综合测试卷（一）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣教材章节，AB卷分层训练基础与能力，综合测试卷整合核心考点，强化数学思维与应用能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |章节AB卷|每章2卷|基础巩固/知识整合|概念生成-原理推导-应用拓展| |综合测试卷|4份|模拟实战|跨章节综合-解题能力突破|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．某商场的自动扶梯以一定速度运行，其台阶高度随时间变化的图像可近似看作.则该自动扶梯完成一次完整的上下运动周期为（     ）. A．3秒 B．6秒 C．12秒 D．24秒 【答案】C 【分析】根据正弦函数的周期性，即可求解. 【详解】台阶高度随时间变化的图像可近似看作， 所以该自动扶梯完成一次完整的上下运动周期秒. 故选：C. 2．已知随机变量服从正态分，若，则μ=（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据，得到，从而得到答案. 【详解】由随机变量服从正态分布可知正态密度曲线关于轴对称， 因为， 所以， 所以. 故选：C． 【点睛】本题考查随机变量服从正态分布的密度曲线的知识点，属于基础题型，比较简单. 3．已知，则n的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】根据排列数的计算法则即可求得结果. 【详解】已知， 则， 故选：B. 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二倍角公式即进行求解即可. 【详解】, 又， 故选：D. 5．连镇高铁沿线共设连云港、淮安、扬州、镇江等11个客运站，则铁路部门需要准备（    ）种不同的车票． A．22 B．55 C．121 D．110 【答案】D 【分析】整个线路共个站点，每两个站点需要一个车票，再根据排列即可得解. 【详解】连镇高铁沿线共设连云港、淮安、扬州、镇江等11个客运站， 则铁路部门需要准备种不同的车票． 故选：D. 6．已知与之间的一组数据 0 1 2 3 1 3 5 7 若与线性相关，则与的回归直线方程必过点（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据回归直线必过点求解. 【详解】，， 回归直线必过点. 故选：D. 7．已知，则的值是（    ） A．1013 B．2026 C．3039 D．4052 【答案】B 【分析】利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式化简，结合已知条件即可求解． 【详解】因为，则， 所以. 故选：B. 8．将的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，则得到的新函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角函数的图像变换规律求解. 【详解】的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变， 则得到的新函数的解析式为， 故选：D. 9．已知数列的通项公式为，那么是它的（    ） A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第10项 【答案】C 【分析】根据数列的通项公式求解即可. 【详解】由题意可知，解得：，所以是第3项. 故选：C. 10．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用整体法求解正弦型函数的单调性，即可求解. 【详解】令,所以， 当，由于，故D正确，ABC均错误， 故选：D 11．当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二倍角的正弦公式及同角三角函数的平方关系化简即可求解. 【详解】因为，所以， 所以 . 故选：C. 12．在中，已知，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】根据诱导公式得，再由和角公式化简即可得出结论， 【详解】在中，， 由， 得， 则， 即， 所以， 在中，，即， 所以是等腰三角形. 故选：C. 13．在中，角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据正弦定理即可求解. 【详解】在中，，则，解得. 所以或. 故选：C. 14．如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下，则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：分钟）之间的关系为．某时刻（单位：分钟）时，盛水筒在过点（为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过分钟后，盛水筒（    ） A．在水面下 B．在水面上 C．恰好开始入水 D．恰好开始出水 【答案】B 【分析】根据题意列出计算式，再用两角和差公式计算即可. 【详解】由题意，， 可得，或（舍去）． 所以， 所以再经过分钟，可得，所以盛水筒在水面上． 在判断时，可以采用放缩法更为直接，过程如下： ， ,故盛水筒在水面上． 故选：B． 15．在等比数列中，，且，，成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式和等差中项的性质列出等式即可解得. 【详解】设等比数列的公比为，根据等差中项可得，即. 又，∴，解得，则， 故选：B 16．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由已知结合同角三角函数的基本关系式可得，根据二倍角的正切公式即可求解. 【详解】由，得， 即，所以， 所以. 故选：C. 17．函数的最小正周期和最值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据正弦函数的值域、最小正周期公式可求解. 【详解】由题可知，函数的最小正周期； 当时，； 当时，. 故选：C 18．在的展开式中，已知第二项的二项式系数是7，则第三项是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二项式定理求解即可. 【详解】展开式通项为. 已知第二项的二项式系数是，解得. 则第三项为. 故选：B. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．已知数列的通项公式为则______． 【答案】 【分析】利用通项公式求出然后相乘即可. 【详解】由题可知，， 则； 故答案为：. 20．______________． 【答案】 【分析】根据题意,结合特殊角的三角函数值化简及两角和与差的正切函数公式即可求解. 【详解】解： 故答案为： 21．的展开式中，第3项为___________. 【答案】 【分析】根据二项式的通项公式即可计算. 【详解】的展开式中，第3项为. 故答案为： 22．某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课.学生需从中选修2门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有________种. 【答案】18 【分析】满足条件的选法可分为两类：只选1门知识类选修课和选2门知识类选修课，结合分步乘法计数和分类加法计数原理求结论. 满足条件的选法可分为两类：只选1门知识类选修课和选2门知识类选修课， 其中只选1门知识类选修课的选法有种. 选2门知识类选修课的选法有种. 所以符合条件的选法有种. 故答案为：18. 23．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是的中点，，若，且，则的面积为______. 【答案】 【分析】先由正弦定理将边化角，求解角A，再结合三角形中线公式以及余弦定理整体求出的值，再由三角形面积公式求解即可. 【详解】由，可得， 则有， 即，由， 可得，由， 则有， 因为D是的中点，， 则由三角形中线公式可得，， 即，整理可得①， 再由余弦定理可得，， 即②， 将①代入②中可得，， 即③， 因为，则， 即④， 将④代入③中可得，，解得， 所以. 故答案为：. 24．已知变量之间具有线性相关关系，根据下表所示的数据，求得y关于x的线性回归方程为，则_____________． x 3 4 5 6 y 3 4 【答案】 【分析】首先计算出样本中心点，再将其代入回归方程即可. 【详解】，， 因为y关于x的线性回归方程为， 则，解得， 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)如图所示，在中，已知点为边上一点，且，，，，求： (1)的面积； (2)边的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理、同角三角函数的基本关系以及三角形的面积公式即可求解. （2）由正弦定理即可求解. 【详解】（1）在中，由余弦定理得 ， ， 的面积为. （2）在中，由正弦定理得， . 26．(本题10分)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立． (1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率； (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列． 【答案】(1)0.28 (2)分布列见解析 【分析】（1）根据概率的乘法公式，结合对立事件的概率公式进行求解即可； （2）根据概率的乘法公式，通过计算列出分布列即可. 【详解】（1）部件1，2都不需要调整的概率为， 则部件1，2中至少有1个需要调整的概率为P＝1－0.72＝0.28； （2）由题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，且 ， ， ， ， 0 1 2 3 27．(本题12分)已知函数. (1)求函数的最小正周期及对称轴； (2)求在区间上的最值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据公式直接求解最小正周期，利用整体法结合正弦函数性质，即可求得结果； （2）利用换元法，结合正弦函数的性质，即可求得结果. 【详解】（1）因为，所以的最小正周期； 令，解得， 所以的对称轴方程为. （2）令，由，知， 所以要求在区间上的最值，即求在上的最值， 当时，，当时，， 所以. 28．(本题12分)在某产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表： 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)画出表中数据的散点图； (2)求y对x的回归直线方程； (3)试预测腐蚀时间为100s时腐蚀深度是多少？（可用计算器） 参考数据：， 参考公式：. 【答案】(1)作图见解析 (2) (3) 【分析】（1）直接散点图的作法直接作图即可； （2）计算出，再代入公式即可得到回归直线方程； （3）将代入（2）中的回归直线方程即可. 【详解】（1）散点图如图 （2）根据表中数据计算得 ， ， 结合参考数据和公式得 ． 所以腐蚀深度y对腐蚀时间x的回归直线方程为． （3）根据上面求得的回归直线方程， 当腐蚀时间为100s时，即腐蚀深度大约为． 29．(本题14分)已知在二项式的展开式中，第三项的系数是第二项的系数的倍． (1)求正整数的值； (2)若展开式中各项系数之和为，二项式系数之和为，求的值； (3)求系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二项式展开式通项找到项的系数，因为第三项的系数是第二项的系数的倍列出等式，计算解出的值； （2）利用赋值法计算各项系数之和，计算二项式系数之和，再得出的值； （3）根据二项式展开式通项找到项的系数，利用不等式关系计算出系数最大的项； 【详解】（1）由题意得，二项式的展开式的通项为 ，. 第三项的系数是，第二项的系数是， 又由第三项的系数是第二项的系数的倍，有 解得； （2）对于二项式，令，即得展开式中各项系数之和为， 可得， 展开式的二项式系数之和为，可得， 可得； （3）展开式的通项为，， 则，整理得， 即. 而，∴，所以系数最大的项为． 30．(本题14分)某职业技术大学计算机专业举行集体生日聚会，聚会餐桌上有一个大蛋糕，准备用刀切的方式，把切割的各块蛋糕分给到场的37位同学．由此思考一个数学问题：蛋糕近似看成平面上的圆，切1次（）把圆最多分成2块（见图①）；切2次（）把圆最多分成4块（见图②）；切3次（）把圆最多分成7块（见图③），…，切次（）把圆最多分成块，由此得到数列．注意：不考虑均匀切割．   (1)试分别写出和的值； (2)根据数列的前五项观察分析规律，写出与的关系式（且）； (3)求数列的通项公式，若要使得每人都分得一块蛋糕，则至少要切几刀？ 【答案】(1)， (2)且 (3)，8刀 【分析】（1）为了使蛋糕快最多，则需要与前面每一条线相交，由此得到和. （2）观察分析规律，得到与的关系式. （3）根据（2）得到数列的通项公式，再根据不等式求解即可. 【详解】（1）画图可知，第4刀切痕与前3刀切痕都相交，得到最多块的蛋糕，故． 同理，第5刀切痕与前4刀切痕都相交时得到最多，即． （2）数列的前五项分别为2，4，7，11，16， ∴与的关系式为且． （3）由（且）得 ，， … ，， 以上个等式相加得． 解得或（舍去）， ∴，即至少要切8刀． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 综合测试卷（一） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．某商场的自动扶梯以一定速度运行，其台阶高度随时间变化的图像可近似看作.则该自动扶梯完成一次完整的上下运动周期为（     ）. A．3秒 B．6秒 C．12秒 D．24秒 2．已知随机变量服从正态分，若，则μ=（    ） A． B． C． D．1 3．已知，则n的值为（   ） A．3 B．4 C． D． 4．已知，则（    ） A． B． C． D． 5．连镇高铁沿线共设连云港、淮安、扬州、镇江等11个客运站，则铁路部门需要准备（    ）种不同的车票． A．22 B．55 C．121 D．110 6．已知与之间的一组数据 0 1 2 3 1 3 5 7 若与线性相关，则与的回归直线方程必过点（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的值是（    ） A．1013 B．2026 C．3039 D．4052 8．将的纵坐标伸长为原来的倍，横坐标不变，则得到的新函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 9．已知数列的通项公式为，那么是它的（    ） A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第10项 10．函数的单调减区间是（    ） A． B． C． D． 11．当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 12．在中，已知，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 13．在中，角的对边分别为，若，则（    ） A． B． C．或 D．或 14．如图，一个筒车按逆时针方向转动．设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下，则为负数）．若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，与时间（单位：分钟）之间的关系为．某时刻（单位：分钟）时，盛水筒在过点（为筒车的轴心）的竖直直线的左侧，且到水面的距离为5米，则再经过分钟后，盛水筒（    ） A．在水面下 B．在水面上 C．恰好开始入水 D．恰好开始出水 15．在等比数列中，，且，，成等差数列，则（ ） A． B． C． D． 16．已知，则（   ） A． B． C． D． 17．函数的最小正周期和最值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 18．在的展开式中，已知第二项的二项式系数是7，则第三项是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．已知数列的通项公式为则______． 20．______________． 21．的展开式中，第3项为___________. 22．某校开设4门知识类选修课和3门技能类选修课.学生需从中选修2门，且至少包含一门知识类选修课，则不同的选课方案共有________种. 23．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是的中点，，若，且，则的面积为______. 24．已知变量之间具有线性相关关系，根据下表所示的数据，求得y关于x的线性回归方程为，则_____________． x 3 4 5 6 y 3 4 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)如图所示，在中，已知点为边上一点，且，，，，求： (1)的面积； (2)边的长. 26．(本题10分)一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为0.1，0.2，0.2，各部件的状态相互独立． (1)求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率； (2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求随机变量X的分布列． 27．(本题12分)已知函数. (1)求函数的最小正周期及对称轴； (2)求在区间上的最值. 28．(本题12分)在某产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x之间相应的一组观察值如下表： 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 6 10 10 13 16 17 19 23 25 29 46 (1)画出表中数据的散点图； (2)求y对x的回归直线方程； (3)试预测腐蚀时间为100s时腐蚀深度是多少？（可用计算器） 参考数据：， 参考公式：. 29．(本题14分)已知在二项式的展开式中，第三项的系数是第二项的系数的倍． (1)求正整数的值； (2)若展开式中各项系数之和为，二项式系数之和为，求的值； (3)求系数最大的项． 30．(本题14分)某职业技术大学计算机专业举行集体生日聚会，聚会餐桌上有一个大蛋糕，准备用刀切的方式，把切割的各块蛋糕分给到场的37位同学．由此思考一个数学问题：蛋糕近似看成平面上的圆，切1次（）把圆最多分成2块（见图①）；切2次（）把圆最多分成4块（见图②）；切3次（）把圆最多分成7块（见图③），…，切次（）把圆最多分成块，由此得到数列．注意：不考虑均匀切割．   (1)试分别写出和的值； (2)根据数列的前五项观察分析规律，写出与的关系式（且）； (3)求数列的通项公式，若要使得每人都分得一块蛋糕，则至少要切几刀？ 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $