4.2 数值计算:斐波那契数列课件-2025-2026学年教科版高中信息技术必修一

该高中信息技术课件以斐波那契数列为核心，从兔子繁殖问题导入，先总结数列规律，用WPS表格发现计算局限，再过渡到编程的迭代法和递归法，最后拓展迭代法应用，构建从问题到方法到拓展的学习支架。 其亮点在于问题驱动与对比教学，通过Python实现迭代/递归函数及课堂练习补充代码，培养计算思维与数字化学习能力。拓展辗转相除法等实例助学生迁移方法，教师可借系统资源提升效率，学生提升问题解决与创新能力。

4.2数值计算 ——斐波那契数列 斐波那契数列 P107 斐波那契在《计算之书》中提出了一个有趣的兔子问题：假设一对兔子每个月可以生一对小兔子，一对兔子出生后第2个月就开始生小兔子。则一对兔子一年内能繁殖成多少对？10年呢？ 斐波那契数列 月份 兔子对数 合计 1月 1小 1 2月 1大 1 3月 4月 5月 6月 规律：从第3个月起，每个月兔子的对数等于上个月兔子的对数加上上个月兔子的对数。第n个月：n=（n-1）+（n-2) 2 3 5 8 1大+1小 3大+2小 5大+3小 2大+1小 用WPS表格求解斐波那契数列 但是，当计算到第74个月的时候，由于数据范围及表示精度的问题，导致结果出错。 用表格软件计算，只能精确计算到第74个月，无法精确计算10年即第120个月的兔子数量。 按照规律，从第3个月起，每个月的兔子等于前2个月兔子之和，计算每个月的兔子 用编程求解斐波那契数列 分析问题： 1、因为每一项等于前两项之和，所以要有两个变量来保存前两项的数字，初始化前两项值都为1，所以f1=1,f2=1,利用Python的多变量赋值可简写为 f1=f2=1 循环范围？ 2、从第3个月开始循环，到第n个月，所以range(3,n+1) for i in range(3,n+1) 3、每次的f1、f2如何变化？ f=f1+f2 4、返回值应该是什么？ n=2，返回1 n=3，返回2 n=4，返回3 n=5，返回5 返回的结果刚好是f2的值，故return f2 用编程求解斐波那契数列 3、每次的f1、f2如何变化？ 月份n 1 2 3 4 5 6 7 8 兔子对数 1 1 2 3 5 8 13 21 f1 f2 f1 f2 f f1=f2 f2=f f f1 f2 这三行语句在不断地重复运行 f f2 f1 f def f (n): #自定义函数 f1 = f2 = 1 #第1个月、第2个月初始值，等价于f1=1,f2=1 for i in range (3, ____): # f=f1+f2 f1=f2 f2=f return f2 n= int (input('请输入需要计算的月份数：')) print(“兔子总对数为：”,f(n)) 用编程求解斐波那契数列 从第3个月至第n个月依次计算 n+1 第1个月和第2个月兔子对数之和为第3个月兔子对数，f=f1+f2 第2个月和第3个月兔子对数之和为第4个月的兔子对数......， 每个月的兔子对数是前两个月的兔子对数之和，又同时作为下一个月兔子对数的加数。 这种重复反馈的过程称为迭代。 迭代法也称辗转法。是计算机解决问题的一种基本方法。 每一次对过程的重复被称为一次“迭代”。 每一次迭代得到的结果会被用来作为下一次迭代的初始值。 目的：为了接近并达到所需的目标或结果。 迭代法 利用迭代算法解决问题的步骤: （1）确定迭代变量，如f1、f2; （2）建立迭代关系式，如f=f1+f2,f1=f2,f2=f； （3）对迭代过程进行控制，这是编写迭代程序必须考虑的问题， 不能让迭代过程无休止地重复执行下去，如for i in range(3,n+1)。 迭代法总结 递归法 递归：函数自己调用自己，但必须有终止条件，避免陷入死循环。比如镜子里的镜子、俄罗斯套娃 VS 迭代：有限的循环求解，例如for、while等 在数学与计算机领域中，递归函数是指用函数自身来定义该函数的方法。如斐波那契数列“1,1,2,3,5,8,13,……”可以递归定义为： f(n)= 1 (n=1或n=2) f(n-1)+f(n-2) (n>2) 用递归法求解斐波那契数列 def f (n): if n==1 or n==2:# or是逻辑运算符，或的意思 return 1 else: return f(n-1)+f(n-2) 分析问题：如果n等于1或2时，f(n)=1 【作为递归的终止条件】 否则f(n）=f(n-1)+f(n-2) 比如求f(4) f(4)=f(3)+f(2) f(3)=f(2)+f(1) 1 + 1 1 f(n)= 1 (n=1或n=2) f(n-1)+f(n-2) (n>2) 思路：把复杂的第 n 项，拆成更为简单的子问题，不断往下拆，拆到最简单的初始条件，再往回代计算。 迭代法VS递归法 1、迭代法(正向：从1推到5） 思路：从第一项开始，从前向后，一步一步算，用前面的结果推出后面的结果 S1=1,已知起点 S2=S1+2=3 S3=S2+3=6 S4=S3+4=10 S5=S4+5=15 特点：从前往后、从小到大、逐项累加，依次推出每一项的结果。 Sn=1+2+3+⋯+n 已知S1=1 , Sn=Sn-1+n, 求S5 2、递归法（逆向：从 5 拆到 1，再回头算） 思路：把复杂的第 n 项，拆成前面一项加一个数，不断往下拆，拆到最简单的初始条件，再往回代计算。 比如想算S5，必须先知道S4， 想算S4，必须先知道S3 ​…… 拆到 S1 不能再拆了，再往回代计算 第一步：只拆解，不计算 S5=S4+5 S4=S3+4 S3=S2+3 S2=S1+2 第二步：再从下往回代计算 S2=1+2=3 S3=3+3=6 S4=6+4=10 S5=10+5=15 特点：从后往前拆，大事拆成小事，拆到初始条件，再回头一步步算结果。 课堂练习 将横线处的代码补充完整上机运行 求出n=6时的 拓展：辗转相除法（欧几里得算法） 欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数m, n的最大公约数。 核心原理：对于两个正整数 m,n (m,n>0)： 1、用m÷n 得到余数r 2、把原来的除数n当作新被除数m，即m=n; 余数r当作新除数n,即r=n 3、重复相除取余，直到余数 r= 0 4、最后一个不为 0 的除数，就是两数的最大公约数（gcd） 公式简写：gcd(m,n)= gcd(n, m mod n) 表示：求两个数的最大公约数，可以转化成求“较小的数”和“余数”的最大公约数。 用辗转相除法求两个数的最大公约数 m=int(input(“请输入第一个正整数：”)) n=int(input(“请输入第二个正整数：”)) r=m% n while r!=0: #只要余数r不为0，就继续辗转相除 m=① n= ② r=m % n print(“这两个数的最大公约数为：”, ③ ) n r n m=48 , n=18 ①m÷n=48÷18=2 余 12, r=12 m=n=18，n=r=12 → gcd(48,18) = gcd(18,12) ②m÷n=18÷12=1 余 6, r=6 m=n=12, n=r=6 →gcd(18,12) = gcd(12,6) ③m÷n=12÷6=2 余 0，r=0 → gcd(12,6) = 6 因为余数为0，算法停止。所以gcd(48,18)=6 求gcd(48,18) #常规循环求解 课堂练习 m=21 , n=56 ①m÷n=21÷56=0 余 21, r=21 m=n=56，n=r=21 → gcd(21,56)=gcd (56, 21) ②m÷n=56÷21=2 余 14, r=14 m=n=21, n=r=14 → gcd (56, 21)=gcd (21,14) ③m÷n=21÷14=1 余 7 ，r=7 m=n=14, n=r=7 → gcd (21,14)=gcd (14, 7) 因为余数为0，算法停止。所以gcd(21,56)=7。 求gcd(21,56) 辗转相除法不要求第一个数m比第二个数n大。 如果第一个数小，第一步其实就是交换位置，把大的数换到前面。 比如 gcd(21, 56)，第一步 21 ÷ 56 = 0 余 21，就自动变成了 gcd(56, 21)。 ④m÷n=14÷7=2 余 0 ，r=0 迭代法也称辗转法。是计算机解决问题的一种基本方法。 每一次对过程的重复被称为一次“迭代”。 每一次迭代得到的结果会被用来作为下一次迭代的初始值。 目的：为了接近并达到所需的目标或结果。 课堂小结 迭代 确定迭代变量 建立迭代关系式 控制迭代过程 迭代法步骤： sum,a,b,t=0.0,1,1.0,1.0 #给各参数依次赋值 while b<1000: sum=sum+__①__ b=__②__ a=__③__ t=a/b pi = __④__ print("pi的值是{:.20f}".format(pi)) # 输出20位浮点型数值 拓展延伸：求解圆周率近似值 t b+2 -a 圆周率的近似值，求解关系式为: 4*sum 前两个月的第一个月记为f1,第二个月记为f2 f1=f2 f2=f1+f2 4、返回值应该是什么？ n=1或2，返回1 n=3，返回2 n=4，返回3 n=5，返回5 返回的结果刚好是f2的值，故return f2 用迭代法求解斐波那契数列 3、每次的f1、f2如何变化？ 拓展：辗转相除法（欧几里得算法） 欧几里得算法又称辗转相除法，是指用于计算两个正整数m, n的最大公约数。 核心原理：对于两个正整数 m,n (m>n>0)： 1、用大数 ÷ 小数，m÷n 得到余数r 2、把原来的除数当作新被除数，余数当作新除数 3、重复相除取余，直到余数 = 0 4、最后一个不为 0 的除数，就是两数的最大公约数（gcd） 公式简写： gcd(m,n) m = n n = r m = n n = r $