第九章 随机变量及其分布列（A卷·基础巩固卷）-《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）单元过关卷（原卷版+解析版）

**基本信息** 紧扣中职数学拓展模块下册第九章“随机变量及其分布列”，A卷基础巩固，精准覆盖核心考点，通过粽子选取、航天指标筛查等生活与时代情境，训练数学眼光与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|18/54|离散型随机变量判断、正态分布、二项分布|基础概念辨析，如区分连续与离散变量| |填空题|6/24|取球次数取值、正态分布应用、伯努利试验|结合实际问题，如产品质量检测| |解答题|6/72|分布列、数学期望、概率计算|综合生活与科技情境，如粽子选取（文化传承）、航天指标筛查（科技前沿），培养模型观念与数据意识|

编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第九章 随机变量及其分布列 （A卷·基础巩固） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在下列表述中不是离散型随机变量的是（    ） ①某机场候机室中一天的旅客数量；    ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数； ③某篮球下降过程中离地面的距离；    ④某立交桥一天经过的车辆数X． A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的 2．若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 3．甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（ ） A．该题被攻克的概率为 B．该题未被攻克的概率为 C．该题至少被一人攻克的概率为 D．该题至多被一人攻克的概率为 4．下列变量中，不属于离散型随机变量的是（    ） A．某网页一天内被点击的次数 B．某寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一瓶净含量为的果汁的实际含量 D．某超市5月份每天的销售额 5．若随机变量，则（    ） A．3 B．7 C．2.1 D．21 6．设，且，则等于（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 7．袋中有5个大小相同的球，其中有2个红球，3个黑球，从袋中任意抽取2个球，抽到的红球数用随机变量表示，则（    ） A． B． C． D． 8．设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（ ） A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.7 9．离散型随机变量，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 10．疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（    ） 附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）＝0.9974． A．14 B．16 C．30 D．32 11．已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 12．5名射手独立地进行射击，设每人中靶的概率都是，则5人都没中靶的概率为（    ） A． B． C． D． 13．已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 14．甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲类水果的平均质量为 B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 15．分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（    ） A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立 16．下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 17．暑假期间，甲同学外出旅游的概率是，乙同学外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是（    ） A． B． C． D． 18．设随机变量的分布列为，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．设 ，求____________. 20．袋中有大小相同的4个红球和3个白球，从袋中任意取出1个球（不放回），直到取出的球是白球为止.设取球的次数为X，则随机变量X的所有可能取值为______. 21．某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为=80，方差为．学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩X近似服从正态分布（其中μ近似为平均数，近似为方差，则估计获表彰的学生人数为___________．（四舍五入，保留整数） 参考数据：随机变量X服从正态分布，则，，． 22．已知随机变量，，且，，则______． 23．若随机变量，且，则________. 24．在3重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件A至少出现1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为______． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. (1)用E表示取到蛋黄粽的个数，求E的分布列； (2)求选取的2个粽子都为同一种粽子的概率. 0 1 2 26．(本题10分)袋中有3个红球，4个黑球，从袋中随机取球，设取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分，从袋中任取4个球，记得分为X． (1)求得分X的可能取值； (2)求得分X的分布列． 27．(本题12分)随机抽取某厂的某种产品件，经质检，其中一等品有件，二等品有件，三等品有件，次品有8件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为.求： (1)的分布列； (2)1件产品的平均利润. 6 2 1 -2 28．(本题12分)青花釉里红，俗称“青花加紫”，是我国珍贵的瓷器品种之一．釉里红的烧制工艺难度较大，因此烧制成功率较低假设釉里红瓷器开窑后经检验分为成品和废品两类，从某工匠烧制的一批釉里红瓷器中，有放回地抽取两次，每次随机抽取1件，取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率为．记从该批瓷器中任取1件是成品的概率为p． (1)求p的值． (2)假设该工匠烧制的任意1件这种瓷器是成品的概率均为p，且每件瓷器的烧制相互独立，这种瓷器成品每件利润为10万元，废品的利润为0元．现他烧制3件这种资器，设这3件瓷器的总利润为X万元，求X的分布列及数学期望． 29．(本题14分)天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”天和核心舱．这是中国人首次进入自己的空间站，这也标志着中国载人航天事业迈入了一个新的台阶．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有1000名学生，为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立． (1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望； (2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值． 参考数值：，，． 30．(本题14分)年，“十四五”开局全面建设社会主义现代化国家新征程由此开启，这一年，中国共产党将迎来建党周年．某企业开展“学党史，颂党恩，跟党走”的知识问答活动，该企业收集了参与此次知识问答活动的员工得分情况，得到如下频率分布表： 得分 频率 其中样本的平均数是．（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替） （1）求，的值； （2）根据此次知识问答活动的得分，评出四个等级，并根据等级给予如下的奖励： 得分 评定等级 不合格 合格 良好 优秀 抽奖次数 每次抽奖的中奖率均为，每次中奖的奖金都为元，求参与此次知识问答活动的某员工所获奖金的数学期望． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：本套试卷紧扣《数学 拓展模块下册》（高教版第三版）教材，以教材章节为基准精准覆盖核心考点。 每个章节设置AB卷，A卷为基础巩固卷，侧重基础考点训练，帮助学生扎实掌握知识要点；B卷为能力提升卷，注重知识整合与全面检测，引导学生构建知识网络。全书设计4份综合测试卷，模拟实战情境，聚焦解题能力突破，全面提升应试能力与知识应用水平。 第九章 随机变量及其分布列 （A卷·基础巩固） 考试时间：120分钟 满分：150分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．在下列表述中不是离散型随机变量的是（    ） ①某机场候机室中一天的旅客数量；    ②某寻呼台一天内收到的寻呼次数； ③某篮球下降过程中离地面的距离；    ④某立交桥一天经过的车辆数X． A．①中的 B．②中的 C．③中的 D．④中的 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念即可一一判断，得出答案. 【详解】①②④中的随机变量可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此，它们都是离散型随机变量；③中的可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量. 故选：C 2．若随机变量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得的值. 【详解】因为随机变量，且， 则. 故选：C. 3．甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是，，则下列概率计算正确的是（ ） A．该题被攻克的概率为 B．该题未被攻克的概率为 C．该题至少被一人攻克的概率为 D．该题至多被一人攻克的概率为 【答案】D 【分析】根据独立事件同时发生的概率公式，结合选项，即可求解. A.该题被攻克为至少有1人攻克该题的概率，故A错误； B.该题未被攻克的概率为，故B错误； C.由A可知，该题至少被1人攻克的概率为，故C错误； D.该题至多被1人攻克 概率为，故D正确. 故选：D 4．下列变量中，不属于离散型随机变量的是（    ） A．某网页一天内被点击的次数 B．某寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一瓶净含量为的果汁的实际含量 D．某超市5月份每天的销售额 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的概念判断即可. 【详解】对C项，随机变量的取值在之间波动，虽然是随机变量，但不能一一列举出来，故不属于离散型随机变量； 对A、B、D选项，取值可以一一列举出来，符合离散型随机变量的定义，是离散型随机变量. 故选：C 5．若随机变量，则（    ） A．3 B．7 C．2.1 D．21 【答案】A 【分析】根据已知条件结合二项分布数学期望的计算公式即可求解. 【详解】因为随机变量， 则. 故选：A. 6．设，且，则等于（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】D 【分析】根据二项分布的数学期望公式求解即可. 【详解】， ，. 故选：D. 7．袋中有5个大小相同的球，其中有2个红球，3个黑球，从袋中任意抽取2个球，抽到的红球数用随机变量表示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据随机变量含义和组合数算法计算即可 【详解】表示取出一个红球的事件的概率， . 故选：D. 8．设随机变量服从两点分布，若，则成功概率（ ） A．0.3 B．0.35 C．0.65 D．0.7 【答案】C 【分析】利用两点分布的基本性质即可求解. 【详解】随机变量服从两点分布，， 根据两点分布概率性质可知：， 解得. 故选：C. 9．离散型随机变量，且，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意结合二项分布的期望与方差公式即可得解. 【详解】由题意知，，且， 所以，解得. 故选：. 10．疫情期间，学校进行网上授课，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，则这些同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为（    ） 附：随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ－σ＜ξ＜μ＋σ）＝0.6826，P（μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ）＝0.9544，P（μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ）＝0.9974． A．14 B．16 C．30 D．32 【答案】B 【分析】根据题意，某中学参加网课的100名同学每天的学习时间（小时）服从正态分布，所以，，得到，进而计算可得答案. 【详解】设同学中每天学习的人数，根据正态分布，得，所以， ，所以，同学中每天学习时间超过10小时的人数估计为 故选：B 11．已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二项分布的期望和方差公式即可求解，进而根据二项分布的概率公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得， 所以． 故选：C． 12．5名射手独立地进行射击，设每人中靶的概率都是，则5人都没中靶的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用独立事件概率乘法公式计算求解即得. 【详解】因为每人中靶的概率都是，所以5人中的每人不中靶的概率都是，故5人都没中靶的概率为． 故选：C. 13．已知随机变量服从正态分布，且，则（   ） A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性求解即可. 【详解】随机变量服从正态分布， ，对称轴是，， ，， ． 故选：C. 14．甲、乙两类水果的质量（单位：）分别服从正态分布，，正态曲线如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．甲类水果的平均质量为 B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量 C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数 【答案】D 【分析】由正态分布的图像和性质逐项判断即可得解. 【详解】由图像可知甲曲线关于直线对称， 乙曲线关于直线对称， ，，故A，C正确； 甲曲线比乙曲线更“高瘦”， 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均质量，故B正确； 乙曲线的峰值为1.99，但，故D错误. 故选：D. 15．分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（    ） A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥 C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立 【答案】A 【分析】结合相互独立事件的概念直接判断即可 【详解】因为事件A是否发生对事件B、C是否发生不产生影响，所以A与B，A与C均相互独立. 故选：A 16．下面给出四个随机变量： ①一高速公路上某收费站在十分钟内经过的车辆数； ②一个沿轴进行随机运动的质点，它在轴上的位置； ③某派出所一天内接到的报警电话次数； ④某同学上学路上离开家的距离． 其中是离散型随机变量的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据离散型随机变量的定义判断即可. 【详解】对于①，十分钟内经过的车辆数可以一一列举出来，①是离散型随机变量； 对于②，沿轴进行随机运动的质点，质点在直线上的位置不能一一列举出来，②不是离散型随机变量； 对于③，一天内接到的报警电话次数可以一一列举出来，③是离散型随机变量； 对于④，某同学上学路上离开家的距离可为某一区间内的任意值，不能一一列举出来，④不是离散型随机变量， 所以给定的随机变量是离散型随机变量的有①③． 故选：B． 17．暑假期间，甲同学外出旅游的概率是，乙同学外出旅游的概率是，假定甲乙两人的行动互相之间没有影响，则暑假期间甲、乙两位同学恰有一人外出旅游的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设甲外出旅游为事件，乙外出旅游为事件，事件“甲、乙两位同学恰有一人外出旅游”为，由独立事件、互斥事件和对立事件的概率公式计算可得． 【详解】设甲外出旅游为事件，乙外出旅游为事件，事件“甲、乙两位同学恰有一人外出旅游”为，由题意，， 所以． 故选：C． 18．设随机变量的分布列为，，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】将代入中，再由分布列的性质列方程求解即可. 【详解】已知随机变量的分布列为， 当时，， 当时，， 当时，， 由分布列的性质，得，所以. 故选：C. 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 19．设 ，求____________. 【答案】 【分析】根据标准正态分布的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以 . 故答案为： 20．袋中有大小相同的4个红球和3个白球，从袋中任意取出1个球（不放回），直到取出的球是白球为止.设取球的次数为X，则随机变量X的所有可能取值为______. 【答案】1，2，3,4,5 【分析】利用随机事件的定义直接求解． 【详解】袋中有大小相同的红球4个，白球3个，从袋中任意取出1个球（不放回）， 直到取出的球是白球为止．设取到白球的次数为， 则随机变量的所有可能取值为1，2，3,4,5． 故答案为：1，2，3,4,5 21．某学校组织1200名学生进行“防疫知识测试”．测试后统计分析如下：学生的平均成绩为=80，方差为．学校要对成绩不低于90分的学生进行表彰．假设学生的测试成绩X近似服从正态分布（其中μ近似为平均数，近似为方差，则估计获表彰的学生人数为___________．（四舍五入，保留整数） 参考数据：随机变量X服从正态分布，则，，． 【答案】27 【分析】根据题意得到，结合原则和正态分布的对称性求出，求出获得表彰的学生人数. 【详解】由题意得：， 故， 所以． 故答案为：27. 22．已知随机变量，，且，，则______． 【答案】0.2/ 【分析】由二项分布与正态分布的性质计算即可. 【详解】因为随机变量且， 所以，所以， 故，由因为，所以， 则. 所以. 故答案为：0.2 23．若随机变量，且，则________. 【答案】0.2/ 【分析】利用正态分布的对称性即可求出结果. 【详解】由随机变量，    ， 利用正态分布的对称性计算可知， 故答案为：0.2 24．在3重伯努利试验中事件出现的概率相同，若事件A至少出现1次的概率为，则事件A在1次试验中出现的概率为______． 【答案】 【分析】利用二项分布的概率公式求解. 【详解】记“A至少发生1次”为事件，则表示其对立事件“A发生0次”， 事件A的发生符合二项分布，设事件A在1次试验中出现的概率为p， ， 所以， 所以，解得 ，      故答案为：． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 72 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 25．(本题10分)端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有6个粽子，其中肉粽1个，蛋黄粽2个，豆沙粽3个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取2个. (1)用E表示取到蛋黄粽的个数，求E的分布列； (2)求选取的2个粽子都为同一种粽子的概率. 【答案】(1)分布列见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由题意得，E的所有可能取值为0，1，2，分别求出对应的概率，即可求解分布列. （2）2个粽子都为同一种粽子可能是两个都是蛋黄粽，也可能两个都是豆沙粽，分别求出他们的可能组合数，再比上总的可能即可. 【详解】（1）依题意可能为0，1，2，对应的概率为      ∴ 0 1 2 （2）依题意得，任意选取2个粽子有种可能， 选取2个粽子都为同一种粽子的，可能两个都是蛋黄粽， 也可能两个都是豆沙粽， 所以选取的2个粽子都为同一粽子的概率为. 26．(本题10分)袋中有3个红球，4个黑球，从袋中随机取球，设取到1个红球得2分，取到1个黑球得1分，从袋中任取4个球，记得分为X． (1)求得分X的可能取值； (2)求得分X的分布列． 【答案】(1)X的可能取值为1，5，6，7 (2)分布列见解析 【分析】（1）首先写出取出的球的颜色的可能情况，即可得到的可能取值； （2）根据（1）中的可能取值求出所对应的概率，即可得到的分布列； 【详解】（1）解：从袋中随机取4个球的情况为0红4黑，1红3黑，2红2黑，3红1黑，共四种可能情况， 它们的得分分别为4分，5分，6分，7分，故的可能取值为，，，． （2）解：依题意可得，， ，． 故得分的分布列为 4 5 6 7 27．(本题12分)随机抽取某厂的某种产品件，经质检，其中一等品有件，二等品有件，三等品有件，次品有8件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而生产1件次品亏损2万元，设1件产品的利润（单位：万元）为.求： (1)的分布列； (2)1件产品的平均利润. 【答案】(1)分布列见解析 (2)万元 【分析】（1）找出的所有可能的值为，再分别求出，，，，再列出分布列即可. （2）根据（1）中的分布列，根据均值公式求值即可. 【详解】（1）由题意知，的所有可能的值为. 则； ； ； . 所以的分布列为 6 2 1 -2 （2）（万元）. 即生产1件产品的平均利润为万元. 28．(本题12分)青花釉里红，俗称“青花加紫”，是我国珍贵的瓷器品种之一．釉里红的烧制工艺难度较大，因此烧制成功率较低假设釉里红瓷器开窑后经检验分为成品和废品两类，从某工匠烧制的一批釉里红瓷器中，有放回地抽取两次，每次随机抽取1件，取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率为．记从该批瓷器中任取1件是成品的概率为p． (1)求p的值． (2)假设该工匠烧制的任意1件这种瓷器是成品的概率均为p，且每件瓷器的烧制相互独立，这种瓷器成品每件利润为10万元，废品的利润为0元．现他烧制3件这种资器，设这3件瓷器的总利润为X万元，求X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式即可求解；（2）根据二项分布的概率公式即可求解分布列以及期望. 【详解】（1）设A表示事件“取出的2件瓷器中至多有1件是成品”，表示事件“取出的2件瓷器中无成品”，表示事件“取出的2件瓷器中恰有1件是成品”， 则 ， 解得． （2）设这3件中成品的件数为Y． 由题可知． 因为， 所以， ， ， ， 所以X的分布列为 X 0 10 20 30 P 所以． 29．(本题14分)天和核心舱是我国目前研制的最大航天器，同时也是我国空间站的重要组成部分．2021年6月17日，神舟十二号载人飞船搭载着聂海胜、刘伯明和杨洪波三名宇航员升空并顺利“入住”天和核心舱．这是中国人首次进入自己的空间站，这也标志着中国载人航天事业迈入了一个新的台阶．为了能顺利的完成航天任务，挑选航天员的要求非常严格．经过统计，在挑选航天员的过程中有一项必检的身体指标服从正态分布，航天员在此项指标中的要求为．某学校共有1000名学生，为了宣传这一航天盛事，特意在本校举办了航天员的模拟选拔活动．学生首先要进行上述指标的筛查，对于符合要求的学生再进行4个环节选拔，且仅在通过一个环节后，才能进行到下一个环节的选拔．假设学生通过每个环节的概率均为，且相互独立． (1)设学生甲通过筛查后在后续的4个环节中参与的环节数量为X，请计算X的分布列与数学期望； (2)请估计符合该项指标的学生人数（结果取整数）．以该人数为参加航天员选拔活动的名额，请计算最终通过学校选拔的人数Y的期望值． 参考数值：，，． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)估计符合该项指标的学生人数约有23人，的期望值为 【分析】（1）由题意得出X的所有可能取值及对应的概率，从而可得X的分布列及数学期望； （2）利用正态分布，结合二项分布得出符合该项指标的学生人数，结合二项分布即可求解数学期望． 【详解】（1）易知学生甲参与的环节数量X的所有可能取值为1，2，3，4， ；； ；， 所以X的分布列为 X 1 2 3 4 P 所以． （2）因为服从正态分布， 所以． 设1000名学生中该项指标合格的学生人数为Z，则， 所以，所以估计符合该项指标的学生人数约有23人， 且每位同学通过选拔的概率，则通过学校选拔的人数， 故． 30．(本题14分)年，“十四五”开局全面建设社会主义现代化国家新征程由此开启，这一年，中国共产党将迎来建党周年．某企业开展“学党史，颂党恩，跟党走”的知识问答活动，该企业收集了参与此次知识问答活动的员工得分情况，得到如下频率分布表： 得分 频率 其中样本的平均数是．（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替） （1）求，的值； （2）根据此次知识问答活动的得分，评出四个等级，并根据等级给予如下的奖励： 得分 评定等级 不合格 合格 良好 优秀 抽奖次数 每次抽奖的中奖率均为，每次中奖的奖金都为元，求参与此次知识问答活动的某员工所获奖金的数学期望． 【答案】（1），；（2）数学期望为元． 【分析】（1）根据每一组中的中点乘以频率之和等于平均数可得，再由频率之和等于可得，两式联立即可求解. （2）首先求出评定等级为优秀、良好、合格、不合格时所得奖金的数学期望，再利用期望的计算公式即可求解. 【详解】解：（1）因为样本的平均数是， 所以 即，① 又，② 由①②解得，． （2）当该员工的评定等级为优秀时，奖金的数学期望为， 当该员工的评定等级为良好时，奖金的数学期望为 当该员工的评定等级为合格时，奖金的数学期望为， 当该员工的评定等级为不合格时，奖金的数学期望为， 故参与此次知识问答活动的某员工所获奖金的数学期望为元． 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $