综合测试卷（三）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 本综合训练以教材章节为基准，通过AB卷分层巩固与综合测试卷跨章节整合，系统覆盖中职数学核心考点，注重知识网络构建与解题能力提升。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |代数|选择1-9/13-14/25题|数列递推与求和、二项式定理应用|从概念辨析到综合运算，体现等差等比数列内在关联| |几何|选择10/15/20/28题|解三角形及性质判断|以正弦定理为核心，构建边角关系推导逻辑| |概率统计|选择5/11/12/18/21/26题|排列组合、正态分布、回归分析|从基础计数到数据建模，培养数据意识与应用能力| |函数|选择2/16/17/24/29题|图像分析、单调性及最值|结合导数与三角函数，形成性质探究的思维链条|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则等于（    ） X 1 2 3 P A． B． C． D． 2．已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 3．二项式展开式中二项式系数最大的项为（   ） A．7 B．8 C．7和8 D．8和9 4． （    ） A． B． C． D． 5．现某学校自愿组成数学建模社团，其中高一年级3人，高二年级4人，高三年级6人，选其中一人为负责人，则不同的选法有（ ） A．18种 B．72种 C．13种 D．24种 6．等比数列中，，，则（    ） A．15 B．16 C．31 D．32 7．2与8的等比中项为（   ） A． B．4 C． D．5 8．是数列的（   ） A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项 9．在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 10．在中，角对应的边分别为，已知，则（   ）. A． B． C． D． 11．1400人参加检测，成绩服从，，估计成绩在80分到90分的学生人数为（   ） A．840 B．560 C．420 D．280 12．如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有3种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ ）种. A．12 B．18 C．24 D．30 13．在等比数列中，若且满足，则公比的值为（   ） A． B． C． D． 14．在等差数列中，已知，则的最大值是（   ） A．25 B．29 C．23 D．27 15．在中，已知，则是（   ）三角形. A．直角 B．等腰直角 C．等腰 D．等腰或直角 16．当时，函数取得最大值，则的最小值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 17．已知函数在上的值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 18．已知变量的观察数据如下表，且关于的回归直线方程为，则实数等于（    ） 1 2 3 4 1.2 2.3 3.1 3.8 A．2 B．2.1 C．2.5 D．2.6 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．下列关系中，属于相关关系的是________(填序号). ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 20．在中，，，，则的面积等于________. 21．5个人站成一排，求甲乙必相邻且和丙都不相邻的概率________． 22．若的展开式中，的系数等于的系数的5倍，则__________. 23．已知等差数列中，，则 _____________. 24．已知函数，则的单调递增区间是_____. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 26．(本题10分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表. 零件的个数x/个 2 3 4 5 加工的时间y/小时 2.5 3 4 4.5 (1)求y对x的回归直线方程； (2)试预测加工10个零件所需要的时间. 参考数据：，. 27．(本题12分)甲、乙等6名同学排成一排照相. (1)甲同学在排头或排尾的排法有多少种？ (2)甲、乙相邻的排法有多少种？ (3)甲不在排头且乙不在排尾的排法有多少种？ 28．(本题12分)已知中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 29．(本题14分)已知函数． (1)求的最大值； (2)设，则把函数的图象沿x轴至少向左平移多少个单位长度，可得到函数的图象？ 30．(本题14分)在堆放物品时，为了节约空间，常常把物品垒成许多层，俗称“垛”，每层摆成圆形的就叫作“圆垛”．为了美观，小华把一些完全相同的圆柱体摆成类似“圆垛”状，如图所示，“圆垛”的最上层有1个圆柱体，第二层外圈有3个圆柱体，第三层外圈有6个圆柱体，第四层外圈有10个圆柱体，…，第n层外圈有个圆柱体，第n层的最外圈圆柱体数量比上一层最外圈的圆柱体数量多n个，并构成数列，其中＝1． (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)若数列满足，求数列的前n项和． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（三） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则等于（    ） X 1 2 3 P A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分布列以及期望公式即可解得. 【详解】由分布列可得. 故选：C. 2．已知函数的部分图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象求出函数的周期即可求解. 【详解】设函数的周期为， 由图像可知，所以， 又，解得. 故选：D. 3．二项式展开式中二项式系数最大的项为（   ） A．7 B．8 C．7和8 D．8和9 【答案】D 【分析】根据二项式系数的性质求解即可. 【详解】二项式的次幂，是奇数，共有项， 最中间两项为第8项和第9项， 故二项式展开式中二项式系数最大的项为第8项和第9项. 故选：D. 4． （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项展开式求解. 【详解】 ， 故选：D. 5．现某学校自愿组成数学建模社团，其中高一年级3人，高二年级4人，高三年级6人，选其中一人为负责人，则不同的选法有（ ） A．18种 B．72种 C．13种 D．24种 【答案】C 【分析】根据分类加法计数原理直接计算即可. 由题意得，若选出的负责人是高一学生，有3种情况； 若选出的负责人是高二学生，有4种情况； 若选出的负责人是高三学生，有6种情况． 由分类加法计数原理可得，共有种不同的选法． 故选：C． 6．等比数列中，，，则（    ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和公式进行计算. 【详解】已知在等比数列中，，， 所以， 故选：A. 7．2与8的等比中项为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】根据等比中项的定义即可求解. 【详解】设2与8的等比中项为， 则， 故选：A 8．是数列的（   ） A．第15项 B．第16项 C．第17项 D．第18项 【答案】C 【分析】根据题意令即可得解. 【详解】由，解得， 所以是数列的第17项. 故选：. 9．在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】根据等差数列的下标和性质可求解. 【详解】等差数列中：，且， 所以，解得. 故选：B 10．在中，角对应的边分别为，已知，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理结合题干条件代入计算即可. 【详解】在中，已知， 由余弦定理得：. 故选：A. 11．1400人参加检测，成绩服从，，估计成绩在80分到90分的学生人数为（   ） A．840 B．560 C．420 D．280 【答案】D 【分析】利用正态分布的对称性，结合已知概率求出成绩在分到分的概率，再根据总人数计算出相应的学生人数. 【详解】已知成绩服从， 所以该正态分布的对称轴为， 所以， 已知，则， 又因为， 所以， 已知总人数为人， 由上述计算可知成绩在分到分的概率为， 那么成绩在分到分的学生人数为人. 故选：D. 12．如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有3种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ ）种. A．12 B．18 C．24 D．30 【答案】B 【分析】讨论用3种颜色和2种颜色两种情况，分别求解，综合即可得答案. 若用3种颜色，则需AD同色，或BC同色，则有种选择， 若用2种颜色，则需AD同色并且BC同色，则有种选择， 综上，不同的着色方法共有种. 故选：B 13．在等比数列中，若且满足，则公比的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合等比数列的性质化简已知等式即可得解. 【详解】等比数列中，，则公比， ，等式两边同时除以得，即， 解得或（舍）. 故选：. 14．在等差数列中，已知，则的最大值是（   ） A．25 B．29 C．23 D．27 【答案】A 【分析】根据等差数列通项公式确定正负项分界点，结合前项和公式求解最大值即可. 【详解】因为等差数列的通项公式为：， 所以公差， 所以数列是递减的等差数列， 令，即，解得：， 又因为，所以当时，，当时，， 所以前项和为的最大值， 即. 故选：A. 15．在中，已知，则是（   ）三角形. A．直角 B．等腰直角 C．等腰 D．等腰或直角 【答案】D 【分析】利用正弦定理将边转化为角，结合三角形内角的取值范围判断三角形形状即可. 【详解】∵在中，已知， ∴由正弦定理可知，可得： ，即. 由得，满足的情况有两种： ，即，此时为等腰三角形； ，即，此时，为直角三角形. 综上，是等腰或直角三角形， 故选：D. 16．当时，函数取得最大值，则的最小值是（ ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】使用辅助角公式化简，代入，利用最大值条件并给赋值即可求解. ， 取，则， 由题意得，即， 整理得，因为，令，则， 即的最小值为1. 17．已知函数在上的值域为，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，作出的图象，数形结合可得答案. 令，由，得：， 原题转化为在上的值域为， 作出的图象， 由，结合图象， 可得：， 解得：. 故选：C 18．已知变量的观察数据如下表，且关于的回归直线方程为，则实数等于（    ） 1 2 3 4 1.2 2.3 3.1 3.8 A．2 B．2.1 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【分析】根据表中数据可求出和，然后代入回归方程，即可求解. 【详解】由表中数据可知：，， 将这两个数据代入回归直线方程可得：，所以. 故选：B. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．下列关系中，属于相关关系的是________(填序号). ①正方形的边长与面积之间的关系； ②农作物的产量与施肥量之间的关系； ③出租车费与行驶的里程； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系. 【答案】②④ 【分析】利用相关关系和函数关系的概念分析解答. 【详解】在①中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；在②中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；③为确定的函数关系；在④中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系. 故答案为：②④ 20．在中，，，，则的面积等于________. 【答案】6 【分析】根据三角形的面积公式即可求解. 【详解】因为在中，，，， 所以的面积为. 故答案为：6. 21．5个人站成一排，求甲乙必相邻且和丙都不相邻的概率________． 【答案】/0.2 【分析】先求出5个人站成一排的所有排列情况，再求出甲乙必相邻且和丙都不相邻的排列情况，最后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】5个人站成一排的所有排列情况有种， 甲乙看作一个整体，考虑甲乙两人之间的排列顺序，有种情况， 除甲乙丙外的两个人排好，有种情况， 除甲乙丙外的两个人形成3个空位，将甲乙整体和丙插入这3个空位中，有种情况， 所以甲乙必相邻且和丙都不相邻的排列情况共有（种）， 所以甲乙必相邻且和丙都不相邻的概率. 故答案为：. 22．若的展开式中，的系数等于的系数的5倍，则__________. 【答案】7 【分析】首先由二项展开式的通项公式列出，再分别令的指数等于3和1表示出的系数与的系数，再由题意列方程求解即可. 【详解】已知，则， 则的系数为，的系数为， 因为的系数等于的系数的5倍， 所以，即， 因为，整理得， 解得或（舍去），所以. 故答案为：. 23．已知等差数列中，，则 _____________. 【答案】 【分析】根据等差数列的下标和性质及指数幂的运算可得结果. 【详解】在等差数列中， ， 所以. 故答案为： 24．已知函数，则的单调递增区间是_____. 【答案】 【分析】根据整体代换法，结合正弦函数单调性求解可得. 由，得， 又因为，所以的单调递增区间为 故答案为： 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数列前项和与通项的关系求解即可， （2）先证明数列为等比数列，再根据等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）为数列的前n项和，， 当时，； 当时，，验证时成立， 故数列的通项公式为． （2）数列满足， 则， 因为，且 所以数列是首项为9，公比为9的等比数列， 故数列的前项和 26．(本题10分)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此做了四次试验，得到的数据如下表. 零件的个数x/个 2 3 4 5 加工的时间y/小时 2.5 3 4 4.5 (1)求y对x的回归直线方程； (2)试预测加工10个零件所需要的时间. 参考数据：，. 【答案】(1) (2)8.05小时 【分析】（1）分别求出与，再代相关公式计算回归直线方程即可. （2）将代入回归直线方程求解即可. 【详解】（1），， ，， 回归直线方程为. （2）当时，， 即预测加工10个零件需要8.05小时. 27．(本题12分)甲、乙等6名同学排成一排照相. (1)甲同学在排头或排尾的排法有多少种？ (2)甲、乙相邻的排法有多少种？ (3)甲不在排头且乙不在排尾的排法有多少种？ 【答案】(1)240 (2)240 (3)504 【分析】（1）分甲同学在排头和甲同学在排尾两种情况讨论即可求解. （2）将甲、乙两人捆绑在一起，再进行全排列即可求解. （3）将6名同学全排列，再减去甲在排头和乙在排尾的情况，加上重复减去的甲在排头且乙在排尾的情况即可求解. 【详解】（1）甲同学在排头，则剩余5位同学全排列，有种， 甲同学在排尾，则剩余5位同学全排列，有种， 所以甲同学在排头或排尾的排法有种. （2）将甲、乙两人捆绑在一起，有种排法， 然后全排列则有种排法. （3）甲站在排头有种不同的排法， 乙站在排尾有种不同的排法， 甲站在排头且乙站在排尾有种不同的排法， 所以甲站在排头或乙站在排尾有种不同的排法， 所以甲不站在排头且乙不站在排尾有（种）不同的排法. 28．(本题12分)已知中，角的对边分别为，且． (1)求角的大小； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理，两角和的正弦公式，结合诱导公式，三角形的性质即可求解. （2）根据余弦定理，结合三角形的面积公式即可求解. 【详解】（1）在中，， 由正弦定理，可得， 则， 因为，，即，所以. （2）因为， 由余弦定理可得， 解得，所以的面积为. 29．(本题14分)已知函数． (1)求的最大值； (2)设，则把函数的图象沿x轴至少向左平移多少个单位长度，可得到函数的图象？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用两角差的余弦公式和辅助角公式可得，可求最大值； （2）设把函数的图象向左平移t个单位长度，利用平移求得， 令，计算求解即可. （1） ， 因，故的最大值为． （2）设把函数的图象向左平移t个单位长度，可得到函数的图象， 则有恒成立， 故有，得， 要使为最小正数，则取，此时， 即把函数的图象沿x轴至少向左平移个单位长度，可得到函数的图象． 30．(本题14分)在堆放物品时，为了节约空间，常常把物品垒成许多层，俗称“垛”，每层摆成圆形的就叫作“圆垛”．为了美观，小华把一些完全相同的圆柱体摆成类似“圆垛”状，如图所示，“圆垛”的最上层有1个圆柱体，第二层外圈有3个圆柱体，第三层外圈有6个圆柱体，第四层外圈有10个圆柱体，…，第n层外圈有个圆柱体，第n层的最外圈圆柱体数量比上一层最外圈的圆柱体数量多n个，并构成数列，其中＝1． (1)求的值； (2)求数列的通项公式； (3)若数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1)；；. (2). (3). 【分析】（）根据题意找到规律求出的值即可得解. （）根据累加法即可得解. （）根据分组求和法，结合等比数列的求和公式及裂项相消法即可得解. 【详解】（1）由题意可知， ；；；； ；；. （2）由（）可知， ，，，，， 将上述式子相加得. （3）因为， 则， . 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $