精品解析：2026年山东聊城高新技术产业开发区文轩中学中考模拟数学试卷

2026年山东省聊城市高新区文轩中学中考模拟数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 给出四个数，其中最小的是（　　） A. 0 B. C. D. 2. 下列新年窗花图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个由6个相同的正立方块搭成的几何体，其三视图中面积最大的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 左视图与俯视图 5. 2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 下列定理有逆定理的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 同角的余角相等 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 7. 对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③④ D. ①③④ 8. 如图，交于点B，切于点C，D点在上，若，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①平分； ②作图依据是； ③； ④点在的垂直平分线上． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如果，，在同一条直线上，线段，，则，两点间的距离是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 把1092000精确到万位，用科学记数法表示为____． 12. 若式子有意义，则m的取值范围是______． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 14. 如图，在中，高与中线相交于点，，，则________． 15. 如图，在等腰直角三角形中，点O为斜边的中点，以O为圆心的长为半径作扇形，，若，则阴影部分的面积为____________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算、化简求值： （1）． （2），其中满足． 17. 如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，测量得，．求摄像头到桌面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，） 18. 阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． 问题解决 （1）判断图1中的中点四边形的形状，并说明理由； （2）当图1中的四边形的对角线添加条件 时，这个中点四边形是正方形． 拓展延伸 （3）如图2，在四边形中，点M在上且和为等边三角形，E、F、G、H分别为，，，的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 19. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为： 66，67，68，68，75，83，84，86，86，86， 86，87，87，89，95，95，96，98，98，100. 八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：81，82，84，87，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？ 20. （2015黄石）已知双曲线（），直线：（）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设，（），直线：． （1）若，求的面积S； （2）若，求k的值； （3）设，P在双曲线上，M在直线上且轴，求最小值，并求取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若，则A，B两点间的距离为． 21. 如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．点D在⊙O 上，BD平分∠ABC交AC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F． （1）求证：FD是⊙O的切线； （2）若BD=8，sin∠DBF=，求DE的长． 22. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E，F分别在边AB，CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x． （1）当AM=时，求x的值； （2）随着点M在边AD上位置的变化，ΔPDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值； （3）若AM=a,四边形BEFC的面积为S，求S与a之间的函数表达式． 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）若，是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围； （3）抛物线上一点，直线与轴交于点，动点在线段上，当时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省聊城市高新区文轩中学中考模拟数学试卷 一、单选题（本大题共10小题，共30分） 1. 给出四个数，其中最小的是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据正数大于0，负数小于0，任何正数大于负数，两个负数相比较绝对值大的反而小可知四个数中最小的是－5． 故选B． 2. 下列新年窗花图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、该选项图形，既是轴对称图形又是中心对称图形； B、该选项图形，是轴对称图形但不是中心对称图形； C、该选项图形，既不是轴对称图形又不是中心对称图形； D、该选项图形，既不是轴对称图形又不是中心对称图形； 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方以及整式的乘除运算法则进行判断即可． 【详解】解：A、，故此选项计算错误，不符合题意； B、，故此选项计算正确，符合题意； C、，故此选项计算错误，不符合题意； D、，故此选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了幂的相关运算以及整式的乘除运算法则，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键． 4. 如图是一个由6个相同的正立方块搭成的几何体，其三视图中面积最大的是（ ） A. 主视图 B. 左视图 C. 俯视图 D. 左视图与俯视图 【答案】C 【解析】 【分析】找到从物体的正面、上面和左面看，所得到的图形里正方形的个数最多的那个视图即可． 【详解】解：小立方块的边长为1，那么看到的一个正方形面积为1． 从正面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1，面积为4； 从左面看，得到从左往右3列正方形的个数依次为1，2，1，面积为4； 从上面看得到从左往右3列正方形的个数依次为1，3，1，面积为5， ∴三视图中面积最大的是俯视图． 故选：C． 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图． 5. 2025年春节档热映多部精彩影片，小亮、小明分别从《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部影片中随机选取一部观看，两人都选择观看《哪吒2》的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人都选择观看《哪吒2》的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C表示《哪吒2》、《唐人街探案3》、《射雕英雄传》三部电影，列表如下： 小亮 小明 由表格可知，一共有9种等可能性的结果数，其中两人都选择观看《哪吒2》的结果数有1种， ∴两人都选择观看《哪吒2》的概率为， 故选：B． 6. 下列定理有逆定理的是（ ） A. 对顶角相等 B. 全等三角形的对应角相等 C. 同角的余角相等 D. 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．分别写出各个选项的条件和结论互换的说法，然后进行判断即可． 【详解】解：A、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，错误，故没有逆定理，不符合题意； B、逆命题为：如果两个三角形对应角相等，那么这两个三角形全等，错误，故没有逆定理，不符合题意； C、逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角，错误，故没有逆定理，不符合题意； D、逆命题为：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，且是逆定理，符合题意； 故选：D． 7. 对于一元二次方程，下列说法： ①若a＋b＋c＝0，则方程必有一根为x＝1；②若方程有两个不相等的实根，则方程无实根；③若方程两根为，且满足，则方程，必有实根，；④若是一元二次方程的根，则其中正确的（ ） A. ①② B. ①④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式及根的定义以及求根公式逐个判断排除． 【详解】解：①若，则是方程的解，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， ， 则方程的判别式， 方程必有两个不相等的实根， 故②错误； ③∵方程两根为，且满足， ∴， 令，， ∴方程有两个实数根，令两根分别为， ∴， ， ∴方程，必有实根，， 故③正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得：， ， ， 故④正确． 故正确的有①③④， 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程根的判断，根据方程形式，判断根的情况是求解本题的关键． 8. 如图，交于点B，切于点C，D点在上，若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的性质，根据圆周角定理，切线的性质定理以及三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵切于点C， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，在中，，，以为圆心，任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，则下列说法中正确的个数是（ ） ①平分； ②作图依据是； ③； ④点在的垂直平分线上． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】①根据尺规作图利用证明，可得结论； ②利用①的过程可得结论； ③利用直角三角形的性质和角平分线的定义进行判断； ④利用等角对等边得出相等的边，然后根据线段垂直平分线的判定定理得出结论． 【详解】解：①如图所示，连接， 由尺规作图可知，，且， ∴， ∴， 即平分， 故①正确； ②由①可得作图依据是, 故②错误； ③∵，， ∴， ∴， ∴， 故③正确； ④由③可得， ∴， ∴点在的垂直平分线上， 故④正确； 综上，正确的选项有①③④，共3个． 10. 如果，，在同一条直线上，线段，，则，两点间的距离是（ ） A. B. C. 或 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是两点间的距离，分两种情况讨论：点C在线段的延长线上和点C在线段上，根据线段的和差关系计算A、C两点间的距离． 【详解】解：点在线段的延长线上，； 点在线段上时，． 所以、两点间的距离是或． 综上，、两点间的距离是或． 故选：C． 二、填空题（本大题共5小题，共15分） 11. 把1092000精确到万位，用科学记数法表示为____． 【答案】1.09×106 【解析】 【分析】先用科学记数法表示出1092000，然后再运用近似数精确的万位即可． 【详解】解：1092000=1.092×106=1.09×106． 故填：1.09×106． 【点睛】本题主要考查了近似数和科学记数法等知识点，掌握科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定a和n的值成为解答本题的关键． 12. 若式子有意义，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零，二次根式中的被开方数是非负数．根据分式有意义可得，根据二次根式有意义的条件可得，再解即可． 【详解】由题意得：，且， 解得：且， ∴， 故答案为：． 13. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得出且，解不等式即可得出k的取值范围 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义． 14. 如图，在中，高与中线相交于点，，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】如图作EH⊥BC于H．首先证明∠ECH＝30°，再求出EH，BH即可解决问题． 【详解】解：如图作EH⊥BC于H． ∵EH⊥BC，AD⊥BC， ∴EH∥AD， ∵AE＝EB， ∴BH＝DH， ∴EH＝AD＝3， ∵EC＝AD， ∴EH＝EC， ∴∠ECH＝30°， ∴CD＝＝， ∵DF∥EH， ∴＝， ∴＝， ∴CH＝3， ∴DH＝BH＝2， 在Rt△BEH中，BE＝＝＝， ∴AB＝2BE＝2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查解直角三角形，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 15. 如图，在等腰直角三角形中，点O为斜边的中点，以O为圆心的长为半径作扇形，，若，则阴影部分的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求不规则图形的面积，先证明，利用扇形的面积减去的面积进行求解即可． 【详解】解：∵等腰直角三角形，点O为斜边的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共75分） 16. 计算、化简求值： （1）． （2），其中满足． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， 解得或， 当时，原分式中的分母为0，没有意义，舍去， ∴，代入上式得， 原式． 17. 如图①，某款线上教学设备由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在处的摄像头组成．如图②是该款设备放置在水平桌面上的示意图，已知支撑臂，，测量得，．求摄像头到桌面的距离的长（结果精确到）．（参考数据：，） 【答案】cm 【解析】 【分析】过点 作 , 垂足为 , 过点 作 的垂线，垂足为、，在中，求得，在 Rt 中，即可求得 ，然后即可求得． 【详解】如图，过点 作 , 垂足为 , 过点 作 的垂线，垂足为、, Rt 中, 且 又 在 Rt 中, 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 18. 阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形．如图1，在四边形中，E，F，G，H分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形． 问题解决 （1）判断图1中的中点四边形的形状，并说明理由； （2）当图1中的四边形的对角线添加条件 时，这个中点四边形是正方形． 拓展延伸 （3）如图2，在四边形中，点M在上且和为等边三角形，E、F、G、H分别为，，，的中点，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）四边形是平行四边形，理由见解析（2）且；（3）四边形为菱形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，，利用三角形中位线定理可得，，，，则，，从而证明结论； （2）根据矩形和菱形的判定可得答案； （3）连接与，首先利用证明，得，然后由（1）（2）同理可得答案． 【详解】解：（1）四边形是平行四边形．理由如下： 连接，， ∵E，F分别是、的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）当且时，四边形是正方形，理由如下： 由（1）同理可得：，， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形为菱形， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； （3）四边形为菱形． 证明：连接与， ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵E，F，G，H分别是边，，，的中点， ∴是的中位线，是的中位线，是的中位线， ∴，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了三角形中位线定理，平行四边形，菱形，正方形的判定，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用前面得出的结论解决新问题是解题的关键． 19. 为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛．现从七、八年级的学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析．所有学生的成绩均高于分（成绩得分用表示，共分成四组：．；．；．；．），下面给出了部分信息： 七年级名学生的竞赛成绩为： 66，67，68，68，75，83，84，86，86，86， 86，87，87，89，95，95，96，98，98，100. 八年级名学生的竞赛成绩在组的数据是：81，82，84，87，88，89． 七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 中位数 众数 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中______，______，______； （2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有名学生，八年级有名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是多少？ 【答案】（1），，； （2）八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析； （3）该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是人． 【解析】 【分析】（）根据表格及题意可直接进行求解； （）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果； （）由题意可得出参加此次竞赛活动成绩优秀的百分比，然后可进行求解； 本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． 【小问1详解】 根据七年级学生竞赛成绩可知：出现次数最多，则众数为， 八年级竞赛成绩中组：（人）， 组：（人）， 组：人，所占百分比为 组：（人）所占百分比为，则， ∴八年级的中位数为第个同学竞赛成绩的平均数， 即组第个同学竞赛成绩的平均数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 八年级学生竞赛成绩较好，理由： 七、八年级的平均分均为分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好； 【小问3详解】 （人）， 答：该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是人． 20. （2015黄石）已知双曲线（），直线：（）过定点F且与双曲线交于A，B两点，设，（），直线：． （1）若，求的面积S； （2）若，求k的值； （3）设，P在双曲线上，M在直线上且轴，求最小值，并求取得最小值时P的坐标．（参考公式：在平面直角坐标系中，若，则A，B两点间的距离为． 【答案】（1）；（2）或；（3）时，最小值是2． 【解析】 【分析】（1）将与组成方程组，解方程即可得到C点坐标，从而求出的面积； （2）根据题意得： 整理得：（），根据根与系数的关系得到，从而求出k的值； （3）设，则，根据，求出点P的坐标． 【详解】解：（1）当时，：， 联立得，， 化简得：， 解得：，， 设直线与y轴交于点C，则， ； （2）根据题意得：， 整理得：（）， ∵， ∴、是方程的两根， ∴ ①， ∴ ， 将①代入得，， ∴， 整理得：， 解得：或； （3），如图： 设，则，则， ∵， ∴， ∴， 当点P在上时等号成立，此时的方程为， 由（1）知， ∴当时，最小值是2． 21. 如图，AB是⊙O的直径，△ABC内接于⊙O．点D在⊙O 上，BD平分∠ABC交AC于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F． （1）求证：FD是⊙O的切线； （2）若BD=8，sin∠DBF=，求DE的长． 【答案】（1）详见解析；（2） 【解析】 【分析】(1)连接OD，根据角平分线的定义得到∠ABD=∠DBF，由等腰三角形的性质得到∠ABD=∠ODB，等量代换得到∠DBF=∠ODB，推出∠ODF=90°，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接AD，根据圆周角定理得到∠ADE=90°，根据角平分线的定义得到∠DBF=∠ABD，解直角三角形得到AD=6，在Rt△ADE中，解直角三角形得到DE=． 【详解】（1）连接OD， ∵BD平分∠ABC交AC于点E， ∴∠ABD=∠DBF， ∵OB=OD， ∴∠ABD=∠ODB， ∴∠DBF=∠ODB， ∵∠DBF+∠BDF=90°， ∴∠ODB+∠BDF=90°， ∴∠ODF=90°， ∴FD是⊙O的切线； （2）连接AD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADE=90°， ∵BD平分∠ABC交AC于点E， ∴∠DBF=∠ABD， 在Rt△ABD中，BD=8， ∵sin∠ABD=sin∠DBF=， ∴AB=10，AD=6， ∵∠DAC=∠DBC， ∴sin∠DAE=sin∠DBC=， 在Rt△ADE中，sin∠DAC=， 设DE=3x，则AE=5x， ∴AD=4x， ∴tan∠DAE= ∴DE=． 【点睛】本题考查了切线的判定和性质，角平分线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． 22. 如图，在边长为1的正方形ABCD中，动点E，F分别在边AB，CD上，将正方形ABCD沿直线EF折叠，使点B的对应点M始终落在边AD上（点M不与点A，D重合），点C落在点N处，MN与CD交于点P，设BE=x． （1）当AM=时，求x的值； （2）随着点M在边AD上位置的变化，ΔPDM的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变，请求出该定值； （3）若AM=a,四边形BEFC的面积为S，求S与a之间的函数表达式． 【答案】（1）；（2）ΔPDM的周长不变，为定值2；（3）S= 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理构建方程，即可解决问题；（2）ΔPDM的周长不变，为定值2，连接BM，BP，过B作BH⊥MN于点H，根据折叠性质、等边对等角、两直线平行内错角相等证明，得到AM=HM，AB=BH， 再证明，得到HP=CP，所以ΔPDM的周长=MD+DP+MP=MD+DP+HM+HP=MD+DP+AM+CP=AD+DC=2. (3) 过F点作FQ⊥AB，连接BM，EM=BE=x，由折叠性质证明，所以AM=QE，在RtΔAEM中，由勾股定理得：，即，所以，又因为FQ⊥AB，四边形ABCD是正方形，可得CF=BQ=BE-QE=，再根据梯形面积公式即可解答. 【详解】解:（1）由题意可知，BE=EM=x，AE=1-x，在RtΔAEM中 ，解得. （2）ΔPDM的周长不变，为定值2； 如图1，连接BM，BP，过B作BH⊥MN于点H， ∵BE=EM ∴∠EBM=∠EMB 又∵∠EBC=∠EMN=90° ∴∠MBC=∠BMN ∵AD∥BC ∴∠AMB=∠MBC=∠BMN 在RtΔABM和RtΔHBM中 ∴ ∴AM=HM，AB=BH 在RtΔBHP和RtΔBCP中 ∴ ∴HP=CP. 又∵ΔPDM的周长=MD+DP+MP=MD+DP+HM+HP=MD+DP+AM+CP=AD+DC=2. ∴ΔPDM周长为定值2. （3）如备用图，过F点作FQ⊥AB，连接BM 由折叠可知，∠BEF=∠MEF，BM⊥EF，EM=BE=x ∴∠QEF=∠EMB=∠EBM 在RtΔABM和RtΔQFE中 ∴ ∴AM=QE 在RtΔAEM中， 即 ∴ ∵FQ⊥AB，四边形ABCD是正方形 ∴CF=BQ=BE-QE= ∴ . 【点睛】本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质，作合适的辅助线是解题的关键. 23. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式； （2）若，是抛物线上的两点，当，时，均有，求的取值范围； （3）抛物线上一点，直线与轴交于点，动点在线段上，当时，求点的坐标． 【答案】（1）（2）（3） 【解析】 【分析】（1）函数的对称轴为：，而且，将上述两式联立并解得：，，即可求解； （2）分、两种情况，分别求解即可； （3）取的中点，过点作线段的中垂线交直线与点，则点为符合条件的点，即可求解． 【详解】（1）函数的对称轴为：，而且， 将上述两式联立并解得：，， 则函数的表达式为：， 即：，解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）当时，， ①当时（即：）， ，则， 解得：，而， 故：； ②当（即）时， 则， 同理可得：， 故的取值范围为：； （3）∵当，为等腰三角形， 故取的中点，过点作线段的中垂线交直线与点，则点为符合条件的点， 点， 将点、坐标代入一次函数表达式：并解得： 直线的表达式为：， 同理可得：直线的表达式为：①， 直线，则直线表达式中的值为， 同理可得直线的表达式为：②， 联立①②并解得：， 故点． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、等腰三角形性质等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $