第八章 排列组合（B卷·能力提升卷）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣高教版中职数学拓展模块下册第八章排列组合，A/B卷分层设计，B卷以北京冬奥会吉祥物、回文数等真实情境为载体，考查排列组合、二项式定理及概率应用，适配单元复习能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|排列组合（分组分配、相邻不相邻）、二项式定理（系数计算）、概率（古典概型）|结合冬奥会吉祥物排列（第4题）、回文数构造（第13题），体现数学眼光观察现实世界| |填空题|6/24|排列数计算、二项式常数项、实际情境应用|以结账方式（第22题）考查分步计数，培养数学思维逻辑推理| |解答题|6/72|综合应用（站队排列、车位停放、二项式综合）|师生站队（第28题）、车位停放（第29题）等复杂情境，提升用数学语言表达现实问题的能力|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第八章 排列组合 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知，则（   ） A．1 B．0或1 C．1或3 D．或3 2．二项式的展开式中，含的项为（   ） A． B． C． D． 3．现将5名志愿者分成4组，每组至少1人，分赴4个不同社区参加义务服务，则不同的分配方案种数是（   ） A．120 B．240 C．360 D．480 4．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“雪容融”甲和“雪容融”乙相邻，且均不与“雪容融”丙相邻的不同的排列方法总数为（ ） A．480 B．960 C．1080 D．1440 5．从集合中任取3个数作为直线方程中的系数，则所得直线恰好过坐标原点的概率为（   ） A． B． C． D． 6．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》.现甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣读物研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有（）种. A．24 B．36 C．54 D．72 7．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出产品中无次品的概率为（    ） A． B． C． D． 8．的展开式中，的系数是（ ） A．－20 B．－5 C．6 D．20 9．二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 10．口袋中有 5 件产品，其中 2 件次品、3 件正品，从中任取 2 件，记取出的次品数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 11．用数字，，，，，，组成没有重复数字的四位数，如果个数字的积为奇数，则共有（    ）个这样的四位数. A． B． C． D． 12．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（ ） A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 13．回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等.那么用数字可以组成4位“回文数”的个数为（   ） A．25 B．20 C．30 D．36 14．某医院内科有名医生，其中男医生6名，现需选3名医生组成一个医疗队，则医疗队中至少有一名男医生的选法种数为（    ） A． B． C． D． 15．若在的展开式中，第4项是常数项，则二项式系数最大的项是第（    ）项. A．10 B．9 C．8 D．7 16．若，则（ ） A． B． C． D． 17．高一某班一天上午有节课，下午有节课，现要安排该班一天中语文､数学､英语､物理､化学､生物､地理节课的课程表，要求生物课排在上午第四节，化学课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数共有（ ）种 A． B． C． D． 18．某小组共有10名学生，其中女生有3人，男生有7人，若选3名同学值日，则选出的均为男生的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．用数字组成____________个没有重复数字并且是的倍数的五位数. 20．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有_____种． 21．的展开式中常数项是______（用数字作答）． 22．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有_______种． 23．的展开式中，第项的系数为__________. 24．的展开式的常数项为_______. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知. (1)求； (2)求； (3)求. 26．(本题10分)已知展开式中各项的二项式系数之和为256，求： (1)第3项的二项式系数； (2)展开式中倒数第4项. 27．(本题12分)已知展开式的常数项为，求： (1)常数的值； (2)展开式中二项式系数最大的项. 28．(本题12分)7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间，女生甲不站左端. 29．(本题14分)某小区有7个连在一起的停车位现有3辆不同的车需要停放. (1)随机停放的不同停法有多少种？ (2)若剩余空车位必须相邻的停法有多少种？ (3)每辆车左右两边都有空车位的排法有多少种？ 30．(本题14分)5个男同学和4个女同学站成一排 (1)4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ (3)其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？ (4)男生和女生相间排列方法有多少种？ 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第八章 排列组合 （B卷·能力提升） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知，则（   ） A．1 B．0或1 C．1或3 D．或3 【答案】D 【分析】根据题意，结合组合数的性质，即可求解. 【详解】因为， 所以或， 即或， 所以或， 解得或或（舍）或， 故选：D. 2．二项式的展开式中，含的项为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】二项式的展开式， 由二项展开式的通项公式得， 令，则，所以， 所以该二项展开式中含的项为. 故选：A. 3．现将5名志愿者分成4组，每组至少1人，分赴4个不同社区参加义务服务，则不同的分配方案种数是（   ） A．120 B．240 C．360 D．480 【答案】B 【分析】由分步乘法计数原理结合组合、排列数的计算求解即可. 【详解】将5名志愿者分配到4个不同的志愿服务岗位，每名志愿者只分配1个社区，每个社区至少分配1名志愿者. 从5名志愿者中选出2名志愿者作为一组，选法有种； 将这2名志愿者捆绑，与其余3名志愿者一同分配到4个不同的岗位，分配方法有种． 根据分步计数原理，不同的分配方案有种． 故选：B. 4．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”，有着可爱的外表和丰富的寓意，深受各国人民的喜爱．某商店有4个不同造型的“冰墩墩”吉祥物和3个不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜台上，要求“雪容融”甲和“雪容融”乙相邻，且均不与“雪容融”丙相邻的不同的排列方法总数为（ ） A．480 B．960 C．1080 D．1440 【答案】B 【分析】利用捆绑法和插空法求解. 【详解】将4个不同造型的“冰墩墩”进行全排列，有种排法； 将“雪容融”甲、乙捆绑，有种排法； 将捆绑后的“雪容融”整体和“雪容融”丙插入“冰墩墩”形成的5个空位中，且丙不与甲、乙相邻，有种排法， 根据分步乘法计数原理，得到总的排列方法数为． 故选：B． 5．从集合中任取3个数作为直线方程中的系数，则所得直线恰好过坐标原点的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，结合直线的一般式方程，及古典概率的计算公式、排列数的应用，即可求解. 【详解】因为直线过坐标原点，则， 系数的取值从中任选2个，有种， 所以所得直线恰好过坐标原点的概率为, 故选：B. 6．中国古代的五经是指：《诗经》、《尚书》、《礼记》、《周易》、《春秋》.现甲、乙、丙、丁、戊5名同学分别选取了其中一本不同的书作为课外兴趣读物研读，若甲、乙都没有选《诗经》，乙也没选《春秋》，则5名同学所有可能的选择有（）种. A．24 B．36 C．54 D．72 【答案】C 【分析】根据甲、乙的选择情况进行分类讨论，再利用排列组合的知识分别计算每类情况的选法数量，最后根据分类加法计数原理求出总的选法数量. 【详解】第一种情况：甲选《春秋》，因为乙不能选《诗经》和《春秋》， 所以乙从剩下的3本书（《尚书》，《礼记》，《周易》）中选一本，选法有种. 剩下的丙，丁，戊3名同学从剩下的3本书中进行全排列，排法有种. 根据分步乘法计数原理，这种情况下的选法共有种. 第二种情况：甲从除《诗经》和《春秋》外的3本书（《尚书》，《礼记》，《周易》）中选一本，选法有种. 乙同样从除《诗经》和《春秋》外的剩下2本书中选一本，选法有种. 剩下的丙，丁，戊3名同学从剩下的3本书中进行全排列，排法有种. 根据分步乘法计数原理，这种情况下的选法共有种. 根据分类加法计数原理，将上述两种情况的选法数量相加，可得5名同学所有可能的选择共有种. 故选：C. 7．从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出产品中无次品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合古典概率的计算，及组合数的应用，即可求解. 【详解】依题意可知，产品总数为件， 所以取出产品中无次品的概率为. 故选：A. 8．的展开式中，的系数是（ ） A．－20 B．－5 C．6 D．20 【答案】A 【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式，求解所求项的系数即可． 【详解】 令，得， ， ∴的系数为－20. 故选：A. 9．二项式的展开式中常数项为（　　） A． B．540 C．15 D． 【答案】B 【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0，求得r的值，可求展开式中常数项. 二项式的展开式的通项为， 由，得， 所以二项式的展开式中常数项为. 故选：B. 10．口袋中有 5 件产品，其中 2 件次品、3 件正品，从中任取 2 件，记取出的次品数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，再求和即可. 【详解】取出的次品数为，则的可能取值为，而有2种情况. ①选出的2件均为正品，则； ②选出的2件中1件次品、1 件正品， , 故. 故选：C. 11．用数字，，，，，，组成没有重复数字的四位数，如果个数字的积为奇数，则共有（    ）个这样的四位数. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】这个数中偶数有、，奇数有、、、、.用这个数组成没有重复数字的四位数，如果个数字的积是奇数，那么只有个数字都是奇数才可以，据此利用排列公式即可求得. 【详解】先分类，这个数中偶数有、，奇数有、、、、，共个奇数； 用这个数组成没有重复数字的四位数，如果个数字的积是奇数， 那么只有个数字都是奇数才可以，所以共有个. 故选：A. 12．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（ ） A．18个 B．15个 C．12个 D．9个 【答案】B 【分析】根据题意，结合分类加法计数原理求解即可. 【详解】因为“六合数”是数字之和为6的四位数， 所以首位是时，后三位数字之和应为4， 当一个位置为4时有004，040，400，共3个； 当两个位置和为4时有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9个； 当三个位置和为4时112，121，211，共3个， 所以一共有个． 故选：B. 13．回文联是我国对联中的一种，它是用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读，不仅意思不变，而且颇具趣味.相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人.”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的正整数，被称为“回文数”，如22，575，1661等.那么用数字可以组成4位“回文数”的个数为（   ） A．25 B．20 C．30 D．36 【答案】A 【分析】根据题意，计算出由1个数字组成的4位回文数和由2个数字组成的4位回文数，即可求解. 【详解】由题意知，可以组成的4位“回文数”中， 由1个数字组成的4位回文数有5个， 由2个数字组成的4位回文数有个， 所以由数字可以组成4位“回文数”的个数为. 故选：A. 14．某医院内科有名医生，其中男医生6名，现需选3名医生组成一个医疗队，则医疗队中至少有一名男医生的选法种数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出选1名男医生2名女医生，2名男医生1名女医生和选3名男医生的选法种数，再运用分类计数原理将所以的情况的种数相加即可. 【详解】有名医生，其中男医生6名，选3名医生， 则选1名男医生，选2名女医生，选法有（种）， 选2名男医生，选1名女医生，选法有（种）， 选3名男医生，选法有（种）. 所以至少有1名男医生的选法共有（种）. 故选：B. 15．若在的展开式中，第4项是常数项，则二项式系数最大的项是第（    ）项. A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】先根据二项展开式的通项求出的值，再根据二项式系数的性质确定二项式系数最大的项． 【详解】二项式的通项为， 因为第4项是常数项，所以当时，的指数为，即，解得， 所以二项式系数最大的项是第10项， 故选：A． 16．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据组合数的运算公式，结合二项式系数和公式进行求解即可. ，或舍去， 因此. 故选：C 17．高一某班一天上午有节课，下午有节课，现要安排该班一天中语文､数学､英语､物理､化学､生物､地理节课的课程表，要求生物课排在上午第四节，化学课排在下午，数学与物理不相邻，则不同的排法种数共有（ ）种 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要求，生物固定在上午第四节，化学固定在下午，数学和物理不相邻，则可分成数学和物理都排在上午或下午、数学和物理一个在上午一个在下午，四种情况，结合排列和组合分类求解即可. 若数学和物理都排在上午，则有种； 若数学和物理都排在下午，则有种； 若数学排在上午，物理排在下午，则有种； 若数学排在下午，物理排在上午，则有种. 综上，不同的排法共有种. 故选：C 18．某小组共有10名学生，其中女生有3人，男生有7人，若选3名同学值日，则选出的均为男生的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由组合数公式结合古典概型概率公式计算即可. 【详解】某小组共有10名学生，其中女生有3人，男生有7人， 从10名学生中选3名同学，共有种选法， 选出的3名同学均为男生，共有种选法， 故选出的均为男生的概率. 故选：C. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．用数字组成____________个没有重复数字并且是的倍数的五位数. 【答案】 【分析】利用分类加法计数原理与分步乘法计数原理，结合排列的相关知识即可得解. 【详解】因为要组成的五位数是的倍数，考虑特殊元素0， 若末位为，则可组成个满足题意的五位数； 若末位为，则可组成个满足题意的五位数； 所以共可组成满足题意的五位数有个， 故答案为：. 20．某次演出有5个节目，若甲、乙、丙3个节目间的先后顺序已确定，则不同的排法有_____种． 【答案】 【分析】根据全排列相关知识结合题目要求即可求解. 【详解】个节目全排列共有种可能， 甲、乙、丙三个节目全排列共有种可能， 由于甲、乙、丙个节目的先后顺序已确定， 所以个节目中甲、乙、丙节目先后顺序已确定的排法有种. 故答案为：. 21．的展开式中常数项是______（用数字作答）． 【答案】 【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】的展开式的通项公式为， 令，求得，可得展开式中常数项为． 故答案为：． 22．已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡，若顾客甲只带了现金，顾客乙只用支付宝或微信付款，顾客丙、丁用哪种方式结账都可以，这四名顾客购物后，恰好用了其中三种结账方式，则他们结账方式的可能情况有_______种． 【答案】20 【分析】根据分类计数原理以及组合数的计算即可得解. 【详解】当乙选择支付宝时，丙丁可以都选银联卡， 或者其中一人选择银联卡，另一人只能选支付宝或现金， 故有， 而乙选择支付宝时，丙丁也可以都选择微信， 或者其中一人选择微信，另一个只能选支付宝或现金， 故有， 此时共有种情况； 当乙选择微信时，丙丁可以都选银联卡， 或者其中一人选择银联卡，另一人只能选微信或现金， 故有， 而乙选择微信时，丙丁也可以都选择支付宝， 或者其中一人选择支付宝，另一个只能选微信或现金， 故有； 此时共有种情况； 综上共有种情况. 故答案为：20. 23．的展开式中，第项的系数为__________. 【答案】 【分析】根据二项式通项公式易得答案. 【详解】的展开式的通项为， 则第4项的系数为. 故答案为：． 24．的展开式的常数项为_______. 【答案】 【分析】利用二项式展开通项公式，分别求得与的展开式的常数项，从而得解. 【详解】因为的展开通项公式为 ， 而， 对于，其展开式的常数项为， 对于，其展开式的常数项为 所以展开式的常数项为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)已知. (1)求； (2)求； (3)求. 【答案】(1)0 (2)3281 (3) 【分析】（1）分别令二项式中，再相减即可. （2）令，结合（1）中的结果，相加计算即可. （3）根据前两问的结果，计算即可. 【详解】（1）令，原式左边，原式右① 令，原式左边， 原式右边②， . （2）令，原式左边， 原式右边③， ， 所以④ （3）. 26．(本题10分)已知展开式中各项的二项式系数之和为256，求： (1)第3项的二项式系数； (2)展开式中倒数第4项. 【答案】(1)28 (2) 【分析】（1）由二项式系数之和为求出，再求出第项的二项式系数即可， （2）根据二项式展开式的通项公式，令即可得解. 【详解】（1）因为展开式的各项的二项式系数和为256， 所以， 所以， 所以第3项的二项式系数为； （2）由（1）展开式共9项，倒数第4项即为正数第6项， 由二项式展开式的通项公式， 第项为 27．(本题12分)已知展开式的常数项为，求： (1)常数的值； (2)展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【分析】（）求出展开式的通项公式，利用常数项为，列出方程即可得解. （）根据二项式系数的性质，得出第四项二项式系数最大，代入通项公式中即可得解. 【详解】（1）已知展开式的通项公式为：. 令解得. 所以常数项为. 解得. （2）因为为偶数，所以第四项的二项式系数最大. . 28．(本题12分)7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种? (1)两个女生必须相邻而站； (2)4名男生互不相邻； (3)老师不站中间，女生甲不站左端. 【答案】(1)1440种 (2)144种 (3)3720种 【分析】（1）采用捆绑法，将两个女生视为一个元素，先对该元素与其余5个元素全排列，再排列女生内部，计算站法数. （2）采用插空法，先排列老师与女生，再将4名男生插入形成的空位中，计算站法数. （3）分类讨论老师站左端与不站左端的情况，结合分步乘法计数原理，利用分类加法计数原理计算站法数. （1）两个女生必须相邻而站，∴把两个女生看作一个元素，则共有6个元素 进行全排列，还有女生内部的一个排列，所以共有（种）站法． （2）∵4名男生互不相邻，∴应用插空法， 对老师和女生先排列，形成四个空再排男生，共有（种）站法． （3）当老师站左端时，其余六个位置可以进行全排列，所以共有（种）站法： 当老师不站左端时，老师有5种站法，女生甲有5种站法， 余下的5个人在五个位置进行排列，共有（种）站法． 根据分类加法计数原理知共有（种）站法． 29．(本题14分)某小区有7个连在一起的停车位现有3辆不同的车需要停放. (1)随机停放的不同停法有多少种？ (2)若剩余空车位必须相邻的停法有多少种？ (3)每辆车左右两边都有空车位的排法有多少种？ 【答案】(1)210 (2)24 (3)6 【分析】（1）根据排列公式求解即可. （2）利用捆绑法以及全排列公式求解即可. （3）利用插空法，结合排列知识，即可求解． 【详解】（1）从7个停车位中选3个停放3辆不同的车，不同的停法为. （2）把4个相邻空车位看成1个整体，再把空车位整体和3辆车共4个不同元素全排列. （3）先排4个相同的空车位，4个空车位之间恰好形成3个中间空隙，正好每个空隙放1辆车，对3辆不同的车全排列. 30．(本题14分)5个男同学和4个女同学站成一排 (1)4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？ (3)其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？ (4)男生和女生相间排列方法有多少种？ 【答案】(1)种. (2)种. (3)种. (4)种. 【分析】（）根据题意采用捆绑法即可得解. （）根据题意结合插空法即可得解. （）根据题意结合组合数及排列数的计算即可得解. （）根据题意采用捆绑法即可得解. 【详解】（1）4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体， 可得排法为种. （2）先排5个男同学，再插入女同学即可， 所以排法为种. （3）根据题意可得排法为种. （4）5个男生中间有4个空，插入女生即可， 故有排法种. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $