第5卷 指数函数与对数函数（一）- 2027年河南省对口招生（教育类）《数学45分钟训练卷》（原卷版+解析版）

**基本信息** 聚焦指数函数与对数函数专题，采用“一考一讲”模式实现复习闭环，通过基础概念到应用问题的层级设计，培养数学抽象与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-2、9-10题|定义域、根式与指数式互化|从定义出发，构建指数对数概念体系| |性质应用|单选3-8、填空11-14题|单调性、奇偶性、图像过定点|由概念推导性质，形成“定义-性质-图像”逻辑链| |实际应用|解答16-18题|人口增长、酒精浓度模型|结合生活情境，体现模型意识与应用能力|

编写说明：2027年河南省对口招生教育类《数学45分钟训练卷》，以近三年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河南省对口招生教育类数学《45分钟训练卷》 第五卷 指数函数与对数函数（一） 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．已知函数，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 2．三个正数成等比数列，是，，成等差数列的（    ） A．充要条件 B．必要条件 C．充分条件 D．无法确定 3．某城市现有人口1000万人，根据近年的统计资料推算，未来该市的人口年自然增长率为，那么按这个增长率，（    ）年后该市的人口预计会达到1500万人．（用代数式表示） A． B． C． D． 4．则（    ） A． B． C． D． 5．设函数，则（   ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 6．已知，，，则下列各式中正确的是（    ）. A． B． C． D． 7．函数在R上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．函数或的图像恒过P点的坐标为（    ） A． B． C． D． 9．将 写成根式，正确的是 （   ） A． B． C． D． 10．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）. 11．计算：________． 12．在中，最大的数是__________. 13．设指数函数是上的减函数，则的取值范围是__________. 14．方程的解是________. 15．已知定义在上的函数的最大值比最小值大1，则________． 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 16．容器内现有纯酒精10L，每次从中倒出1L溶液后再加满水，试给出操作次数x与所剩酒精y之间的函数解析式，已知75%纯度的酒精可作医用，问操作4次后，容器中的溶液能否作医用？ 17．已知函数的图像经过点. (1)求实数的m值. (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. 18．已知函数的定义域为R，求实数a的取值范围. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年河南省对口招生教育类《数学45分钟训练卷》，以近三年真题分析为依据，聚焦中职高考复习“时效适配、综合检测”需求。采用“一考一讲”模式，助力师生实现“课堂检测—即时讲解—快速巩固”的复习闭环，是复习中检验学习效果、强化应试能力的核心资源。 河南省对口招生教育类数学《45分钟训练卷》 第五卷 指数函数与对数函数（一） 专题训练卷 时间：45分钟 总分：100分 班级_______ 姓名_______ 学号_______ 成绩_______ 一、单选题（本大题共10小题，每题5分，共50分）. 1．已知函数，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据自变量的范围代入相应的函数式中，由内到外计算可求解. 【详解】由题知， ， . 故选：C 2．三个正数成等比数列，是，，成等差数列的（    ） A．充要条件 B．必要条件 C．充分条件 D．无法确定 【答案】A 【分析】结合等差中项，等比中项与对数的运算对充分条件与必要条件进行判定. 【详解】因为三个正数成等比数列，所以， 则，则，即，，成等差数列. 反之，，，成等差数列，则为三个正数， 且， 即，所以. 所以三个正数成等比数列. 由此三个正数成等比数列，是，，成等差数列的充要条件. 故选：A. 3．某城市现有人口1000万人，根据近年的统计资料推算，未来该市的人口年自然增长率为，那么按这个增长率，（    ）年后该市的人口预计会达到1500万人．（用代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设年后该市的人口预计会达到1500万，由题目条件列方程，根据对数的定义解出即可. 【详解】设年后该市的人口预计会达到1500万人, 该市现有人口1000万人，未来该市的人口年自然增长率为， 可得， 即，由对数的定义可得，. 故选：C. 4．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数幂的运算法则即可得解. 【详解】因为，所以. 故选：. 5．设函数，则（   ） A．是奇函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是偶函数，且在单调递减 【答案】A 【详解】根据奇偶函数的定义可判断函数的奇偶性，再根据幂函数的单调性判断即可. 【分析】因为函数定义域为，其关于原点对称， 又， 所以函数为奇函数． 又因为函数在上单调递增，在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递增． 故选：A． 6．已知，，，则下列各式中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数、和的单调性，结合0和1进行比较即可求解. 【详解】因为函数在R上单调递增， 所以，即， 因为函数在R上单调递增， 所以，即， 因为函数在上单调递增， 所以，即， 综上所述，，即. 故选：C. 7．函数在R上是减函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性，得到关于的不等式，从而得解. 【详解】因为函数在上是减函数， 所以， 解得. 故选：B. 8．函数或的图像恒过P点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在函数式中，令指数为零可得结果. 【详解】在函数或中， 令，可得，此时， 所以函数或的图像恒过P点的坐标为. 故选：B 9．将 写成根式，正确的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据根式与分数指数幂的互化公式即可解答. 【详解】， 故选：C. 10．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合零指数幂、对数函数有意义需满足的条件，即可求解. 【详解】因为， 所以，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：D. 二、填空题（本大题共5小题，每题4分，共20分）. 11．计算：________． 【答案】 【分析】运用指数幂的运算和对数的运算法则求解. 【详解】原式. 故答案为：. 12．在中，最大的数是__________. 【答案】 【分析】根据指数幂的运算，结合指数函数的性质，判断每个数的取值范围，比较大小即可得出答案． 【详解】因为 ， ， 所以中，最大的数是， 故答案为：. 13．设指数函数是上的减函数，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性即可得解. 【详解】因为指数函数是上的减函数， 所以，，即 . 故答案为：. 14．方程的解是________. 【答案】2 【分析】由指数幂的运算求解即可. 【详解】令，则方程可化为， 解得或（舍），故，解得. 故答案为：2. 15．已知定义在上的函数的最大值比最小值大1，则________． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性和对数的运算性质，分析求解即可. 【详解】因为函数的底数， 所以函数在上单调递增， 所以， 因为最大值比最小值大1，所以， 故答案为：. 三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分）. 16．容器内现有纯酒精10L，每次从中倒出1L溶液后再加满水，试给出操作次数x与所剩酒精y之间的函数解析式，已知75%纯度的酒精可作医用，问操作4次后，容器中的溶液能否作医用？ 【答案】不能 【分析】先根据题意列出函数关系式，再判断4次之后能否为医用. 【详解】依题意可以得到，10L的纯酒精在操作了次后， 所剩的酒精含量为． 经过4次操作后，容器中的酒精含量为， 此时，容器中溶液的酒精浓度为，不能作医用． 因此操作次数与所剩酒精之间的函数关系为， 操作4次后，容器中的溶液不能作医用． 17．已知函数的图像经过点. (1)求实数的m值. (2)判断函数的奇偶性，并说明理由. 【答案】(1) (2)是奇函数，理由见详解 【分析】（1）将点代入函数解析式求解m的值即可. （2）先求出函数的定义域，再根据与的关系判断奇偶性即可. 【详解】（1）因为函数的图像经过点， 所以，解得. （2）因为函数的定义域为，解得， 即定义域为，定义域关于原点对称， 且， ， 所以，因此是奇函数. 18．已知函数的定义域为R，求实数a的取值范围. 【答案】 【分析】由对数函数的性质和一元二次不等式恒成立的条件即可得解. 【详解】因为函数的定义域为R， 所以的解集为R， 故， 即，解得， 所以实数a的取值范围是. 试卷第6页，共6页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $