江苏苏州市2025-2026学年高一第二学期数学期末模拟（1）

**基本信息** 本卷以文化传承与创新应用为特色，融合三角、复数、向量等模块，通过郭守敬天文计算情境（第11题）和“源向量”新定义（第19题），考查数学抽象与逻辑推理能力，适配高一期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|三角（解三角形）、复数（虚部）、统计（上四分位数）|第7题角平分线结合基本不等式，考查数学运算| |多选题|3/18|复数（模与共轭）、解三角形（多解问题）|第11题融合古代天文计算，体现文化传承| |填空题|3/15|方差计算、外心判定、扇形面积最值|第14题扇形面积用三角恒等变换求最值，考查数学建模| |解答题|5/77|三角证明与范围、统计分层方差、立体几何体积与线面角、复数性质、向量新定义|第19题“源向量”关联三角与向量，考查创新应用；第16题统计题分层求方差，体现数据分析|

苏州市2025-2026学年高一第二学期期末模拟（1） 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（    ） A． B． C． D． 2．三角形中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 3．若复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 4.已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 5．已知数据1，2，3，4，5，6，7，8，则该组数据的上四分位数是（    ） A．6.5 B．6 C．2.5 D．2 6．已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．在中，内角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D． 8.如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为复数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则或 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若是实系数方程的一个根，则 10．已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则只有一解 C．若，则的面积为 D．若为锐角三角形，则 11.下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．记，，，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数据1，2，4，的方差为，则______. 13．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心） 14．如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，过点C作，交OP于点D，则的面积的最大值为__________.    四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)若三角形是锐角三角形，求的取值范围； (3)若的角平分线交BC于D，且，求． 16．为了提高市民的普法意识，某市举行了普法知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低分，最高分）． (1)求频率分布直方图中的值，并求出样本中成绩在分以上的人数： (2)若划定成绩大于或等于第百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围； (3)现知道样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为，方差为，成绩在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差． 17．已知三棱台中，△ABC为正三角形，，点E为线段AB的中点． (1)证明：平面； (2)延长交于点P，求三棱锥P-ABC的体积最大值； (3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成线面角的余弦值． 18．在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 19．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中O为坐标原点. (1)若向量的“伴随函数”为，求向量； (2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若函数的“源向量”为，且已知，； （ⅰ）求周长的最大值； （ⅱ）求的取值范围. 答案与解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量加减运算可得结果． 【详解】， 故选：B． 2．三角形中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】由正弦定理结合三角形边角的性质可得. 【详解】由正弦定理可得， 代入可得， 又，由大边对大角可得. 故选：A 3．若复数，则复数的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复数的乘法化简复数，结合复数的概念可得结果. 【详解】由题意可得，故复数的虚部为. 故选：A. 4.已知圆锥的侧面积为，它的侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【解析】B 设圆锥的底面半径为，母线长为， 由题意可得：，解得， 则圆锥的高， 所以此圆锥的体积为. 5．已知数据1，2，3，4，5，6，7，8，则该组数据的上四分位数是（    ） A．6.5 B．6 C．2.5 D．2 【答案】A 【分析】求该组数据的上四分位数，即求第百分位数即可. 【详解】因为，所以找第六个和第七个数的平均数，即. 故选：A 6．已知向量满足，且向量在方向上的投影向量为．若动点C满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用数形结合及极化恒等式，化，求解即可． 【详解】解：如图， 根据投影向量定义知，，则，且， 因为，所以点C在以O为圆心，半径的圆上运动． 设M是AB的中点，由极化恒等式得：， 因为，此时， 即的最小值为， 故选：D． 7．在中，内角的对边分别为，已知的平分线交于点，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】首先求出，再根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可． 【详解】，由正弦定理得， 因为，所以，故， 如图所示，则的面积为， 即，因为，． ． 当且仅当，结合得时等号成立， 所以，的最小值为． 故选：D． 8.如图，在三棱锥中，，二面角的正切值是，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【解析】D 设是的中点，连接，由于， 所以，所以是二面角的平面角，所以， 由得. 在中，， 在中，， 在中，由余弦定理得：， 所以， 由于，所以 两两垂直. 由此将三棱锥补形成正方体如下图所示，正方体的边长为2，则体对角线长为. 设正方体外接球的半径为，则，所以外接球的表面积为， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设为复数，则下列说法正确的有（    ） A．若，则或 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若是实系数方程的一个根，则 【答案】BD 【分析】对于A，通过反例可判断，对于B，由，确定复数在复平面上点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，即可判断，对于C，由模长公式即可判断，对于D，将代入方程，即可判断. 【详解】对于A，取，此时，故错误； 对于B，由，可知复数在复平面上点的轨迹为以为圆心，以1为半径的圆， 所以的最小值为圆心到原点的距离减去半径，即，正确； 对于C，由模长公式可得，错误； 对于D，由条件可知， 化简可得：， 所以，正确， 故选：BD 10．已知中，角所对的边分别为，若，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则为锐角三角形 B．若，则只有一解 C．若，则的面积为 D．若为锐角三角形，则 【答案】ACD 【分析】对于A，依次由余弦定理求出即可求解判断；对于B，由即可判断；对于C，先由正弦定理求出a，再由面积公式即可求解判断；对于D，先由题设求出的取值范围，再由正弦定理结合两角差的正弦公式以及弦化切即可求出即可求解判断. 【详解】对于A，若，则即， 所以且即， 所以为锐角三角形，故A正确； 对于B，若，则，所以有两解，故B错误； 对于C，若，则，则， 所以，故C正确； 对于D，由题，若为锐角三角形， 则，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD 11.下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的，，，都是以O为圆心的圆弧，CMNK是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，，．记，，，，则（ ） A. B. C. D. 【解析】ACD 因为在矩形中，， 又，，面，所以面， 又面，所以， 因为在矩形中，，所以，即， 因为，，，面， 所以面， 又在矩形中，，所以面， 又面，所以， 同时，易知在矩形中，， 对于A，在中，， 在中，， 在中，， 所以，故A正确； 对于B，在中，， 在中，， 又，且在中，为的斜边，则， 所以，故B错误； 对于C，在中，， 在中，， 又， 所以，故C正确； 对于D，在中，， 又，，， 所以， 所以，即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知数据1，2，4，的方差为，则______. 【答案】或3 【分析】根据方差公式计算即可. 【详解】数据1，2，4，的平均数为， 故方差为， 化简可得， 即，解得或. 故答案为：或3 13．已知点为所在平面内一点，若，则点的轨迹必通过的 .（填：内心，外心，垂心，重心） 【答案】外心 【分析】为的中点，由，得，则点的轨迹必通过的外心. 【详解】点为所在平面内一点，若， 设为的中点，， 则有，所以， 所以动点在线段的中垂线上，则点的轨迹必通过的外心. 故答案为：外心 14．如图，在扇形OPQ中，半径，圆心角，C是扇形弧上的动点，过点C作，交OP于点D，则的面积的最大值为__________.    【答案】/ 【分析】设，利用正弦定理求得，将的面积表示出来，利用三角恒等变换化成正弦型函数，根据正弦函数的图象性质即可求得面积最大值. 【详解】设,则，因，则，， 在中，由正弦定理，，解得, 故的面积为: ， 因，则，故当时，即时，的面积取得最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15．三角形中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． (1)求证：； (2)若三角形是锐角三角形，求的取值范围； (3)若的角平分线交BC于D，且，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得到，再根据角的范围即可证明； （2）根据三角形形状及交的关系确定角的范围，进而根据三角恒等变换化解可得，进而结合余弦函数的性质求解即可； （3）由题设可得，，，进而结合正弦定理及三角恒等变换求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理有：， 所以， 则， 则， 则， 因为、，所以， 又因为，所以，所以， 所以有或，即或（舍去）， 所以得证. （2）因为是锐角三角形，，所以， 所以，解得， 所以 ， 由，则，则， 所以，则的取值范围为. （3）因为为的平分线，且， 所以，所以， 在中，，， 由正弦定理有：，即， 则， 则， 则，解得或， 又，则为锐角，即. 16．为了提高市民的普法意识，某市举行了普法知识竞赛，为了解全市参赛者的成绩情况，从所有参赛者中随机抽取了人的成绩（均为整数）作为样本，将其整理后分为组，并作出了如图所示的频率分布直方图（最低分，最高分）． (1)求频率分布直方图中的值，并求出样本中成绩在分以上的人数： (2)若划定成绩大于或等于第百分位数为“良好”以上等级，请根据直方图，估计全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围； (3)现知道样本中，成绩在“良好”以上等级的平均数为，方差为，成绩在内的平均数为，方差为，求成绩在内的平均数和方差． 【答案】(1)；人 (2) (3)平均数为，方差为 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为，可求出的值；结合频率直方图可求出样本中成绩在分以上的人数； （2）根据频率分布直方图计算出第百分位数，即可得出结果； （3）利用分层随机抽样的平均数和方差公式可求得结果. 【详解】（1）在频率分布直方图中，所有直方图面积之和为， 可得，解得， 由图可知，样本中成绩在分以上的人数为人. （2）前三个矩形面积之和为， 前四个矩形面积之和为， 设第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得， 因此，全市参赛者的成绩在“良好”以上等级的范围为. （3）成绩在内占成绩在的比例为， 成绩在内占成绩在的比例为， 设成绩在内的平均数和方差分别为、， 由分层随机抽样的平均数公式可得，解得， 由分层随机抽样的方差公式可得，解得. 故成绩在内的平均数为，方差为. 17．已知三棱台中，△ABC为正三角形，，点E为线段AB的中点． (1)证明：平面； (2)延长交于点P，求三棱锥P-ABC的体积最大值； (3)若二面角的余弦值为，求直线与平面所成线面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）设是的中点，连接，，则利用三角形中位线定理结合已知可证得四边形是平行四边形，则，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题意可得当平面平面ABC时，该三棱锥的体积最大，由已知可得△PAB是边长2的正三角形，从而可求出三棱锥的体积； （3）由题意可得二面角的平面角是，利用余弦定可求出其余弦值，作于点O，连接PO，则可得∠BPO为直线与平面所成角，然后在中可求得结果. 【详解】（1）证明：如图，设是的中点，连接，， 在三棱台中，因为，所以， 且，因为E，F分别是AB，BC的中点， 所以，， 所以∥，，所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面； （2）因为，又为定值， 所以当平面平面ABC时，该三棱锥的体积最大． 因为∥，，所以分别是PA，PB的中点， 所以， 因此△PAB是边长2的正三角形， 因为， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面ABC， 又，则； 则三棱锥P-ABC的体积最大值为1． （3）如图，，是PC的中点， 则， 所以二面角的平面角是， 又，由余弦定理得：，解得， 作于点O，连接PO，因为平面，所以， 又，平面， 所以平面，则∠BPO为直线与平面所成角， 由，则， 从而， 所以直线与平面所成线面角的余弦值为． 18．在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数有界性即可求解. 【详解】（1）设， ，，， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， （3），设， 则， ，， . 19．定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中O为坐标原点. (1)若向量的“伴随函数”为，求向量； (2)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若函数的“源向量”为，且已知，； （ⅰ）求周长的最大值； （ⅱ）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【分析】（1）由“源向量”与“伴随函数”的概念将化为形式求解即可. （2）（ⅰ）由余弦定理与基本不等式求解周长的最大值即可；（ⅱ）将向量转化为三角形的边的关系，结合重要不等式求解即可. 【详解】（1）, 所以 （2）（ⅰ）由于函数的“源向量”为， 所以，，所以，，所以， 在中，由余弦定理得：， 即， 所以有基本不等式得：， 所以，即， 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，所以周长的最大值为. （ⅱ）， 又，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 又当点无限接近点顶点时，边无限接近，即无限接近， 综上所述：， 令，则，， 从而， 所以， 即的取值范围为. 第4页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $