综合测试卷（四）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材核心考点，采用AB卷分层巩固与综合测试卷实战模拟，整合数列、三角函数、统计概率等模块，通过真实情境问题培养数学眼光、思维与语言。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列与建模|第1、7、9、15、30题|通项公式、求和及实际应用（如科赫雪花）|从概念定义到递推关系，再到数学建模解决现实问题| |三角函数与解三角形|第2、10、11、12、17、25、29题|图像变换、三角恒等变换、正余弦定理应用|函数性质推导→图像变换规律→边角关系综合应用| |统计概率与应用|第3、4、13、19、27、28题|图表分析、期望方差、回归方程（如蝗虫产卵量）|数据收集→分析处理→模型构建与预测| |排列组合与二项式|第6、14、20题|计数原理、展开式常数项|分类分步思想→公式应用→实际问题转化|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知数列通项公式是，则该数列的第3项是（    ） A． B． C． D． 2．函数的图像如图所示，它的最小正周期是（   ） A．2 B． C． D． 3．如图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法正确的是（   ） A．甲的数学成绩最后3次逐渐降低 B．甲的数学成绩在130分以上的次数少于乙的数学成绩在130分以上的次数 C．甲有7次考试成绩比乙高 D．甲数学成绩的极差大于乙数学成绩的极差 4．某射击运动员平时训练命中环数为随机变量，其分布列为： 6 7 8 9 10 则的数学期望为（    ） A．7.65 B． C． D． 5．若，则整数的值为（    ） A．4 B．3 C．3或4 D．7 6．5位同学参加3项不同的竞赛，每项竞赛只允许一位学生参加，且同一位同学可以参加多项竞赛，则参赛方案共有（    ） A．15种 B．8种 C．种 D．种 7．已知数列的首项，且，则（   ） A．4 B． C．5 D．28 8．若数列满足（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 9．用等长的木棒依次摆成如图所示的几何图形，若按照这样的规律，则第50个图形所需的木棒根数是（   ）    A．51 B．78 C．99 D．101 10．要得到函数的图像，需将函数的图像（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 11．化简的结果是（   ） A．0 B． C． D．1 12．在中，已知，则边a的值是（   ）. A．5 B．4 C．8 D．6 13．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中为自然底数）拟合，设，其变换后得到一组数据： 由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为（    ） A． B． C． D． 14．某科技公司为训练AI模型，需从5个图像数据集、4个文本数据集中共选出4个数据集输入模型，要求图像数据集至少选2个，则不同的选法共有（    ） A．86种 B．90种 C．94种 D．105种 15．远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．已知等差数列的前n项和为，若，则=（   ） A．45 B．50 C．90 D．100 17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 18．式子的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．某产品在某零售摊位上的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）统计如下表所示： x 16 17 18 19 y 50 m 34 31 据上表可得回归直线方程为，则上表中的m的值为________． 20．的展开式中的常数项是______． 21．在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则______． 22．已知数列中，满足，则数列的通项公式为________. 23．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长（单位：cm）成等差数列，对应的宽为（单位：），且长与宽之比都相等，已知，则________． 24．函数的值域是__________. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知，为第二象限角. (1)求的值； (2)求的值. 26．(本题10分)在等差数列中，公差，，且，，成等比数列.求： (1)数列的通项公式； (2)的值. 27．(本题12分)为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 28．(本题12分)在一段时间内，某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据为： 价格 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量 12 10 7 5 3 (1)画出散点图； (2)求出对的回归直线方程； (3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少. 29．(本题14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求的值； (2)若，求△ABC的面积； (3)求的值. 30．(本题14分)如图所示，瑞典数学家科赫在1904年构造了能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形再去掉底边……反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．把图①、图②、图③、图④中图形的边长依次记为，，，，边数依次记为，，，，周长依次记为，，，，设原正三角形（见图①）的边长． (1)分别写出，，，，的值； (2)分别求数列和的通项公式； (3)求． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（四） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知数列通项公式是，则该数列的第3项是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列的通项公式即可求解. 【详解】因为数列通项公式是，所以该数列的第三项. 故选：A. 2．函数的图像如图所示，它的最小正周期是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦型函数的周期公式计算． 【详解】函数的最小正周期是． 故选：C． 3．如图是甲、乙两人高考前10次数学模拟成绩的折线图，则下列说法正确的是（   ） A．甲的数学成绩最后3次逐渐降低 B．甲的数学成绩在130分以上的次数少于乙的数学成绩在130分以上的次数 C．甲有7次考试成绩比乙高 D．甲数学成绩的极差大于乙数学成绩的极差 【答案】C 【分析】根据折线图，对选项逐一进行分析即可. 【详解】对于A，由折线图可知最后三次数学成绩逐渐升高，故A说法错误； 对于B，甲的数学成绩在130分以上的次数为6次，乙的数学成绩在130分以上的次数为5次，故B说法错误； 对于C，甲有7次考试成绩比乙高，故C的说法正确； 对于D，由折线图可知，甲、乙两人的数学成绩的最高成绩相同，甲的最低成绩为120分，乙的最低成绩为110分， 因此甲数学成绩的极差小于乙数学成绩的极差，D说法错误． 故选：C. 4．某射击运动员平时训练命中环数为随机变量，其分布列为： 6 7 8 9 10 则的数学期望为（    ） A．7.65 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据数学期望的计算公式求值即可. 【详解】. 故选：B. 5．若，则整数的值为（    ） A．4 B．3 C．3或4 D．7 【答案】C 【分析】根据组合数的性质解答即可. 【详解】已知，则或， 解得整数的值为3或4， 故选：C. 6．5位同学参加3项不同的竞赛，每项竞赛只允许一位学生参加，且同一位同学可以参加多项竞赛，则参赛方案共有（    ） A．15种 B．8种 C．种 D．种 【答案】D 【分析】根据分步计数原理求解. 【详解】由题意，每项竞赛可以从5位同学中任选一名参加， 则参赛方案共有种， 故选：D. 7．已知数列的首项，且，则（   ） A．4 B． C．5 D．28 【答案】A 【分析】根据递推公式得出数列为首项为，公差为的等差数列，利用等差数列的通项公式即可得解. 【详解】，， 又数列的首项， 则数列为首项为，公差为的等差数列， ， 故选：. 8．若数列满足（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义，以及通项公式即可求解. 【详解】因为数列满足则，又, 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. 故选：C. 9．用等长的木棒依次摆成如图所示的几何图形，若按照这样的规律，则第50个图形所需的木棒根数是（   ）    A．51 B．78 C．99 D．101 【答案】D 【分析】根据等差数列的通项公式即可求解. 【详解】由图可得，每个图形的所需的木棒数成首项为，公差为的等差数列. 所以第五十个图形所需的木棒数为. 故选：D. 10．要得到函数的图像，需将函数的图像（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】由正弦型函数的图像变换即可得解. 【详解】由函数的图像，得到函数的图像， 即由变为， 根据“左加右减”可得图像向右平移了个单位. 故选：D. 11．化简的结果是（   ） A．0 B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据两角差的正弦公式可求解. 【详解】. 故选：B 12．在中，已知，则边a的值是（   ）. A．5 B．4 C．8 D．6 【答案】D 【分析】利用余弦定理建立关于边a的一元二次方程，求解后舍去负根即可得到a的值. 【详解】在中，根据余弦定理，可得， 将，，， 代入上式，可得， 即，解得或（负值舍掉），故. 故选：D. 13．从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、旱涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量与温度的关系可以用模型（其中为自然底数）拟合，设，其变换后得到一组数据： 由上表可得线性回归方程，则当时，蝗虫的产卵量的估计值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过表格求出，代入线性回归方程中求出a的值，进而求出当时的估计值即可.， 【详解】由表格数据知， ， 将代入方程中， 得，解得， 则回归方程为， 当时，， 故，解得. 故选：B. 14．某科技公司为训练AI模型，需从5个图像数据集、4个文本数据集中共选出4个数据集输入模型，要求图像数据集至少选2个，则不同的选法共有（    ） A．86种 B．90种 C．94种 D．105种 【答案】D 【分析】根据条件分类讨论，利用组合数公式及计数原理求解. 【详解】由题意，有以下三种情况： ①选2个图像数据集、2个文本数据集，选法种数为种； ②选3个图像数据集、1个文本数据集，选法种数为种； ③选4个图像数据集，选法种数为种， 所以，总的选法共有种. 故选：D. 15．远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和公式分析求解即可. 【详解】由题设知七层塔中，各层塔上灯的个数成等比数列，且公比， 设塔顶有盏灯，则，解得：， 所以塔顶盏灯. 故选：B. 16．已知等差数列的前n项和为，若，则=（   ） A．45 B．50 C．90 D．100 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质和前项和公式求解. 【详解】已知，根据等差数列的性质可得， 所以. 故选：A. 17．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，则的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用正弦定理和余弦定理边角互化，再结合特殊角的三角函数值和三角形的面积公式求解即可. 【详解】因为，，所以， 因为， 即，解得：，， 所以的面积. 故选：C. 18．式子的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两角差的正切公式求出，据此可得解. 【详解】因为， 所以原式. 故选：C 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．某产品在某零售摊位上的零售价x（单位：元）与每天的销售量y（单位：个）统计如下表所示： x 16 17 18 19 y 50 m 34 31 据上表可得回归直线方程为，则上表中的m的值为________． 【答案】41 【分析】根据题意，先求得的值，代入回归直线方程，即可求解. 【详解】由题意，， ， 所以，解得． 故答案为：41. 20．的展开式中的常数项是______． 【答案】 【分析】根据二项展开式的通项公式，结合令的指数为零即可求解. 【详解】由题意得，，令，解得， 则所求常数项为． 故答案为：. 21．在中，内角，，所对的边分别为，，．若，，，则______． 【答案】 【分析】根据已知条件，利用正弦定理，直接求解即可. 【详解】由正弦定理可得：，解得：. 故答案为：. 22．已知数列中，满足，则数列的通项公式为________. 【答案】 【分析】利用累加法和裂项相消法求和，即可求通项公式. 由 当时，由上式可得： ， 当时，满足， 故答案为： 23．《中国共产党党旗党徽制作和使用的若干规定》指出，中国共产党党旗为旗面缀有金黄色党徽图案的红旗，通用规格有五种，这五种规格党旗的长（单位：cm）成等差数列，对应的宽为（单位：），且长与宽之比都相等，已知，则________． 【答案】 【分析】根据等差数列中项的性质结合题意即可求解. 【详解】因为五种规格党旗的长成等差数列，， 所以，解得， 因为宽为，且长与宽之比都相等，所以， 解得. 故答案为：. 24．函数的值域是__________. 【答案】 【分析】先利用辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的性质求出值域. 【详解】由题意可知， 因为，所以， 所以，则， 所以该函数的值域是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知，为第二象限角. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同角三角函数的平方关系及两角和的正弦公式求解即可； （2）根据同角三角函数的商数关系及二倍角的正切公式求解即可. 【详解】（1）因为，为第二象限角， 所以， 所以. （2）由（1）知：，所以， 所以. 26．(本题10分)在等差数列中，公差，，且，，成等比数列.求： (1)数列的通项公式； (2)的值. 【答案】(1). (2)55. 【分析】（）根据题意结合等差数列的通项公式及等比中项公式求出公差即可得解. （）根据等差数列的性质可知数列为首项25，公差的等差数列，代入求和公式即可得解. 【详解】（1）由，，成等比数列，得， ，解得或（舍）， 故. （2）因为数列为首项25，公差的等差数列， 则数列为首项25，公差的等差数列，共项， 则，则和为. 27．(本题12分)为激发学习数学的兴趣，高二年级举行数学知识竞赛，赛制规定：共进行5轮比赛，每轮比赛每个班可以从、两个题库中任选1题作答，在前两轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，后三轮比赛中每个班的题目必须来自同一题库，题库每题20分，题库每题30分，一班能正确回答、题库每题的概率分别为、，且每轮答题结果互不影响. (1)若一班前两轮选题库，后三轮选题库，求其总分不少于100分的概率； (2)若一班在前两轮比赛中选了题库，而且两轮得分60分，后三轮换成题库，设一班最后的总分为，求的分布､期望及方差. 【答案】(1) (2)分布列见解析，数学期望为105，方差为225 【分析】（1）由概率的乘法公式与加法公式求解； （2）随机变量的可能取值为，，，，求出相应的概率，即可求出分布列、期望与方差. （1）由条件知，若一班在前两轮得分，后三轮得分，总分为分， 其概率为， 若一班在前两轮得分，后三轮得分或分，总分为或分， 其概率为， 于是一班总分不少于分的概率为 . （2）依题意随机变量的可能取值为，，，， 所以，， ，． 所以的分布列为： 60 80 100 120 所以， . 28．(本题12分)在一段时间内，某种商品的价格（万元）和需求量之间的一组数据为： 价格 1.4 1.6 1.8 2 2.2 需求量 12 10 7 5 3 (1)画出散点图； (2)求出对的回归直线方程； (3)如果价格定为1.9万元，预测需求量大约是多少. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3). 【分析】（1）根据所给表格，画出散点图即可； （2）先利用表格求出，再利用回归直线方程的求法求解即可； （3）根据（2）中所求回归直线方程，令求出预测值即可. 【详解】（1）散点图如图所示. （2）采用列表的方法计算与. 序号 1 1.4 12 1.96 16.8 2 1.6 10 2.56 16 3 1.8 7 3.24 12.6 4 2 5 4 10 5 2.2 3 4.84 6.6 9 37 16.6 62 ，， ， ， 所以对的回归直线方程为. （3）当时，， 所以价格定为1.9万元时，需求量大约是. 29．(本题14分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，. (1)求的值； (2)若，求△ABC的面积； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理化边为角得，结合条件利用和角公式求得，进而求出的值； （2）利用（1）的结论，结合和角公式求得的值，进而利用三角形面积公式即可求得； （3）利用三角恒等变换公式依次求得，与的值即可. 【详解】（1）由和正弦定理，可得， 又，则， 整理得，故. （2）由（1）可知，则角为锐角， 因为，， 解得，， 同理解得，， 因为， 所以， 则. （3）由， 故， ，， 则. 30．(本题14分)如图所示，瑞典数学家科赫在1904年构造了能够描述雪花形状的图案．图形的做法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形再去掉底边……反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．把图①、图②、图③、图④中图形的边长依次记为，，，，边数依次记为，，，，周长依次记为，，，，设原正三角形（见图①）的边长． (1)分别写出，，，，的值； (2)分别求数列和的通项公式； (3)求． 【答案】(1)，，，， (2)， (3) 【分析】（1）根据图中边长以及边数求解即可； （2）根据规律可得数列的关系，由此求解通项公式即可； （3）先表示出数列的通项公式，由此求解即可. 【详解】（1）根据图形可知，，，，，； （2）由（1）知，，其中且 ，； （3）由图可知， ． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $