第七章 相交线与平行线 习题课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

该初中数学课件聚焦“相交线”核心内容，从两条直线相交入手，系统讲解对顶角、邻补角的概念及性质，通过基础例题、变式练习构建从概念认知到性质应用的学习支架，帮助学生逐步掌握相关知识。 其亮点在于融入跨学科案例（如光的折射求角度）和校本实践题（古塔角度测量），培养学生用数学眼光观察现实世界。通过推理计算（如利用对顶角相等、邻补角互补求解角度）和规律探究（n条直线相交的交点与对顶角对数），发展数学思维中的推理意识与模型意识。学生能提升几何直观与应用能力，教师可借助分层题型优化教学效果。

第七章 相交线与平行线 7.3 定义、命题、定理 第1课时 定义与命题 1 知识点1 定义与命题的概念 1.下列语句中，属于定义的是( ) C A. 与 的和等于0吗？ B. 作已知角的平分线 C. 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离 D. 两点之间，线段最短 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 2.（2024·安阳林州市月考）下列语句不是命题的是( ) B A. 两直线平行，同位角相等 B. 作直线垂直于直线 C. 若，则 D. 等角的补角相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 知识点2 真、假命题 3.（2025·洛阳老城区期中）下列命题中，是真命题的是( ) D A. 同旁内角相等 B. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系为垂直与平行 D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4 4.判断命题“若，则 ”是真命题还是假命题.答：________ （填“真命题”或“假命题”）. 假命题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 知识点3 命题的结构 5.命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题 设是________________________________________，结论是这两条直 线互相平行.它是____命题（填“真”或“假”）. 在同一平面内，两条直线垂直于同一条直线 真 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 6.（2025·洛阳期中）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……” 的形式：______________________________________. 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7 7.（教材习题变式）写出下列命题的题设和结论. （1）若，则 . 解：题设： ； 结论： . （2）同旁内角互补. 解：题设：两个角为同旁内角； 结论：这两个角互补. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 8 （3）等角的余角相等. 解：题设：两个角相等； 结论：这两个角的余角也相等. （4）若，，则 . 解：题设：， ； 结论： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8.交换下列命题的题设和结论，其中得到的新命题是假命题的是 ( ) C A. 两直线平行，内错角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 所有的直角都是相等的 D. 若，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10 9. 开放性问题 根据图中所给信息，写出一个真命题：______ __________________________________. 如果，那么（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.下列各语句中，哪些是命题？哪些不是命题？是命题的，请先将它 改写为“如果……那么……”的形式，并判断其是真命题，还是假命题. （1）同号两数的和一定不是负数. 解：是命题.改写：如果两个数同号，那么这两个数的和一定不是负数. 它是假命题. （2）若，则 . 解：是命题.改写：如果，那么 .它是真命题. （3）在直线上任取一点 . 解：不是命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 $第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.3 两条直线被第三条直线所截 1 知识点1 认识同位角、内错角、同旁内角 1.如图，直线，被直线 所截，则下列各组角中， 是同位角的是( ) B A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.下列各图中，和 是内错角的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 第3题图 3.如图，直线，被直线 所截，则下列说法不正确 的是( ) D A. 与是同位角 B. 与 是同旁内角 C. 与是对顶角 D. 与 是内错角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 4.如图，直线，被直线和所截，则 的同位角是____， 的内错角是____. 第4题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 5.（教材习题变式）如图，与、与、与 各是哪两条直 线被哪一条直线所截而形成的什么角？ 解：与是直线,被直线 所截而形成的内错角； 与是直线,被直线 所截而形成的同旁内角； 与是直线，被直线 所截而形成的同位角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 知识点2 三线八角之间的关系 6.（2025·安阳期末改编）如图,如果 ,那么 的同位角等 于_____,的内错角等于_____, 的同旁内角等于______. 第6题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 第7题图 7.如图所示,若,则下列各对角：和 ； 和；和；和 .其中相等的有 ( ) C A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 8.如图，直线与的边 相交. （1）写出图中的同位角、内错角和同旁内角. 解：与是同位角；与是内错角；与 是 同旁内角. （2）如果，那么与相等吗？与 互补吗？为什么？ 解：与相等，与 互补.理由如下： ，， ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 易错点 忽视截线导致找错位置角 9.（2024·洛阳洛龙区期中）下列 图形中，与 是同位角的有 ( ) B A. ②③④ B. ①②④ C. ②③ D. ③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 10. 真实情境 数学课上，老师用双手形象地表示了“三线八角” 图形，如图所示（两根大拇指代表被截直线，食指代表截线），则从 左至右依次表示( ) D A. 同旁内角、同位角、内错角 B. 同位角、内错角、对顶角 C. 对顶角、同位角、同旁内角 D. 同位角、内错角、同旁内角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 11.（2025·洛阳地矿双语月考）如图，已知 与，其中与 相交，下列结论中错误的是 ( ) C A. 与是同旁内角 B. 与 是对顶角 C. 与是内错角 D. 与 是同位角 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 第12题图 12. 杭州外国语校本经典题 风筝是中 国古代劳动人民发明的，其材质在不断 改进之后，坊间开始用纸做风筝，被称 为“纸鸢”.在如图所示的纸骨架中，与 构成同位角的是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 13.如图，的同位角是____，的内错角是____， 的同旁内角是 ____________. 和 第13题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 14.如图，两条直线被第三条直线所截，和是同旁内角，和 是内错角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 （1）根据上述条件，标出， . 解：如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 （2）若，，求， 的度数. 解： ， ， . 又 ， . . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 15.（2025·新乡长垣市期中改编）一个跳棋棋盘如图所示，其游戏规 则是：一枚棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终 点角.跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置 上.例如，从起始角跳到终点角 ，其中两种不同的路径如下： 路径 . 路径 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 试一试： （1）写出从起始角跳到终点角 的一条路径. 解：答案不唯一，如： . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 （2）从起始角 依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否 跳到终点角 ？ 解：能.其路径为 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 $第七章 相交线与平行线 7.3 定义、命题、定理 第2课时 定理与证明 1 知识点1 定理的概念 1.命题“对顶角相等”是( ) C A. 假命题 B. 定义 C. 定理 D. 基本事实 1 2 3 4 5 6 7 8 2 2.下列说法错误的是( ) C A. 命题不一定是定理，定理一定是命题 B. 定理不可能是假命题 C. 真命题是定理 D. 如果真命题的正确性是经过推理证实的，那么这样得到的真命题就 是定理 1 2 3 4 5 6 7 8 3 3.如图所示，用两个相同的三角板可以过点作出直线的平行线 ， 能解释其中道理的定理是( ) B A. 同位角相等，两直线平行 B. 内错角相等，两直线平行 C. 同旁内角互补，两直线平行 D. 对顶角相等，两直线平行 1 2 3 4 5 6 7 8 4 知识点2 证明 4.（2025·驻马店汝南县期末）下列选项中，可以用来说明命题“若 ，则 ”是假命题的反例是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 5 5.如图，直线分别与直线，相交于点， ， 于点， .求证： . 请完成证明过程，并在括号内填写推理依据. 证明： （已知）， ______ （____________）. . （已知）， ______ （________________）. （________________________）. 垂直的定义 同角的余角相等 同位角相等，两直线平行 1 2 3 4 5 6 7 8 6 6. 开放性问题 在你所学过的几何知识中，可以证明两个角相 等的定理有___________________________________________________ ___________________________（写出三个定理即可）. ①对顶角相等；②同角或等角的余角相等；③两直线平行， 同位角相等（答案不唯一） 1 2 3 4 5 6 7 8 7 7. 北京四中校本经典题 命题“两直线平行，内错角的平分线互相 平行”是真命题吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例. 1 2 3 4 5 6 7 8 8 解：是真命题.证明如下： 已知：如图，，，分别平分 和 . 求证： . 证明： ， . ，分别是， 的平分线， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8. 开放性问题 （2024·周口西华县期中）如 图，现有以下3个论断：； ； .请以其中两个论断为题设，另一个论断为 结论构造命题. 1 2 3 4 5 6 7 8 10 （1）请写出所有的真命题. 解：命题1：由①②得到③； 命题2：由①③得到②； 命题3：由②③得到①. 1 2 3 4 5 6 7 8 11 （2）请选择其中一个命题加以证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 12 解：命题1证明如下： ， . ， . . 命题2证明如下： ， . ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 13 命题3证明如下： ， . ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 14 $第七章 相交线与平行线 周测（7.1∼7.2.1） 7.2.2 平行线的判定 1 知识点1 同位角相等，两直线平行 第1题图 1.（2025·宁夏）如图，直线，被直线 所截， 根据“同位角相等，两直线平行”判定 ，需要的 条件是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2.过直线外一点作已知直线的平行线的方法如图所示，其依据是 _________________________. 同位角相等，两直线平行 第2题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 3.如图，若,则____//____;若 ,则____//____. 第3题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 第4题图 4.根据要求完成下面的填空： 如图，直线，被所截.若已知 ，说明 的理由. 理由：根据____________，得 . 又 ， 对顶角相等 3 同位角相等，两直线平行 ___. ____（________________________）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 知识点2 内错角相等，两直线平行 第5题图 5.如图，用符号语言表达平行线的判定方法2“内错角相 等，两直线平行”的推理形式： _________， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 6.如图，若，则____//____；若 ，则____//____. 第6题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 7. 北师大附属实验校本经典题 如图，已知 平分 ， ，可以判断哪两条直线平行？请说明 理由. 解： .理由如下： 平分 ， . 又 ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 知识点3 同旁内角互补，两直线平行 8.如图，若 , ,则____//________,理由是_________ ___________________；若 ，则当 ______时，可推出 . 同旁内 角互补，两直线平行 第8题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 9.如图，已知四边形，要想判定 ，则需添加的条件是 __________________________________. 或 第9题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 10.如图，这是一个由4条线段构成的“鱼”形图案，其中 ， ， ，找出图中的平行线，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 解：， .理由如下： ， ， . . ， ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 易错点 不能准确识别截线与被截线，从而误判两直线平行 11.（2025·郑州期末）数学老师在黑板上画出如图所 示的图形，要求同学们添加一个条件使得 .同 学们给出的下列条件中，能得到这个结论的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 12. 北师大附属实验校本经典题图1是视觉错觉艺术风格的作品，这 种设计利用背景线条、图案的干扰，制造出视觉认知偏差的冲突，具 有很强的趣味性与迷惑性.如图2，现将其中的一组背景线条与直线 ， 抽象出来，下列条件能判定 的是( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 13.（2025·许昌禹州市期末）将文具套尺中的量角器和三角板按照如 图所示的方式摆放，其中三角板的直角顶点 与量角器的中心重合， 为量角器的直径， .下列条件中，不能判定 的是 ( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 14. 真实情境 （2024·信阳罗山县期末）为响应国家新能源 建设，某市公交站亭装上了太阳能电池板.当地某一季节的太阳光 （平行光线）与水平线的最大夹角为 .如图，电池板 与最大夹 角时刻的太阳光线互相垂直，此时电池板与水平线的夹角为 . 要使，需将电池板逆时针旋转度，则 ____. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 15. 石家庄外国语校本经典题 如图，直线分别交直线， 于点，，平分，平分，且 .找出图中的平 行线，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 解：， .理由如下： 平分，平分 ， ， . ， . . ，， ， ， 即 . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 【变式】 如图，平分，平分.当和 满足______ _________时， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 16.探索与发现： （1）在同一平面内，若直线，，则直线与 的位置 关系是________，请说明理由. 解：理由：如图，， ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 （2）在同一平面内，若直线，，， ,则 直线与 的位置关系是________. （3）在同一平面内，现在有2 025条直线，，, , ，且 有，，，， ，依次类推，则直线 与 的位置关系是___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 $第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.2 两条直线垂直 1 知识点1 垂直的定义 第1题图 1.如图，直线与相交于点 . （1）若_____，则 . （2）若，则 的度数是_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 第2题图 2.如图，.若 ，则 的度数是 ( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3 3.（2022·河南）如图，直线，相交于点 ， ，垂足为.若 ，则 的度数为 ( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4 知识点2 垂线的画法 4.（2025·驻马店汝南县期中）下列各图中，过直线外一点画 的垂 线 ，使用三角板的操作正确的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5 5.（教材习题变式） （1）如图1，过点画出射线 的垂线. 解：如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6 （2）如图2，过点画出线段，的垂线，垂足分别为， . 解：如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7 知识点3 关于垂线的基本事实 6.如图，在一张透明的纸上画一条直线，在外任取一点 ，并折出过 点且与 垂直的直线.这样的直线能折出___条，依据是_____________ _________________________________________. 1 在同一平面 内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 知识点4 垂线段的定义及性质 7.下列说法正确的是( ) D A. 垂线段就是与已知直线相交的线段 B. 垂线段就是垂直于已知直线的线段 C. 垂线段就是一条竖起来的线段 D. 过直线外一点向已知直线作垂线，这一点到垂足之间的线段叫垂线段 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9 第8题图 8.如图，从直线外一点向 引四条线段 ，，， ，其中最短的一条是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10 第9题图 9.（2025·安阳殷都区期末）如图，污水处理厂要从 处把 处理过的水引入排水沟，做法如下：过点作 于点，沿着 方向铺设排水管道可用料最省.能准确解释 这一现象的数学知识是____________. 垂线段最短 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11 知识点5 点到直线的距离 10.下列图形中，线段的长度表示点到直线 的距离的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12 11.（教材习题变式）某同学在体育课上跳远后留 下的脚印如图所示，则他的跳远成绩是( ) C A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13 易错点 未给出图形，考虑不周全致错 12.已知直线,相交于点，,垂足为.若 ,则 的度数为___________. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14 第13题图 13.（2025·洛阳期中）如图，直线， 相交于点 ，平分，.若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15 第14题图 14. 跨学科 （2025·安阳滑县期中）如图， 这是地球截面图，其中， 分别表示赤道和南 回归线，冬至正午时太阳光直射南回归线 太阳光线的延长线经过地心 ，此时太阳光 线与地面水平线垂直.已知 ，则 的度数是________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16 15. 湖南师大附中校本经典题 如图，在直角三角形 中， ，， , . （1）点到的距离是______；点到 的距离是______. （2）画出表示点到的距离的垂线段，并求出 的长. 解：如图， 即为所求. , . （3）___（填“ ”“ ”或“ ”），理由是____________. 垂线段最短 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17 16.（2025·商丘虞城县期中改编）如图，直线与相交于点 ， . （1） 的邻补角为________________（写一个即可）. 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 （2）若，判断与 的位置关系，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 解： .理由如下： ， . . ， ，即 . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 （3）若，求 的度数. 解：， ， . ， . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 21 17.（本课时变式）如图，直线，相交于点， 平分 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 22 （1）若，求 的度数. 解：平分 ， . ， . ， ，解得 . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 23 （2）在（1）的条件下，画，请直接写出 的度数. 解：①如图1，当在直线下方时， ; 图1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 24 图2 ②如图2，当在直线上方时， . 综上所述，的度数为 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 25 $第七章 相交线与平行线 7.4 平移 1 知识点1 认识平移 1.下列现象是平移的是( ) A A. 电梯从一楼升到顶楼 B. 卫星绕地球运动 C. 对折一张纸 D. 树叶从树上落下 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 2.（2024·信阳浉河区期末）2024年“五一”期间，信阳茶文化节火爆 出圈，吸引了全国各地的大量游客前来打卡.如图，这是信阳城市 形 象之一——茶妹，以下图形中，是由左图经过平移得到的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 知识点2 平移的性质 3.如图，将三角形平移得到三角形 ，则下列结论中不一定成 立的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4 第4题图 4.如图，平移直线至，直线，被直线 所截.若 ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5 5.（2025·南通改编）如图，将三角形沿射线 的方向平移，得 到三角形.若， ，则平移的距离为___. 2 第5题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6 6.如图，将三角形沿射线的方向平移 到三 角形 的位置. （1）找出图中所有的平行线. 解：，， . （2）找出图中与 相等的线段，并写出其长度. 解： . （3）若 ，求 的度数. 解：， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7 知识点3 平移作图 7.下列平移作图错误的是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8 8.如图，平移三角形，使点移动到点 的位置. （1）画出平移后的三角形 . 解：如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9 （2）和 的位置关系是__________，数量关系是___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10 9.（2025·焦作武陟县期中）用四根火柴棒可以摆成如图所示的 “土”字，下列图形中，是通过平移“土”字中的火柴棒而变成的文 字是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11 10.如图，把一个平行四边形纸板的一边紧靠数轴平移，则点 平移的 距离 为( ) C A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12 11.（2025·商丘睢县期中）如图，若图形A经过平移可以与图形B，C 拼成一个长方形，则可能的平移方式是( ) A 第11题图 A. 先向右平移4格，再向下平移5格 B. 先向右平移6格，再向下平移5格 C. 先向右平移4格，再向下平移2格 D. 先向右平移6格，再向下平移2格 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13 12. 石家庄外国语校本经典题 （2025·凉山州）如图，将周长为 20的三角形沿射线的方向平移2个单位长度得三角形 ，连 接，则四边形 的周长为____. 24 第12题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 13.（2025·平顶山九中期中）如图，将三角形沿射线 的方向 平移得到三角形，与相交于点.若， ，平 移距离为8，则阴影部分的面积是____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14.如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，三角形 的顶点,,在网格的格点（网格线的交点）上，将三角形 先 向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到三角形 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 （1）在网格中画出三角形 . 解：三角形 如图所示. （2）三角形 的面积为_ _. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 17 利用平移的性质解决周长及面积问题的基本模型 【模型展示】 周长 1.（教材习题变式）（2025·周口扶沟县期中）如图，在一块长为 ，宽为 的长方形草地上有一条弯曲的小路，小路的左边线向右 平移就是它的右边线.则这块草地青草覆盖的面积是_________ . 第1题图 1 2 3 19 第2题图 2.如图，在长为，宽为 的长方形地块上. 有纵横交错的几条小路，宽均为 ，其他部分均 种植花草，则种植花草的面积是_______ . 1 344 1 2 3 20 3.某数学兴趣小组开展动手操作活动，设计了如图所示的三种图形.现 计划用铁丝按照图形制作相应的造型，则关于所用铁丝的长度，下列 说法正确的是( ) D A. 甲方案所用铁丝最长 B. 乙方案所用铁丝最长 C. 丙方案所用铁丝最长 D. 三种方案所用铁丝一样长 1 2 3 21 $第七章 相交线与平行线 7.1 相交线 7.1.1 两条直线相交 1 知识点1 认识对顶角和邻补角 1.下列各图中，和 互为邻补角的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2 2.（2025·开封期末）在下列各图中，和 是对顶角的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 3.（教材习题变式）如图，直线,相交于点， 是 内部的一条射线. （1）分别写出和 的邻补角. 解：的邻补角为，的邻补角为， . （2）写出图中所有的对顶角. 解：与互为对顶角，与 互为对顶角. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4 知识点2 邻补角和对顶角的性质 4.如图，直线,相交所成的四个角中，____， ____， _____ ，_____ . 180 180 第4题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 5.（2025·广州）如图，直线，相交于点.若 ，则 的度数为_____ . 144 第5题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6 第6题图 6.如图，已知直线与相交于点 ，则 ( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7 第7题图 7.（2023·河南）如图，直线，相交于点 .若 ， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8 8.（教材习题变式）如图，， 两条直线相交. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9 （1）如果 ，求 的度数. 解：与 互为对顶角， . ， . 又 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10 （2）如果，求， 的度数. 解：与 互为邻补角， . ， ，解得 . ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 （3）如果比大 ，求 的度数. 解：根据题意，得 ， 又 ， ，解得 . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12 易错点 未给出图形，考虑不周全致错 9.两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是 和 ，则 ________. 40或80 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13 第10题图 10.如图，三条直线，，相交于点 ，则 ( ) A A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14 第11题图 11.如图，直线，相交于点，平分 .若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15 12.如图，直线，，两两相交， ，，则 的度 数为_____ . 100 第12题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16 第13题图 13. 跨学科 （2025·驻马店确山县期中） 当光线从空气中射入某种液体中时，光线的传播 方向发生了变化，在物理学中这种现象叫作光的 折射.如图，一束光线沿射入液面，在点 处发 生折射，折射光线为，点为 的延长线上一 点.若入射角 ，折射角 ，则 的度数为_____. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14. 北京文汇中学校本经典题 有一座古塔（图1），其底座是一个 六边形.为了测量外墙底部的角图2中的 的大小，小明同学设计 了两种测量方案. 方案一：作的延长线，量出的度数，便知 的度数. 方案二：分别作，的延长线， ， 量出的度数，便知 的度数. 你能分别说明这两种测量方案的设计思路吗？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18 解：方案一：由邻补角的定义可得 ，量得 的度数，则可求得 的度数. 方案二：由题意可知，与是对顶角，则有 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19 15.（2025·安阳滑县期中）如图，直线， 相交于点，平分 ，且 . （1）求 的度数. 解：， ， . . 平分 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 20 （2）若平分，求 的度数. 解： ，平分 ， . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 21 16. 华师二附中校本经典题 探究下列问题： （1）三条直线相交,最少有___个交点;最多有___个交点,画出图形,并 数出图形中的对顶角和邻补角的对数. 1 3 解：如图： ,对顶角有6对，邻补角有12对. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 22 （2）四条直线相交,最少有___个交点；最多有___个交点,画出图形,并 数出图形中的对顶角和邻补角的对数. 1 6 解：如图： ，对顶角有12对，邻补角有24对. （3）依次类推, 条直线相交,最少有___个交点；最多有_ ______个交 点,对顶角有_________对,邻补角有___________对. 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 23 $第七章 相交线与平行线 7.2.3 平行线的性质 第2课时 平行线的性质与判定的综合运用 1 知识点 平行线的性质与判定的综合运用 第1题图 1.（2025·焦作期末）如图，直线， 分别被直线 ，所截， ， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 第2题图 2.如图，已知， ，则 ( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 3.如图，已知直线，.如果 ，那 么 的度数是( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4 4. 真实情境 如图，这是某次考古发掘出的一块四边形残缺玉 片，工作人员从玉片上已经量得 .已知 ， 则此玉片残缺角 的度数为( ) C 第4题图 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5 5.如图，下列结论中，不一定正确的是( ) B 第5题图 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6 6.如图，，.若 ， 试求 的度数.请补充求解过程，并在括号内填上 相应的理由. 解： ， . ， ______ ______（等量代换）. （________________________）. 内错角相等，两直线平行 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 ______ （______________________ ____）. 又 ， ______. 两直线平行，同旁内角互补 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.如图，已知， .试说明： . 解： ， . 又 ， ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9 8.（2024·平顶山汝州市期末）如图，这是某汽车标志图案的简化图 形，其中蕴含着一些几何知识.根据下面的条件解决问题：已知 ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10 （1）与 平行吗？为什么？ 解： .理由如下： ， . ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11 （2）若 ，求 的度数. 解： ， . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12 第9题图 9.如图，在四边形中， ， 连接.若， ，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13 第10题图 10.将一副三角板按如图所示的方式放置，其 中 ， ， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 传统文化 （2024·开封期末）古代房梁建筑中多采用“四 梁八柱”的设计，其中蕴含着数学知识，将房梁中的一些图形抽象出如 图所示的几何模型.在三角形中，点，，分别在边， ， 上，， ，则下列结论不一定成立的是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 15 12.（2025·信阳浉河区期末）如图，，是分别是， 上的点， ，是上的点，连接，，，， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 16 （1）判断与 的位置关系，并说明理由. 解： .理由如下： ， . ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 17 （2）若是的平分线， ，求 的 度数. 解： ， ， . 是 的平分线， . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 18 13.老师在课上提出了一个问题：“如 图1，已知， 于点 ，交于点.当 时， 求 的度数.” 甲、乙、丙三位同学分别用如图2、图 3、图4所示的不同的方法添加辅助线 解决问题. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 19 （1）补全甲同学的分析思路. 辅助线：过点作 . 分析思路： ①欲求 的度数，由图可知，只需 转化为求____与____的度数之和； ②由辅助线作图可知， ； ③由， 可以推出 __________，由此可推出 ； ④由可得， ，则可得的度数，从而可求 的 度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 20 （2）请根据乙同学所作的辅助线，补 全求解过程. 解：过点作_________，交于点 . _______ （两直线平行，同 位角相等）. ， . （_________ _________________）. 两直线 平行，同位角相等 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 21 ， （__________________________）. . ______. 两直线平行，同旁内角互补 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 （3）请根据丙同学所作的辅助线，求 的度数. 解： ， ， . ， . ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 23 $第七章 相交线与平行线 7.2.3 平行线的性质 第1课时 平行线的性质 1 知识点1 两直线平行，同位角相等 第1题图 1.如图，直线， ，则 ( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2 第2题图 2.（2025·湖北）数学中的“ ”可以看作是两条平行的线 段被第三条线段所截而成，放大后如图所示.若 ，则 的度数是( ) D A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3 3.（2025·连云港）如图，，直线与射线相交于点 .若 ，则_____ . 第3题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4 4. 跨学科 （2025·广安）光线在不同介质中的传播速度是不 同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射.由于折射率相同， 所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的.如图，， 为两条平行 的光线， ，则 的度数为_____. 第4题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5 5.（教材习题变式）如图，已知,,, 四条直线， ，， ，求 的度数. 解： ， . ， . . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6 知识点2 两直线平行，内错角相等 第6题图 6.（2024·河南）如图，乙地在甲地的北偏东 方向 上，则 的度数为( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7 7. 人大附中校本经典题 如图，把一块含 角的直角三角板的两 个顶点放在直尺的对边上.如果 ，那么 的度数是( ) D 第7题图 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8 8.如图，是的平分线， .若 ，求 的度数. 解： ， . 是 的平分线， . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9 知识点3 两直线平行，同旁内角互补 第9题图 9.（2025·河北）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的 连接方式.如图，这是某个构件的截面图，其中 ， ，则 ( ) C A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10 10.如图，，， ，则 的度数为______. 第10题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 11 11. 北京四中校本经典题 如图， ， ，则 等于多少度？ 解： ， . ， . . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12 易错点 误用平行线的性质致错 12.已知与是同旁内角.若 ，则 的度数是( ) D A. B. C. 或 D. 不能确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13 13. 真实情境 河南“小豫 米”应邀到哈尔滨观赏冰雕，其中 一个“小豫米”从某个角度发现一座 冰雕（图1）中隐藏着数学问题， A A. B. C. D. 并建立如图2所示的模型.已知直线，点在直线上，点 在 直线上，平分，交于点.若 ，则 的 度数为( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14 14.（2025·许昌禹州市期中）如图，，.若 ， 则 的度数为______. 第14题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15 15.（2024·驻马店二中期末）如图，将长方形沿 对折，使得点 落在边上的点处，点落在点处.若 ，则 ______. 第15题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16 16. 传统文化 中华文化博大精深，汉字便是其中一块瑰宝.汉 字中存在很多的“平行美”，如汉字“互”.将汉字“互”转化为几何图形， 如图所示，已知,.若 ,求 的度数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17 解： ， . ， . ， . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17.（2025·焦作期末）如图所示的格线互相平行，小明在格线中作已 知角，探究角的两边与格线形成的锐角所满足的数量关系，他先作出 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 19 （1）①如图1，点在一条格线上，当 时， _____. ②如图2，点在两条格线之间，用等式表示与 之间的数量关系， 并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 20 解： . 理由：在内作 平行于格线. 格线互相平行， ， . ， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 21 （2）在图3中，小明作射线，使得 .记 与图中一条 格线形成的锐角为 ，与图中另一条格线形成的锐角为 ，请直 接用等式表示 与 之间的数量关系. [答案] 或 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 22 $第七章 相交线与平行线 7.2 平行线 7.2.1 平行线的概念 1 知识点1 认识平行 1.已知直线， ，下列图形中属于两直线平行的是( ) B A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 2.在同一平面内，直线与 满足下列条件，把它们的位置关系填在后 面的横线上. （1）若与没有公共点，则与 ______. （2）若与有且只有一个公共点，则与 ______. （3）若与有两个公共点，则与 ______. 平行 相交 重合 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 3. 北师大附属实验校本经典题 找出下面点阵（点阵中相邻的四个 点构成正方形）中互相平行的线段. 解：由图知， . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 知识点2 用直尺和三角尺画平行线 4.用直尺和三角尺画平行线. （1）如图1，是直线外一点，过点画直线，使得 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 解：如图1所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6 （2）如图2，经过上一点画的平行线，交于点，过点 画 . 解：如图2所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 知识点3 平行线的基本事实 5.如图，已知，,所以，， 三点共线，理由是 ______________________________________________. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 第5题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 6.如图，，过点画，则与 的位置关系是______ ___，理由是____________________________________. 平行于同一条直线的两条直线互相平行 第6题图 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9 7. 华师二附中校本经典题 如图，两条直线，相交于点 ，如果 直线直线,那么直线能与直线 平行吗？为什么？ 解：直线不能和直线 平行，因为过直线外一点有且只有一条直线与 这条直线平行. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 8.如图,，是直线 外的两点. （1）过点画直线,过点 画直线 . 解：如图. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11 （2）与 有怎样的位置关系？为什么？ 解： . 理由：, , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12 易错点 对平行线的基本事实理解不透彻而致错 9.如图，在同一平面内，经过某一点作已知直线 的平行线，可作平 行线的条数有( ) C A. 0条 B. 1条 C. 0条或1条 D. 无数条 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 10.下列语句中，正确的有( ) ①任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③过两条直线，外一点画直线，使，且 ； ④若直线，，则 . D A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14 11. 人大附中校本经典题 观察如图所示的长方 体,回答下列问题: （1）用符号表示两棱的位置关系：___ , ___,___,___ . // // （2）与 所在的直线不相交,它们______平行线（填“是”或“不 是”）.由此可知,在__________内,两条不相交的直线才是平行线. 不是 同一平面 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 12.在同一平面内有2 025条直线，， ，，若 ， ，，， ，依次类推，则与 的位置关 系是___________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.如图所示,取一张长方形硬纸板 ,将硬纸板 对折，使与重合, 为折痕.把长方形 平放在桌面上,另一个面 无论怎么改变 位置，总有 成立,你知道为什么吗？ 解：, , . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 17 14.如图所示，在内有一点 . （1）过点画 . 解：如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 18 （2）过点画 . 解：如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 19 （3）用量角器量一量，与相交所形成的角与 的大小有什么关系？ 解：如图，与 相交所形成的角 与 相等或互补. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 20 15.，， 是平面内任意三条直线，其交点可能有几个？请画出示意图. 解：如图所示，交点可能有0个或1个或2个或3个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 21 $