当，时，等号成立， 故的最小值为. 故选：D. 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：由，可将用表示出来，从而使函数转化为只含一个变量的式子，然后利用通分、分离常数化简变形，最后利用基本不等式即可求得最小值，注意等号取得的条件．解法二：由，可将用表示出来，从而使函数转化为只含一个变量的式子，再使用柯西不等式求解即可. 【详解】解法一：因为， 所以，且， 又因为， 所以， 所以， ， 因为， 所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以， 所以的最小值为． 解法二：因为， 所以，且， 所以 ， 所以的最小值为． 故选：D． 【变式3-2】（2026·河北廊坊·一模）(多选题)已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 【答案】ACD 【详解】，，又，，故A正确， 令，，故B错误， ，即，，又，，， ，当且仅当时，即等号成立，故C正确， ， 又，，则， 又，，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 【变式3-3】（25-26高三下·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 【答案】B 【分析】利用对数换底公式化简已知条件，得到与的关系式，再用基本不等式求最小值. 【详解】由换底公式可得 ， 原式化为 ，所以 ， 因为，由基本不等式得， 当且仅当，即时，取等号成立. 所以的最小值是. 解题技巧四 糖水不等式、对数糖水不等式 1. 糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 2. 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 3. 对数型糖水不等式 （1） 设 , 且 , 则有 （2）设 , 则有 （3）上式的倒数形式：设 , 则有 【例4】（23-24高三上·河南·月考）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知：在糖水中加入糖后，糖水浓度变大了，所以糖水变甜了. 【详解】原糖水的浓度为，加入糖后糖水的浓度为，加入糖后糖水浓度变大了， 所以. 故选：D 【变式4-1】（2026·山东济宁·三模）(多选题)已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】ACD 【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对 进行变形，然后利用基本不等式判断D. 【详解】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确； 选项B： 当 时，满足 ， ， 此时 ，显然 ，所以选项B错误； 选项C：， 因为 ，所以， 所以，即，，选项C正确; 选项D: 已知 ， ，将 变形为：, 根据基本不等式，因为 ，所以 ， 则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）； 所以 ，即 ，所以选项D正确. 【变式4-2】（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作差法，结合对数运算性质，基本不等式可比较两者大小， 再比较三者大小关系可得答案. 【详解】， 注意到，， 则，从而. 又注意到，从而. 【变式4-3】（25-26高三下·贵州毕节·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的范围，再结合基本不等式与作商法得到，进而结合对数的运算性质得到，最后证明目标结论即可. 【详解】因为，， 所以，由基本不等式得， 当且仅当时取等，但本题无法取等，则， 结合对数的运算性质得， 结合对数的性质得， 即，得到，而， 又，综上所述，. 解题技巧五 权方和不等式与柯西不等式 1.权方和不等式的二维形式 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 2.柯西不等式 二维形式的柯西不等式 当且仅当 时，等号成立.) 二维形式的柯西不等式的变式 (1) , 当且仅当 时，等号成立.) (2) , 当且仅当 时，等号成立.) (3) , 当且仅当 时，等号成立.) 扩展： 【例5】（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【变式5-1】（25-26高三上·河北·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B． C． D．25 【答案】B 【分析】根据权方和不等式凑配，并利用其求解最值即可. 【详解】因为，所以，即 故根据题意，， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为. 故选：B 【变式5-2】（24-25高三上·广东深圳·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】结合所给权方和不等式计算即可得. 【详解】由，则，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高三·全国·一轮复习）（1）若，且，则的最小值为________． （2）已知正实数满足，则的最小值为________． 【答案】 27 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用权方和不等式求出最小值. 【详解】二元形式的权方和不等式：已知，则有：(当且仅当时取等号)； 一般形式的权方和不等式：设，实数，则(当且仅当时取等号)． （1），，则， 因此，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. （2）是正实数，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为27. 故答案为： ；27 1．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知集合，则的所有子集的个数为（   ） A．8 B．7 C．5 D．3 【答案】A 【分析】先求出集合，再根据子集个数的计算公式求解. 【详解】由， 所以的所有子集的个数为. 故选：A 2．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若恰有4个子集，则中恰有2个元素，所以. 3．（2026·安徽阜阳·二模）已知集合，，则（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【详解】因为，又， 所以或. 4．（2026·天津河东·二模）已知，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】B 【分析】先解出不等式，再根据集合间的关系，即可得答案． 【详解】或，解得或， ，解得或， 因为是的真子集， 所以“”是“”的必要不充分条件． 5．（2026·广东广州·二模）函数是奇函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数定义：若是奇函数，则对任意都满足，且定义域为时必有. 【详解】代入得，因此， 代入得，结合即， 整理得对任意恒成立，平方化简得对任意恒成立，因此， 因此是奇函数等价于且，即， 反之若，必有， 此时确实是奇函数，故充要条件为. 6．（25-26高三上·湖北·期末）命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据条件，全称命题为假命题，则其否定为真命题，将不等式转化为，转化为求函数的最大值，再根据充分不必要条件与集合的关系，即可求解. 【详解】原命题为假命题等价于其否命题“”为真命题，所以， 在区间上单调递增，当时，函数取得最大值，则，又⫋， 所以命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是. 故选：B 7．（2026·四川泸州·模拟预测）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 【答案】B 【分析】利用指数函数的单调性判断A，构造且，导数研究其单调性得到大小关系判断B，应用不等式的性质判断C，由余弦、正切函数的性质，举反例判断D. 【详解】由，则，故，A为假命题， 令且，则，故在上单调递增， 由，则，B为真命题， 由，则，故，即，C为假命题， 若，反例：如，则，D为假命题. 8．（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过对数的运算法则将化简，再根据对数函数的单调性，即可判断的大小. 【详解】由题意，， 根据对数函数的图象性质，在上单调递增，在上单调递增， 又，所以， 又，所以， 即，所以. 9．（2026·河北保定·三模）(多选题)已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 的最小值为 D．若，则 的最大值为2 【答案】BD 【分析】利用不等式的性质判断A，利用作差法判断B，根据基本不等式求最值后判断CD. 【详解】对于A，因为，由不等式的性质可得，故A错误； 对于B，， 因为，故，故， 故，故B正确； 对于C，， 当且仅当时等号成立，故的最小值为. 对于D，， 故，当且仅当时等号成立， 故的最大值为2，故D成立. 10．（2026·陕西·模拟预测）(多选题)如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】选项A和C，取反例求解即可；选项B，约掉即可；选项D，用作差法即可判断. 【详解】对于A：取，则，故A错误； 对于B：由，可知，所以，同除，得到，故B正确； 对于C：取，，此时，故C错误； 对于D：， 因为，所以；又，， 即，故，故D正确. 11．（2026·山东济南·一模）(多选题)已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】举反例判断AD，利用不等式的性质判断BC. 【详解】因为，所以， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，， 又，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，所以， 所以，故C正确； 对于D，当时，，不成立， 故D错误； 故选：BC 12．（2026·安徽合肥·模拟预测）(多选题)已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（   ） A．存在实数使得，是方程的两根 B．若，则的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】结合韦达定理、基本不等式、二次函数值域求解，先利用题干等式转化为韦达定理形式，再分别分析各选项. 【详解】选项A：若、是方程的两根， 由韦达定理得，，代入题干， 左边，右边，等式成立；又， 则，即或时存在这样的，A正确； 选项B：若，由基本不等式， 代入得，令， 则，解得即，当且仅当时等号成立， 但，故，即范围为，B正确； 选项C：令，则，则、是方程的两根， 判别式，解得或， 即的范围是，并非仅，C错误； 选项D：， 由：当时，，故； 当时，，故，综上范围为，D正确. 13．（25-26高三下·河南·阶段检测）(多选题)已知为原点，直线过点，，，则（    ） A．的最小值为4 B．的最小值为8 C．点到距离的最小值为1 D．点到距离的最大值为 【答案】BD 【分析】利用反例判断A，利用柯西不等式判断B，结合趋势判断C，根据B中结果判断D. 【详解】直线过点，则， A选项中，，可正可负， 若，则，因此A错误， B选项中，由柯西不等式得：， 当且仅当时取等号，因此的最小值为8，B正确， C、D选项中， 原点到直线的距离， 若，则，， 最小值小于1，因此C错误， 由B可知，因此， 当且仅当时取等号，即距离的最大值为，D正确. 【点睛】本题关键在于利用直线过点得到，再结合柯西不等式以及点到直线距离公式求解. 14．（25-26高三上·江苏南京·期中）(多选题)已知正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式即可判断AC，利用二次函数即可判断B，利用柯西不等式即可判断D. 【详解】由有：， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 由，当时，即时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 由， 当且仅当时，等号成立，故C正确； 由， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确； 故选：ACD. 15.（25-26高三下·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 【答案】C 【分析】根据权方和不等式求解即可. 【详解】因为，所以. ， 当且仅当，即（在范围内）时，等号成立. 2 学科网（北京）股份有限公司 $以笔为剑，横扫数学题海；以智为盾，勇闯高考难关，高考必胜！ 尖子生培优专题01：集合、常用逻辑用语与不等式 解题技巧一 集合 4 解题技巧二 常用逻辑用语 5 解题技巧三 不等式与基本不等式 6 解题技巧四 糖水不等式、对数糖水不等式 7 解题技巧五 权方和不等式与柯西不等式 8 思维导图 1.常用数集符号：正整数集或，自然数集(包含0)，整数集，有理数集，实数集，复数集 2.集合的运算： (1)； (2)； (3) 3.摩根定理： (1) (2) 4.包含关系的各种等价表示：如图， (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 解题时，要注意空集的特殊性，如研究，常分与两种情形求解 5.集合的子集个数：含有个元素的集合的子集个数是，真子集个数是，非空子集个数是，非空真子集个数是.(针对，进行减1、减我) 6.充分条件与必要条件（充分性、必要性）： (1)如果“若,则”为真命题，则记作 则称 (2)若，则是的充分必要条件，简称充要条件 前充分,后必要；小充分,大必要；小范围大范围 7.全称量词命题： ；其否定为： 存在量词命题： ；其否定为： 全称量词命题与存在量词命题的否定：改量词，否结论（写补集） 8.基本不等式：（平方和不等式、均值不等式） ，当且仅当时等号成立【一正、二定、三相等】 变式（更常用）： (1)(常用于求积的最大值) (2)，变式 (3) 相关的“勾号函数”与“飘带函数” 9.一元二次方程的求根公式与韦达定理： (1)求根公式： (2)韦达定理： 10.解一元二次不等式：（） 11.分数不等式：分类讨论，转化整式不等式 如：等价于；也可以等价于 12.指对不等式：化同底利用单调性 13.权方和不等式的二维形式 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 14.柯西不等式 二维形式的柯西不等式 当且仅当 时，等号成立.) 二维形式的柯西不等式的变式 (1) , 当且仅当 时，等号成立.) (2) , 当且仅当 时，等号成立.) (3) , 当且仅当 时，等号成立.) 扩展： 经典重现+解题技巧 解题技巧一 集合 1.摩根定理： (1) (2) 2.包含关系的各种等价表示：如图， (1)； (2)； (3)； (4)； (5) 解题时，要注意空集的特殊性，如研究，常分与两种情形求解 3.集合的子集个数：含有个元素的集合的子集个数是，真子集个数是，非空子集个数是，非空真子集个数是.(针对，进行减1、减我) 【例1】（2026·重庆·二模）已知集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2026·甘肃兰州·一模）集合，则图中阴影部分所表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·河南开封·模拟预测）已知集合，，则的非空子集的个数为（   ） A．3 B．6 C．7 D．8 【变式1-3】（2026·河北邢台·一模）已知集合，．若集合仅有1个元素，则（   ） A．1 B． C． D． 解题技巧二 常用逻辑用语 1.充分条件与必要条件（充分性、必要性）： (1)如果“若,则”为真命题，则记作 则称 (2)若，则是的充分必要条件，简称充要条件 前充分,后必要；小充分,大必要；小范围大范围 2.全称量词命题： ；其否定为： 存在量词命题： ；其否定为： 全称量词命题与存在量词命题的否定：改量词，否结论（写补集） 【例2】（2026·河北衡水·二模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】（2026·辽宁辽阳·二模）已知，把的图象向右平移个单位得到的图象，则“”是“为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（25-26高三上·江苏南通·期中）设函数的定义域为R，对于任意的，，且，则“”是“是增函数”的（ ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】（2026·山东菏泽·一模）已知，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解题技巧三 不等式与基本不等式 一.重要不等式串： 即（背下来考试很好用）,当且仅当 时，所有等号成立。 调和平均数 ≤ 几何平均数 ≤ 算术平均数 ≤ 平方平均数(注意等号成立的条件). 二.几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则(当且仅当“”时取“”).特例：（同号）. 三.均值定理 已知. （1）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即“和为定值，积有最大值”. （2）如果(定值)，则(当且仅当“”时取“=”).即积为定值，和有最小值”. 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件. （2）连续使用不等式要注意取得一致. 【例3】（25-26高三上·新疆·月考）已知，，函数，若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025高三·全国·专题练习）已知，都在区间内，且，则函数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·河北廊坊·一模）(多选题)已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 【变式3-3】（25-26高三下·重庆·阶段检测）设且，且，若，则的最小值是（    ） A．3 B． C．9 D．18 解题技巧四 糖水不等式、对数糖水不等式 1. 糖水不等式定理 若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 2. 糖水不等式的倒数形式: 设 , 则有: 3. 对数型糖水不等式 （1） 设 , 且 , 则有 （2）设 , 则有 （3）上式的倒数形式：设 , 则有 【例4】（23-24高三上·河南·月考）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2026·山东济宁·三模）(多选题)已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 【变式4-2】（2026·天津滨海新区·三模）设，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26高三下·贵州毕节·阶段检测）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 解题技巧五 权方和不等式与柯西不等式 1.权方和不等式的二维形式 若 则 当且仅当 时取等. (注：熟练掌握权方和不等式的初级应用，足以解决高考中的这类型最值问题的秒杀) 2.柯西不等式 二维形式的柯西不等式 当且仅当 时，等号成立.) 二维形式的柯西不等式的变式 (1) , 当且仅当 时，等号成立.) (2) , 当且仅当 时，等号成立.) (3) , 当且仅当 时，等号成立.) 扩展： 【例5】（25-26高三上·辽宁沈阳·月考）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高三上·河北·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B． C． D．25 【变式5-2】（24-25高三上·广东深圳·月考）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【变式5-3】（25-26高三·全国·一轮复习）（1）若，且，则的最小值为________． （2）已知正实数满足，则的最小值为________． 1．（2026·河南洛阳·模拟预测）已知集合，则的所有子集的个数为（   ） A．8 B．7 C．5 D．3 2．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知集合，，若恰有4个子集，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·安徽阜阳·二模）已知集合，，则（   ） A． B．或 C． D． 4．（2026·天津河东·二模）已知，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．（2026·广东广州·二模）函数是奇函数的充要条件是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·湖北·期末）命题“对”为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 7．（2026·四川泸州·模拟预测）下列命题为真命题的是（   ） A．若，则； B．若，则； C．若，则； D．若，则. 8．（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026·河北保定·三模）(多选题)已知，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 的最小值为 D．若，则 的最大值为2 10．（2026·陕西·模拟预测）(多选题)如果，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 11．（2026·山东济南·一模）(多选题)已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·安徽合肥·模拟预测）(多选题)已知不相等的实数，满足，则下面说法正确的是（   ） A．存在实数使得，是方程的两根 B．若，则的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 13．（25-26高三下·河南·阶段检测）(多选题)已知为原点，直线过点，，，则（    ） A．的最小值为4 B．的最小值为8 C．点到距离的最小值为1 D．点到距离的最大值为 14．（25-26高三上·江苏南京·期中）(多选题)已知正实数满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最大值是 15.（25-26高三下·贵州毕节·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数（）的最小值为（   ） A．1 B． C． D．25 2 学科网（北京）股份有限公司 $